高三数学多面体与正多面体

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(上海)数学高三上册-15.1 多面体的概念课件_2

棱锥的斜高).
(2)正棱锥的高、斜高和斜高 A
在底面上的射影组成一个直角三 M
角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱
B
在底面上的射影也组成一个直角
三角形.
S
E
O
D
C
想一想
1 . 正成棱 ?的
2 . 正成棱 ? 的
S
A M
B
E
O
D
C
例1.已知正三棱锥S—ABC的底面边长为6,高为3 (1)求棱锥的侧棱长与斜高
(1)求棱锥的侧棱长与斜高 2
棱锥的侧棱长SA =2 2
D
棱锥的斜高SM = 7
C
E
F
O2
3
B
A M
E
F
O
D
A
M
C
B
遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。不要试图什么都争第一。朋友间的不和，就是敌人进攻的机会。——伊索无所求则无所获。 ——苏霍姆林斯基友谊使欢乐倍增，悲痛锐减。——培根用最多的梦想面对未来。用伤害别人的手段来掩饰自己缺点的人，是可耻的。对于人来说，白癜风康复报告问心无愧是最舒服的枕头重在实干。骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。如果可恨的挫折使你尝到苦果，朋友，奋起必将让你尝到人生的欢乐。不敢冒险的人既无骡子又无马；过分冒险的人既丢骡子又丢马。——拉伯雷
一组平行(等长)的棱; (上)底面相关概念：对角线
侧棱
侧面
高
(下)底面
棱柱的基本性质
棱柱具有哪些性质？ (1)棱柱的侧面都是平行四边形; (2)平行于底面的截面都是全等的多边形;

什么是多面体有哪些常见类型

什么是多面体有哪些常见类型在我们的日常生活和数学世界中，多面体是一个常见而又有趣的概念。

那到底什么是多面体呢？简单来说，多面体是由多个平面多边形所围成的立体图形。

多面体的每个平面多边形都被称为多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，多条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。

多面体有着各种各样的类型，下面我们就来介绍一些常见的多面体。

首先，我们来认识一下棱柱。

棱柱是一个相当常见的多面体类型。

它有两个互相平行且全等的底面，侧面都是平行四边形。

如果棱柱的底面是三角形，那就叫做三棱柱；底面是四边形，那就是四棱柱，以此类推。

比如，我们常见的长方体就是一种四棱柱，它的六个面都是矩形。

接下来是棱锥。

棱锥有一个多边形的底面，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

如果底面是三角形，那就是三棱锥，也叫四面体，因为它有四个面。

如果底面是四边形，那就是四棱锥。

棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

还有棱台，棱台可以看作是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分就是棱台。

棱台的上下底面是相似的多边形。

再说说正多面体。

正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。

正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体（也就是正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。

正四面体的四个面都是等边三角形，它是最简单也是最对称的正多面体。

正方体大家就更熟悉了，六个面都是正方形，十二条棱长度相等，八个顶点。

正八面体是由八个等边三角形围成的，它有六个顶点。

正十二面体有十二个正五边形的面，二十个顶点。

正二十面体则由二十个等边三角形组成，有十二个顶点。

多面体在我们的生活中有着广泛的应用。

在建筑设计中，许多建筑物的外形都可以看作是由不同的多面体组合而成。

比如，一些现代的体育馆、展览馆，其独特的造型往往包含了各种多面体的元素。

在包装设计中，多面体的结构也经常被运用，以达到节省材料、增加稳定性等目的。

在数学研究中，多面体的性质和相关定理也是一个重要的领域。

探索多面体的特征

探索多面体的特征多面体是一个有限的三维几何体，它由若干个多边形所围成，每个多边形都共用一个边。

多面体的研究已经有很长的历史，并且在数学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。

本文将探讨多面体的特征，包括面、边、顶点的数量以及欧拉公式和分类等。

一、多面体的面、边和顶点多面体由若干个面所组成，每个面都是一个多边形。

我们以正多边形为例来讨论多面体的特征。

如果一个多面体的面都是正多边形，并且每个顶点处的多个面都可见，则称之为凸多面体。

凸多面体的特点是每个面都向外凸出，并且所有顶点都在多面体的内部。

多面体的边是面和面之间的边界线段，它们连接了相邻的面。

每两个相邻的面共享一个边。

边的数量等于所有面内部的边的数量之和。

顶点是多面体中的角点，它们是相邻的边的交点。

顶点的数量等于所有面内部的角点数量之和。

二、欧拉公式欧拉公式是研究多面体特征的重要定理，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。

欧拉公式表明，对于任何一个凸多面体，它的面数、边数和顶点数之间满足以下关系：面数 + 顶点数 = 边数 + 2这个公式被认为是将面、边和顶点联系在一起的重要定理，它描述了多面体的拓扑性质。

