吴大正-信号与系统公式
信号与系统吴大正第四版第二章
y p (t ) Pe ,
t
y p (t ) Pe ,
t
y p (t ) Pet , f (t ) 2et ,
P 5P 6P 2, 故P 1 整理得： 所以微分方程的特解为： y p (t ) et
则微分方程的全解为：
y(t ) yh (t ) y p (t ) C1e2t C2e3t et
解：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程
(t ) 5 y1 (t ) 6 y1 (t ) f (t ) y1
设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为
h(t ) h1(t ) 2h1(t ) 3h1 (t )
由于 所以
h1 (t ) (e2t e3t ) (t )
第1-13页
■
信号与系统 电子课件
5.冲激函数匹配法
目的：
用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值
的关系。
应用条件： 如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导
数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
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0 0
即h(0 ) 1 h(0 ) 1
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信号与系统 电子课件
（2）再求冲激响应。
由δ(t)的性质知，对t>0时，有 h(t ) 5h(t ) 6h(t ) 0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)
e t
(Cr 1t r 1 Cr 2t r 2 C1t C0 )et
吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7~8章【圣才出品】
7.3
如图
7-4
所示的
RC
带通滤波电路，求其电压比函数
H
s
U2 U1
s s
及其零、极点。
图 7-4 解：电路的 s 域模型图如图 7-5 所示。
时域判别：
hk 0, k 0 系统为因果系统
复频域判别：
的收敛域是收敛半径为 的圆外区域 系统为因果系统，换言
之，
的极点都在收敛域
内部。
（2）稳定性判别
稳定系统定义：一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该
系统是有界输入有界输出
稳定系统。
①对于连续时间系统
时域判别： s 域判别：
（c）输入阻抗为
则零点为 1
0, 2
1, 3
3 ；极点为
P1
1 2
,
P2
3 2
。
（d）输入阻抗为
Z
s
s s
1 s
s
1s
3 s 3
ss
s2 1s2 3 2ss2 2
则零点为 1,2 j, 3,4 j 3 ；极点为 P1＝0， P2,3 j 2 。
7.2 图 7-2（a）和（b）所示是两种三阶巴特沃斯型低通滤波电路，图（a）适用于电
极点 和零点 的值可能是实数、虚数或复数。由于 与 的系数都是实数，所 以零、极点若为虚数或复数，则必共轭成对。
系统的极点确定了 的时域波形形式，对 的幅度和相位均有影响，系统的零点 只影响 的幅度和相位，而对 的时域波形形式无影响。
2．系统的因果性和稳定性
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[笔记]信号与系统课程要点（吴大正）
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信号与系统第一章 信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换。
图解时方法多种，但注意仅对变量t 作变换，且结果可由值域的非零区间验证。
4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac 定义阶跃函数和冲激函数的导数与积分冲激函数的取样性质)()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅；⎰∞∞-=⋅)0()()(f dt t t f δ)()()()(111t t t f t t t f -⋅=-⋅δδ；⎰∞∞-=-⋅)()()(11t f dt t t t f δ分段连续函数的导数计算知道一些常用的信号5．系统的描述方法数学模型的建立：微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连），延时单元（离）由时域框图列方程的步骤。
6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性。
时不变性：常参量LTI 系统的数学模型：线性常系数微分（差分）方程（以后都针对LTI 系统）LTI 系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性第二章 连续系统的时域分析1． 微分方程的经典解法：齐次解+特解（代入初始条件求系数）自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（奇异函数系数平衡法）全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性2． 冲激响应)(t h定义，求解（经典法），注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性阶跃响应)(t g 与)(t h 的关系3． 卷积积分定义激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *=卷积的图示解法：步骤、关键点、两个结论卷积的解析解法卷积的代数运算规则3个，物理意义函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）)()()(t f t t f =*δ；)()()(11t t f t t t f -=-*δ卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解第三章 离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态（是)()2(),1(N y y y --- ），而初始条件（指的是)1()1(),0(-N y y y ）2．单位序列响应)(k h)(k δ的定义，)(k h 的定义，求解（经典法）；若方程右侧是激励及其移位序列时，注意应用线性时不变性质求解阶跃响应)(k g 与)(k h 的关系4． 卷积和定义激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=卷积和的作图解法：步骤，注意问题。
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
信号与线性系统分析+课件(第四版)吴大正_第一章_信号与系统
• 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若 其是周周期期之 信比 号T，1/其T2周为期有为理T数1和，T则2的其最和小信公号倍x(数t)+。y(t)仍然
