22.2.3用因式分解法解一元二次方程 课件 1
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数学华师大版九年级上册22.直接开平方法和因式分解法课件
＝4的根，则此三角形的周长为( C )
A．17
B．11
C．15
D．11或15
2．解下列方程： x(x－2)＝3x；
解：x1＝0，x2＝5.
4x2－12x＋9＝1. 解：x1＝2，x2＝1.
3．解方程：(2x－3)2＝(x＋1)2. 解：x1＝4，x2＝23.
4．解关于x的方程：(x－5)2－a＝0.
三 新知应用
例1 方程(3x－2)(x＋1)＝0的解是( D )
A．x＝
2 3
C．x1＝－
2 3
，x2＝1
B．x＝－1
D．x1＝
2 3
，x2＝－1
例2 解下列方程．
5x2＝4x；
解：x1＝0，x2＝
4 5
.
2(2x＋1)2－16＝0.
解：x1＝2
22－1，x2＝－2
2－1 2.
课堂小测
1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x－3)2
(x-1+12)(x-1-12) =0所以x1=13，x2= -11
3、直接开平方法：解方程 (x-2)2 = (3x+1)2
方程两边同时开平方得：x-2=±(3x+1)
分成两
个一次方程，得：
x-2= 3x+1，
x-2= -(3x+1)
再计算这两个一次方程，得出x的
值：
x1= -32，x2= 14
解：当 a≥0 时，方程的解为 x1＝ a＋5， x2＝－ a＋5； 当 a<0 时，方程无解．
五 课堂小结 1．本节课学习了什么知识？
用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．
2．用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的理论 根据是什么？ 平方根的定义； 如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于 零．
华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
《解一元二次方程因式分解法》PPT课件
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
典例精析
例 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)2x2-3x-1=0.
解： （1）移项，得x2 4x 1.
x2 2 2x 22 1 4， 即（x 2）2 5. 开平方，得x -1 5. x1 1 5，x2 1 5.
a＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
17．(12分)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程： x2－1＝0① x2＋x－2＝0② x2＋2x－3＝0③ …… x2＋(n－1)x－n＝0○n (1)请解上述一元二次方程①、②、③、○n ； (2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． (1)① x1＝－1，x2＝1；② x1＝－2，x2＝1；③ x1＝－3，x2＝1； ○n x1＝－n，x2＝1 (2)比如：都有一个根为1；都有一根为负整数；两个根都是整数 根
ax2 bx c 0 （a≠0）
讲授新课
一 直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解 得 x1 a, x2 a , 这种解一元二次方程的方法叫做直接 开平方法.
问题
方程 x2 0.25的根是
方程 2x2 18 的根是
方程 (2x 1)2 9 的根是
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
24．2 解一元二次方程 因式分解法
4．(4分)经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4.则一元二次方程x2 －3x－4＝0的所有根是( B )
A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 5．(5分)用因式分解法把方程(x－5)(x＋1)＝7分解成两个一次方程， 正确的是( D ) A．x－5＝1，x＋1＝7 B．x－5＝7，x＋1＝1 C．x＋6＝0，x－2＝0 D．x－6＝0，x＋2＝0 6．(5分)下面方程，不能用因式分解法求解的是( D ) A．x2＝3x B．(x－2)2＝3x－6 C．9x2＋6x＋1＝0 D．(x＋2)(3x－1)＝5
典例精析
例 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)2x2-3x-1=0.
解： （1）移项，得x2 4x 1.
x2 2 2x 22 1 4， 即（x 2）2 5. 开平方，得x -1 5. x1 1 5，x2 1 5.
a＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
17．(12分)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程： x2－1＝0① x2＋x－2＝0② x2＋2x－3＝0③ …… x2＋(n－1)x－n＝0○n (1)请解上述一元二次方程①、②、③、○n ； (2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． (1)① x1＝－1，x2＝1；② x1＝－2，x2＝1；③ x1＝－3，x2＝1； ○n x1＝－n，x2＝1 (2)比如：都有一个根为1；都有一根为负整数；两个根都是整数 根
ax2 bx c 0 （a≠0）
讲授新课
一 直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解 得 x1 a, x2 a , 这种解一元二次方程的方法叫做直接 开平方法.