欧拉公式也被应用在其他领域，比如图论和计算几何等。

三、多面体的分类根据多面体的特征，我们可以将其进行分类。

首先，根据面的形状，多面体可以分为正多面体和非正多面体两种类型。

正多面体是指所有的面都是正多边形的多面体。

最著名的正多面体是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。

正多面体具有对称性和规则性的特点，它们的所有边长和内角都相等。

非正多面体则是指除了正多边形以外的多边形组成的多面体。

非正多面体的面可以是任意形状的多边形，它们的边长和内角可以不相等。

其次，根据多面体的拓扑结构，多面体可以分为闭合多面体和开放多面体。

闭合多面体是指所有的面都是由完全封闭的多边形所构成的多面体，它们没有任何的挖空部分。

闭合多面体包括正多面体和非正多面体，它们由有限数量的面所组成。

人教版高中数学必修2《基本立体图形—多面体》PPT课件

(4)棱台定义及分类
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截
棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做
棱台.
分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截
得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱
台……
记作棱台
正棱台
ABCD-A′B′C′D′
例题
将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：
多面体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、直棱柱、四面体、平行六面体.
基本立体图形（多面体）
高一年级数学
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用，在小学和初中我们已经认识了一些从现实物体中抽象出来的立体图形，立体图形各式各样、千姿百态，本节课我们将从空间几何体的整体观察入手，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法.
我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
记作棱柱 ABCDEFA′B′C′D′E′F′
分类：直棱柱，斜棱柱，正棱柱，平行六面体.
像金字塔这样的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体就是棱锥.
剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.
立体几何中常用割补法解题，将一个不规则的几何体用一个平面分割成规则的几何体，这种方法蕴含了一种构造思想，有利于提高同学们的创新思维品质.
如果我们用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其中一部分还是棱锥，那么另一部分又是什么几何体呢？我们把底面和截面之间的部分多面体就叫做棱台.

多面体与正多面体

高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点：１、欧拉公式（如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识：1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。

一切凸多面体都是简单多面体。

4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．6思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体．（二）例题分析：例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（）个Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿解：(1) B（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．说明：2,2kV E k nF E n ==条棱则过一个顶点有边形则每个面为例3：连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为22，体积为6121)22(3122=⨯⨯⨯．所以体积之比为１:６．思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（31arccos -π）（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．解：（一）补成一个正方体，如图，V=31221⨯=864（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（）（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215解：D（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（）个Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种(３)一个凸多面体的棱数为３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿解：(1) B （２）3（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。

高三数学一轮复习 9.9 多面体、球课件文大纲人教版

【状元笔记】
球面上两点间的距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．求两点间的球面距离的关键是求出球心角．求球心角时，往往转化到三角形中来解决．求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧的长．
此小圆的半径为Rcos α，而两地的经度差为90°，故有 Rcos α＝R，
cos α＝，则α＝ .
答案：B
变式3: (2009·河南六市第一次联考)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cos A＝，BC＝1，AC＝3. 若球的表面积为16π，则A、B两点的球面距离是________．
离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝
.
(3)大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平
面截得的圆叫做小圆．
(4)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的
大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
(5)球的体积公式：半径是R的球的体积V＝πR3.球的表面积公式：半径是R的球
(1)作出过球心的截面图形，降维处理，利用球体的对称性，化归为平面几何中圆的内接或外切多边形求解． (2)以球心为顶点构造特殊的几何体，利用几何体的性质求解． (3)分析题目的本质特征，化归为简单组合体性质的研究.
如图所示，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是( )
的表面积S＝ 4πR2 .
提示：注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧长三者之间的区别与联系．特别是注意球面距离，其关键是求出球面上两点与球心的张角的大小，常常是应用直观图结合三角知识求解．

