北师大版数学高二选修2素材 1.5用二项式定理证明不等式
2019-2020北师大版高中数学选修2-3备课：1.5二项式定理
§5 二项式定理备课资源参考教学建议1.高考对二项式定理的考查,主要涉及利用二项式通项求展开式的特定项,利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题,利用二项式定理进行近似计算.题型以选择、填空题为主,少有综合性的大题.2.本节重点是二项式定理、二项式系数的性质,及它们的简单应用;难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.备选习题1(1+2x )3(1-x )4展开式中x 2的系数为 .解析:(1+2x )3(1-x )4展开式中x 2的系数有以下几种情况:(1+2x )3中出现常数项,则展开式中x 2的系数即为(1-x )4中x 2的系数=6;(1+2x )3中出现x 项,则(1-x )4中应出现x 项,因此·2·(-1)=-C 24C 13C 1424;(1+2x )3中出现x 2项,(1-x )4中出现常数项,此时·22·1=12.C 23∴(1+2x )3·(1-x )4展开式中x 2的系数为6-24+12=-6.答案:-62已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-,其中i 2=-1,则展开式中常数(x 2-ix )n 314项的值是多少?解:设的展开式的第r+1项为T r+1,(x 2-ix )n 则T r+1=·(x 2)n-r ·C r n (-i x)r =·(-i)r ·.C r n x 2n -5r 2由已知第三项与第五项的系数比为-,314得=-,C 2n ·(-i )2C 4n ·(-i )4314即,C 2n C 4n =314解得n=10.由2n-=0得r=8,则展开式中的常数项为·(-i)8==45.5r 2C 810C 810=C 2103已知(1-2x+3x 2)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 13x 13+a 14x 14.(1)求a 0+a 1+a 2+…+a 14;(2)求a 1+a 3+a 5+…+a 13.解:(1)令x=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 14=27=128.①(2)令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 13+a 14=67.②①-②得2(a 1+a 3+…+a 13)=27-67=-279 808.∴a 1+a 3+a 5+…+a 13=-139 904.。
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
用二项式定理证明幂不等式的六种情形
用二项式定理证明幂不等式的六种情形当我们需要比较两个数字的大小时，我们可以使用幂不等式来进行推导和证明。
幂不等式是一组有关指数的不等式，可以用二项式定理进行证明。
以下将介绍六种常见的幂不等式情况。
1.当a > 1时，对于任何正整数n，有a^n > a^(n-1)。
证明如下：我们可以使用二项式定理来证明这个不等式。
根据二项式定理，我们可以将a^n展开为(a-1+a)^n。
根据展开式，我们可以看到除了a^n这一项，其他所有的项都包含a^(n-1)。
例如，当n = 2时，展开式为(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1。
我们可以看到a^2这一项大于a次幂的所有其他项。
同样地，当n = 3时，展开式为(a-1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1。
在这种情况下，a^3项大于其他所有项。
通过以上证明，我们可以得出结论：对于任何大于1的正整数a，a^n大于a^(n-1)。
2.当0 < a < 1时，对于任何正整数n，有a^n < a^(n-1)。
证明如下：与前一种情况类似，我们可以使用二项式定理来证明这个不等式。
根据二项式定理，我们可以将a^n展开为(1+a)^n。
根据展开式，我们可以看到除了a^n这一项，其他所有的项都包含a^(n-1)。
例如，当n = 2时，展开式为(1+a)^2 = 1 + 2a + a^2。
我们可以看到a^2这一项小于a次幂的其他所有项。
同样地，当n = 3时，展开式为(1+a)^3 = 1 + 3a + 3a^2 + a^3。
在这种情况下，a^3项小于其他所有项。
通过以上证明，我们可以得出结论：对于任何小于1的正实数a，a^n小于a^(n-1)。
3.当a > 1且b > 1时，对于任何正整数n，有(ab)^n > a^n。
证明如下：我们可以使用二项式定理来证明这个不等式。
根据二项式定理，我们可以将(ab)^n展开为(a+b)^n。
高中数学第1章计数原理1.5.1二项式定理课件北师大版选修2-3
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项 式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提 条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆 用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指 数的规律以及各项的系数．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n 展开式中共有 n 项．( ) (2)在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响．( ) (3)Cknan－kbk 是(a＋b)n 展开式中的第 k 项．( ) (4)(a－b)n 与(a＋b)n 的二项式展开式的二项式系数相同．( )
[小组合作型]
二项式系数与项的系数问题
数；
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数． 【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开
式的通项公式进行求解．
1．二项式系数都是组合数 Cnr(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项 展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与 二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
1．在(x－ 3)10 的展开式中，含 x6 的项的系数是( )
A．－27C610
B．27C410
C．－9C610
D．9C410
【解析】 含 x6 的项是 T5＝C410x6(－ 3)4＝9C410x6.
【答案】 D
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
【数学】1_5_1二项式定理课件(北师大版选修2-3)
练习3:(1)求（1+2x )7的展开式的第4项的系数
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
解: (1)T31 C73 •173 (2x)3 280x3
第四项系数为280
(2)Tr 1
C9r
x9r
(
1 x
)r
(1)r C9r x92r
由9 2r 3, 得r=3.故x3的系数为(-1)3C93 84
指点：求常数项、有理项等特殊项问题一般由 通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思 维的严密性要求也高.
