第五章第2节微积分基本公式98929
高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档
二、积分上限的函数及其导数
定理2. 若 f (x) C[a, b] , 则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
y f (x)
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
h) h
t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 et2 d t
例1. 求 lim cos x
0
x0
x2
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证:
根据定理 2,
x
a
f
( x) dx
是
f
( x) 的一个原函数
,
故
x
F(x) a f (x)dx C
令 x a, 得C F(a), 因此
x
a
f
(x)
dx
F ( x)
F
(a)
再令 x b, 得
x0
2x
2e
例3. 设 f (x)在[0, )内连续,且 f (x) 0, 证明
x
F
(x)
0
t
f
(t)
d
t
x
0
f
(t)
微积分基本公式
微积分基本公式
微积分中的一些基本公式包括：
1. 导数的基本运算法则：
- 可导函数的加减法：(f ± g)' = f' ± g'
- 可导函数的常数倍：(cf)' = cf'
- 可导函数的乘法法则：(fg)' = f'g + fg'
- 可导函数的除法法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g^2 - 可导函数的链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)
2. 基本导函数：
- 常数函数的导数：(c)' = 0 （其中 c 是常数）- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)
- 指数函数的导数：(e^x)' = e^x
- 对数函数的导数：(log_a(x))' = 1/(xlna)
3. 不定积分的基本公式：
- 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C （其中 C 是常数）
- 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C
- 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln|x| + C
这些是微积分中的一些基本公式，但并不 Exhaustive（详尽）。
还有许多其他公式和规则可以用于求导和积分。
5.2_微积分基本公式
2
3
1
0
2
2x x ( ) 3 2
3
2
1
1 2
例8. 计算
解
2
0
1 sin 2 xdx ,
2
2 sin x cos x dx 0 sin x cos x dx
原式=
0
2
0
4
sin x cos x dx 2 sin x cos x dx
Gottfried Leibniz (1646-1716) German philosopher, physicist, and mathematician
例4
3 1
3
1
1 dx 2 1 x
函数在积分区间上连续
（以后不再声明）
解
1 3 dx [arctan x]1 2 1 x
0
பைடு நூலகம்
1
解:
原式=
1
2
0
1 2
x( 2 x 1) dx 1 x(2 x 1) dx
2
1
x(1 2 x )dx 1 x(2 x 1)dx 0
2
1
( x 2 x )dx 1 (2 x 2 x )dx 0
2
1
2
1
2
x 2x ( ) 2 3
1 4
b a
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
b a
f ( x)dx [ F ( x)] F (b) F (a)
《高等数学》专升本(2015-2016)第二节 微积分的基本公式52 微积分的基本公式
在区间 [a, b] 上可导，并且它的导数等于被积函数， 即
( x)
x a
f
(t
)dt
f ( x).
证 按导数定义，证 lim ( x) f ( x) 即可.
x0 x
给自变量 x 以增量 x，x + x [a, b]，由 (x) 的 定义得对应的函数 (x) 的量 (x)， 即
x
a
x
x
1
a
1 x3
t 3 dt
x x2
0
1
x2
1t
a
t 3 dt x2
3 dt
x ( x2 )x
1 x3 2x 1 x6 .
三、微积分的基本公式
定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续， F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么
(x) = (x + x) - (x)
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
y
x
x x
x
f (t)dt f (t)dt f (t)dt A
a
x
a
x x
x f (t)dt.
Oa
B y = f (x) C
(x)
x x + x b x
根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间
解 把被积函数化简.
sinx sin3 xdx sinx(1 sin2 x)dx
0
0
0 sinx | cos x | dx.
