线段、角典型例题
八上 线段、角的轴对称性 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
两点，EC=4,ABC∆的周长为的垂直平分线分别交AC，AD，的对称点，线段MN分⊥，延长AE，BE，BE AE8.如图，D是ABC∆的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF 与AB的延长线交于点F，点O在AD上，AO COBC EF.=，//求证：（1）AB AC= ;（2）点O是ABC∆三边垂直平分线的交点.【知识点4】最值问题1.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AB=4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，则CQ+PQ 的最小值是 ．5.如图，已知等边△ABC ，点D 为AC 的中点，BD=4，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为角平分线的性质知识点1 角平分线的性质1. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，有下列结论:①CD ED =;②AC BE AB +=;③BDE BAC ∠=∠; ④DA 平分CDE ∠.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若△ABC 的周长为41 cm ，边BC ＝17 cm ．AB<AC ，角平分线AD 将△ABC 的面积分成3：5的两部分，则AB ＝______cm ．3.如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A.32B. 2C. 3D.不能确定的平分线BE，CD，平分BAC=;∠;③AP PC2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺的一边与射线OB重合，另一把直尺的一边与射线OA重合并且与第一把直尺交于点P，小明说:“射线OP就是BOA∠的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确3.如图，已知点P到,,AE AD BC的距离相等，下列说法:①点P在BAC∠的平分线上;②点P 在CBE∠，BCD∠，CBE∠的平分∠的平分线上;④点P是BAC∠的平分线上;③点P在BCD线的交点.其中所有正确的序号是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③4.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55.如图，已知射线OC上的任意一点到AOBD E F分别在边∠的两边的距离相等，点,,OC OA OB上，如果想要证明OE OF,,=，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能条件的序号 .①ODE ODF⊥.∠=∠;②OED OFD∠=∠; ③ED FD=;④EF OC6.如图，已知CE AB=.⊥，垂足分别为点,E F，BF交CE于点D，BD CD⊥，BF AC（1）求证：点D在BAC∠的平分线上;（2）若将条件“BD CD∠的平分线上”互换，成立吗?试说明=”与结论“点D在BAC理由.知识点3 角平分线的性质在生活中的应用1.如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度；(2)连接AD，画一个三角形与△ABC关于直线AD对称．3. 如图，直线123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到4. 三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有( )A.一处B.二处C.三处D.四处3.如图，两条公路OA 和OB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有两个工厂C ，D ，现要在AOB ∠内部修建一个货站P ，使货站P 到两条公路的距离相等，且到两个工厂C ，D 的距离也相等，用尺规作出货站尸的位置.(要求:保留作图痕迹，不写作法)4.如图，三家公司A 、B 、C 准备共建一个污水处理站M ，使得该站到B 、C 两公司的距离相等，且使A 公司到污水处理站M 的管线最短，试确定污水处理站M 的位置．5.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．(1)在直线l上求一点P，使PA＝PB：(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．。
7年级数学微专题-----线段与角中的动态问题
七上期末专题线段与角中的动态问题一、专题介绍本专题主要包括线段与角的动态变化问题，主要包括线段上点的动态问题，角的边的动态变化问题，时钟问题等.这类问题的综合较强，涉及到的数学思想包括分类讨论思想、数形结合思想、方程思想.二、例题探究类型一：线段上的动态问题例1.如图1，已知线AB = 24 ，点C 为线段AB 上的一点，点D 、E 分别是AC和BC 的中点．（1）若AC = 8 ，则DE 的长为；（2）若BC =a ，求DE 的长；（3）动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，相向而行，点P 以每秒3 个单位长度沿线段AB 向右匀速运动，Q 点以P 点速度的两倍，沿线段AB 向左匀速运动，设运动时间为t 秒，问当t 为多少秒时P ，Q 之间的距离为6？变式1：如图，数轴上A、B两点分别位于原点两侧（点A在原点左侧，点B在原点右侧），AO=2BO，点A 在数轴上对应的数是-800.动点P、Q 同时从原点出发分别向左、向右运动，速度分别为 8 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒，同时，动点R 也从点A 出发向右运动，速度为 2 个单位长度/秒.设运动时间为t 秒.（1）填空：①点B 在数轴上对应的数是②点P 在数轴上对应的数是；点Q 在数轴上对应的数是；点R 在数轴上对应的数是（用含t 的代数式表示）.（2）当t 为何值时，动点R 与动点P 之间距离为 200 个单位长度？（3）若点M、N 分别为线段PQ、RP 的中点，当t≤100 秒时，2MN-MB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求其值.类型二：时钟问题例 2：同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟的问题．（1）九点整时，时针与分针所夹的角是度．（2）1 点20 分，时针与分针所夹的角是度．（3）从1 点15 分到 1 点35 分，时针的分针与时针各转了多大角度？变式 2：在3点和4点之间（包括3点和4点），何时时针和分针成90°？类型三：角的动态问题例 3 如图，已知∠AOB＝120°，OC 是∠AOB 内一条射线．（1）如图①，若OD 平分∠AOB，∠BOC：∠COD＝5：1，求∠AOC 的度数；（2）如图②，如果射线OC 从射线OA 的位置开始以每秒5°的速度绕点O 顺时针旋转，到与OB 重合时停止旋转，那么当射线OC 旋转多少秒时，图中出现直角？（3）如图③，射线OP、OQ 分别从射线OA、OC 位置开始，同时在∠AOC、∠COB 的内部以每秒1°和每秒 3°的速度绕点O 顺时针旋转，当OP 平分∠AOC 时，∠COP＝∠BOQ，求∠AOC 的度数．变式 3：如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO 、BO 在线段MN 上，∠COD =∠AOB = 90︒．（1）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿顺时针方向旋转到如图2 所示的位置，若∠AOC = 35︒，则∠BOD =；猜想∠AOC 与∠BOD 的数量关系；（2）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转一周，三角板AOB 不动，请问几秒后OD 所在的直线平分∠AOB ？（3）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转两周，同时三角板AOB绕着点O沿逆时针方向按每秒5︒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在直线平分∠A ON ．。
小三奥数--线段和角的计数问题
第一讲 线段与角的计数问题教室 姓名 学号【知识要点】一、定义在直线上任意取出两点之间的部分叫做线段，所取出的两点叫做该线段的端点。
由一点引出两条射线就组成了角。
角有一个顶点，这两条射线都称做角的边，一个角有两条边。
二、线段与角的计数方法仔细观察，寻找规律。
有条理、有次序地计数，才能做到不重复、不遗漏。
1、线段的计数方法：线段总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本线段数） 基本线段就是指内部不含有其他线段的线段。
2、角的计算公式：角总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本角数） 基本角就是指内部不含有其他角的角。
【例题精讲】★例1：数一数，下图中有多少条线段？A B C D E F★例2：下图中有多少条线段？★例3：下图中有几个锐角？★★例4：5个同学打乒乓球，如果每2个人打一盘，一共要打多少盘？★★例5：乘火车从北京到上海，共经过9个火车站（包括北京站和上海站），那么有几种不同的票价（不同的车站之间的票价都互不相同）？有几种不同的火车票？★★★例6：上海开往杭州的列车，除了起点和终点外，还要停靠4个站，问：要准备几种不同的车票？A BCD EFG O AB C D【为了掌握】★1、右图中共有（ ）条线段。
★2、右图中有（ ）条线段。
★3、某班有21名同学，每两人握一次手，一共要握多少次手？★4、右图中有几条线段？★5、放暑假了，三年级（2）班的王老师要求小朋友互相用电话联系，如果每两个小朋友要通一次电话，那么全班24个小朋友一共要通（ ）次电话。
老师也加入进来的话，要通（ ）次电话。
（写出过程）【为了优秀】★★1、右图中有几个角？★★2、图中一共有多少条线段？★★3、右图中有多少条线段？B★★4、数一数图中共有多条线段？【为了竞赛】★★★1、右图中有几条线段？【温馨提示】下节课我们将学习图形计数问题，请作好预习。
例1：下图中有几个三角形？例2：图中分别有几个三角形？BEB E B E。
三角形有关的线段典型例题
三角形有关的线段典型例题1．如图，图中共有多少个三角形？解析：依照三角形的看法，不重复、无遗漏地找出所有的三角形，要点在于依照某种顺序去找。
解：能够边为序次找：BC 为边的共 4 个，分别是：△△BCF, △BCE; AC 为边的 2 个（其中重复一个）ABC，△BCD，,分别是：△ ACF,△ ACB （与前面重复）；同理可得 AB 为边 1 个，是△ ABD;CD 为边 1 个，为：△ CDE; 以 BF 为边 1 个，为△BEF ；AD 、AF 为边已计。