练习1. x2＋2x8的展开式中x4的系数是( )
A．16 B．70
C．560 D．1120
【解析】 设二项式展开式的第r＋1项含有x4，
则Tr＋1＝C8r(x2)8－2r
r，
∴16－2r－r＝4，x∴ r＝4.
中间一项是第5, 6项,T41
C94 x94 (
1)4 x
70x
T51
C95 x95 (
1 )5 x
70 x
课堂小结
1.注意二项式定理 中二项展开式的特征
2.区别二项式系数，项的系数
3.掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2
C 30
C13
C
2 3
C
3 3
尝试二项式定理的发现:
（a b)4 (a b)(a b)(a b（) a b)
C 04 a 4
C14a3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
a
b3
C 44 b 4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明课件理北师大版
分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实 质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要 搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思 路，用综合法书写证题过程．
2.设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，
求证1＋1≥ ab
4.
证明： 由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b＝3，
[证明] 因为 a，b，c 为正实数，由基本不等式可得a13＋b13＋c13 ≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，所以a13＋b13
＋c13
＋
abc≥ 3 ＋ abc
abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
选修4-5 不等式选讲
第2讲 不等式的证明
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋b≥ ab，当且仅当 a＝b
2 时，等号成立．
定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
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2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法 等．
北师大版数学高二课件 二项式定理
反思与感悟 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式 的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更 简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项 式系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类 问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规 律以及各项的系数.
跟踪训练2
已知在
3
x－ 3 3
Hale Waihona Puke n的展开式中，第6项为常数项.
x
(1)求含x2的项的系数；
解
3
x－33
n
展开式的通项为
Tr＋1＝Crnx
n－3 r·(－3)r·x－3r
x
n－2r
＝Cnr(－3)rx 3 .
n－2r 第 6 项为常数项，即 r＝5，且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
＝1092－C192×1091＋C292×1090－…＋C9902×102－920＋1 ＝(1092－C192×1091＋C292×1090－…＋C9902×102－1 000)＋81， ∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81. 方法二 由 9192＝(90＋1)92＝C092×9092＋C192×9091＋…＋ C9902902＋C9912×90＋1，
＋
C
2 2n＋1
×142n
－
1×52
－
…
＋
C22nn＋1×14×52n－C22nn＋ ＋11×52n＋1＋52n＋1
＝
14(142n
－
2018学年高中数学北师大版选修2-3课件：1.5.2 二项式系数的性质 精品
A．11
B．10
C．9
D．8
【解析】 ∵只有第 5 项的二项式系数最大，
∴n2＋1＝5，∴n＝8. 【答案】 D
2．如图 1-5-1，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左 至右第 14 个与第 15 个数的比为 2∶3.
图 1-5-1
【解析】 由已知CCn1n134＝23， 即n－13n！！·13！×n－14n！！·14！＝23， 化简得n－1413＝23，解得 n＝34. 【答案】 34
[小组合作型]
与“杨辉三角”有关的问题 如图 1-5-2，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上 方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前 n 项和为 Sn，求 S19 的值． 【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，……，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211.
(2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·
．
假设 Tr＋1 项系数最大，
则有CC5rr533rr≥ ≥CCr5r5－ ＋11··33rr－ ＋11， ，
∴55－ －55rr！ ！！ ！rr！ ！× ≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－ ！1×！3， ，
∴35r≥ －1 6r≥－1 rr＋，3 1. ∴72≤r≤92，∵r∈N＋，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45
【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时，中间
的两项
相等，且同时取得最大值．
已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数 和大 992.
《1.5.2 二项式系数的性质》 课件 1-优质公开课-北师大选修2-3精品
【例1】试展开 ( x 1 )4．
2x
【审题指导】展开一个二项式即直接应用二项式定理，但
应注意本题 x 为a，而b是 1 ．
2x
【规范解答】方法一：
(
x
1 2x
)
4
C04 (
x )4 C14 (
x )3
1 2x
C24 (
x)2 ( 1 )2 2x
［x 1 1］n xn.
二项式系数与某项的系数问题 二项式系数与某项的系数的区别及求法
(1)二项展开式中某项的二项式系数和该项的系数是两个不 同的概念，前者是指组合数 Crn，实际上是同类项的个数， 而后者是指该项字母的系数，其值可正、可负． (2)求某项的二项式系数、系数或含xr的系数，通常是先利 用通项公式求出相应的项，再根据题目条件确定．
【规范解答】(1)二项展开式的通项为：
Crn (3
x )nr
( 3 )r 3x
n 2r
3 r Crnx 3 ，
∵第６项为常数项，∴当r=5时，
n 2r 0，得n 10． 3
(2)根据通项公式，由题意得
n 0
2r Z 3 r 10
,
r Z
《1.5.2 二项式系数的性质》 课件 1
二项式定理的简单应用 二项式定理直接应用的策略
二项式定理的简单应用首先体现为正用二项式定理展开二 项式或逆用二项式定理化简展开式，熟记二项式(a+b)n的 展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂 的二项式，有时可先化简再展开，往往更简捷．
C34
x
(
2
高中数学 1.5.1 二项式定理课件 北师大版选修2-3
【提示】 ∵(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)，∴a2 相当于从 2 个
0 因式中的都不取 b 只取 a 即 C2 ＝C2 2＝1；ab 相当于从 2 个因 1 式中一个取 a，另一个取 b，即 C2 ＝2；b2 相当于从 2 个因式 2 中都不取 a 只取 b，即 C2 ＝C0 2＝1.