2 0
sinx cos xdx
sinx ( cos x)dx
2
5.2微积分基本公式
(u)
u 0
1 t dt,
2
u x ,
2
根据复合函数求导法则，
d dx (
x 0
2
2 1 t d t ) u ( u ) u x
1 u
2
2 x
1 ( x ) 2 x
2 2
2x
1 x
4
例4：计算 解：
d dx (
x x
2
d dx
(
(a x b )
a
x
f ( t ) dt F ( a )
a
于是
即有
F (b )
b
f ( t ) dt C
a
b
f ( t ) dt F ( a )
a
b
f ( t ) dt F ( b ) F ( a )
a
公式
b
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
x
f ( t ) dt
a
就 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上 的 一 个 原 函 数 。
二、牛顿 莱布尼茨公式（微积分 学基本定理）
定理 3 如果函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续， ，则 F ( x )是
f ( x )的任一原函数
证
b a
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
2
u f ( t ) 连续， ( x ), v ( x )可导
d dx
v(x) u( x )
[
f ( t ) d t ])
d dx
微积分基础公式
微积分基础公式
微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学、工程学、经济学等领域中必不可少的工具。
下面是微积分基础公式的介绍：
1.导数公式
导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数为：
f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)]/Δx
2.求导法则
求导法则是求导的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
3.微分公式
微分是导数的另一种表达形式，表示函数在某一点处的变化量。
如果函数f(x)在点x处可微，那么它的微分为：
df = f'(x) dx
4.积分公式
积分是微积分中的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的面积。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的积分为：∫a^bf(x)dx
5.基本积分法
基本积分法是求解积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法、三角换元积分法等。
以上是微积分基础公式的介绍，对于学习微积分的同学们来说，
掌握这些公式是非常重要的。
5-2微积分基本公式
s(T2 ) − s(T1 )，即：s = ∫ v( t )dt = s(T2 ) − s(T1 )
T1
T2
那么这个结论是否具有普遍性？
2
即若f ( x )在[ a, b]上连续， 则:∫ f ( x )dx = F (b) − F ( a )
10
例、已知F ( x) = ∫
x2 x
dF e dt , 求 : dx
−t 2
lijuan
2 x d 4 2 dF −t 2 − x − x ( ∫ e dt ) = e 2 x − e 1 解： = dx dx x 2 2 4 2 − x − x −x −x = e (2 xe − 1) = 2 xe − e
x
2
⇒b=0
1+ t lim x →0 sin x − ax
⎧−2 =⎨ ⎩0
15
∫
x
t
2 2
b
dt
洛
x2
2 2 1 + x x = lim = lim x →0 cos x − a x → 0 cos x − a
a =1 a ≠1
∴ 解得： (a = 1, b = 0, c = −2), (a ≠ 1, b = 0, c = 0)
a x
则解决了第四章中若f ( x )连续，则可积这个问题。
定理2、若f ( x)在[ a, b]上连续，则Φ ( x) = ∫ f (t ) dt
a
x
为f ( x)在[ a, b]上的一个原函数。
（∫ f ( x )dx , ∫ f (t )dt , ∫ f ( x )dx的区别）
a a x b
微积分基本公式和基本定理
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0
微积分基本公式PPT幻灯片课件
dx v( x)
d
(
u( x)
f (t )dt) f (u( x))u( x)
f (v( x))v( x)
dx v( x)
例
( x)
x2 1 0 1 t 2 dt,
则
(
x
)
1
2
x x
4
I( x)
x2 1 x 1 t 2 dt,
则I( x)
2x 1 x4
第五章 第二节
微积分基本公式
本节主要内容
一、积分上限函数 二、微积分基本公式 三、积分上限函数的应用
引例 设f (t) 0，且在[a,b]上可积。ab f (t)dt表示一曲 边梯形的面积 取。 x (a, b)，则ax f (t)dt
表示区间[a, x]上方部分曲边梯形的面积。
当x变化时，面积也随之变化。
x
a
f
(t )dt在[a, b]区间上定义了一个x的函数。
因为x是积分上限， y
故称为积分上限函数。
o a xx x b x
一、积分上限函数
定义 设函数f ( x)在[a,b]上可积，x [a,b]，则称
( x) ax f (t)dt
为定义在[a, b]上的积分上限函数。
相应地可以定义积分下限函数：
dx x2 1 t 4 1 x12
1 x8
3x2 2x 。 1 x12 1 x8
例 求 lim 0x cos t 2dt 。
x0
x
解： 用洛必达法则
原极限 lim cos x2 1。 x0 1
1 et2 dt
练习 求 lim cosx
.
