知识点26 等腰三角形与等边三角形2019

一、选择题 12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（ ）．ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，ODEBA所以»AC 的长为602323ππ⨯⨯=．8．（2019·娄底）如图（2），边长为23的等边△ABC 的内切圆的半径为（ ）A. 1 B ．3 C ． 2 D ． 23【答案】A【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD 中，从而解得．如图（2－1），设D 为⊙O 与AC 的切点，连接OA 和OD ，∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，∴OD ⊥AC ，∠OAD ＝30°，OD 即为圆的半径． 又∵23AC =，∴1123322AD AC ==⨯= ∴在直角三角形OAD 中，3tan tan 303OD OAD AD ∠=︒===， 代入解得：OD ＝1．故答案为 1．1.（2019·潍坊）如图已知∠AOB ，按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ． ③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（）A ．∠CEO =∠DEOB ．CM =MDC ．∠OCD =∠ECD D ．S 四边形OCED =12CD ·OE【答案】C【解析】由作图可知OC =OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，所以△OCE ≌ODE ，∴∠CEO =∠DEO ，选项A 正确，根据“三线合一”可知，CM =MD ，CD ⊥OE ，所以选项B 、D 正确；选项C 错误；故选C.2.（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。

这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动。

C 点固定，OC =CD =DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE =75°，则∠CDE 的度数是 A .60° B .65° C .75° D .80°【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC =CD =DE ，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O ，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE =180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D.3.（2019·重庆A 卷）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC ′沿BD 翻折，得到△BDC'，DC '与AB 交于点E ，连结AC'，若AD ＝AC '＝2，BD ＝3，则点D 到BC '的距离为（）A ．233 B ．7213 C ．7 D ．13【答案】B【解析】如答图，过点D 作DM ⊥BC '于点M ，过点B 作BN ⊥DC '于点N ，由翻折可知DC '＝DC ＝AD ＝2，∠BDC ＝∠B DC '．∵AD ＝AC '＝2，∴△ADC'是等边三角形，从而∠ADC '＝∠B DC '＝∠BDC ＝60°．在Rt△BDN 中，DN ＝12BD ＝32，BN C N '＝12．于是，BC '．∵BDC S '∆＝1122DC BN BC DM''⋅=⋅，∴DM＝DC BNBC'⋅'＝33227⨯＝321．故选B．4.(2019·聊城)如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC 分别交于点E,F时,下列结论中错误的是A.AE+AF＝ACB.∠BEO+∠OFC＝180°C.OE+OF＝2BC D.S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO ＝12S△ABC,故D正确；故选C.5.6.7.8.9.10.二、填空题14．（2019·绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为.【答案】15°或45°【解析】因为∠PAD ＝30°，以点B 为圆心，AB 为半径作弧，与AP 交于点A,M ，而∠BAM ＝60°，所以△BAM 是等边三角形；又以点A,M 为圆心，AM 长为半径作弧，交点有两个E 或B 有两种情况：①由题意△AME 是等边三角形，所以∠EAM ＝60°，所以∠DAE ＝30°+120°＝150°，又AD ＝AM ＝AE ，所以∠ADE ＝∠AED ＝12（180°－150°）＝15°；②点E 与B 重合，所以∠ADB （E ）＝45°.14．（2019·常德）如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上，将△ABD 绕点A逆时针旋转45°得到△ACD ´，且点D ´、D 、B 三点在同一直线上，则∠ABD 的度数是．【答案】22.5°【解析】根据题意可知△ABD ≌△ACD ´，∴∠BAC ＝∠CAD ´＝45°，AD ´＝AD ，∴∠ADD ´＝∠AD ´D ＝180452︒-︒＝67.5°，∵D ´、D 、B 三点在同一直线上，∴∠ABD ＝∠ADD ´－∠BAC ＝22.5°．1.（2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________. 【答案】36°.【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°， ∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°. 故答案为36°. 2. 3. 4.5.6.7.8.三、解答题19.（2019浙江省杭州市，19，8分）(本题满分8分)如图在△ABC中，AC＜AB＜BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证:∠APC= 2∠B.(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC= 3∠B，求∠B的度数.【解题过程】（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．25．（2019江苏盐城卷，25，10）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（I）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（II）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B、处，如图③，两次折痕交于点O；（III）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；（2）若AB = 8，设BC为x，OB2为y，求y 关于x的关系式.