• （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为
•当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但 其周期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。
•当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
•例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周 期。（1） f2(k) = sin(2k) • （2）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk)
2. 平移
• 将 对 则f信将(tf号)(→·f)(右·)f的移(t 平；– t移否0) 或则，移左f位移(k)。。→若tf0((t或– kk00))称>0为， •如
平移与反转相结合
• 已知f(t)如下图所示，请画出f(2-t)
法一：①先平移f (t) → f (t +2), ②再反转f (t +2) → f (– t +2)
• 解（1） sin(2k) 的数字角频率为β1 = 2 rad；由于 2π/ β1 =π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列。
• （2） sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5πrad
• 由周周于期期2分为πN别/1为β和N1N=12的=8/最38，，小公2Nπ倍2 /=数β4，82 。=故4f为1(k有) 理为数周，期故序它列们，的其 • 由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，
《信号与系统要点复习》吴大正第四版
▪ 傅氏正变换▪ 傅氏反变换二、欧拉公式三、常用信号傅里叶变换1、第1组 ---时域：模拟单频信号 ⏹ 傅里叶变换：)(ωδπA A A ↔tt f F t d e )()( j ωω-∞∞-⎰=ωωωd e )(21)( j tF t f ⎰∞∞-π=0000j j 0j j 01cos (e e )21sin (e e )2j tt t t t t ωωωωωω--=+=-[])()(cos 000ωωδωωδπω-++↔t [])()(sin ωωδωωδπω--+↔j t 1t)(t δ 0ωt)(ωδ1 1)(t δ时域单位冲激函数及频谱At)(t δ ωt)(ωδ)(2ωδπA时域直流函数及频谱正弦、余弦函数及频谱⏹频谱图：⏹物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们的密度频谱都是冲激函数。
2、第2组时域：数字信号⏹单位冲激序列函数为周期且波形图频谱图⏹单脉冲信号波形图频谱图te0jωt0cosω00tsinω∑∞-∞=-=nTnTtt)()(δδ2ωπ=TT∑∑∞-∞=∞-∞=-=-↔nnTnnTt)()(12)(ωωδωωωδπδ()a()b)2(Sa)()(ωττω=↔Ftf周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。
波形图四、傅里叶变换的几个重要结论（性质）（1）带宽受限于无限时域受限 频域无限 频域受限 时域无限（2）时域卷积与频域卷积)()()()(2121ωωF F t f t f •⇒* )()()()(2121t f t f F F •⇐*ωω（3）尺度展缩∑∑∞-∞=∞-∞=-=-↔n n T n n n n Tt f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ22-)(||1)()(||)(a t f a a F a F a at f ⇐⇒ω从波形和频谱上看：时域压缩则频域扩展反之：时域扩展则频域压缩（4）离散性与周期性时域周期（1T ）频域离散（112T πω=） 频域周期（s ω 时域离散（sTs ωπ2=）（5）互易性（或对称性）)()(2)()(t F f F t f -⇐-⇒ωπω 典型应用： )(211)(ωπδδ⇒⇒t（6）时移与频移0)()()()(00t j t j et f F e F t t f ωωωωω⇐-⇒--所谓傅里叶变换的性质：是指当当型号的时域（或频域）发生某种改变（或作运算）之后，在频域（或时域）相应的变化规律。
信号与系统(吴大正)-完整版答案-纠错修改后版本精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第一章 信号与系统1-1画出以下各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
〔2〕∞<<-∞=-t et f t,)( 〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)(sin )(t t f ε= 〔5〕)(sin )(t r t f = 〔7〕)(2)(k t f kε= 〔10〕)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 〔2〕∞<<-∞=-t e t f t,)(〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)=tfε)(sin(t 〔5〕)rtf=(t(sin)〔7〕)f kεt=2()(k〔10〕)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出以下各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε 〔2〕)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f 〔5〕)2()2()(t t r t f -=ε 〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε 〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ 〔12〕)]()3([2)(k k k f k---=εε解：各信号波形为〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε〔2〕)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f〔5〕)2()2()(t t r t f -=ε〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ〔12〕)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别以下各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
信号与系统(吴大正)--完整版答案--纠错修改后版本
信号与系统(吴大正)--完整版答案--纠错修改后版本2345（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为6（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε7（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε81-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
