量子力学第三章算符

第三章算符与力学量算符

3、1 算符概述

设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为:

(3、1-1)

称为算符。u与v中得变量可能相同,也可能不同。例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。

1.算符得一般运算

(1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。

(2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。算符得相加满足交换律。

(3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。算符得相乘一般不满足交换律。如果,则称与对易。

2.几种特殊算符

(1)单位算符

对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。

(2)线性算符

对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。

(3)逆算符

对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。

并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。其解u可表示为对应齐次方程得通解u。与非齐次方程得特解之与,即。因,所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。

(4)转置算符

令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。

定义波函数与得标积为:

(3、1-2)

与得标积以及与得标积为:

若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。

波函数与在无限远点也应满足连续性条件:

[可都等于零],,所以得:

可见在任意标积中,。

(5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符

转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。即厄密算符得定义为:

或写为(3、1-3)

可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数,而,所以。在任意标积中,因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。

,所以就是厄密算符。

(6)幺正算符

若在任意标积中,,则称为幺正算符。设,若为厄密算符,则必为幺正算符。

(7)算符得函数

设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为:

(3、1-4)

其中表示n个得乘幂,即。例如

3、2 算符得对易关系

定义算符得泊松(Poisson)括号为:

(3、2-1)

一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。

1.量子力学中基本对易关系

在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得:

在动量表象中

,即,此式对任意得都成立,所以得:

可见在位置表象中与动量表象中都得:

(3、2-2)

如果两个算符所含得独立变量不同,则这两个算符就是对易得。例如,在位置表象中,所含得变量就是y,而所含得变量就是x,所以=0。又如,在有心力场中,U(x)所含得变量就是r,而所含得变量就是,所以。此外,相同得算符一定对易。

以表示x,y,z,以表示,则应有:

(3、2-3)

(3、2-4)

(3、2-4)式就就是量子力学中得基本对易关系式。

2.线性算符泊松括号得性质

根据量子泊松括号得定义式以及线性算符得定义式不难证明下关系式:(其证明供练习)

(3、2-5)

C为常数(3、2-6)

C为常数(3、2-7)

(3、2-8)

(3、2-9)

(3、2-10)

3.其她对易关系

(1)角动量算符与位置算符之间得对易关系

同理可得:,……,各对易关系可合写为:

采用爱因斯坦记号,则上式可写为:

(3、2-11)

其中称为勒维——奇维塔(Levi-Civita)符号。=1,对所有角标都就是反对称得,即交换任意两个角标,其值反号,例如,,。若中有两个角标相同,则其值为零。具有以下数学性质:

(3、2-12)

(3、2-13)

上式中将改写为称为将反对称化,之所以能将反对称化就是由于对角标i,j反对称之故。

(2)角动量算符与动量算符之间得对易关系

(3、2-14)

(3)角动量算符得对易关系

(3、2-15)

上式中三个不为零得对易关系式还可以写成下面得关系式:

(3、2-16)

若令,则可得:

(3、2-17)

(3、2-18)

(4)算符得函数之间得对易关系

(3、2-19)

(3、2-20)

必须注意,若,则。

3、3 线性厄密算符与力学量算符

1.厄密算符得性质

(1)对易得厄密算符得乘积也就是厄密算符。

设与就是对易得厄密算符,利用(3、1-3)式可得:

****ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()FG d F G d GF d FG d ϕφτφφτφφτϕτ∞∞∞∞

===⎰⎰⎰⎰ 所以也就是厄密算符。

(2)厄密算符得本征值必为实数。

设为厄密算符,其本征方程为:

,则

根据(3、1-3)式得:

则

因,则得F=F*,所以F 为实数。

(3)厄密算符属于不同本征值得本征函数就是正交得。

设,为厄密算符分别对应本征值,得本征函数,则

即