4．由问题 3 类比(a＋b)3 展开式．
●重点难点 重点：使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程， 掌握二项式系数、字母的幂次、展开式系数的规律；能够利 用二项式定理对给出的二项式进行展开． 难点：二项式定理的发现． 二项式定理形式很重要．教学中一定要注意这一点，其 关键是让学生掌握二项式定理的形成过程，让学生明确为何 可以用组合数来表示二项式定理中各项的系数，这样才能够 使学生掌握重点，也有利于突破教学难点．
这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为 (a＋b)n 的二项展开式， (a＋b)n 的二项展开式有 n＋1 项， 其中各项
－
r r n r r C C n 的系数 (r＝0,1,2…，n)称为二项式系数， na b 称为
二项展开式的第 r＋1 项，又称为二项式通项．
二项式定理的特点
【问题导思】 1．二项式定理右边的各项的次数等于多少？
1 1 2 2 3 3 n (2)原式＝3(3Cn＋3 Cn＋3 Cn＋…＋3nCn ) 1 0 n n－1 1 2 n－2 2 n n ＝ (Cn×1 ＋C1 × 1 × 3 ＋ C × 1 × 3 ＋ … ＋ C n n n3 －1) 3
n 4 －1 1 n ＝3[(1＋3) －1]＝ 3 .
●教学建议 掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由 来是关键．“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所 谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”．本节课的 教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探究 为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与 学的情境．在教学中不仅要重视知识的结果，而且重视知识 的发生、发现和解决过程．
高中高中数学北师大版选修2-3练习课件1.5.1 二项式定理精选ppt课件
A．1
B．－1
C．(－1)n
D．3n
解析：逆用公式，将1看作公式中的a，－2 看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
答案：C
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x －1)2＋5(x－1)＝________.
解析：注意逆用二项式定理即可． 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
答案：x5－1
知识点二
求展开式的特定项
3．(x－2y)6展开式中的第4项为________．
解析：由二项展开式的通项得，(x－2y)6 展开式中的第 4 项为 C36x6－3·(－2y)3＝－160x3y3.
答案：－160x3y3
4．[2013·江西高考](x2－x23)5 展开式中的常数项为(
C68·(2x2)8－6·(－ 1 )6＝112x2. 3 x
法二：在(2x2－ 1 )8 展开式中的倒数第 3 项就是( 1 －
3
3
x
x
2x2)8 展开式中的第 3 项，T3＝C28·( 1 )8－2×(2x2)2＝112x2. 3 x
课后提升训练
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再见
(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数；
(2)倒数第 3 项．
解：(1)T5＝C48·(2x2)8－4·(－
1 3
)4＝C48·24·x230，
x
∴第 5 项的二项式系数是 C48＝70，第 5 项的系数是 C48 ×24＝1120.
(2)法一：展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项，T7＝
2020-2021学年北师大版数学选修2-3学案：1.5.1 二项式定理 Word版含解析
§5 二项式定理 5．1 二项式定理授课提示：对应学生用书第19页[自主梳理]二项式定理二项式定理概念 公式(a ＋b )n ＝________________________(n ∈N *)叫作二项式定理二项式系数r ＋1项的二项式系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )二项式通项 C r n an －r b r叫作二项展开式的第________项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n ·a n －r ·b r 二项展开式 C 0n a n ＋C 1n ·a n －1·b ＋…＋C r n an －r ·b r ＋…＋C n n ·b n [双基自测]1．设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( ) A ．x 5 B ．(x ＋2)5 C ．(x －1)5D ．(x ＋1)52.⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的二项展开式为________． [自主梳理]C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n r ＋1 [双基自测]1．B P ＝C 05·15·(x ＋1)0＋C 15·14·(x ＋1)1＋C 25·13·(x ＋1)2＋C 35·12·(x ＋1)3＋C 45·1·(x ＋1)4＋C 55·10·(x ＋1)5＝(1＋x ＋1)5＝(x ＋2)5.2．32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x 10 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 25＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x 2＋C 25(2x )3·⎝⎛⎭⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝⎛⎭⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫1x 24－C 55·⎝⎛⎭⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x 10.授课提示：对应学生用书第20页探究一 二项式定理的正用、逆用[例1] (1)求(3 x ＋1x)4的展开式； (2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． [解析] (1)解法一 (3 x ＋1x)4 ＝C 04(3 x )4＋C 14(3 x )3·1x ＋C 24(3 x )2·(1x )2＋C 34(3 x )·(1x )3＋C 44·(1x )4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法二 (3 x ＋1x )4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.1．