91-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
101-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f（5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
（1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5）)21(t f - （6）)25.0(-t f（7）dtt df )( （8）dx x f t ⎰∞-)(解：各信号波形为（1）)()1(t t f ε-（2）)1()1(--t t fε（5）)21(t f- （6）)25.0(-tf（7）dtt df )(（8）dxx f t⎰∞-)(1-7 已知序列)(k f 的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
吴大正 信号与线性系统分析 第7章 系统函数
系统函数H(· )与时域响应h(· )
(b) 若有一对共轭复极点p12= -α±jβ，则A(s)中有因 子[(s+α)2+β2] K e-αtcos(βt+θ)ε(t) (c) 若有r重极点， 则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为 Kiti e-αtε(t)或Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r-1) 以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0→暂态分量。 系统的稳定性如何？
第 7页
Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)→递增函数
（3）在右半开平面 ：均为递增函数。
结 论
LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极 极点确定。
① H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减 的。即当t→∞时，响应均趋于0。 系统稳定？ ② H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态分量。系统稳定？
第七章
§7.1
系统函数
系统函数与系统特性
系统函数的零、极点分布图 系统函数H(· )与系统的因果性 系统函数与时域响应 系统函数与频率响应
第 1页
一、系统函数的零、极点分布图
LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即
B () H () A()
A(.)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(.)的极点； B(.)=0的根1，2，…，m称为系统函数H(.)的零点。 将零极点画在复平面上 jω 得零、极点分布图。 j 例
第 23 页
第3行按下列规则计算：
an c n1 a0 a0 an
信号与系统(第四版)吴大正 教案 第3章
■
信号与系统 电子教案
3.1
LTI离散系统的响应 LTI离散系统的响应
二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似， 与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解 h(k) 齐次解y 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 特征方程为 其特征方程为 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λ 称为差分方程的特征根 其根 i( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 ， ， ， 称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 形式为： 当特征根λ为单根时 齐次解y 形式为 当特征根 为单根时，齐次解 n(k)形式为： Cλk 当特征根λ为 重根 重根时 齐次解y 形式为： 当特征根 为r重根时，齐次解 n(k)形式为： 形式为 (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
信号与系统 电子教案 3.1
第三章 离散系统的时域分析
LTI离散系统的响应 LTI离散系统的响应
3.4 系统模拟
一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应
3.2
单位序列响应和阶跃响应
一、单位序列响应 二、阶跃响应
3.3
卷积和
一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 点击目录
第一章信号与线性系统吴大正教材课件
第 1 章 信号与系统的基本概念
例 1试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。 (1) f1(t)=sin 2t+cos 3t (2) f2(t)=cos 2t+sinπt
解 我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公 倍数，则它们的和信号
f(t)=x(t)+y(t) 仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。
第 1 章 信号与系统的基本概念
… －2
－8 －6 －4
f1(k) A
01 2 3 4
f1(k )
?
A sin ?? ?
?
4
k ?? ?
… 5 6 78
k
f2 (k ) 2 1
－A (a )
f3(k) A
－3 －1 0 1 23 4
k
－1
－3 －1 01 2 3 4 5 6 k
(b)
(c)
图 1.1-3 离散信号
第 1 章 信号与系统的基本概念
第1章 信号与系统的基本概念
1.1 绪论 1.2 信号 1.3 信号的基本运算 1.4 阶跃信号和冲激信号 1.5 系统的描述 1.6 系统的特性和分析方法
第 1 章 信号与系统的基本概念
本章教学基本要求：
了解冲激函数的广义函数 理解信号的描述、分类，线性系统的数学模型 掌握信号的基本运算，阶跃信号与冲激信号的关系及 冲激信号的性质，系统的框图表示及性质（线性、时不 变性、因果性、稳定性）。
f(k)=f(k+mN) m=0, ±1, ±2, … (1.1-7) 就称f(k)为离散周期信号或周期序列。满足式(1.1- 7)的最小N 值称为f(k)的周期。
信号与系统吴大正--完整版答案详解--纠错修改后版本