高等数学5.2微积分基本公式
a
且它的导数是 在 [ a , b ] 上 可导， d x ( x ) a f ( t )dt f ( x ) (a x b) dx 证 ( x x )
x x
( x x ) ( x )
x x
a
f ( t )dt
x
y
y f x
f ( t )dt ，令 u b x ，G 0 f ( t )dt ,
du dG 则G x f u b x f b x b x , du dx
补充 如果 f ( t ) 连续， a ( x )、 b( x ) 可导，则 b( x ) F ( x ) f ( t )dt 的导数 F ( x )为
x
x
F (x)
0
x
0
f ( t )dt
2
F ( x ) 0 ( x 0). 故 F ( x ) 在( 0, ) 内为单调增加函数.
为了判断表达式的符号 有时要对积分上限的函数比较大小， 要把积分上限的变量 移到积分号里边去， 后与其他项合并
一、积分上限的函数及其导数 例 2 设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明 证 令 F ( x ) 2 x 0 f ( t )dt 1,
§2. 微积分基本公式
一、积分上限的函数及其导数
A
b
a
f ( x )dx
y
设函数 f ( x )在闭区间[a , b]上连续， 并且设
y f x
x 为[a , b] 上的一点，
f ( x )dx
S
( x )
S
x
5.2微积分基本公式
x0
2x
1 2e
例2. 求
0
0
9x2 4 729x18 2x 4 x12
解: 原式 lim
x0
4x
lim 9x 4 729x18 2 4 x12
x0
4
1
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2.
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式 3. 利用定积分计算极限
思考题： 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a f (x)dx F(x) F(a)
得
记作
例3. 计算
解:
5.2 微积分基本公式
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当 a b 时， a f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立.
b
5.2 微积分基本公式 例1 计算下列定积分.
1 1 ( 2) d x arctan x 1 2 1 1 x 4 4 2
3 x x2 2 2 0
1 2 2
o
1
1
2
x
1 3 2. 2 2
5.2 微积分基本公式
例3
求
2
1
1 解 当 x 0时， 的一个原函数是ln | x |, x 1 1 1 dx 2 x ln | x |2 ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
1 dx. x
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
5.2 微积分基本公式 例5 求下列变限函数的导数
d x2 2 4 4 (1) 1 t d t 2 x 1 x 1 x 2x 0 dx
记 ( x ) f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
5.2 微积分基本公式
积分上限函数的性质 定理 5.3 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的
函数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数， 且它的导
x
d x 数是 ( x ) f ( t ) dt f ( x ) dx a
x
5.2 微积分基本公式
思考题解答
微积分第二版课件第二节微积分基本公式
y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
b
1 b ∴ m≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ba
由闭区间上连续函数的介值定理知
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在区间[a , b]上至少存在一个点ξ ,
使 即
1 b f (ξ ) = ∫a f ( x )dx , ba
f (ξ )(b a ) . (a ≤ ξ ≤ b ) 积分中值公式的几何解释:
b
∫a g ( x )dx .
b
(a < b)
证
∵ f ( x ) ≤ g ( x ),
∴ g ( x ) f ( x ) ≥ 0,
∴
∫a [ g( x ) f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx ∫a f ( x )dx ≥ 0,
b
于是
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
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性质2 证
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∫a kf ( x )dx = lim ∑ kf (ξ i )xi λ → 0 i =1
n
b
b
( k 为常数).