共8 个。
2．如图，在△ABC 中， AB ＝AC，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 的两部分，求三角形各边的长。
解析：因为中线BD 中的点 D 为 AC 边的中点，所以AD ＝ DC，造成所分的两部分不等的原因就在于BC 边与 AB 、 AC 边的不等，故应分类谈论。
解：如图，设AB ＝ x，则 AD ＝ DC ＝x（1）若 AB ＋AD ＝ 12，即x＝ 12，得 x＝ 8即 AB ＝AC ＝8则 DC ＝4，故 BC ＝ 15－ 4＝ 11此时 AB ＋ AC ＞ BC，可组成三角形；（2）若 AB ＋AD ＝ 15，x＝ 15，∴ x＝ 10即 AB ＝AC ＝ 10，则 DC ＝ 5，故 BC ＝ 12－5＝ 7显然此时可组成三角形综上，三角形的各边长为：8,8,11 或 10,10,73．（1）已知三角形的两边分别为 5cm 和 6cm，求第三边 c 的取值范围及三角形周长的取值范围；（ 2）已知三角形的三边分别为14， 4 x 和 3 x，求 x 的取值范围；（3）已知三角形的三边分别为a， a－1 和 a＋ 1，求 a 的取值范围。
解析：依照三角形的三边关系，可得第三边的取值范围是：两边之差＜第三边＜两边之和，所以较简单确定第三边的取值范围解：（ 1）（ 6－ 5） cm＜c＜（ 6＋ 5） cm∴1cm＜ c＜11cm设周长为pcm又因另两边分别为5cm 和 6cm∴[（ 5＋6）＋ 1] cm ＜ p＜[11 ＋（ 5＋ 6） ] cm即 12cm＜ p＜ 22cm（2）依照三角形的三边关系：4x－ 3x＜ 14＜4x＋3x ∴ 2＜x＜ 14（3）∵ a－ 1＜ a＜ a＋ 1又∵三角形的三边长为正∴a－ 1＞ 0即 a＞1又∵ a＋ 1＜ a＋（ a－ 1）∴a＞ 2∴a＞ 24．如图，在小河的同侧有 A ， B ，C 三条农村，图中的线段表示道路，某邮递员从 A 村送信到 B 村，总是走经过 C 村的道路，不走经过 D 村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。
数角、数线段课外练习
数学思维训练练习卷（1）---数图形数学思维训练班姓名:晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。
小小一看，立即回答：“窗户上一共有6个正方形。
”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。
小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。
典型例题例【1】下图中有多少条线段？A B C D E分析我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE 4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE 3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE 2条；由4条基本线段构成的线段有AE 1条。
另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE 4条；以B为左端点的线段有BC、BD、BE 3条；以C为左端点的线段有CD、CE 2条；以D为左端点的线段有DE 1条。
解4＋3＋2＋1＝10（条）所以图中有10条线段。
例【2】下面图形中有几个角？O DCBA分析我们把图中的AOB、BOC、COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有AOB、BOC、COD 3个；由2个基本角构成的角有AOC、BOD 2个；由3个基本角构成的角有AOD 1个。
我们也可以从角的两条边出发来数：以OA为一边的角有AOB、AOC、AOD 3个；以OB为一边的角有BOC、BOD 2个；以OC为一边的角有COD 1个。
解3＋2＋1＝6（个）所以图中有6个角。
例【3】下图中共有多少个三角形？AB C D E分析我们把图中ACD ADE看作基本三角形，那么：由1个基本三角形构成的三角形有、ACD、ADE；由2个基本三角形构成的三角形有、ACE；由3个基本三角形构成的三角形有。
解3＋2＋1＝6（个）所以图中有6个三角形。
3 第1课时 线段、直线、射线和角(例题精练)
心得 1.直线、射线和线段都是直的，只有( 线段)可以 量出长度。 2．根据(端点)的个数可以区分直线、线段和射线。 3．为了表述方便，线段、直线、射线可以用字 母表示。
1．填一填。 (1)像手电筒、汽车灯和太阳等射出来的光线，都可以 近似地看成( 射线 )。 (2)通过一点能画( 无数 )条直线，通过两点能画( 一 ) 条直线。 (3)从一点引出两条( 射线 )所组成的图形叫作角。
例题精练
3 角的度量
第1课时 线段、直线、射线和角
例题： 从下面的图形中找出线段、直线、射线和角， 并说说它们各自的特征。
解答： ⑤可以向( 两 )端无限延长，(没有)端点。 ④可以向( 一 )端无限延长，有( 1 )个端点。 ①、⑥有( 2 )个端点，可以量出( 长度 )。 ⑦、⑧有( 1 )个顶点，( 2 )条边。 _____⑤__________是直线；_____④__________是射线； ____①__⑥_________是线段；___②__⑧__________是角。
2．按要求做题。 (1)在下面的射线上画出一个点，使这个点和端点的距 离是 3 厘米。
(2)量出下面 A、B 两点间的距离。
同学们可以实际测量一下。
3．数一数，下图中各有几个角？
( 3 )个角
( 5 )个角
线段、角典型例题
线段、角典型例题(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2基本的平面图形典型例题与强化训练典型例题：例1、已知线段AB ，延长线段AB 到C ，使BC=23 AB ，反向延长线段AB至D ，使AD=12AB ，P 为线段CD 的中点，已知BP=15cm ，求线段AB 、CD 的长。
例2、如图，C ，D ，E 将线段AB 分成2:3:4:5四部分，M ，P ，Q ，N 分别是AC ，CD ，DE ，EB 的中点，且MN=21，求线段PQ 的长度．例3、已知线段AB=14cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．例4、如图所示，∠AOB=90°, ∠BOC=30°,OE 平分∠AOC ，OD 平分∠BOC,求∠DOE 的度数。
(1)若∠AOB=α，其他条件不变，∠DOE 等于多少？(2)若∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少(3)若∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少？例5、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠BOC=80°，OE 平分∠BOC ．OF 为OE 的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF 是否为∠AOD 的平分线．例6、如图，由点O 引出六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，且∠AOB=90°，OF 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD 。
若∠EOF=170°，求∠COD 的度数。
练习：1．下列说法中，错误的是（）A ．经过一点可以作无数条直线B ．经过两点只能作一条直线C ．一条直线只能用一个字母表示D ．线段CD 和线段DC 是同一条线段 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线 B ．延长射线MN 到CC ．延长线段MN 到P 使NP ＝2MND ．连结两点的线段叫做两点间的距离3.平面上的三条直线最多可将平面分成（ ）部分。
新版沪教版六年级数学下册第七章线段与角教案及习题(2020新教材)
第七章线段与角知识归纳一、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。
1、线段的表示：可以用表示短点的两个字母A、B表示，记作线段AB或可以用一个小写的英文字母，如a，表示，记作线段a2、线段的特点：1）有线长度，可以测量2）有两个端点3、线段的性质：1) 两点之间线段最短。
2）连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离,可以记作d 。
3）★直线没有距离。
射线也没有距离。
因为，直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。
而线段不可以延长。
4、线段大小的比较：1）度量法2）叠合法3）观察法★“两点之间线段最短”5、画线段的和、差、倍将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点线段中点的表示：1）观察法2）折叠法3）度量法线段的中点是一个重要的概念，要使学生会用语言描述并掌握以下两点：(1)如图1∵C为AB中点(2)如图1∴C为AB中点．二、角：角是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边或可以这样说：角是有一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。