熟练掌握二项式(a ＋b )n 的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件．当二项式较复杂时，可先将式子化简，然后再展开．2．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．1．化简(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1.解析：原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.探究二 求二项展开式中的特定项[例2] 求(x －3x )9展开式中的有理项． [解析] 二项式的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 9(x 12)9－r (－x 13)r ＝(－1)r C r9x 27－r 6. 令27－r6∈Z ，且r ＝0,1,2，…，9. 得r ＝3或r ＝9.当r ＝3时，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4.当r ＝9时，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.所以(x －3x )9展开式中的有理项是：第4项，－84x 4；第10项，－x 3.二项式中的特定项(1)常数项二项展开式的某一项为常数项，就是这项中不含“变元”，一般采用令通项中变元的指数为零的方法求得．(2)有理项求展开式的有理项，应写出它的通项公式，令未知量的指数为整数，便能求出适合题意的有理项．(3)中间项对于展开式的中间项，若n 是偶数，则二项展开式的中间项为第n2＋1项；若n 是奇数，则二项展开式的中间项有两项：第n ＋12项和第n ＋12＋1项．2．已知(x －124x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．解析：依题意，前三项系数的绝对值分别是 1，C 1n (12)，C 2n (12)2， 且2C 1n ×12＝1＋C 2n(12)2，即n 2－9n ＋8＝0， 解得n ＝8(n ＝1舍去)，T r ＋1＝C r 8(x )8－r (－124x )r ＝(－12)r C r 8x 8－r 2x －r 4 ＝(－1)r C r 82r x 16－3r 4.(1)证明：若T r ＋1为常数项，当且仅当16－3r 4＝0，即3r ＝16，∵r ∈N ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若T r＋1为有理项，当且仅当16－3r4为整数．∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.探究三二项式系数与项的系数[例3]已知在(3x－123x)n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)依题意，得C4n∶C2n＝14∶3.化简，得(n－2)·(n－3)＝56.解得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)，∴n的值为10.(2)通项为T r＋1＝C r10x10－r3(－12)r x－r3＝C r10(－12)r x10－2r3(r＝0,1，…，10)．令10－2r3＝2，得r＝2.∴所求的系数为C210·(－12)2＝454.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z，∴r＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.二项式系数与系数的区别前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．3．已知二项式⎝⎛⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．解析：⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 10(3x )10－k ⎝⎛⎭⎫－23x k (k ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.转化思想在多项展开式中的应用[典例] 求(1＋x ＋x 2)8展开式中x 5的系数．[解析] 解法一 (1＋x ＋x 2)8＝[1＋(x ＋x 2)]8，所以T r ＋1＝C r 8(x ＋x 2)r ，则x 5的系数由(x ＋x 2)r来决定，T ′k ＋1＝C k r x r －k x 2k ＝C k r xr ＋k，令r ＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝5，k ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，k ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝2.所以展开式中x 5的系数为C 58·C 05＋C 48·C 14＋C 38·C 23＝504.解法二 (1＋x ＋x 2)8＝[(1＋x )＋x 2]8＝C 08(1＋x )8＋C 18·(1＋x )7·x 2＋C 28(1＋x )6·(x 2)2＋C 38(1＋x )5·(x 2)3＋…＋C 78(1＋x )(x 2)7＋C 88(x 2)8，则展开式中x 5的系数为C 08·C 58＋C 18·C 37＋C 28·C 16＝504. 解法三 (1＋x ＋x 2)8＝(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2)…(1＋x ＋x 2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x 5的来源有三个：(1)有2个括号各出1个x 2，其余6个括号恰有1个括号出1个x ，这种方式共有C 28·C 16种；(2)有1个括号出1个x 2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x ，共有C 18·C 37种； (3)没有1个括号出x 2，恰有5个括号各给出1个x ，共有C 58种．所以x 5的系数是C 28·C 16＋C 18·C 37＋C 58＝504.[感悟提高] 对于三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式．(1)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式为________． (2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋110展开式中的常数项为________． 解析：(1)因为x 2＋1x 2－2＝x 2－2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2， 所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝C 06x 6＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x ＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3＋C 46x 2⎝⎛⎭⎫－1x 4＋C 56x ⎝⎛⎭⎫－1x 5＋C 66⎝⎛⎭⎫－1x 6＝x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6.