= lim k ∑ f (ξ i )xi = k lim ∑ f (ξ i )xi
b
∑ f ( ξ i ) x i ≥ 0, i =1
n
∴ lim ∑ f (ξ i )xi = ∫ f ( x )dx ≥ 0. a λ →0
i =1
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结束
例 1 比较积分值 ∫0 e dx 和 ∫0 xdx 的大小.
x
2
第五章第2节微积分基本公式58301
2
1 xdx
0
0
1
1
2
(1 x)dx ( x 1)dx
0
1
1 (1 x)2 1 1 ( x 1)2 2 1
2
02
1
19
例13
0
1 sin xdx 0
(sin x cos x )2 dx
2
2
sin x cos x dx
0
2
2
与u
的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
25
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与 b x
f
(u)du都是x
的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
26
练习题
一、填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=_______
.
2、
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
17
例10 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
6
第二节 微积分基本公式
第二节 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系（自学）二、积分上限的函数及导数设函数()f x 在区间[],a b 上连续，并且设x 为[],a b 上的一点．下面考察定积分 ().xa f x dx ⎰ 因为定积分的值与积分变量无关，为了避免混淆，把上面这个定积分改为 ().x af t d t ⎰ 由这个定积分，可以确定一个函数 ()(),.x ax f t dt a x b Φ=≤≤⎰ 定理1 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，那么积分上限的函数()()xa x f t dt Φ=⎰ 在[],ab 上可导，且()()(),.x ad x f t dt f x a x b dx Φ'==≤≤⎰ 定理2 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，那么函数()()xa x f t dt Φ=⎰ 是()f x 在[],ab 上的一个原函数．三、牛顿-莱布尼茨公式定理3（微积分基本定理）如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，那么()()().ba f x dx Fb F a =-⎰ 证 已知函数()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，又根据定理2 知，积分上限函数 ()()xa x f t dt Φ=⎰ 也是()f x 的一个原函数．于是这个两个原函数之差()()F x x Φ-在[],ab 上是一个常数C ，即()(),.F x x C a x b Φ-=≤≤在上式中令x a =，得()().F a a C Φ-=但()0a Φ=，故().F a C =于是， ()()(),F x x F a Φ-=()()(),xa F x f t dt F a -=⎰ ()()().xa f t dt F x F a =-⎰ 在上式中令xb =，得()()()().bba a f x dx f t dt Fb F a ==-⎰⎰ 若把()()F b F a -记为()ba F x ⎡⎤⎣⎦，则 ()().bb a a f x dx F x =⎡⎤⎣⎦⎰例1 计算定积分120.x dx ⎰解 因为33x 是2x 的一个原函数，所以 13331200101.3333x x dx ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例2计算21.1dx x -+ 解 因为arctan x 是211x +的一个原函数，所以[()211arctan arctan 11dx x x --==+ 7.3412πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 例3 计算12.dx x --⎰ 解 因为当0x <时，1x 的一个原函数是ln x ，所以 1122ln ln1ln 2ln 2.dx x x ----=⎡⎤=-=-⎣⎦⎰例4 计算正弦曲线sin y x =在[]0,π上与x 轴所围成的平面图形的面积．解 所求的面积为[]()()00sin cos 11 2.A xdx x ππ==-=----=⎰ 习题5-21. 试求0sin x y tdt =⎰当0x =及4x π=时的导数．解 sin dy x dx =，因此040,x x dy dy dx dx π==== 2. 求由参数表达式00sin ,cos x u x udu y udu ==⎰⎰所确定的函数对x 的导数.dy dx解 cos cot .sin dydy t dt t dx dx tdt=== 3.求由00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所决定的函数对x 的导数.dy dx 解 方程两边分别对x 求导，得cos 0ydy e x dx+=， 故 cos .y dy e x dx-=- 4.当x 为何值时，函数()20x t I x te dt -=⎰有极值？ 