角的始边转动到角的终边所经过的平面部分叫做角的内部，简称角内部OBADC OBA1、 角的表示：1）角一般用三个大写英文字母表示，如下图记作∠AOB ，也可以记作∠O如果以点O 为顶点的角有多个，那么其中任何一个角必须用三个大写英文字母表示，而不能简单记作∠O2）也可以在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α（读alpha ）、β（读beta ）、γ（读gamma ）……，或者标上一个数字，如1、2、3……2、角的大小的比较 1）度量法 2）叠合法3、余角、补角（1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3） 补角、余角的性质★ 同角或等角的补角相等’;同角或等角的余角相等. 4、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向. 方位角α的取值范围为0900≤≤α 即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”,★ “北偏东45度”为东北方向、“北偏西045度”西北方向、“南偏东045度”为东南方向、“南偏西045度”为西南方向. 5.画角的和、差、倍讲角平分线时既要会用文字表述又要掌握以下两点： (1)如图2∵ OC 平分∠AOB ．(2)如图2∴OC 平分∠AOB典型例题【例1】 如右图所示，是线段的中点，则，．【例2】 如图，已知是线段上的两点，是的中点，是的中点，若，求线段的长. .【例3】 如图，已知线段AB 上依次有三个点把线段AB 分成2:3:4:5四个部分，，求BD 的长度.【例4】 线段上有两点、，，，，求的长．M A B 1______2A M =2_____2_____A B ==,B C A D M A B NC D ,M N a B C b==A D M D,,C D E 56AB =A B P Q 26A B =14AP =11PQ =B Q【例5】 已知：A ，B ，C ，D 四点共线，若3cm AB =，2cm BC =，4cm CD =，画出图形，求AD长.【例6】 如图所示，90AOB COD ∠=∠=︒，160AOD ∠=︒，求BOC ∠度数．【例7】 BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠．()190AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数； ()2AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；()390AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．()4从前三问的结果你发现了什么规律？（5）若BOC ∠为AOC ∠内的一个锐角呢？【例8】 如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒， 求AOD ∠的小．C【例9】 如图10，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠，求BOD ∠的度数．课堂练习1 1、如图，,,点B 、O 、D 在同一直线上，则的度数为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2、如图，已知AOB 是一条直线，∠1=∠2，∠3=∠4，OF ⊥AB ．则（1）∠AOC 的补角是 ； （2） 是∠AOC 的余角； （3）∠DOC 的余角是 ； （4）∠COF 的补角是 ．ND OABC D 图图13、如图，点A 、O、E 在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD 平分∠COE ，求∠COB 的度数4、如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠，求BOD ∠ 的度数．5、如图8，将长方形纸片沿ＡＣ对折，使点Ｂ落在Ｂ′，ＣＦ平分∠Ｂ′ＣＥ，求∠ＡＣＦ的度数．7、把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB /＝700，则∠B /OG ＝______．8、如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD ．EA O图 8A CBEFB '9、如图14，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． （1）若∠DOB 与∠DOA 的比是2∶11，求∠BOC 的度数．（2）若叠合所成的∠BOC =n°(0<n<90)，则∠AOD 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少？★10 .角的个数的数法按逆时针、按顺时针一点引出n 条射线共形成)1(21-n n 个角. 如图，在图(a)，在角内引一条射线时，图中共有（1+2）个角； 在图(b)中，在角内引两条射线时，图中共有（1+2+3）个角；在图(c)中，在角内引三条射线时，图中共有多少个角？如果在角内引n 条射线（n 为自然数）时，则共有几个角？(a) (b) (c)★11. 钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为003012360=，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为06530=（1）10：00时，时钟的时针与分针所成的角度是_____.（2）时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为______，由2点到7点半，时针转过的角度为______.（3）12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两针再重合？（4）分针和秒针每隔多长时间重合一次？课堂练习21、如图，点C 在线段AB 上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点。
期末复习专题08 线段与角有关动点的计算问题(解析版)
期末复习专题08 线段与角有关动点的计算问题考点一 有关线段的中点计算问题考点二 有关角的平分线计算问题考点三 线段上动点计算问题 考点四 角上动点计算问题考点一 有关线段的中点计算问题故选：D ．【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．2．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图，数轴上M ，N ，P ，Q 四点对应的数都是整数，且M 为线段NQ 的中点，P 为线段NM 的中点．若点M 对应的整数是a ，点N 对应的整数是b ，且20b a -=，则数轴上的原点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】D 【分析】由已知条件可知2QN QM =，因为点M 对应的整数是a ，点N 对应的整数是b ，且20b a -=，依此可得到数轴上的原点．【详解】解：∵点M 为线段NQ 的中点，∴2QN QM =，∵点M 对应的整数是a ，点N 对应的整数是b ，且20b a -=，∴数轴上的原点是Q ．故选：D ．【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．3．（2022·云南·楚雄市中山镇初级中学七年级期末）C 为直线AB 上一点，且线段3cm AB =，5cm =BC ，则AC 的长度是 ________．【答案】8cm 或2cm【分析】分A 、C 在点B 异侧和A 、C 在点B 同侧两种情况，分别作出图形，根据线段的和差计算即可．【详解】解：如图1，当A 、C 在点B 异侧时，358cm AC AB BC =+=+=，如图2，当点A 、C 在点B 同侧时，532cm AC BC AB =-=-=，即AC 的长度是8cm 或2cm ，故答案为：8cm 或2cm ．【点睛】本题考查了线段的和差计算，注意分类讨论思想的应用．4．（2022·全国·七年级专题练习）如图，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，7cm AB =，2cm BN =，则BC =________cm ，MC =______cm ．AB=，点C线段(1)如图，已知线段8cmQ 点M 是AC 中点，12MC AC \=，M Q 为AC 的中点，N 为BC 的中点，1CM AC \=，1CN BC =，(1)若点C 为图1中线段AB 的“优点”6()AC AC BC =<(2)若点D 也是图1中线段AB 的“优点”（不同于点C ）（填“=”或“¹”）[解决问题]∵点D是线段AB的“优点”，考点二有关角的平分线计算问题【点睛】本题主要考查了角平分线有关的计算以及几何图形中角的计算，解题关键是根据题意作出图形，运用分类讨论的思想分析问题．2．（2022·浙江台州·七年级期末）直线AB ，CD 相交于点O ，OE 是BOD Ð的角平分线，若3AOE BOC Ð=Ð，则EOC Ð的度数为( )A ．36°B ．72°C ．108°D ．144°【答案】C 【分析】根据OE 是BOD Ð的角平分线，得出DOE BOE Ð=Ð，根据3AOE AOD DOE BOC Ð=Ð+Ð=Ð，得出2DOE BOC Ð=Ð，求出36BOC Ð=°，即可得出272BOE BOC Ð=Ð=°，即可得出答案．【详解】解：∵OE 是BOD Ð的角平分线，∴DOE BOE Ð=Ð，∵3AOE AOD DOE BOC Ð=Ð+Ð=Ð，又∵AOD BOC Ð=Ð，∴3BOC DOE BOC Ð+Ð=Ð，∴2DOE BOC Ð=Ð，∴2BOE DOE BOC Ð=Ð=Ð，∵180DOE BOE BOC Ð+Ð+Ð=°，∴22180BOC BOC BOC Ð+Ð+Ð=°，解得：36BOC Ð=°，272BOE BOC \Ð=Ð=°，∴108EOC BOE BOC Ð=Ð+Ð=°，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据已知条件得出2DOE BOC Ð=Ð，是解题的关键．3．（2022·全国·七年级课时练习）如图，AB 、CD 交于点O ，若170=°∠，射线OE 平分∠AOC ，那么∠EOD =__________度．【答案】42°##42度【分析】先由对顶角相等求出【详解】解：∵∠AOC =∠∴∠BOD =70°，∵:2:3BOE EOD ÐÐ=，Ð，OD(1)如图1，OE平分AOB(2)如图2，OE、OD分别平分ÐÐ(3)若OE、OD分别平分AOC 接填空）．则EOD EOC Ð=Ð1122AOC =Ð-Ð1(2AOB BOC =Ð+Ð45=°；则1(2EOD AOC Ð=Ð1(360)2AOB °=-Ð1(36090)2°°=-(1)如图1，过点O 作射线OE ，使OE 为AOD Ð的角平分线，当Ð=COE (2)如图2，过点O 作射线OE ，当OE 恰好为AOC Ð的角平分线时，另作射线求EOF Ð的度数；(3)过点O 作射线OE ，当OC 恰好为AOE Ð的角平分线时，另作射线OF ，时，求BOD Ð的度数．考点三线段上动点计算问题考点四 角上动点计算问题1．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ¢V ，点B ¢恰好落在CA 的延长线上，60BAC Ð=°，90C Ð=°，则旋转角BAB Т为（ ）A ．60°B ．100°C ．120°D ．150°【答案】C 【分析】直接根据180BAB BAC ¢Ð=°-Ð即可得出答案．【详解】解：∵将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ¢V ，点B ¢恰好落在CA 的延长线上，60BAC Ð=°，∴180********BAB BAC ¢Ð=°-Ð=°-°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转角，题目比较简单，属于基础题．2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．Ð=°Q，POB68\Ð=°-°，68POM nÐ=°Q，MON90\Ð=°-°-°=°-°，1809090AON n n\Ð-Ð=°-°-°-°=°；AON POM n n(90)(68)22当6890<<时，如图2，理由如下：nQ，Ð=°68POB\Ð=°-°，POM n68Q，Ð=°90MON\Ð=°-°-°=°-°，AON n n1809090\Ð+Ð=°-°+°-°=°；(90)(68)22AON POM n n故答案为：068n<<，6890<<．n【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键．。