精彩文档第一章 信号与系统1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为（2）∞<<-∞=-t e t f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=精彩文档（4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε=精彩文档（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为精彩文档（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε精彩文档（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
精彩文档1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
信号与系统吴大正第四版
安徽建筑工业学院电信学院第五章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号e jωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。
使响应的求解得到简化。
物理意义清楚。
但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。
本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e st为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。
所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
安徽建筑工业学院电信学院§5.1 拉普拉斯变换•从傅里叶变换到拉普拉斯变换•收敛域•(单边)拉普拉斯变换•常见函数的拉普拉斯变换•单边拉氏变换与傅里叶变换的关系安徽建筑工业学院电信学院一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。
为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t) ，适当选取σ的值，使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在。
相应的傅里叶逆变换为f(t) e-σt= ∫∞∞−+ωωσπωde)(21tjbjFF b(σ+jω)=ℱ[ f(t) e-σt]= ttfttf t jtjt de)(dee)()(∫∫∞∞−+−∞∞−−−=ωσωσ∫∞∞−++=ωωσπωσde)(21)()(tjbjFtf令s = σ+ jω,d ω=ds/j，有安徽建筑工业学院电信学院定义∫∞∞−−=tetfsF stbd)()(∫∞+∞−=jjde)(j21)(σσπssFtf stb双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
安徽建筑工业学院电信学院二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
吴大正版-信号与系统习题课讲义
et cos t sin tut t
波形如下图
2 et cos t π ut t
4
f 2 (t )
1
3
4
O
7
t
4
7
1
例1-2
求下列函数值
(1) f t d et t (2) f t t e3 τ d τ
a1
yt
a0
(a)
系统框图有两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方 程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分 器的输入信号是输出信号的一阶导数。
图中设右方积分器的输出信号为 yt 则其输入信号为 yt
左方积分器的输入信号为 yt
从加法器入手，找其入出关系。
13
由加法器的输出，得
4
例1-1
粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2
t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘图 时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标出信 号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极小值等， 同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
从而得出错误结论。
9
(2) f t t e3δ τ dτ
t
τ
3
d
τ
t
τ
d
τ
t
3
τ
d
τ
t 3ut
t f τ dτ 表示的是变量t的函数；
f τ dτ 表示的是函数f (t)的积分值。
吴大正 信号与线性系统分析 第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
第 2页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
信号与系统(吴大正)--完整版答案--纠错修改后版本
第一章 信号与系统1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f（5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
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若 为实数，令
若 为虚数，令
5.2
1、线性
若 ，则
适用于有限个函数之和
注：如果是两个函数之差，其收敛域可能扩大。
2、尺度变换
若 且有实常数 ，则
3、时移（延时）特性
如果 既延时又变换时间的尺度，则有
4、复频移（s域平移）特性
5、时域微分特性（定理）
上面各象函数收敛域至少是
如果 是因果函数，那么 及其各阶倒导数的值 ，
6、时域积分特性（定理）
若 是因果函数，显然 及其积分在 时为零，即
齐次解（二阶 ）
1） 时，
2） 时，
3） 时，
特解（二阶 ）
（1）
1：若k非特征值，令 如
2：若k与一个特征值相同，令 如
3：若k与两个特征值都相同，令 如
（2） 令
1：若 不是特征值，令
2：若 是特征值，令
如
2.3
一般而言，两个函数 卷积
LTI系统的零状态响应 是激励 与冲激响应 的卷积积分。
2.4
4、尺度变换
5、时移特性
6、频移特性
7、卷积定理
时域卷积定理
频域卷积定理
8、时域微分和积分
时域微分：
时域微分：
9、频域微分和积分
频域微分：
频域积分：
10、相关定理
能量密度谱
4.7
1、正、余弦函数的傅里叶变换
2、一般周期函数的傅里叶变换
当对周期函数进行傅里叶变换时，得到的是频谱密度；而将该函数展开为傅里叶级数时，得到的是傅里叶系数，它代表虚指数分量的幅度和相位。
其中
4.3
2、周期矩形脉冲
幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为T
3、周期信号的功率
4.4
1、傅里叶变换
2、奇异函数的傅里叶变换
（1）冲激函数的频谱
（2）冲激函数导数的频谱
（3）单位直流信号的频谱
（4）符号函数的频谱
（5）阶跃函数的频谱
4.5
1、线性
2、奇偶性
若
（1）
（2）
（3） 当 为
3、对称性
如：
函数 及其频谱：
第1章
信号的分类
确定信号周期信号连续时间信号能量信号
随机信号非周期信号离散时间信号功率信号
信号的时域运算
（1）移位
， 为 波形在 轴上左移 ；
， 为 波形在 轴上右移 .