解 容易知道()I x 可导，而()20x I x xe -'==有唯一解0.x =当0x <时，()0I x '<，当0x >时()0I x '>，故0x =为函数()I x 的唯一极值点（极小值点）．5.计算下列各导数：（1）0x d dx ⎰解2x d dx =⎰ （2）32x x d dx ⎰； 解332200x x x x d d dx dx ⎛⎫=- ⎝⎰⎰⎰2=8.计算下列积分：（1）()2031ax x dx -+⎰； 解 ()232001312aa x x dx x x x ⎡⎤-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 322111.22a a a a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭（2）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 解 2223431111121.338x dx x x x ⎛⎫⎡⎤+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ （3）41dx +⎰； 解)9329244422711.326x dx x dx x ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰（4）2dx x +； 解[2arctan .6dx x x π==+ （5）1⎰； 解[]11212arcsin .3x π-==⎰ （6）220dx a x +； 解2220011x d dx a a x a x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭01arctan .3x a a a π⎡==⎢⎥⎣⎦（7）1⎰；解1110arcsin .26x d x π⎛⎫ ⎪⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰ （8）420213311x x dx x -+++⎰； 解 4200222113311311x x dx x dx x x --++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 031a r c t a n 1.4x x π-⎡⎤=+=+⎣⎦ （9）211e dx x ---+⎰； 解 ()2221111ln 1 1.11e e e d x dx x x x ---------+==⎡+⎤=-⎣⎦++⎰⎰ （10）220tan d πθθ⎰； 解 ()[]22444000tan sec 1tan 1.4d d ππππθθθθθθ=-=-=-⎰⎰（11）20sin x dx π⎰； 解 2200sin sin sin x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰()[][]2200s i n s i n c o s c o s 4.x d x x d x x x ππππππ=+-=-+=⎰⎰ （12）()20f x dx ⎰，其中()21,1,1, 1.2x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 解 ()()()212001f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()12231220101181.2263x x x dx x dx x ⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰。
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d(ux) a
dx
f(u(x)u )(x)
6
例 1F (x) x2 1sit3 n d,求 tF (x) 5
解： F (x)sin x2 (1 )3( x2 1 )
3
sinx(2 1)2
x
x2 1
例2
s i21 n
F (x) x
2t5d,求 tF (x)
ar cxt an
F (x)2si1n 0 12si1 n c xx
o 1 x(s x 1 2)
2(arcx)t5a n1 1x2
7
例3
1 e t 2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2x s(cox)s six neco2x s,
1 et2dt
例12
2
1 xdx
1
2
1xdx 1xdx
0
0
1
1
2
(1x)dx (x 1)dx
0
1
1(1x)211(x1)221
2
02
1
19
例13
0
1sinxdx0
(sinxcosx)2dx 22
sinxcosxdx
02
2
2(coxssinx)dx(s
0 22
2
inxc 2
osx)d 2
x
2、 lim 0 x 0
5
.
x2
30
五、设 f ( x)为连续函数，证明:
x f (t )( x t )dt
xt
( f (u)du )dt
.
0
00
六、求 函 数
f
(x)
x
0
3t 1 dt
t2 t 1
在 区 间
0
,1
上的最
大值与最小值 .
七、设
f
( x)
1 2
sin
x
, 当0
x
时，
0 ，当 x 0或 x 时，
29
三 、 计 算 下 列 各 定 积 分 ：
1、12(x2x12)d; x
1
2、21 2
dx; 1x2
3、03x43x21d; x 4、2six ndx.
1 x21
0
四、求下列极限：
( x e t 2 dt ) 2
1、 lim x
0
x e 2 t 2 dt
;
0
1
x 2 (1 cos t 2 )dt
f(x)max,xx2{}
yx
x2
x
x
2
2 x0 0 x1 , 1 x2
2
o 1 2x
原 式 0x 2 d x1 xd 2 x x 2 dx 11 .
2
0
1
2
18
例11 求 1 1dx .