图①图②图③图④【解题过程】解：（1）由折叠可知BC=AD=AF=DE，∴ CB=CB、，由两次折叠可知∠BCO=∠DCO =∠ODE=45O，∴△OCD是等腰直角三角形，OC=OD∴△OBC ≌△OED（2）如图，过O向BC做ON⊥BC于N，则△OCN是等腰直角三角形，BB又△OCD 是等腰直角三角形，OC=OD ，∴CD=8，OC=,ON=CN=4，在直角三角形BON 中，OB 2=BN 2+ON 2∴22y (4)4x =-+=2832x x -+（4<x ＜8）25．（2019·株洲）四边形ABCD 是⊙O 的圆内接四边形，线段AB 是⊙O 的直径，连结AC 、BD ．点H 是线段BD 上的一点，连结AH 、CH ，且∠ACH ＝∠CBD ，AD ＝CH ，BA 的延长线与CD 的延长线相交于点P ． （1）求证：四边形ADCH 是平行四边形；（2）若AC ＝BC ，PB PD ，AB ＋CD ＝＋1)．①求证：△DHC 为等腰直角三角形；②求CH 的长度．【解题过程】(1)∵∠CBD=∠CAD,∠ACH ＝∠CBD ， ∴∠CAD=∠ACH ， ∴CH ∥AD ， ∵AD ＝CH ，∴四边形ADCH 是平行四边形（2）①∵AB 是直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， ∵CH ∥AD ，∴∠CHD=∠ADB=90°， ∵AC ＝BC ， ∴∠CAB=45°，∴∠CDB=∠CAB=45°， ∴△DHC 为等腰直角三角形②∵四边形ABCD 是⊙O 的圆内接四边形， ∴∠PDA=∠PBC ， ∵∠P=∠P ，∴△PDA ∽△PBC ，∴PB BCPD AD ==,∵△DHC 和△ABC 为等腰直角三角形， ∴=,∴AB CD ==∵AB ＋CD ＝1)1) ∴CD=2， ∴26．（2019·常德）在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作CM ⊥AB 交AB 于点M ，BN ⊥AC 交AC 于点N ．（1）在图12中，求证：△BMC ≌△CNB ； （2）在图13中的线段CB 上取一动点P ，过P 作PE ∥AB 交CM 于点E ，作PF ∥A C 交NB 于点F ，求证：PE +PF ＝BM ；（3）在图14中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作PE ∥AB 交CM 的延长线于点E ，作PF ∥A C 交NB 的延长线于点F ，求证：AM ·PF +OM ·BN ＝AM ·PE ．【解题过程】（1）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵CM ⊥AB ，BN ⊥AC ，∴∠BMC ＝∠CNB ＝90°，又∵BC ＝BC ，∴△BMC ≌△CNB ； （2）连接OP ，∵PE ∥AB ，PF ∥A C ，∴∠BMC ＝∠PEC ＝90°，∠CNB ＝∠PFB ＝90°，∵BOC S V ＝BOP S V ＋COP S V ，∴12OC ·BM ＝12OB ·PF ＋12OC ·PE ．∵△BMC ≌△CNB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ，∴PE +PF ＝BM ； （3）同上连接OP ，∵BOC S V ＝COP S V －BOP S V ，∴12OC ·BM ＝12OC ·PE －12OB ·PF ，∵OB ＝OC ，∴PE －PF ＝BM ．∵∠BMC ＝∠ANB ＝90°，∠BMO ＝∠NBA ，△BOM ∽△BAN ，∴BM OMBN AN=，∴OM ·BN ＝BM ·AN ＝（PE －PF ）·AN ，∵AB ＝AC ，BM ＝CN ，∴AM ＝AN ，∴OM ·BN ＝＝（PE －PF ）·AM ，∴AM ·PF +OM ·BN ＝AM ·PE ．图14图13图12FEPF E PABCOMNABCOM NNMOCBA1.（2019·重庆A卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°．∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝108°．∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝12∠BAC＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE．∴∠ABE＝∠FEB．∴FB＝FE．2.（2019·重庆B卷）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D．（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE解：（1）（方法一）：∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC =180°－∠B －∠C =180°－42°－42°=96° ∵AD ⊥BC∴∠BAD =12∠BAC =12×96°=48° （方法二）：∵AB=AC ∠C=42° ∴∠B =∠C =42° ∵AD ⊥BC 于点D ∴∠ADB =90° ∴∠BAD =180°－90°－42°=48° （2）证明： ∵EF ∥AC ∴∠CAF =∠F∵AB=AC ，AD ⊥BC ∴∠CAF =∠BAF ∴∠F=∠BAF ∴AE=FE3.（2019·眉山）如图，在四边形ABCD 中AB ∥DC ，点E 是CD 的中点，AE =BE ．求证：∠D =∠C ．证明：∵AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∵DC ∥AB ，∴∠DEA=∠EAB ，∠CEB=∠EBA ，∴∠DEA=∠CEB ，在△EDA 和△CEB 中，DE CE DEA CEB AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDA ≌△CEB （SAS ），∴∠D=∠C.4.（2019·无锡）如图，在△ABC 中，AB =AC ,点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ； 求证：（1）△DBC ≌△ECB ;（2）OC OB =.证明：（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在△DBC 与△ECB 中，BD = CE ，∠DBC =∠ECB ，BC = CB ，∴△DBC ≌△ECB （SAS ）；B(2)由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB=∠EBC，∴OB=OC.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.。