问题
方程 x2 0.25的根是
方程 2x2 18 的根是
方程 (2x 1)2 9 的根是
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
24．2 解一元二次方程 因式分解法
4．(4分)经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4.则一元二次方程x2 －3x－4＝0的所有根是( B )
A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 5．(5分)用因式分解法把方程(x－5)(x＋1)＝7分解成两个一次方程， 正确的是( D ) A．x－5＝1，x＋1＝7 B．x－5＝7，x＋1＝1 C．x＋6＝0，x－2＝0 D．x－6＝0，x＋2＝0 6．(5分)下面方程，不能用因式分解法求解的是( D ) A．x2＝3x B．(x－2)2＝3x－6 C．9x2＋6x＋1＝0 D．(x＋2)(3x－1)＝5
《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
－m＝0的一个根，则a的值是
5
．
7．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x －3)2＝x2－9；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.
解得x1＝－ ，x2＝－2.
解得x1＝3，x2＝9.
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
(x + m) （x + n）＝0
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一
般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因
180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
∴ x
,
2a
29
3
即x1 =
2+ 5
2- 5
, x2 =
.
3
3
一元二次方程的解法及适用类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
5
．
7．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x －3)2＝x2－9；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.
解得x1＝－ ，x2＝－2.
解得x1＝3，x2＝9.
x 2 5 x 0,
从而
x 2 0 ，或 5 x 0,
所以
x1 2 ，x2 5.
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
(x + m) （x + n）＝0
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一
般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因
180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
∴ x
,
2a
29
3
即x1 =
2+ 5
2- 5
, x2 =
.
3
3
一元二次方程的解法及适用类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
22.2.3 因式分解法解一元二次方程
练习
1.解下列方程：
3x 1 x2 x 0； x2 2 3x 0; 3 2 6 x 3； 2 2 2 4 3 4 x2 121 0; 5 x 2 x 1 4 x 2; x 4 5 2 x . 6
解：变形有 ( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0. 因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) 有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0， 0. = ( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
2 1 x1 , x2 . 3 2
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
独立 作业
知识的升华
1、P43习题22.2 第6题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
小亮是这样解的 :
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3. 小明做得对吗?
小亮做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
动脑筋
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
回顾与复习 1
3.因式分解的方法有那些？ ①提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法 平方差:a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 ③十字相乘法
课件：22.2.2一元二次方程解法 配方法 (共12张PPT)
一元二次方程的解法
配方法
知识回顾：
一元二次方程的解法
上节课我们主要学习了哪两种解一元二次 方程的方法?我们应该如何选择合适的解法? (1) 直接开平方法 当左边是一个完全平方形式，而右边 是一个非负常数时，用直接开平方法非常 简单; (2) 因式分解法
当右边为零，而左边可以分解因式时， 可以用因式分解法.
