课时跟踪检测 (二十七) 不同函数增长的差异

课时跟踪检测 （二十七） 不同函数增长的差异

层级(一) “四基”落实练

1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝log 2x C ．y ＝2x D ．y ＝2x

答案：D

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )

解析：选C 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.

3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x 1.99 3 4 5.1 6.12 y

1.5

4.04

7.5

12

18.01

) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x

C ．y ＝log 2x

D ．y ＝1

2

(x 2－1)

解析：选D 法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.

法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x ＝4，经检验易知选D. 4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近

似的是()

A．y＝0.2x B．y＝1

10(x

2＋2x)

C．y＝2x

10D．y＝0.2＋log16x

解析：选C将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝2x

10.

5．(多选)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是()

A．此指数函数的底数为2

B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2

C．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月

D．设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3解析：选ABD易知该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以B正确；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．

6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．

解析：当x变大时，x比ln x增长要快，

所以x2要比x ln x增长的要快．

答案：y＝x2

7.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化

的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前 5

min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③

5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．

解析：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，所以5 min前每当t增加一个单位，相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．

答案：②④

8．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：

x 1.00 3.00 5.007.009.0011.00

y15135625 1 715 3 645 6 655

y2529245 2 18919 685177 149

y3 5.00 6.10 6.61 6.957.207.40

其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．

解析：根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．

答案：y3y2y1

9．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图象，并比较x＋5与2x的大小．

解：根据函数y＝x＋5与y＝2x的图象增长差异得：

当x＜3时，x＋5＞2x，

当x＝3时，x＋5＝2x，

当x＞5时，x＋5＜2x.

10．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

时间t(天)60100180

种植成本Q(元/100 kg)11684116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系．

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.

利用你选取的函数，回答下列问题：

(1)求西红柿种植成本最低时的上市天数．

(2)求最低种植成本．

解：根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．

(1)函数图象的对称轴方程为t＝－b 2

a

＝

60＋180

2

＝120，

所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.

(2)将表格中的数据代入Q＝at2＋bt＋c，

得

⎩⎪

⎨

⎪⎧3 600a＋60b＋c＝116，

10 000a＋100b＋c＝84，

32 400a＋180b＋c＝116，

解得

⎩⎪

⎨

⎪⎧b＝－2.4，

c＝224，

a＝0.01.

所以最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．

层级(二)素养提升练

1．下面对函数f(x)＝log

1

2x，g(x)＝⎝

⎛

⎭

⎫1

2

x与h(x)＝x－

1

2在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是()

A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢

B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快

C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢

D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快

解析：选C观察函数f(x)＝log

1

2

x，g(x)＝⎝⎛⎭⎫

1

2

x与h(x)＝x

1

2

－

在区间

(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较

快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；

同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.

2．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C 对应______；D对应______．