(2)因为⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋110＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a 210， 所以其通项为C r 10⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2r(r ＝0,1，…，10)， 要求原式中的常数项，则应先求出⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2r 的展开式中的常数项．因为二项展开式的第k ＋1项为C k r a r －k ⎝⎛⎭⎫1a 2k ＝C k r a r －3k(k ＝0,1,2，…，r )， 由题意，令r －3k ＝0，即r 是k 的3倍．又r ∈N ，且r ≤10，所以r ＝0,3,6,9，此时k ＝0,1,2,3.当r ＝0时，k ＝0，系数为C 010＝1；当r ＝3时，k ＝1，系数为C 13C 310＝360； 当r ＝6时，k ＝2，系数为C 26C 610＝C 26C 410＝3 150； 当r ＝9时，k ＝3，系数为C 39C 910＝C 39C 110＝840.所以原式的展开式中对应常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351. 答案：(1)x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6(2)4 351莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2019-2020北师大版高中数学选修2-3练习：1.5二项式定理 Word版含解析.pdf
§5 二项式定理课后作业提升1.的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )(x -13x )10A.0B.2C.4D.6解析:∵T r+1=)10-r C r 10(x (-13x )r=··x -r C r 10x 10-r2(-13)r =,C r 10(-13)r x 5-32r 由∈N +,知r=0或2.(5-32r )故展开式中第1、第3项x 的指数为正整数.答案:B2.若的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为()(3x -1x )nA.-540B.-162C.162D.540解析:令x=1得2n =64,则n=6.T r+1=(3)6-r C r 6x (-1x )r=(-1)r 36-r x 3-r ,C r 6令3-r=0,得r=3.故常数项为-27=-540.C 36答案:A3. 已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-1解析:因为(1+x )5的二项展开式的通项为x r (0≤r ≤5,r ∈Z ),则含x 2的项为x 2+ax ·C r 5C 25C 15x=(10+5a )x 2,所以10+5a=5,a=-1.答案:D4.(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )A .56B .84C .112D .168解析:因为(1+x )8的展开式中x 2的系数为,(1+y )4的展开式中y 2的系数为,所以x 2y 2的系数C 28C 24为=168.故选D .C 28C 24答案:D5.的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答) (x 2+1x )6解析:T r+1=·(x 2)6-r ··x 12-3r ,C r 6(1x )r =C r 6∴要求展开式中x 3的系数,即12-3r=3,∴r=3,即T 4=·x 3=20x 3,C 36∴x 3的系数为20.答案:206.若的展开式中x 3的系数是-84,则a=.(x -a x )9解析:的展开式的通项为(x -a x )9T r+1=x 9-r =(-1)r a r x 9-2r .C r 9(-a x )r C r 9令9-2r=3,得r=3.所以x 3的系数为(-1)3a 3=-84.C 39所以a 3=1.所以a=1.答案:17.求的展开式中,(2x -1x )6(1)第3项的二项式系数及系数;(2)含x 2的项.解:(1)第3项的二项式系数为=15,C 26又T 3=(2)4=24·x ,C 26x (-1x )2C 26所以第3项的系数为24=240.C 26(2)T k+1=(2)6-k =(-1)k 26-k ·x 3-k ,C k 6x (-1x )k C k 6令3-k=2,得k=1.所以含x 2的项为第2项,且T 2=-192x 2.8.已知的展开式中的倒数第三项的系数为45.求:(41x +3x 2)n(1)含x 3的项;(2)系数最大的项.解:已知展开式中倒数第三项的系数为45,则=45,即=45,n 2-n-90=0.C n -2n C 2n解得n=-9(舍去)或n=10.(1)T k+1=)10-k ()k =,C k 10(x -14x 23C k 10x -10-k 4+2k 3令-=3,解得k=6.10-k 4+2k 3故含有x 3的项是第7项,且T 7=x 3=210x 3.C 610(2)∵的展开式共11项,系数最大的项是第6项,(41x +3x2)10∴T 6=)5·()5=252.C 510(x -14x 23x 2512。
《1.5.1 二项式定理》 课件 3-优质公开课-北师大选修2-3精品
(2)注意二项式系数性质
Cmn
Cnm n
,
Cm n1
Cmn
Cm1 n
的应用.
【例1】如图所示，在杨辉三角中，斜
线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿
形的数列：1，2，3，3，6，4，10，
…，记这个数列的前n项和为S(n)，则
S(16)等于( )
(A)144
(B)146
(C)164
(D)461
C80 C18 C82 C88 28 256.
(2)展开式各项的系数之和为：a0+a1+a2+…+a8, 令x=y=1，
得a0+a1+a2+…+a8=(2-3)8=1. (3)展开式中所有奇数项的系数之和为：
a0+a2+a4+a6+a8, 令x=1,y=-1得：
a0-a1+a2-…+a8=(2+3)8=58
【规范解答】令x=1得展开式各项系数和为4n.
又二项式系数和 C0n C1n Cnn 2n. 由题意有4n-2n=992. 即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,n=5.
(1)因为n=5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为
第三、四两项，它们是
22
C52 (3 x2 )3 (3x2 )2 90x6 , C35 (3 x2 )2 (3x2 )3 270x 3 .
(A)第n项
(B)第n+1项
(C)第n项和第n+1项
(D)第n+1项和第n+2项
【解析】选D.∵2n+1为2n1与C2nn11. 该两项是第 2n 11 n 1项和(n+1)+1=n+2项.
