数学物理方法 波动方程的建立

(*1)
T ( x + ∆x ) ≈ T ( x )
这表明张力的大小与 x 也无关，即
T ≈ T0
常数
T ( x + ∆x) sin α 2 − T ( x) sin α1 − ρ g ∆x + F ∆x = ρ∆xutt (*2)
T [u x ( x + ∆x, t ) − u x ( x, t )] − ρ g ∆x + F ( x, t )∆x = ρ utt ∆x,
F ( x, t ),
其方向垂直于 x 轴
Q 根据牛顿第二运动定律， U P
α2
T ( x + ∆x )
α1
O
T (x) x
x + ∆x
X (*1) (*2)
T ( x + ∆x) cos α 2 − T ( x) cos α1 = 0
T ( x + ∆x) sin α 2 − T ( x) sin α1 − ρ g ∆x + F ∆x = ρ∆xutt
utt = a 2u xx ,
称为弦的自由振动方程 自由振动方程. 称为弦的自由振动方程.
2、 均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
YS u x − YS u x x = YS x + dx ∂u x dx = ρ ( Sdx )utt ∂x
可得
ρu tt − Yu xx = 0
这就是杆的纵振动方程． 杆的纵振动方程 杆的纵振动方程
tan α 1 = u x ( x , t )
cos α 1 ≈ 1 cos α 2 ≈ 1
tan α 2 = u x ( x + ∆ x , t )
sin α 1 ≈ u x ( x , t ) sin α 2 ≈ u x ( x + ∆ x , t )
u x << 1
T ( x + ∆x) cos α 2 − T ( x) cos α1 = 0
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
∂u = f (x0, y0, z0,t) ∂n x0 , y0 ,z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u + Hun) x ,y ,z = f (x0, y0, z0,t)
0 0 0
其中 f 是时间
t
的已知函数， H 为常系数． 为常系数．
作业
一根长为 l 的弦在 x = 0 端固定，另一端 x = l 自由，且在初始时刻 t = 0 时处于水平状态，初始速度为
x (l − x ) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.
艾萨克·牛顿（ ）（1643 -1727） 艾萨克 牛顿（Isaac Newton）（ 牛顿 ）（ ） 英国数学家、物理学家、天文学家 自然哲学家 英国数学家、物理学家、天文学家,自然哲学家 数学家 其研究领域包括了物理学、数学、天文学、 其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神 自然哲学和炼金术。 学、自然哲学和炼金术。 牛顿的主要贡献有发明了微积分， 牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有 引力定律和经典力学， 引力定律和经典力学， 设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等， 设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等， 被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学 被誉为人类历史上最伟大， 家。 为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就， 为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就， 牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。 “牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。
两端除以 ∆x, 再令 ∆x → 0 可得
Tu xx ( x, t ) − ρ g + F ( x, t ) = ρ utt ( x, t )
或
utt =
T
ρ
u xx − g +
F
ρ
= a 2u xx − g + f ,
其中 f ( x, t ) = F ( x, t ) / ρ 表示单位长度单位质量所受的力。 表示单位长度单位质量所受的力。
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 要研究的物理量是什么？ 要研究的物理量是什么 弦沿垂直方向的位移 u(x,t) 确定 弦的 运动 方程 （2）被研究的物理量遵循哪些 ） 物理定理？牛顿第二定律. 物理定理？牛顿第二定律 （3）按物理定理写出数学物 ） 理方程（即建立泛定方程） 理方程（即建立泛定方程）
第二章
典型方程的建立
2.1波动方程的建立 2.1波动方程的建立 1. 弦的微小横振动
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时， 一长为 的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时， 的柔软均匀细弦 开始作微小横振动。 开始作微小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦的振动规律。 假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦的振动规律。
注意： 注意：
物理问题涉及的因素较多， 物理问题涉及的因素较多，往往还需要引 入适当假设才能使方程简化． 入适当假设才能使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的 垂直位移所遵循的普遍规律， 垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能 取在端点上， 取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置 作为考察点． 作为考察点．
2.2 波动方程的定解条件
定解条件：初始条件和边界条件 1.初始条件 初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点 的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度． 波动方程的初始条件通常是
u(x, t)|t=0 = u(x, 0) =ϕ(x),
ut (x,t)|t=0 = ut (x,0) =φ(x)
utt = a 2u xx − g + f ,
a=T .
ρ
讨论： 讨论： 若设弦的重量远小于弦的张力， （1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式右端的重力加速 度项可以忽略．由此得到下列偏微分方程： 度项可以忽略．由此得到下列偏微分方程：
utt = a u xx + f ,
2
称为弦的受迫振动方程. 称为弦的受迫振动方程. 受迫振动方程 （2）若没有受到外力的作用,则得到下列齐次偏微分方程： 若没有受到外力的的弦，两端固定于 x = 0 和
x = l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
h
u
，如图1.4所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 解 按题意初始速度为零，即有
h x l
ut ( x, t ) |t =0 = ut ( x, 0) = 0
取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU U P O Q U P Q L 在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t) X
α2
T ( x + ∆x)
α1
O
此为上图中PQ 的放大图示
x + ∆x
T (x) x
X
假设弦线是均匀的，弦作微小振动，即倾斜角α 很小，故
∆s =
( ∆x ) + ( ∆u )
初始位移如图所示
h (0 ≤ x ≤ l ) bx u ( x, 0) = h (l − x) (b ≤ x ≤ L) l − b
o
b
2.边界条件 边界条件
常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u(x, y, z,t)|x0 , y0 ,z0 = f (x0, y0, z0,t)
2
2
∆u = 1+ ⋅ ∆x ∆x
2
≈ 1 + tg 2α ⋅ ∆x ≈ 1 + sin α ⋅ ∆x ≈ ∆x,
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据 Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。 再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦 的切线方向。 设在时刻 t，x 点处的外力密度为