数线段数角练习题
数线段数角练习题1、75°40′30″的余角是，补角是。
角X的余角是，补角是。
、一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是___________.、已知∠?与∠?互余，且∠??40?15’，则∠?的余角为_______，∠?的补角为______．、一个角的余角等于它的补角的1,则这个角是______；一个角等于它的补角的5倍,则这个角的补角的余角是5、钟表上8∶30时，时钟上的时针与分针间的夹角是；钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是、线段AB=5,延长AB到C,使BC=2AB,若D为AB的中点,则DC的长是 _________．7、如图, D为AB的中点, E为BC的中点, AD＝1cm, EC ＝1.5cm, 则DC＝____cm.8如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA?6，DB?4，则CD=_____9、C为线段AB上的一点，点D为CB的中点，若AD=4，则AC+AB的长是。
10、把一条长24cm的线段分成三段，使中间一段的长为6cm，则第一段与第三段中点的距离是。
11、如图，点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED=6，则AB的长为．BAECDB12、如图所示，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC=20则∠EOF= 。
13、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70，则∠BOD的度数等于______．14、如图，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB是∠AOC的平分线，则∠AO C的度数为_________，∠COD的度数为___________．ODCB15、如图，点A位于点O的方向上．.A、南偏东35°B、北偏西65°C、南偏东65°D、南偏西65°1图3A16、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，∠COE，则∠COB的度数为 .17、如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值A、小于180°B、等于180°C、大于180°D、不能确定18、如图，是由四个1×1的小正方形组成的大正方形，则∠1+∠2+∠3+∠4=A．180°B．150° C．135° D．120°E解答题：1、计算：；；×7；÷9．2、如下图，已知线段AD=8cm，线段BC=4cm，E、F 分别是AB、CD的中点，且AB=CD，求EF的长度．3、将线段AB分为2∶3∶4三部分, 若第一和第三部分的线段的中点间距离为5.4米, 求AB的长．24、如图，已知∠AOC=，OB是∠AOC的平分线，OE，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线．求：∠BOF与∠EOB的和．5、如图，∠AOB=90o，∠AOC=30o，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数．若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数．若∠AOC=β其他条件不变，求∠MON的度数从上面结果中看出有什么规律？6、如图。
专题06 线段与角的画法(考点串讲)(解析版)
专题06 线段与角的画法【考点剖析】1.线段的大小比较（1）叠合法：如下图所示；用圆规截取.AB>CD AB<CD AB=CD (C )(C )D B A B A (D )(C )A D（2）度量法：用刻度尺测量每条线段的长度，再按长度的大小比较线段的大小.2.线段的性质⎧⎨⎩长度两点之间的距离：联结两点的线段的；性质线段最之间，短：两点. 3.线段的和、差、倍(1na n n a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪>⎧⎪⎨⎪⎩⎩线段的和、差：两条线段可以相加(或相减)，它们的和(或差)也是， 其长度等于这两条线段的的和(或差).倍：正整数)；条线段，或线段a 的；线段的倍一条线段长度相加n 倍两条相等线段、分：中点：将一条线段分成的点. 4.角...ABC B x x x α⎧⎨⎩∠⎧⎪∠⎨⎪∠⎩︒︒︒定义：有公共的两条组成的图形；定义：定义：一条射线绕其旋转到另一个位置所成的.用表示任一角；如：表示方法：在一个顶点处时，用一个顶点的端点射线端点图形三个大写英文字母只有一个角小写的希腊字母正南大写字母表示；如：用表示.如正北方向、、正东方向、正西方向；方向角：东北方向、东南方向、、西南方向；北偏东方向西北方向、、南西偏东、北偏① ②①② ③①②③.x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪︒⎪⎩⎩南偏西 5.角的大小比较：度量法、叠合法6.画相等的角的方法：度量法、尺规法7.画角的和、差、倍⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩度量法：用量角器分别量出两个角的，根据角的和差倍画出角画法：度两个角和(或差)的角；尺规法：两角和的关键：；两角差的关键:；概念：从一个角的顶点引，把这个角分成，这角平分线： 条射线叫这个角的平分度数等于异侧同侧一条射线两个相等的角量角器直尺和圆线.画法：用画图；用作图.规①② 8.余角和补角1=60'=''901806036000909090180⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩︒︒>︒<︒︒>︒<︒⎪⎪︒⎧⎪⎨⎪⎩⎩定义：若两个角的度数，则这两角互为余角；余角性质：同角(或等角)的相等；定义：若两个角的度数，则这两角互为补角；补角性质：同角(或等角)的相等；单位：度、分、秒， 进位； 角的度量分类：锐角：的角；直角：的角；钝和是角余角和是补角：的角且=且 【典例分析】例题1．（浦东期末5）如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（ ）（A ）30°；（B ）45°； （C ）60°； （D ）90°．【答案】C ；【解析】依题可设这个角为x ，则1804(90)x x ︒-=︒-，解得60x =︒，故答案选C.例题2.（浦东四署2019期末5）利用三角板工具画角很方便，但是只能画出一些特殊的角，下列角度不能用一副三角板（不再用其他工具）画出的是（ ）A. 15︒；B. 20︒；C. 75︒；D. 105︒.【答案】B ；【解析】三角尺的度数有30456090︒︒︒︒、、、，这些角通过加、减、倍可以得到1575105︒︒︒、、等等，但得不出20︒，因此选B.例题3. （普陀2018期末6）如果点A 在点O 的西北方向，且点B 在点A 的正南方向，那么点B 在下列方向中，有可能在点O 的（ ）（A ）正东方向；（B ）西南方向； （C ）东北方向； （D ）北偏西30︒． 【答案】B ；【解析】根据题意，可画图分析，点B 在射线AP 上，故点B 可能在点O 的北偏西的方向（大于45度）或南偏西的方向或正西方向，故选B.例题4 （松江2018期末10）计算：5528'3757'︒+︒= ．【答案】9325'︒；【解析】原式=5528'3757'9285'9325'︒+︒=︒=︒.例题5（黄浦2018期末13）已知线段AB 和CD ，如果将CD 移动到AB 的位置，使点C 与点A 重合，CD 与AB 叠合，点D 在线段AB 上，那么AB CD ．（填“>”、“ <”或“=”）【答案】>；【解析】因为使点C 与点A 重合，CD 与AB 叠合，点D 在线段AB 上，如图所示，可知AB CD >.B (C )A D例题6（浦东2018期末12）在线段AB 延长线上截取BC =2AB ，分别取AB 、BC 的中点，分别记为点M 、N ，如果AB =2，那么MN = ．【答案】3；【解析】因为BC =2AB ，AB =2，所以BC=4，又M 、N 分别是AB 、BC 的中点，故MB=1，NB =2，所以MN=MB+NB=1+2=3.例题7（松江2018期末26）如图，已知o AOP 60=∠，线段OA 与射线OP 有一公共端点O ．(1)在所给图中，用直尺和圆规按所给的语句作图：①在射线OP 上截取线段BC OB 、，使OA OB =，OA BC =，（点C 与点O 不重合）；②联结线段AC AB 、；③作AOP ∠的平分线OD ，与线段AC 交于D 点．(2) 用刻度尺测量AB 和OA 的长度，得出 = ，用量角器度量OAC ∠，得出=∠OAC °；(3) 写出图中与AOP ∠互余的所有角：．PO【答案与解析】(1) ①在射线OP 上截取线段OB ，BC ，使OB =OA ，BC=OA ； ②联结线段AB ，AC ；③作∠AOP 的平分线OD ，与线段AC 交于D 点． 结论：所以如图就是所求的图形。
线段和角的对称性典型例题
线段和角的轴对称性知识梳理1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段距离的点在线段的上．细节剖析线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的平分线，画出到线段两个的距离，这样就出现线段，直接或间接地为构造三角形创造条件.三角形三边交于一点，该点到三角形三顶点的相等，这点是三角形外接圆的圆心—— .:2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的.（2）角平分线上的点到角两边的相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的上.细节剖析（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，则PE＝PF.（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的上.若PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB典型例题【考点1】角平分线的性质【例1】（2019秋•淮安期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP∠OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则∠ODQ的面积是（）A．4B．5C．10D．20【变式1】（2019秋•南开区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD∠CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．