2020-2021学年数学北师大版选修2-3学案：1.5 二项式定理 Word版含解析
§5二项式定理知识点一二项式定理[填一填](a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，C r n a n －r b r称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋x n.[答一答]1．如何记忆二项式定理？＝C r n a n－r b r，提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，T r＋1其中T r为二项展开式的第r＋1项，a，b的指数和为n.＋12．在二项展开式中，二项式系数与项的系数是否是同一概念？提示：二项式系数与项的系数不是同一概念．如(a＋bx)n(a，b是常数)的二项展开式，第r＋1项的二项式系数为C r n，它是一个正数，而第r＋1项的系数为C r n a n－r b r，其值可正可负．知识点二二项式系数的性质[填一填](1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．(3)二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. [答一答]3．如何证明C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n ＋1C n n ＝0. 提示：令二项展开式中的a ＝1，b ＝－1，即可得到要证明的结论．1．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数有何区别？二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，项的系数与二项式、二项式的系数与项数均有关，比如：在(3x －23x )10的二项展开式中，通项是T r ＋1＝C r 10(3x )10－r (－23x )r (r ＝0,1,2，…，10)，展开式的第4项的二项式系数为C 310＝120，第4项的系数为C 31037(－23)3＝－77 760.2．二项展开式：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n 的特点(1)它有n ＋1项；(2)各项的次数和都等于二项式的次数n ；(3)字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ；(4)二项展开式中，系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫作(第r ＋1项的)二项式系数，它们依次为C 0n ，C 1n ，C 2n ，…，C n n ，这是一组仅与二项式的次数n 有关的n ＋1个组合数，而与a 、b 无关．3．应用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r 应注意的问题 (1)它是(a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项，这里r ＝0,1,2，…，n ；(2)字母a ，b 是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其他的什么，只要具备二项式的形式，就可以用定理写出展开式；(3)展开式是对(a ＋b )n 这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形，例如，对于(b －a )n ，我们有T r ＋1＝(－1)r C r n b n －r a r .4．二项展开式的性质(1)如果n 是偶数，则中间一项(第n 2＋1项)的二项式系数最大；如果n为奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并且最大．(2)所有二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，也就是令a＝b ＝1，代入二项式定理而得．(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1. 也就是先令二项式定理中等式左右两边的a ＝b ＝1，再令等式左右两边中的a ＝1，b ＝－1得到两个等式，两个式子相加即可得偶数项的二项式系数和，两个式子相减即可得奇数项的二项式系数和，比较可得它们相等且等于2n －1.题型一 二项式定理的应用[例1] 用二项式定理展开(2x －32x 2)5.[思路探究]设a ＝2x ，b ＝－32x 2—⎪⎪⎪⎪ ――→思路一直接利用二项式定理展开――→思路二先化简再展开[解] 方法一：(2x －32x 2)5＝C 05(2x )5(－32x 2)0＋C 15(2x )4·(－32x 2)1＋C 25(2x )3(－32x 2)2＋C 35(2x )2(－32x 2)3＋C 45(2x )1(－32x 2)4＋C 55(2x )0(－32x2)5＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10. 方法二：(2x －32x 2)5＝(4x 3－32x 2)5＝132x 10(4x 3－3)5＝132x 10[C 05(4x 3)5(－3)0＋C 15(4x 3)4(－3)1＋C 25(4x 3)3(－3)2＋C 35(4x 3)2(－3)3＋C 45(4x 3)1(－3)4＋C 55(4x 3)0(－3)5]＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.规律方法 (1)运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的结构特征，对于较复杂的二项式，化简后再展开会更简捷；(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．有时需要先对化简式进行恒等变形，使之符合二项展开式的结构特征，再进行化简．化简下列各式：(1)C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1； (2)(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． 解：(1)原式＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋C 3n 63＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n －1]＝16(7n －1)．(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.题型二 求展开式中的特定项[例2] (1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________； (2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________； (3)(x －3x )9的展开式中含x 的有理项共有________项．[思路探究] 写出通项并化简成系数乘字母的形式，根据不同的需要建立方程或不等式即可解决问题．[解析] (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r － 13 r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )． 令8－43r ＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6⎝⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r (－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 9·(－a )r x 9－2r (0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3.根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(3)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(x )9－r (－1)r (3x )r ＝C r 9·(－1)r x 27－r 6(0≤r ≤9，r ∈N )．要求含x 的有理项，只需使27－r 6∈Z ，则4＋3－r 6∈Z即可，所以r ＝3或9.当r ＝3时，27－r 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4；当r＝9时，27－r 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.即展开式中含x 的有理项共有2项．[★答案★] (1)7 (2)1 (3)2规律方法 求二项展开式的特定项的关键是抓住二项式通项．在求解时，需要把系数和字母分离出来(应注意符号)，根据题目指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式．在这里首先应熟悉几个名词：(1)常数项，即字母的指数为零的项；(2)有理项；(3)第m 项，此时r ＋1＝m .(1)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( C )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：(1)(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(22x )6－r ·(－2－x )r ＝(－1)r C r 6(2x )12－3r ，当r ＝4时，12－3r ＝0，故展开式的第5项是常数项，即T 5＝(－1)4C 46＝15.故选C.(2)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( C ) A ．－154B.154 C ．－38 D.38解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r (－2)r x 3－r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.故选C. (3)求(x －3x )6展开式中的有理项．解：(x －3x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 12)6－r ·(－x 13)r ＝(－1)r C r 6x 18－r 6. 要求有理项，只需令18－r 6∈Z ，则3－r 6∈Z ，又r ＝0,1,2，…，6，所以r ＝0或r ＝6.当r ＝0时，18－r 6＝3，T 1＝(－1)0C 06x 3＝x 3；当r ＝6时，18－r 6＝2，T 7＝(－1)6C 66x 2＝x 2.所以展开式中的有理项为x 3，x 2.题型三 展开式中的系数问题[例3] (1)若(1－3x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9(x ∈R )，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|的值为________．(2)已知(x ＋1)2 009＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 009x 2 009，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 1 004＝( )A ．22 009B ．22 008C ．21 005D ．21 004[解析] (1)在(1－3x )9展开式中奇数项为正，偶数项为负．故|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9.令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝49.令x ＝0，得a 0＝1.故|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝49－1.