(2) 4x2 -12x-1 = 0
解: 移项,得 两边除以4，得x2
2
4x2 -12x = 1
1 - 3x = ，配方，得 4
2 2
x2 –2 · x· 2 + 22 = -1+ 22
即:
(x -2)2 =3 x1=2+
3 3 1 3 x 2x 2 2 4 2 3 2 10 (x - ) 即: 2 4
演练
用配方法解下列方程:
(1) 3x2 -6x -1 = 0 解:
1 x 2x 3
2
(2) 2x2–4 = 5x 解:
2
2x2 5x 4 5 25 25 x x 2 2 16 16 5 57 x 4 16 x 5 57 4 4
2
1 2 x 2x 1 1 3 x 12 4 3 x 1 x1 2 3 3
(4)
4x2 -6x
+( )= 4(x -
9 4
4 3 2 4) =(2x
-
3 )2 2
2．用配方法解下列方程：
(1) x2 + 8x –2 = 0 (2) x2 -5x -6 = 0
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程: x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 ) 解: 移项，得 x2 + px = -q 方程左边配方，得 即
配方法
知识回顾：
一元二次方程的解法
上节课我们主要学习了哪两种解一元二次 方程的方法?我们应该如何选择合适的解法? (1) 直接开平方法 当左边是一个完全平方形式，而右边 是一个非负常数时，用直接开平方法非常 简单; (2) 因式分解法
当右边为零，而左边可以分解因式时， 可以用因式分解法.
(2) 4x2 -12x-1 = 0
解: 移项,得 两边除以4，得x2
2
4x2 -12x = 1
1 - 3x = ，配方，得 4
2 2
x2 –2 · x· 2 + 22 = -1+ 22
即:
(x -2)2 =3 x1=2+
3 3 1 3 x 2x 2 2 4 2 3 2 10 (x - ) 即: 2 4
演练
用配方法解下列方程:
(1) 3x2 -6x -1 = 0 解:
1 x 2x 3
2
(2) 2x2–4 = 5x 解:
2
2x2 5x 4 5 25 25 x x 2 2 16 16 5 57 x 4 16 x 5 57 4 4
2
1 2 x 2x 1 1 3 x 12 4 3 x 1 x1 2 3 3
(4)
4x2 -6x
+( )= 4(x -
9 4
4 3 2 4) =(2x
-
3 )2 2
2．用配方法解下列方程：
(1) x2 + 8x –2 = 0 (2) x2 -5x -6 = 0
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程: x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 ) 解: 移项，得 x2 + px = -q 方程左边配方，得 即
22.2.3用因式分解法解一元二次方程
9 x 25 0
2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)
解一元二次方程解法（3）
因式分解法
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x －9=0
2 x －9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0
AB=0A=0或Ｂ０
X+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
X2－9= (x+3)(x－3)
解题步骤演示
例 (x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+4x－12 =0 左边分解成两个一次因式 的乘积 (x－2)(x+6)=0
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
x－2=0或x+6=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
∴ x1=2 ,x2=-6
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
22.2降次——解一元二次方程-因式分解法
(4)x = x x1 = 0, x2 = 1
2
3
2
2.下面的解法正确吗？如果不正确， 下面的解法正确吗？如果不正确， 下面的解法正确吗 错误在哪？ 错误在哪？ (1)解方程： x + 2)( x − 1) = 3 (1)解方程 ( 解方程：
Q 解： ( x + 2)( x − 1) = 3 × 1
∴ x + 2 = 3, x − 1 = 1 ×
则x1 = 1, x 2 = 2
这个方程需要先转化为一般形式再求解. 这个方程需要先转化为一般形式再求解.
(2)解方程： y = 4 y (2)解方程 解方程：
2
解：Q y = 4 y
2
∴y=4
×
根据等式性质，等式两边都除以一 根据等式性质， 个不为0的数时，等式仍然成立。 个不为0的数时，等式仍然成立。上式 方程两边同除以y 有可能为0. 中，方程两边同除以y，而y有可能为0. 那么，这个方程应该怎样解呢？ 那么，这个方程应该怎样解呢？
x2+x=0 解：原方程整理得 x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现， 可以发现，利用因式分解可以很快 捷地解出方程。 捷地解出方程。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元 上述解法中， 二次方程化为两个一次式的乘积等于0 二次方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从 形式，再使这两个一次式分别等于0 而实现降次，求出方程的根， 而实现降次，求出方程的根，这种解法 叫做因式分解法 叫做因式分解法。 因式分解法。
(2)(3x +1) − 5 = 0
2
(1)3x(x + 2) = 5(x + 2)
因式分解法解一元二次方程课件
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解 (x ： 1)x (7)0
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
公开课因式分解法解一元二次方程PPT课件
第14页/共17页
正本作业： 习题2.7 1.（2）（4）
2. （2）（4） 课外作业：1.P47 48
2.新课堂P29.30
第15页/共17页
解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3);
4.2(x 3)2 x2 9;
5.5(x2 x) 3(x2 x);
小明做得对吗?