12【变式2】（2019秋•裕华区校级期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE∠AC 于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时∠F AP面积恰好是∠EAP面积的2倍，则此时AF的长是（）A．10B．8C．6D．4【变式3】（2019秋•樊城区期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确【考点2】线段垂直平分线的性质【例2】（2019秋•宿豫区期中）如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，△BCE 的周长为18，则AC 的长等于（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1】（2020春•郫都区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝31°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么∠A 的度数为（ ）A ．31°B ．62°C ．87°D ．93°【变式2】（2019秋•海安市期末）如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，连接AE ，BE ，作直线EF 交AB 于点M ，连接CM ，则下列判断不正确的是（ ）A ．AB ＝2CM B ．EF ⊥ABC ．AE ＝BED ．AM ＝BM【变式3】（2019秋•涟源市期末）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．13本次课课后练习知识点1：角平分线的性质1.（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，AE 平分CAB ∠，交BD 于点E ，8AB =，3DE =，则ABE ∆的面积等于( )A ．15B ．12C ．10D ．142.（2020秋•渝中区校级月考）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB =，CAB ∠和ABC ∠的平分线交于点O ，OM BC ⊥于点M ，则OM 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.（2020春•五华区校级期末）在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE = ．4.（2019秋•濉溪县期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，//BF DE 交CD 于点F ．求证：DE BF =．知识点2：线段垂直平分线的性质5.（2020•枣庄）如图，在ABC∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若6∆的周长为()BC=，5AC=，则ACEA．8B．11C．16D．176.（2020春•太原期末）如图，在ABC∠=︒，AB边的垂直平分线交AB于点D，∆中，80BAC交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则EAG∠的度数为()A．15︒B．20︒C．25︒D．30︒7.（2019秋•贵阳期末）如图，ABC∆中，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若6FC=，则ABC∆的周长AE=，8EF=，10是．8.（2020春•东明县期末）如图，在ABC∆中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，A ABE∠=∠．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB AC∠的度数．∠及F=，46A∠=︒时，求EBC。
线段垂直平分线和角的平分线典型习题(一、二)-2
2013年线段垂直平分线和角的平分线典型习题(一)一、填空题：1、如图，∠A ＝520，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB ＝ 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
第1题图 OC B A第2题图 N M D C B A 第3题图 E DC B A 第4题图 E ABCD3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。
选择第1题图 FE DC B A选择第2题图 4321D C B A 选择第4题图 E F D C BA二、选择题：1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600，则∠BFC 等于（ ）A 、800B 、1000C 、1200D 、14002、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ）A 、820B 、720C 、620D 、5203、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（）A、8 cm、8 cm、14cmB、12 cm、12 cm、6cmC、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cmD、以上答案都不对4、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（）A、0组B、2组C、3组D、4组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定三、解答题：1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA＝MD。
《图形的认识与测量》知识梳理及典型例题
记作：直线AB或直线BA或直线a
.A .B
a
➢直线
①直线没有端点，它可以向两方无限延伸，不可 以测量其长度； ②两点确定一条直线。
知识梳理
2、射线
. . ➢射线的表示方法
记作：射线OA
O
A
➢射线
①射线只有一个端点，只能向一方无限延伸，不
可以测量长度； ②从一点可以引出无数条射线。
知识梳理
3、线段
典型例题
若一个三角形三个内角的度数比是6:2:1，那 么这是一个（ 钝角 ）三角形。
分析:需先求出角的度数后判定是什么三角形。根据
三个角的比可求出三角形中最大的角
是：
，因为120°的角是钝角，
所以是钝角三角形。
重点知识图解
线（直线、射线、线段）和角
三角形
平面图形
图
四边形
形
圆（圆、扇形）
的
认
长方体、正方体
小升初基础复习—数学《图形与几何》
图形的认识与测量
重点知识图解
线（直线、射线、线段）和角
三角形
平面图形
图
四边形
形
圆（圆、扇形）
的
认
长方体、正方体
识 立体图形 圆柱、圆锥
和 测 量
球 周长
图形的测量 面积（面积、表面积）
体积（体积、容积）
知识梳理
一、线（直线、射线、线段）和角 1、直线
➢直线的表示方法
线（直线、射线、线段）和角
三角形
平面图形
图
四边形
形
圆（圆、扇形）
的
认
长方体、正方体
识 立体图形 圆柱、圆锥
和 测 量
球 周长
三奥,数图形-线段和角
A
方法二：
B
C
D
我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD 看作基本线段来数，那么： 由1条基本线段构成的线段： AB、BC、CD共3条； 由2条基本线段构成的线段： AC、BD共2条； 由3条基本线段构成的线段： AD只有1条。 所以，图中共有线段： 3＋2＋1=6条线段。
练 习 一
数出下图中各有多少条线段？
(1)
A
B
C D
E
4+3+2+1=10（条）
新学：数线段 作业：
数出下面线段的个数：
(1) A B C D E
（2）自己画线段数一数，
给其他小朋友做。
复习
边
顶点 边
一个角有一个顶点，两条边。
做一做
你能用两根连接棒做一个角吗？
做一做
角的两边张口越大，角越大。
？
角的大小与边的长短无关。
画一画
线段AB 线段BC
A
B
线段AC
C
练一练
1、表示出下面的线段：
B C
C D
线段BC
线段CD
2、指出下列线段：
线段AB
线段AC 线段AD
线段BC
线段BD 线段CD
A
B
C
D
例题1、数出下面图中有多少条线段？
A
B
C
DLeabharlann 要想准确数出线段的 个数，我们应该按一定的 顺序数，按什么顺序呢？
A
B
C
D
方法一：
思路我们可以采用以线段左端点分类数的方法。 以A点为左端点的线段有： AB、AC、AD共3条； 以B点为左端点的线段有： BC、BD共2条； 以C点为左端点的线段有： CD共1条。 所以，图中共有线段 3＋2＋1=6条。
初中尺规作图典型例题归纳总结
初中尺规作图典型例题归纳典型例题一例 线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．分析 所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段．说明1．尺规作图要保存画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画根本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括表达根本作图． 典型例题二例 如下列图，线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．错解 如图〔1〕，〔1〕作射线AM ；〔2〕在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，那么线段AD 即为所求． 错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．图〔1〕 图〔2〕正解 如图〔2〕，〔1〕作射线AM ；〔2〕在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；〔3〕在线段CA 上截取CD =b ，那么线段AD 就是所求作的线段．典型例题三例 求作一个角等于角∠MON 〔如图1〕．图〔1〕 图〔2〕错解 如图〔2〕，〔1〕作射线11M O ；〔2〕在图〔1〕，以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； 〔3〕以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；〔4〕以C 为圆心作弧，交于点D ；〔5〕作射线D O 1．那么∠D CO 1即为所求的角．错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．正解 如图〔2〕，〔1〕作射线11M O ；〔2〕在图〔1〕上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；〔3〕以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；〔4〕以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；〔5〕过点D 作射线D O 1． 