(2)(x ＋1)2 009＝C 02009x 2 009＋C 12 009x 2 008＋…＋C r 2 009x 2 009－r ＋…＋C 2 0092 009＝a 2009x 2 009＋a 2 008x 2 008＋…＋a 0，∴a 0＋a 1＋…＋a 1 004＝C 2 0092 009＋C 2 0082 009＋…＋C 1 0052 009＝12×22 009＝22 008. [★答案★] (1)49－1 (2)B规律方法 二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少，应就具体情况而定，有时取“1”，有时取“－1”，也有时要取其他值．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式各项系数之和为f (1)，偶数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，奇数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：(1)令x ＝0可得：(1－0)7＝a 0，则a 0＝1.令x ＝1可得：(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(－1)7＝－1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－2.(2)由(1)得x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(－1)7＝－1 ①.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝(1＋2)7＝37 ②.①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－1－37，即a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)方法一：由于偶次项系数是正数，奇次项系数是负数，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 7.由(2)中②式知|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.方法二：依据(1＋2x )7与(1－2x )7的关系可知(1＋2x )7＝|a 0|＋|a 1|x ＋|a 2|x 2＋…＋|a 7|x 7.令x ＝1可得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.题型四 求系数最大项问题[例4] (1＋2x )n 的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路探究] 根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性，确定出二项式系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8. 所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6. 所以r ＝5或r ＝6(因为r ∈{0,1,2，……，8})．所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.规律方法 本题考查系数最大项问题．常利用列方程或不等式组的方法求解．(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得．在(x －y )11的展开式中，求：(1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和．解：(1)T r＋1＝(－1)r C r11x11－r y r.(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6.(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6.(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故项的系数最大的项为T7＝C611x5y6.(5)项的系数最小的项为T6＝－C511x6y5.(6)二项式系数的和为C011＋C111＋C211＋…＋C1111＝211.题型五二项式定理的应用[例5](1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N＋)；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．[解](1)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n×31n－1＋…＋C n－1n×31＋C n n－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋C n－1n)，显然上式括号内为整数．∴原式能被31整除．(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数，故S被9除的余数为7.规律方法有关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于如何把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．另外在求余数时，注意其结果不能为负值，如(2)中不能说余数为－2，而应为7.(1)9192被100除所得的余数为(B)A ．1B ．81C ．－81D ．992解析：利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．解法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…－C 9192·100·991＋C 9292992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．由992＝(10－1)92＝C 0921092－…＋C 9092102－C 919210＋1.前91项均为能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除可得余数为81，故选B.解法二：(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81，故选B.(2)求证：3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N ＋，且n >2)．证明：利用二项式定理3n ＝(2＋1)n 展开证明．因为n ∈N ＋，且n >2，所以3n ＝(2＋1)n 展开至少有四项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1，所以3n >(n ＋2)·2n －1.——多维探究系列——搭配理解二项式问题求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．此法易出现分类搭配不全，运算失误等错误．[例6] (x ＋a x )·(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40[解析] 法一：令x ＝1，由已知条件得1＋a ＝2，则a ＝1.(2x －1x )5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－1x )＋C 25(2x )3·(－1x )2＋C 35(2x )2(－1x )3＋C 45(2x )·(－1x )4＋(－1x )5＝32x 5－80x 3＋80x －401x ＋10×1x 3－1x 5. 则常数项为40.法二：令x ＝1得1＋a ＝2，∴a ＝1.又(2x －1x )5的通项T r ＋1＝C r 525－r(－1)r ×x 5－2r , 故分两类： (1)x ＋1x 的x 与(2x －1x )5展开式的1x 相乘． (2)x ＋1x 的1x 与(2x －1x )5展开式的x 相乘． 故令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得r ＝2.从而常数项为C 35×22×(－1)3＋C 25×23×(－1)2＝40.[★答案★] D1．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( D ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：分两类，1－x 3中常数项与(1＋x )10展开式的x 5相乘，1－x 3中－x 3与(1＋x )10展开式的x 2相乘．故x 5的系数为207.2．(1＋x 3)(x ＋1x 2)6展开式中的常数项为35.解析：(x ＋1x 2)6的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·(1x 2)r ＝C r 6x 6－3r ，(1＋x 3)(x ＋1x 2)6的展开式中的常数项由两部分组成：①由6－3r ＝0，得r ＝2，C 26＝15；②由6－3r ＝－3，得r ＝3，C 36＝20.相加得15＋20＝35.1．已知(2x 3＋1x )n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( B )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：T 7＝C 6n (2x 3)n －6⎝⎛⎭⎪⎫1x 6＝C 6n ·2n －6·x 3n －24，令3n －24＝0，得n ＝8.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋…的值等于( B )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：由已知得3n ＝729，∴n ＝6.∴C 1n ＋C 3n ＋…＝C 16＋C 36＋C 56＝32.3．使(3x ＋1x x )n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( B )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由二项式的通项公式得T r ＋1＝C r n 3n －rxn －52r ，若展开式中含有常数项，则n －52r ＝0，即n ＝52r ，所以n 最小值为5.选B.4．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有6项．解析：展开式的通项T r ＋1＝C r 20x 20－r ·(43y )r ＝C r 20x 20－r y r ·3r4.由r ＝0,1,2，…，19,20，r4∈N ，得r ＝0,4,8,12,16,20. 所以系数为有理数的项共有6项．5.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25的展开式中x 2的系数是10；其展开式中各项系数之和为243.(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 5x 5－r·(2x －2)r ＝C r 5·2r ·x 5－3r . 令5－3r ＝2，则r ＝1.则x 2项的系数为C 15·21＝10.令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25＝35＝243，即为各项系数之和． 6．若(25x ＋3)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3，求(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值． 解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝(25＋3)3， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＝(3－25)3， ∴原式＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3)(a 0－a 1＋a 2－a 3)＝(3＋25)3·(3－25)3＝－173. 感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-3同步配套课件：1.5 二项式定理1.5.1 .pdf
8
展开式的通项为
Tr+1=C8������ ar������8-43������
,令
8-
43r=4,可得 r=3,故C83a3=7,易得 a=12.