方程③两小公边华式不用法哪能：种同解时x法除?以b同 一b个2 含4a有c .未b2知 4数ac的整0 .式，
否则会失根.
2a
第4页/共17页
小亮是这样解的 :
解 :由方程x2 3x, 得
左边易于分解x 2xx
3x 0右. 边为0
3 0.
x 0,或x 3 0.
x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
8.x1 4 2; x2 2.
第16页/共17页
谢谢您的观看！
第17页/共17页
ab=0（至少有一个因式为0） a=0或b=0
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的 方法求解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解 法。
第5页/共17页
一、用适当方法分解下列各整式：
二、用分解因式法解方程:
(1)5x2-4x;
(2)x-2-x(x-2); （3)（x+1)2-25. （4）x2+6x-7
(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);（3)（x+1)2=25.
步骤
二
解：(1) 5x 2 4x 0,次 1.移-左边易于分解，右边=0;
x5x 4 0.
2.分解--左边因式分解
正本作业： 习题2.7 1.（2）（4）
2. （2）（4） 课外作业：1.P47 48
2.新课堂P29.30
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解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3);
4.2(x 3)2 x2 9;
5.5(x2 x) 3(x2 x);
小明做得对吗?
方程③两小公边华式不用法哪能：种同解时x法除?以b同 一b个2 含4a有c .未b2知 4数ac的整0 .式，
否则会失根.
2a
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小亮是这样解的 :
解 :由方程x2 3x, 得
左边易于分解x 2xx
3x 0右. 边为0
3 0.
x 0,或x 3 0.
x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
8.x1 4 2; x2 2.
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ab=0（至少有一个因式为0） a=0或b=0
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的 方法求解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解 法。
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一、用适当方法分解下列各整式：
二、用分解因式法解方程:
(1)5x2-4x;
(2)x-2-x(x-2); （3)（x+1)2-25. （4）x2+6x-7
(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);（3)（x+1)2=25.
步骤
二
解：(1) 5x 2 4x 0,次 1.移-左边易于分解，右边=0;
x5x 4 0.
2.分解--左边因式分解
一元二次方程的解法因式分解法课件ppt
新乐市实验学校
例2 解方程x2=2√2x－2 解 移项，得 x2 －2√2x+2=0,
即 x2 －2 √2x+(√2)2=0. ∴(x －√2)2=0, ∴x1=x2=√2
新乐市实验学校
1.解方程 x2－2√3x=-3 2.若一个数的平方等于这个数本身, 你能求出这个数吗(要求列出一 元二次方程求解)?
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分 解成两个一次因式的积时，则用因式分解 法解方程比较方便.