那么∠D CO 1就是所要求作的角．典型例题四例 如下列图，∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．作法 如下列图〔1〕∠MBN =∠α；〔2〕在射线BM 上截取BC =a ；〔3〕以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进展分析，逐步寻找画图步骤．典型例题五例 如图〔1〕，直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB 〔写出作法，画出图形〕．分析 根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD =∠EFB 即可．作法 如图〔2〕．图〔1〕 图〔2〕〔1〕过点C 作直线EF ，交AB 于点F ；〔2〕以点F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点P ，交EF 于点Q ；〔3〕以点C 为圆心，以FP 为半径作弧，交CE 于M 点；〔4〕以点M 为圆心，以PQ 为半径作弧，交前弧于点D ；〔5〕过点D 作直线CD ，CD 就是所求的直线．说明 作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．典型例题六例 如下列图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，ccm ，∠B =︒36，∠C =︒44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形〔把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据〕．分析 此题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依据是SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．解 与△ABC 全等的三角形如下列图所示．典型例题七例 正在修建的中山北路有一形状如下列图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案〔保存作图痕迹，不写作法〕．〔2003年，桂林〕分析 这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC 边的三等分点即可．作法 如下列图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．典型例题八例 ∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．错解 如图〔1〕作法 〔1〕以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点； 〔2〕分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧相交于C 点； 〔3〕连结OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线．错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法〔3〕中连结OC ，那么OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线．图〔1〕 图〔2〕正解 如图〔2〕〔1〕以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；〔2〕分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点； 〔3〕作射线OC ，那么OC 为∠AOB 的平分线．典型例题九例 如图〔1〕所示，线段a 、b 、h 〔h ＜b 〕．求作△ABC ，使BC =a ，AB =b ， BC 边上的高AD =h ．图〔1〕错解 如图〔2〕，〔1〕作线段BC =a ；〔2〕作线段BA =b ，使AD ⊥BC 且AD =h ．那么△ABC 就是所求作的三角形．错解分析 ①不能先作BC ；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到此题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如此题先作高AD ，再作AB ，最后确定BC ．图〔2〕 图〔3〕正解 如图〔3〕．〔1〕作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ；〔2〕在DM 上截取线段DA =h ；〔3〕以A 为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于B ；〔4〕以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ；〔5〕连结1AC 、2AC ，那么△1ABC 〔或△2ABC 〕都是所求作的三角形．典型例题十例 如下列图，线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b 〔用直尺和圆规作图，保存作图痕迹〕．分析 此题解答的关键在于作出∠ACB =90°，然后确定A 、B 两点的位置，作出△ABC ．作法 如下列图〔1〕作直线MN ：〔2〕在MN 上任取一点C ，过点C 作CE ⊥MN ；〔3〕在CE 上截取CA =b ，在CM 上截取CB =a ；〔4〕连结AB ，△ABC 就是所求作的直角三角形．说明 利用根本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．假设把握不好作图顺序，要先画出假设图形．典型例题十一例 如下列图，钝角△ABC ，∠B 是钝角．求作：〔1〕BC 边上的高；〔2〕BC 边上的中线〔写出作法，画出图形〕．分析 〔1〕作BC 边上的高，就是过点A 作BC 边所在直线的垂线；〔2〕作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线． 作法 如下列图〔1〕①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点；③分别以G 、H 为圆心，以大于21GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，那么线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．〔2〕①分别以B 、C 为圆心，以大于21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；③连结AF ，那么线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．说明 在三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．典型例题十二例 如图〔1〕所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．图〔1〕 图〔2〕分析 由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点．作法 如图〔2〕所示 〔1〕作∠MON 的平分线OP ；〔2〕作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，那么点C 就是所要求作的点．说明〔1〕根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．〔2〕两条直线交于一点．典型例题十三例 如下列图，线段a 、b 、∠α、∠β．求作梯形ABCD ，使AD =a ，BC =b ，AD ∥BC ，∠B =∠α；∠C =∠β．分析 假定梯形已经作出，作AE ∥DC 交BC 于E ，那么AE 将梯形分割为两局部，一局部是△ABE ，另一局部是AECD ．在△ABE 中，∠B =∠α，∠AEB =∠β，BE =b -a ，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD ．作法 如下列图．〔1〕作线段BC=b；〔2〕在BC上截取BE=b-a；〔3〕分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；〔4〕以EA、EC为邻边作AECD．四边形ABCD就是所求作的梯形．说明根本作图是作出较简单图形的根底，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的根底．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比拟容易作出的三角形，然后以此为根底，再作出所求作的图形．典型例题十四例如下列图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路穿插处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．〔2002年，青岛〕分析依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距Bcm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解如下列图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．典型例题十五例如图〔1〕，有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C〔要求：尺规作图，不写作法，保存作图痕迹〕．〔2002年，大连〕图〔1〕 图〔2〕分析 因为A 、B 、C 三点在⊙O 上，所以OA =OB =OC =R ．根据到线段AB 、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB 、BC 垂直平分线即可．解 如图〔2〕说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题严密联系在一起．典型例题十六例 如图，是一块直角三角形余料，︒=∠90C ．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB 、BC 、AC 边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．分析 要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．作法 如图．① 作ACB ∠的角平分线CD ，交AB 于点G ；②过G 点分别作AC 、BC 的垂线，垂足为E 、F ．那么四边形ECFG 就是所要求作的正方形．。
七年级数学暑假专题—三角形中的线段和角冀教版