2 x
解 当 x0 时 ， 1的 一 个 原 函 数 是 ln |x|,
x
1
2
1dx x
ln|x| 12 l1 n l2 n l2 . n
b
(3)( f(t)d)tf(v(x)v)(x) v(x)
u (x )
(4 )( f(t) d ) tf(u (x )u ) (x ) f(v (x )v ) (x ) v (x )
证明（2）(u(x)f(t)d)td(u(x)f(t)d)t
a
dxa
d ( u(x) f(t)d)td(ux)
x
2
0 f(t)dt
9
x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
0 f(t)dt
x
f( x ) 0 ,( x 0 ) 0 f(t)dt0, (x t)f(t) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ). 故 F ( x ) 在 ( 0 , ) 内 为 单 调 增 加 函 数 .
t
；
3 、 (sin x cos x ) cos( sin 2 x ) ； 4 、P240
2,3,4,5,6(1)(3)(5)(7)(9) (11)1( 2)9,,10,11
24
思考题
设f(x)在[a,b]上连续，则ax f(t)dt与
b
x
f
(u)du是x的函数还是t 与u
的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
25
思考题解答
a x f ( t ) d 与 x b t f ( u ) d 都 是 u x 的 函 数
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
12
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F(x)是连续函数f (x)在区间[a,b]上
的一个原函数，则ab f(x)dxF(b)F(a).
证 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
练习题答案
一 、 1 、 0 ； 2 、 f ( x ) f ( a ) ； 3 、 3 x ln( x 2 1 ) ；
4、 5 ； 6
5、 (1) , ； (2)0,0；
7 、 45 1 ; 6
8、 ； 6
9、 1.
二 、 1 、 cos x ； sin x 1
2、
1 2 t 2 ln
6、设 cosmx sinnxdx,
（1）、当m n时，I3 =____ ,
（2）、当m n时，I3 =_____ .
7、 9 x(1 x)dx _____ . 4
8、
3 dx
1 3
1
x2
_____
.
x cos
t 2dt
9、lim 0
________ .
x0
x
28
二 、求 导数：
0 1 xn dx 1xndx
01x 0
1xn 111 0(n )
n1 0 n1
1 xn
lim dx0 n 01x
22
四、小结
1.积分上限函数
x
(x)a f(t)dt
2.积分上限函数的导数 (x)f(x)
3.微积分基本公式 a bf(x)d x F (b )F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
5
2、变限积分求导公式
x
(1)(a f(t)d)tf(x)
u (x)
(2)(a f(t)d)tf(u (x)u )(x)
10
例 5 设 f(x )在 [0 ,1 ]上 连 续 ， 且 f(x ) 1.证 明
2 x0 xf(t)d t1 在 [0 ,1 ]上 只 有 一 个 解 .
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x)1, F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .F (0 ) 10 ,
15
例 6
1 x 2dx
0
1 3
1
x3
0
1 3
例 7
3 1 dx 1 1 x2
arctaxn 3 1
arcta3narcta1n)(
( ) 7
3 4 12
16
例8 求 02(2cox ssix n 1)d.x
解
原式
2 six n cx o x s 0 2
3
2
.
例9
设
f(x)52x
如 果 上 限 x在 区 间 [a,b]上 任 意 变 动 ， 则 对 于
每 一 个 取 定 的 x值 ， 定 积 分 有 一 个 对 应 值 ， 所 以
它 在 [a,b]上 定 义 了 一 个 函 数 ，
记
x
(x)a f(t)d.t
积分上限函数
3
1、积分上限函数的性质
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
4( 21)
20
例14 sinxsin3xdx 0
1
sin x(1si2nx)dx sin2 x
co2sxdx
0
0
1
sin2 xcosxdx 0
1
02si2n xcoxsdx six n (cox)sdx
2
2(2) 4 3 33
21
例15
1
lim
xn
dx
n 0 1 x
解ln i： m 011x nxdxln i m 1n0 0 1
dx x
4 、
2
f ( x )dx
____，其中
f (x)
x2
,0
x
1
.
0
2 x , 1 x 2
5 、 设 I1 co m scxo nsx , dx
sim n sx in n dx ， x
27
（1）、当m n时， I1 =__ ,I2 =_____ ，
（2）、当m n时，I1 =___ ,I2 =_____ .
数(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导
数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证 (x x)a x xf(t)dt