新乐市实验学校
因式分解法解一元二次方程 的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二
次方程转化为解两个一元一次方程；
得 x(3x－17)=0,
∴x=0 ,或3x－17=0
解得
x1=0,
x2=
17 3
新乐市实验学校
例1 解下列一元二次方程： (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解:移项，得 （3x-4)2-(4x-3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 [(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0, 即 (7x-7) (-x-1)=0. ∴7x-7=0,或 -x-1=0. ∴x1=1, x2=-1
新乐市实验学校
因式分解主要方法:
(1)提取公因式法 (2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
新乐市实验学校
请选择： 若A·B=0则（ D ）
（A）A=0；
（B）B=0；
（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
新乐市实验学校
解方程 4x2=9
《解一元二次方程因式分解法》PPT课件
24.2 解一元二次方程
因式分解法
24．2 解一元二次方程 因式分解法
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程的右边化为零； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的__乘__积____； (3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的____解____．
an/
PPT 论坛
24．：2 解一元二次方程 因式分解法
ww
w.1p
7 ． (4 分 ) 代 数P式PTx2 － 2x 的 值 等 于 483 ， 则 其 中 x 的 取 值 是 _x_1＝__2_3_，__x．2＝－21课/ke件ji 8．(6分)解方程a：n/ ①3x2－12＝0；②3x2－4x－2＝0；③20x2－9x －16＝0；④3(4x语课－文 件1)2＝7(4x－1)．较简便的解法是( D ) A．依次用直接/k开e平ji 方法、配方法、公式法和因式分解法 B．①用直接开au平nw/e方y 法，②用公式法，③④用因式分解法 C．依次用因式n分/ 解法、公式法、配方法和因式分解法 D．①用直接开数课平学 件方法，②③用公式法，④用因式分解法
4
【错因分析】第一步变形不属于同解变形，方程两边都除以(y－ 3)时，没有考虑
(y－ 3)也可以为 0，
从而丢掉了 y＝ 3这个根． 【正解】
24．2 解一元二次方程 因式分解法
10．(2013·宜宾)已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个
解，则m的值是( A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
24．2 解一元二次方程 因式分解法
1．(4分)(2013·陕西)一元二次方程x2－3x＝0的根是__x_1＝__0_，__x．2＝3
因式分解法
24．2 解一元二次方程 因式分解法
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程的右边化为零； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的__乘__积____； (3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的____解____．
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24．：2 解一元二次方程 因式分解法
ww
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7 ． (4 分 ) 代 数P式PTx2 － 2x 的 值 等 于 483 ， 则 其 中 x 的 取 值 是 _x_1＝__2_3_，__x．2＝－21课/ke件ji 8．(6分)解方程a：n/ ①3x2－12＝0；②3x2－4x－2＝0；③20x2－9x －16＝0；④3(4x语课－文 件1)2＝7(4x－1)．较简便的解法是( D ) A．依次用直接/k开e平ji 方法、配方法、公式法和因式分解法 B．①用直接开au平nw/e方y 法，②用公式法，③④用因式分解法 C．依次用因式n分/ 解法、公式法、配方法和因式分解法 D．①用直接开数课平学 件方法，②③用公式法，④用因式分解法
4
【错因分析】第一步变形不属于同解变形，方程两边都除以(y－ 3)时，没有考虑
(y－ 3)也可以为 0，
从而丢掉了 y＝ 3这个根． 【正解】
24．2 解一元二次方程 因式分解法
10．(2013·宜宾)已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个
解，则m的值是( A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
24．2 解一元二次方程 因式分解法
1．(4分)(2013·陕西)一元二次方程x2－3x＝0的根是__x_1＝__0_，__x．2＝3
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
22.2.3用提公因式法解一元二次方程_课件_1
（1）x2 x 0 （2）5x2 3x 0
(3)x2 2 3x 0（4）(x 2)2 (x 2) 0
（5）7x(3 x) 4(x 3) （6）3x(x 2) 5(x 2) (7)（2 2x 3)2 3(2x 3) 0
（8）(3y 2)2 3(3y 2) 0
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是. “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
思 考☞
10X-3X2=0 ①
以上解方程 x10 3x 0
是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x10 3x 0
①