初一数学暑假专题—三角形中的线段和角冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：暑假专题——三角形中的线段和角1. 利用三角形的内角和外角进行角度的转化和计算.2. 三角形的角平分线、中线、高的应用.二. 知识要点：1. 三角形的内角和外角（1）三角形的内角和是180°.（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 2. 三角形中的三条重要线段（1）角平分线的性质：把一角平分.（2）中线的性质：把一边平分，把三角形面积平分. （3）高线的性质：把三角形分成两个直角三角形.三. 考点分析：中考要求会利用三角形内角和及内外角的关系求三角形内、外角的度数，能灵活运用内角和解决相关问题. 三角形内角和的应用是中考热点，中考常利用其求角的度数，常出现填空、选择题，大题中求角的度数也是离不开它的. 会画出三角形中的三条主要线段并会应用它们的性质解决有关问题也是中考的常见题型.【典型例题】题型一 利用三角形内角和求值例1. 在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A ＋∠B ，则△ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 有一个角是30°的直角三角形D. 等腰直角三角形分析：根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2∠A ＝3∠B ①∠C －30°＝∠A ＋∠B ②∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°③，由②得∠A ＋∠B －∠C ＝－30°④，③－④得2∠C ＝210°，即∠C ＝105°，所以△ABC 是钝角三角形.解：B题型二三角形外角与内角关系的运用例2.如图所示，D是△ABC中∠C的外角平分线与BA的延长线的交点. 试说明∠BAC ＞∠B.分析：本题考查的是三角形角之间的关系及角的平分线定义. 由题意可知：想直接判断∠BAC与∠B的大小关系有些困难，因而可找一个与它们都有关系的角，由图可知，∠BAC 是∠DAC的外角，故∠BAC＞∠ACD，同理∠DCE＞∠B，又由题意知，∠ACD＝∠DCE，此题得解.ABC D E解：在△ACB中，∠BAC是△CAD的外角.所以∠BAC＞∠ACD（三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角）因为CD平分∠ACE（已知）所以∠ACD＝∠DCE（角平分线定义）又因为∠DCE是△BCD的外角所以∠DCE＞∠B（三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角）所以∠BAC＞∠B.评析：要善于看一个角是哪一个三角形的外角，能跟哪些角有关系.题型三三角形的中线例3.如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰及底边长.分析：由题意可知，中线BD将△ABC的周长分成AB＋AD和BC＋CD两部分，故有两种可能：（1）AB＋AD＝15且BC＋CD＝6. （2）AB＋AD＝6且BC＋CD＝15. 再由AB ＝AC＝2AD＝2CD及三角形三边关系知（1）成立，（2）不成立.AB CD解：设AB ＝AC ＝2x ，则AD ＝CD ＝x（1）当AB ＋AD ＝15，BC ＋CD ＝6时，有2x ＋x ＝15. 所以x ＝5，2x ＝10，BC ＝6－5＝1.（2）当BC ＋CD ＝15，AB ＋AD ＝6时，有2x ＋x ＝6 所以x ＝2，2x ＝4， 所以BC ＝15－2＝13又因为4＋4＜13，故不能组成三角形，舍去. 答：三角形的腰长为10，底边长为1.评析：涉及等腰三角形的边的问题时，常要分情况讨论，讨论这条边是等腰三角形的腰还是底，然后看它们是否满足三角形的三边关系，不满足的要舍去.题型四 中线平分三角形面积例4. 如图所示，△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，求阴影部分的面积S 阴.分析：S 阴＝12S △BEC ，如何求△BEC 的面积成为解题关键，由点E 的由来，即为AD 的中点可得S △BED ＝12S △ABD ，S △ECD ＝12S △ADC ，因此S △BEC ＝12S △ABC ＝2cm 2，S 阴＝1cm 2.ABD解：因为E 为AD 中点 所以S △BED ＝12S △ABD ，S △DEC ＝12S △ADC所以S △BED ＋S △DEC ＝12S △ABD ＋12S △ADC即S △BEC ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2又因为F 为EC 中点 S 阴＝12S △BEC ＝12×2＝1cm 2.评析：运用中线把一个三角形面积平分成相等的两部分.题型五 与三角形高线相关的角例5.△ABC 中，已知∠A ＝58°，BD 、CE 是△ABC 的两条高线，BD 交CE 于H ，求BD 与CE 的夹角.分析：依题意画出图形，图中直角三角形较多，与∠A 相关的三角形可选择其中的R t△ABD ，可求∠1，在R t △BEH 中，已知∠1可求∠2，∠2求出后可求边BD 与CE 的夹角.A BC E DH12解：因为BD 、CE 是△ABC 的高 所以△ABD 、△BEH 为直角三角形 所以∠1＝90°－∠A ＝90°－58°＝32°∠2＝90°－∠1＝90°－32°＝58°（直角三角形两锐角互余） 而∠DHC ＝∠2＝58°，∠BHC ＝∠EHD ＝180°－∠2＝112° 所以BD 与CE 夹角为58°或112°.评析：在图中∠2与∠A 均为∠1的余角，所以∠A ＝∠2，因此三角形两条高夹角等于第三个角或其补角.题型六 三角形的高线与面积关系的转化例6. 如图所示，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AB ＝13cm ，BC ＝12cm ，AC ＝5cm ，求（1）△ABC 的面积；（2）CD 的长.ABCD分析：直角三角形面积有两种求法：（1）S R t △＝12ab （a 、b 为直角边）. （2）S R t △＝12ch（c 为斜边，h 为斜边上的高）. 利用两种表示法可得ab ＝ch .解：（1）因为R t △ABC 中，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，∠ACB ＝90°所以S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×5＝30（cm 2）（2）因为CD 是AB 边上的高 所以S △ABC ＝12AB ·CD ，即30＝12×13×CD所以CD ＝6013（cm ）【方法总结】1. 角的计算常和三角形内角和联系起来，列出方程求解.2. 三角形的角平分线常与平行线的性质综合运用，而三角形的中线将三角形面积二等分，常用在一些实际问题的作图中.3. 学习本节内容一定要“数形结合”，善于将问题转化.【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题1. 如图所示，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠A ＝35°，则∠D 的度数为（ ） A. 35°B. 65°C. 55°D. 45°ABCDE2. 如图所示，已知△ABC 的角平分线BD 、CE 交于点F ，∠A ＝60°，则∠BFC ＝（ ） A. 100°B. 105°C. 110°D. 120°A BCDEF3. 如图所示，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B ＝35°，∠C ＝65°，则∠DAE ＝（ ）A. 30°B. 20°C. 15°D. 10°ABCDE 4. 如图所示，点I 是△ABC 的三条角平分线的交点，∠BIC ＝130°，则∠A 的度数是（ ） A. 40°B. 50°C. 65°D. 80°A BCI5. △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，AB ＝10，则边AB 上的高的长是（ ） A. 8B. 6*6. 锐角三角形中，最大锐角x 的取值X 围是（ ）A. 0°＜x ＜180°B. 60°＜x ＜90°C. 60°≤x ＜90°D. 0°＜x ≤60° 二. 填空题1. 在R t △ABC 中，锐角A 的平分线与锐角B 的平分线相交于点D ，则∠ADB ＝__________.2. 根据图示直接写出∠α的度数.(1)α62°38°(2)20°α25°30°150°α(3)70°α(4)70°60°20°α(5)20°α45°135°(6)（1）∠α＝__________，（2）∠α＝__________，（3）∠α＝__________， （4）∠α＝__________，（5）∠α＝__________，（6）∠α＝__________， 三. 解答题1. 如图所示，AD 是△ABC 的中点，E 为AD 上任意一点，那么S △ABE 与S △AEC 的面积是什么关系？说明理由.ABCDE**2. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 为BC 上的点，∠BAD ＝30°，AC 上有点E ，且∠ADE ＝∠AED ，求∠EDC 的度数.ABCDE**3. 已知，如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线把三角形的周长分成12和15两部分，求△ABC 各边长.ADB C【试题答案】一. 选择题1. A2. D3. C4. D5. C6. C二. 填空题1. 135°2.（1）100°，（2）35°，（3）60°，（4）70°，（5）30°，（6）70°三. 解答题1. S△ABE＝S△AEC. 因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD＝S△ACD，且S△BDE＝S△CDE，所以S△ABD－S△BDE＝S△ACD－S△CDE，即S△ABE＝S△AEC.2. 设∠EDC＝x°. 因为∠AED是△DCE的一个外角，所以∠AED＝x°＋∠C，又因为∠ADC＝∠ADE＋x°＝∠AED＋x°是△ABD的一个外角，所以∠ADE＋x°＝∠B＋∠BAD，所以∠AED＋x°＝∠B＋30°，即x°＋∠C＋x°＝∠B＋30°，所以2x°＝30°，x＝15.3. 当AB＋AD＝12，BC＋CD＝15时，AB＝AC＝8、BC＝11；当AB＋AD＝15，BC＋CD＝12时，AB＝AC＝10、BC＝7. 这两种情况都满足题意.。
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基本的平面图形典型例题与强化训练典型例题：例1、已知线段AB,延长线段AB 到C,使BC=3 AB ，反向延长线段 AB 至31D,使AD=2 AB ，P 为线段CD 的中点，已知 BP=15cm 求线段AB 、CD 的长。
数。