（2）反转
波形为 波形以 为轴反转。
（3）尺度变换 ，a为常数
， 波形为 的波形在时间轴上压缩为原来的 ；
， 波形为 的波形在时间轴上扩展为原来的 ；
4.9
1、信号的取样
：取样周期 ：取样频率 ：取样角频率
冲激取样
取样信号 的频谱由原信号频谱 的无限个频移项组成，其频移的角频率分别为 ，幅值为原谱的 .
矩形脉冲取样
2、时域取样定理
一个频谱在区间 以外为零的频带有限信号 ，可唯一地由其在均匀间隔 上的样值 确定.
为了能从取样信号 中恢复原信号 ，需满足
1、卷积的代数运算
交换律
分配律
结合律
2、函数与冲激函数的卷积
推广：
3、函数与阶跃函数的卷积
4、卷积的微分与积分
导数：
积分：
微分积分性质：
推广：
5、相关函数
自相关函数：
若 和 均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。
相关与卷积的关系：
奇异信号的相关：
第3章
3.1 LTI
1、差分与差分方程
一阶前向差分定义为：
1. 必须为带限信号，其频谱函数 各处为零；
2.取样频率不能过低，必须满足
称为奈奎斯特频率（Nyquist）
称为奈奎斯特间隔
第5章
5.1
2、收敛域（Region of Covergence，ROC）
三、（单边）拉普拉斯变换
仅在有限区间 不等于零，而在此区间外为零（即当t<a或t>b，f(t)=0）的可积信号（即为可积的时间有限信号），其象函数在全s平面收敛。
4、零状态响应
满足
如果系统激励 是在 时接入系统的，根据零状态响应的定义，有
3.2
1、单位序列和单位阶跃序列
单位序列定义为
单位序列的取样性质：
单位阶跃序列的定义： 也可写为
3.3
1、卷积和
LTI系统对于任意激励的零状态响应是激励 与系统单位序列响应 的卷积和。
一般而言，若有两个序列 和 ，其卷积和为
一阶后向差分定义为：
差分运算具有线性性质：
2、差分方程经典解
n阶常系数线性差分方程：
齐次解：
齐次方程 的解称为齐次解。
特征方程
单实根：
r重实根： 如二重实根：
一对共轭复根 ：
特解：
激励
全解：
若方程特征根均为单根，全解为
对于n阶差分方程，用给定的n个初始条件 可确定全部待定系数 。
3、零输入响应
一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k<0时，几个初始状态满足：
（4）微分运算
（5）积分运算
（6）相加
（7）相乘
奇异信号
（1）阶跃函数
0，
，
1，
（2）冲激函数
Dirac定义
（3）阶跃函数与冲激函数的关系
（4）阶跃函数的积分
斜坡函数
（5）冲激函数的导数和积分
称为冲激偶
（6）冲激函数的性质
1.相乘性质
=
2.抽样性质
3、尺度变换性
4.偶对称性
第二章
2.1
n阶常系数线性微分方程的全解由齐次解 和特解 组成，即
3、傅里叶系数与傅里叶变换
（应用：利用周期信号内单周期傅里叶变换求周期信号的傅里叶系数 ）
周期信号 的傅里叶系数 与其第一个周期的单脉冲信号频谱 的关系为
4.8LTI
1、频率响应
2、无失真传输
无失真传输系统的冲激响应是输入冲激函数的K倍并延时td
三、理想低通滤波器的响应
幅频特性：
相频特性：
频域中宽度为 的门函数
求和上下限有三种情况：
1. 为因果序列
2. 为因果序列
3. 、 均为因果序列
3、卷积和的性质
1、交换律
2、结合律
3、分配律
4、 的卷积和
5、 的卷积和
6、卷积和的延迟
7、其他
第4章
4.1
1、正交函数集
三角型
，对于所有的m和n
指数型
4.2
周期信号 在区间 可以展开成完备正交信号空间中的无穷级数。
1、周期信号的分解
设有周期信号 ，它的周期 ，角频率
傅里叶系数
在 一个周期积分，积分区间不唯一。
同频率项合并可写成：
其中
2、奇、偶函数的傅里叶级数
（1） 为偶函数
（2） 为奇函数
（3） 为奇谐函数（半波对称函数）
前半周期波形移动 后与后半周期波形相对于横轴对称，傅里叶展开式只含有奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即
3、傅里叶级数的指数形式