x=o 或 （10-3x）=0 ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
(3)x2 2 3x 0（4）(x 2)2 (x 2) 0
（5）7x(3 x) 4(x 3) （6）3x(x 2) 5(x 2) (7)（2 2x 3)2 3(2x 3) 0
（8）(3y 2)2 3(3y 2) 0
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是. “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
思 考☞
10X-3X2=0 ①
以上解方程 x10 3x 0
是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x10 3x 0
①
x=o 或 （10-3x）=0 ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
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解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 － 解：原方程可变形为 x2+2x－8 =0 方程右边化为零 － (x－2)(x+4)=0 － 左边分解成两个一次因式 左边分解成两个一次因式 的乘积 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 x－2=0或x+4=0 － 或 ∴ x1=2 ,x2 两个一元一次方程的解=-4 一元一次方程的解就是原方程的解 一元一次方程的解
快速回答： 快速回答：下列各方程的根分 别是多少？ 别是多少？
(1)x(x − 2) = 0
x1 = 0, x2 = 2
(2)( y + 2)( y − 3) = 0 y1 = −2, y2 = 3
2 1 (3)(3x + 2)(2x −1) = 0 x1 = − , x2 = 3 2 2 (4)x = x x1 = 0, x2 =1
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5 ）（ － ）（x+2)=18
2=(a－2)(3a－4) ②(2a－3) － － －
③
2
2=3y y
2+7x+12=0 ④x
⑤t(t+3)=28
2=(x+3)2 ⑥(4x－3) －
(7)x − ( 3 − 2)x − 6 = 0
2
x + 3 x(3− 2x) x(3x −1) (8) − = 3 2 3
5)=0
=0 5
3x+1+ 5=0或3x+1－
− − 5 １ −１ + 5 ∴ x1= , x2= 3 3
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 因式为零， 一元一次方程。 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。 程的解。
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
书P44归纳 归纳
十字相乘法
解下列方程 1、x2－3x－10=0 2、 2、(x+3)(x－1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 +2)=0 x2+2x－8=0 (x－5)(x+2)=0 +4)=0 (x－2)(x+4)=0 x－5=0或x+2=0 =0或 +2=0 x－2=0或x+4=0 =0或 +4=0 ∴ x 1= 5 ,x 2= - 2 ∴ x 1= 2 ,x 2= - 4
(
×
)
练习：书P45练习
解题框架图
解：原方程可变形为： =0 ( 一次因式 )( 一次因式B )=0 一次因式B 一次因式A
一次因式A 一次因式 一次因式B =0或 一次因式 =0
解 ∴ x1= A解 , x2= A解 解
1、 什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？ 用因式分解法来解？ 2、用因式分解法解一元二次方 其关键是什么？ 程，其关键是什么？ 3、用因式分解法解一元二次方 程的理论依据是什么? 程的理论依据是什么? 4、用因式分解法解一元二方程， 用因式分解法解一元二方程， 必须要先化成一般形式吗？ 必须要先化成一般形式吗？
(1)3x(x + 2) = 5(x + 2)
解：移项，得 3x(x + 2) −5(x + 2) = 0
(x + 2)(3x −5) = 0
x+2=0或3x－5=0 或 － 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5)(3x+1－
下面的解法正确吗？如果不正确， 下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？ 错误在哪？
解 方程 (x −5)(x + 2) =18 解 原 ： 方程 化为 (x −5)(x + 2) = 3×6 由x −5 = 3 得x = 8; ， 由x + 2 = 6， x = 4. 得 ∴原 程 方 的解 x1 = 8或x2 = 4. 为
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 因式为零， 一次方程。 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法： 解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法（ ） 一元二次方程的解法（3） 用因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元过的一元二次方程解 、 法有哪些？ 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 、 2 － 4=0 x
2－4=0 x
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 － X+2=0 或 x－2=0 － ∴ x1=-2 ,x2=2
2
简记歌诀： 简记歌诀 右化零 两因式 左分解 各求解
X2－4= (x+2)(x－2) －
AB=0 A=0或Ｂ＝０ 或
重 点 难 点
重点： 用因式分解法解一元二次方程 难点： 正确理解AB=0〈=〉A=0 B=0 =0〈 （ A、B表示两个因式）
例1、解下列方程 、
(1)3x(x + 2) = 5(x + 2) 2 (3)(3x +1) − 5 = 0