⑴ 若/ AOB=a ，其他条件不变，/ DOE 等于多少？ ⑵ 若/ BOC 邛，其他条件不变，/ DOE 等于多少？ ⑶若/ AOB=a ，Z BOC=3，其他条件不变，/ DOE 等于多少?例2、如图，C ，D, E 将线段AB 分成2:345 四部分，M P ，Q, N 分别是AC ，CD ，DE EB 的中点，且MN=21求线段PQ 的长度. ........................例5、如图, 长线•求/AB CD 相交于点 直线 2和/ 3的度数，并说明O,且/ BOC=80 , OE 平分/ BOC OF 为OE 的反向延 OF 是否为/ AOD 勺平分线.例3、已知线段 AB=14cm 在直线AB 上有一点C,且BC=4cn, M 是线段AC 的中点，求线 段AM 的长. 例6、如图， / BOC OE 平分/ AOD 若/ EOF=170，求/ COD 的度数。
由点O 引出六条射线 OA OB OC OD OE OF,且/ AOB=90 , OF 平分例4、如图所示，/ AOB=90 , / BOC=30 , OE 平分/ AOC OD 平分/ BOC 求/ DOE 的度练习： 1.下列说法中，错误的是（8.如上图所示，从 0点岀发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是A. 10 个 B . 9 个 C9.下图中，能用2 AOB 2 Q.8个D . 4个21 三种方法表示同一个角的图形是（Ao.18A.经过一点可以作无数条直线C.—条直线只能用一个字母表示2.下列说法中，正确的是（）A .射线AB和射线BA是同一条射线C.延长线段 MN到P使NP= 2MN3.平面上的三条直线最多可将平面分成（B .经过两点只能作一条直线D .线段CD和线段DC是同一条线段10.已知/ 1=17°.延长射线MN到C.连结两点的线段叫做两点间的距离）部分。
A . 3 B . 6 C . 7 DA . / 1=2211 .如右图，从地有2条水路、4.如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a BC=b, 则线段AD的长是（）A. 2（a-b）B. 2a-bC. a+bD. a-b5.如果点P在AB上，下列表达式中不能表示P是AB中点的是（1A . AP=1 AB B . AB=2BPC . AP=BPD . AP+BP= AB6.下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是-*----- *—A BA17.点P在线段EF 上,其中能表示点P是2B现有四个等式:EF中点的有（)⑵PE=PF;C2.2个D . 1个18',2 2=17B . 21=23A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从2条陆路，从B地达到C地有3条陆路可供选择，走空中从（种2 3=17 . 3°，下列说法正确的是（2 2=23 D .没有相等的角A地到BA地不经B地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有A . 20 种B . 8 种C . 5 种D . 1312. 一个人从A点岀发向北偏东60°再从B点岀发向南偏西15 °方向走到A 、75 °13.往返于A、14.（1）如图（2）如图（A C、105°的方向走到B点,C点，那么/ ABC的度数是（）、45 °D 、135 °B两地的客车，中途停靠五个站，则共有_种票价，要准备 ________ 种车票。
（1）的射线上，O为端点，A、B、C为任意三点，则图中有__________ 条射线.2）直线m上有4个点A、B、C、D,则图中共有_________ 条射线.15.已知平面内三个点 A、B C,过其中每两个点画直线，可以画_________________ 几条。
16.如图，AB= 40,点C为AB的中点，点 D为CB上的一点，点 E是BD的中点，且 EB= 5,则CD的长为j___________ i J___jC I> K H17.已知点B在直线AC上，线段AB=8cm AC=18cm p、Q分别是线段 AB、AC的中点，则线段PQ=__________________ .18. 一跳蚤在一直线上从 0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单 位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳 第100次落下时，落点处离 0点的距离是 _______ 个单位.19. _________________________________________________ 已知/ A0B=3/ BOC 若/ BGC=30° ,则/ AOC 等于 ____________________________________ ;已知/ AOB= 60°,/ AOC =50°，/ BOC= ____________ .20. 已知过m 边形的一个顶点有 7条对角线，q 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线， 则（m-p ） q的值为 ________21. 如图，OC 平分/ AOD OE 平分/ BOC 如果/ AOB=135，/ DOE=12，求/ COE 度224、如图已知点 C 为AB 上一点，AC= 12cm, CB = 3 AC ，D E 分别为 AC AB 的中点.求3第20题图点A 发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设时间为（1）写岀数轴上点 B 表示的数 __________ ，点P 表示的数 _______________ （用含t 的代数式 表示）；（2）动点Q 从点B 岀发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P 、Q同时岀发，问点 P 运动多少秒时追上点Q?23、如图，已知/ COD/ AOB=9)°, OE 为/ BOD 的平分线，/ BOE=17 18 求/ AOC 的度数DE 的长A DEC B22、如图，已知/ COD/ AOB=9）°。
（1）/ AOC 与/ BOD 是什么关系？ ⑵ 若/ BOC=152 ,求/ AOD 的度数附加题：1、如图，已知数轴上点A 表示的数为8,B 是数轴上一点，且 AB=14.动点P 从t (t>0 )I-n⑶ 若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段 MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画岀图形，并求岀线段MN的长；⑷若点D是数轴上一点，点D表示的数是X,请你探索式子|x+6|+|x-8| 是否有最小值? 如果有，直接写岀最小值；如果没有，请说明理由。
由题意得，MN=MC+CD+DE+EN=x+3x+4x+2.5x 即10.5x=21，所以x=2，线段PQ的长度=0.5CD+0.5DE=3.5x=7 .故答案为：7.例2、【分析】（1）因为图中的射线只能向右无限延伸，且射线上有3个点（不包括射线的端点），所以一共有4条射线；（2）因为图中的直线是向两方无限延伸的，且直线 m上有4个点，所以可把各点分别看成向右边无限延伸的射线的端点时数岀4条射线；再把各点看成是向左边无限延伸的射线的端时也可数岀4条射线，即直线 m上共有8条射线.【答案】（1） 4 （2） 8.【点评】当一条射线上有 n个点（包括射线本身的端点）时，共有n条射线，当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.例3、【分析】题目中只说明了 A、B、C三点在同一直线上，无法判定点 C在线段AB 上，还是在线段 AB外（也就是在线段 AB的延长线上）•所以要分两种情况求线段 AM的长.【解】①当点C在线段AB上时，如下图.参考答案：例题、例1、【解析】题目涉及的情况有两种，如图所示:1因为M是线段AC的中点，所以 AM—AC.2又因为 AC— AB— BC, AB— 14cm, BC- 4cm.1所以 AM=—（AB— BC）（14— 4） =5 （cm）.2点C在线段AB的延长线上时，如下图所示.【答案】12厘米或2厘米.例2、设AC=2x 贝U CD=3x DE=4x, EB=5x, 于是有MC=x EN=2.5x，1因为M是线段 AC的中点，所以 AM」AC.又因为 AC=AB+BC AB=14cm BC- 4cm,所21以 AM— (AB+BC =9 (cm).2所以线段AM的长为5cm或9cm.【点评】“在直线AB上有一点C”解题很重要•我们一定分清楚其分类.1 1例5、【解】因为/ BOC=80 , OE平分/ BOC所以/ 1 = 一 / BOC」X 80° =402 2又因为CD是直线，所以/ 2+Z BOC=180 .所以/ 2=180 ° - 80° =100°.同理/ 2+Z AOD=180，/ 1 + Z 2+Z 3=180°.所以/ AOD=80 , Z 3=40 °.1所以Z 3=Z _AOD所以OF是Z AOD的平分线.2【点评】解答本题必须理解角的平分线的下列含义：角平分线满足如下两个条件：①是从角的顶点引岀的射线，即角平分线与该角共顶点，且在角的内部；②把已知角分成两个角，且这两个角相等.【解】••• AB= 40,点C为AB的中点，1 1--CB= AB= X 40 = 20.2 2•••点E为BD的中点，EB= 5，二 BD= 2EB= 10.— CD= CB— BD= 20 — 10= 10.【点评】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开.3、【解析】本题没有给岀图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画岀的图形解题.AC AB【答案】当点 C在点A左侧时，AP= -AC =9，AQ=^B =4，2 2••• PQ=AQ+AP=9+4=13.cmAB 1当点 C在点 B右侧时，AP=——=4cm, BC=AC-AB=10cm AQ—，AC=9,2 2• PQ=AQAP=9-4=5cm .故答案为 13cm 或 5cm.【小结】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性•在今后解决类似的问题时，要防止漏解.练习：1、【解析】①.应为每一段往返时票价相同，所以有多少条线段就是有多少种票价.②车票数是以这 5个点分别为一个端点的线段数. 附加题：解：(1)点B表示的数是-6，点P表示的数是8-5t【答案丨①4+3+2+1=10 ;(2)设点P运动x秒时，在C处追上点Q (如图)②10 -」一工.则 AC=5x, BC=3x,••• AC -BC=AB••• 5x -3x=14，解得 x=7(3) 没有变化，分两种情况： ①当P 在点A 、B 之间运动时:②当P 点运动到点 B 的左侧时：111 1MN=MP-NP=AP- - BP=— (AP-BP)= - AB=72 2 2 2综上所述，线段 AB 的长度不发生变化，其值为 7.(4)式子 |x+6|+|x-8|=|x- (-6) |+|x-8| 有最小值，最小值为 14BI 显 A■ • ■ £p y 2X!0MN=MP+Np=AP+2BP =2(AP +BP )=12 AB=7。