答案1
2
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题型一
题型二
题型三
题型四
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(2)解①
������2
+
1 2 ������
10
的展开式的第 5 项为 T5=C140 ·(x2)6·
§5 二项式定理
-1-
5.1 二项式定理
-2-
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1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式. 3.能解决与二项式定理有关的简单问题.
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随堂演练
12
1.(a+b)n= C���0��� ������������ + C���1��� ������������ − 1������ + ⋯ + C������������ ������������ − ������������������ + ⋯ + C������������ ������������. 这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n 的二项 展开式,(a+b)n 的二项展开式有 n+1 项,其中各项的系数C������������ 称为二项式系数, C������������ ������������ − ������������������称为二项展开式的第������ + 1 项, 又称为二项式通项. 说明:(1)二项展开式的特征:
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-3同步配套课件：1.5 二项式定理1.5.2 .pdf
解析:由1,3,5,7,9,…可知它们成等差数列,所以an=2n-1. 答案:2n-1
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123456
6.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和.
解设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9. (1)二项式系数之和为C90 + C91 + C92+…+C99=29. (2)各项系数之和为 a0+a1+a2+…+a9,令 x=1,y=1,所以
D.第 5 项和第 7 项
解析
������-
1 ������
10
的展开式的通项为
Tr+1=C1������0 x10-r·
-
1 ������
������
=(-1)rC1������0 x10-2r,
其系数为(-1)rC1������0 .
∵ C150最大,其次是C140与C160,
∴当 r=4 或 r=6 时,系数最大,即第 5 项和第 7 项系数最大.
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 3】求(1-2x)7 展开式中系数最大的项. 解设展开式中的第 r+1 项的系数最大,由通项知 Tr+1=C7������ ·(2)rxr(r=0,1,…,7),则此时 r 为偶数.
依题意得 C7������ (-2)������ ≥ C7������-2(-2)������-2, C7������ (-2)������ ≥ C7������+2(-2)������+2,
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1.5 用二项式定理证明不等式
有关不等式证明问题是高考的热点。
因不等式的结构变化万千，所以证明方法繁多，技巧性很强。
如能根据题目特点，选择合适的方法，往往能出奇制胜。
本文仅介绍用二项式定理证明不等式，供同学们参考。
一、直接利用定理
例1、 求证：)2(2
)12(1+>+-n n n （n )2≥∈n N 且 证明：（2+1）n =n 2+C 1
n 12
-n +C 222-n n +1+ >2n + C 1n 12-n =12-n (n+2)
二、创设条件利用定理
例2、 已知a 、b +∈R ,求证：n n n b a b a )2
()(21+≥+ 证明：设a ,0>≥b 令a=s+t , b=s-t ，则s>0 ,t 0≥
(1)当n=1显然成立；（2）当n ≥2时，有
)(21n n b a +=2
1 =2222s t t s c s n n n n ≥+++- =n b a )2
(+ 例3：已知数列{}n a ，{}数列分别是等差数列和等比n b 且
a 1=
b 1, a 2=b 2,a 12a ≠,a )(0+∈>N n n ,求证：当n 3≥时，a n n b <
证明：等差数列{}n a 的公差d= a 2- a 1≠0,
若d<0,必存在某个N ，当n>N 时，0<n a 与已知矛盾，故d>0
n 3≥,b n = b 1q 1-n = a 1(112)-n a a = a 1(11
1)-+n a d a = a 1(1+11)-n a d = a 1
=a 1(1+ C 11-n 1
a d )= a 1+(n-1)d=a n 总之：和自然数n 有关的不等式问题，我们用二项式定理（必要时去创设定理的应用条
件）结合放缩法，往往能收到奇效，请同学们在学习过程中不妨一试。