苏州大学2003年数学分析解答(A卷)

苏州大学2003年数学分析解答(A 卷)

2

4

021

1

1.(24)

sin arctan (1)lim

12

(2)(),1()

1()x n n

k k n

k k x x x x f x x x f x n f x n ξξ→==-∈∈≤≤⇒≤≤∑∑1求方法：泰勒公式展开答案-设在有限开区间（a,b)上连续，x

证明存在（a,b)，使得f()=方法：取m 为f(x) 最小值，M 为最大值m f(x)M m M,用介值定理

2

2

()2

2()12.(18)())1

(0),1,211

()11011

(0)(1)!

k k k

n f x n n f k x f x n x x x x

f k ∞∞=+==⇒=

++=-设是(-,+)上无穷可微函数，f(求……

解：令通过在处的泰勒展开，把用替换

结果： 3222212

2

22

32

2

22

3.(18)()(())()

4

3

S

S xdydz ydzdx zdxdy I S S S x y z xdydz ydzdx zdxdy d x y z x y z S S π

-++=++++-++=++⇒⎰⎰ 若为简单封闭曲面，分别计算曲面积分

当原点在之内和在之外的值，其中取外侧。解：由于从而若原点在之外，则I=0

若原点在之内，则取单位球体，使原点落于球体内部，设球体体积V

则有I+(-V)=0I=V=

2

2000cos cos 4.(15)(0)

cos cos cos cos sin sin sin b a b a ax bx

dx b a x ax bx

ax bx

xy dx dx dy x x xy dx x xy I dy dx

x ∞∞

+∞+∞+∞->>=--===⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+0

b

b

a a +0试用积分号下积分法和积分号下微分法求I=解：由于xsinxydy=-cosxy|替换，化为二重积分

I= …由于一致收敛，交换积分顺序

……

1

102222()

5.(18)()lim

0,1

1()1

2}1(),lim ()

lim

0(0)0,(0)0

11111111

()(0)(0)(0)()(0)()

2211,()(02x n n n n n x f x f x x

f n a f a a n

f x f f x

f f f f o f o n n n n n n

n f f n →∞

=+→∞→==+'=⇒=='''''=+++=+''→∞∑ n 设二次连续可微，且证明（）绝对收敛

（）若数列{a 满足则存在

证明：(1)由当时2

2

11

132********

)111(0)()211121()1(1),1(),1()

211

1

1(1)1())(1(

))2

1

1

ln ln ln(1())

1

1()1ln(1(n n n n n n n n

n i n

i n f f n n a a a a f f f f a n a a a n a f f f a n a a f i f i

n f i ∞

∞

==+-==''⇒=+⇒=+=+=+-=+⋅++-⇒=++→∞+∑∑∑∑

收敛绝对收敛（）……累乘得

（）( 两边取对数，由（）知道时，1

11

))()ln(1())ln lim n

i A

n n n f f i i a A a e =→∞

⇒+⇒⇒=∑ 绝对收敛

极限存在，设为

01011006.(18)100100101()010011n n n n n A n n A E A A n n P

E A P P P

E λλλλλλλλλλλλλλ-⨯-+⎛⎫

⎪

⨯⇒ ⎪ ⎪

⎝

⎭--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⇒- 00-1-100设为实对称。证明：若为的最小特征值，则（）是正定阵。证明：为实对称存在正交P ，A=P （）P （）0n A +的特征值都大于，所以正定

527(21){|},36,P V W V V ααA =A ∈A =A -A A 设为数域，V 为P 上n 维线性空间，为的一个线性变换，令证明：若则为的核与W 的直核。证明：常规证法

1212121128.(18)(),()()[01](),()()[01]0,()0

(),()()[01]()()))0

[0,1]

n n n

n i i i n i j f x f x f x f x f x f x C C C C f x f x f x f x f x f x dx x =≡⇔=∈∑⎰1

设……为，上的连续函数，称……在，上线性相关，若存在不全为的常数……使证明：……在，上线性相关det((证明：常规证法，一步步写出来，可能有点烦

由于时间关系，写的比较简单，如有疑问，可发邮件至 luting5@