正多面体的性质和计算公式

正多面体的性质和计算公式正多面体是指所有的面都是相等正多边形，且每个顶点所围成的角都相等的立体图形。

正多面体具有一些独特的性质和计算公式，下面将对这些内容进行详细论述。

一、性质1. 对称性：正多面体具有高度的对称性。

它的每个面都可以通过旋转或镜像变换重合于另一个面。

这种对称性使得正多面体在美学和设计领域具有广泛应用。

2. 面数、棱数和顶点数的关系：设正多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V。

根据多面体的性质，有以下关系式：F + V = E + 23. 欧拉公式：欧拉公式是指正多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系。

根据欧拉公式，有以下等式成立：F + V - E = 24. 边长和面积：正多面体的边长可以通过计算每个面的边长来获得。

每个面上的正多边形的边长相等。

正多面体的表面积可以通过计算每个面的面积来获得，然后将各个面的面积求和。

5. 角度：正多面体的每个顶点所围成的角都相等。

不同正多面体的内角度度数不同，具体计算需要注意。

6. 对角线和体积：正多面体的对角线是连接不相邻顶点的线段。

正多面体的体积可以通过计算其底面积与高的乘积来获得，其中高是从底面到顶点的垂直距离。

二、计算公式1. 正多面体的边长计算：假设正多面体的面是正n边形，则正多面体的边长L可以通过以下公式计算：L = S / n其中，S表示正多面体的面积。

2. 正多面体的面积计算：正多面体面积的计算公式取决于具体的形状。

常见的正多面体包括立方体、正四面体、正六面体等，它们的面积计算公式如下： - 立方体的面积：A = 6a^2，其中a表示边长。

- 正四面体的面积：A = √3a^2，其中a表示边长。

- 正六面体的面积：A = 6 √3 a^2，其中a表示边长。

3. 正多面体的体积计算：正多面体体积的计算公式也取决于具体的形状。

常见的正多面体体积计算公式如下：- 立方体的体积：V = a^3，其中a表示边长。

- 正四面体的体积：V = a^3 / 6√2，其中a表示边长。

高三数学第一轮复习讲义多面体和球

高三数学第一轮复习讲义多面体和球【知识归纳】1、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。

2、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。

（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。

其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体 3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝22d R -。

提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。

4、球的体积和表面积公式：V ＝234,34R S R ππ=。

【基础训练】（1）．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是（）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥（2）．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A ．24 B ．22 C ．18 D ．16（）（3）．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （）（4）．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于（） A ．F=6,V=26 B ．F=8,V=24 C ．F=12,V=20 D ．F=20,V=12 （5）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果︒=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为__ __；（6）已知球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC 的距离为____ __ （7）．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是 A ．41 B ．π2141- C ．81 D ．π2181-（）（8）在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm 2则球的表面积为___ ___；（9）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积；（10）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____；【例题选讲】【例1】已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213, 试求第三条侧棱长的取值范围．【例2】已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V ．F ． E ．多面体的各面为正x 边形，过同一顶点的面数为y ．求证： .21111=-+E y x)【例3】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ．（Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1；（Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系，并证明你的结论．【例4】如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点．（1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由；（2）若三棱锥ABC —S 的体积为63，且BAC ∠为钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．【例5】．过半径为R 的球面上一点P 引三条长度相等的弦PA 、PB 、PC ，它们间两两夹角相等。

数学必修二多面体知识点

数学必修二多面体知识点
数学必修二中关于多面体的知识点包括：
1. 多面体的定义：多面体是由平面多边形围成的立体图形，其中每个多边形都与它相
邻的多边形共有一条边，并且任意两个平面多边形都可以通过共有的边连接起来。

2. 多面体的分类：根据面的形状和特点，多面体可以分为正多面体和非正多面体。

3. 正多面体：所有面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是以同样长度的棱相交的。

常见的正多面体有四面体、六面体和八面体。

4. 非正多面体：其中至少有一个面不是正多边形。

例如，五边形棱锥和五边形棱台就
是非正多面体。

5. 多面体的性质：
- 多面体的面数、顶点数和边数满足欧拉公式：面数 + 顶点数 - 边数 = 2。

- 正多面体的晶体系统有限个，非正多面体的晶体系统无穷个。

- 正多面体的所有内角相等，非正多面体的内角不等。

- 定理：正多面体的面数、顶点数和边数都是可以正整数的。

6. 多面体的展开图：将多面体的各个面展开到一个平面上，连接相邻的面的边，形成
的图形称为多面体的展开图。

展开图可以帮助我们计算多面体的表面积和体积。

7. 多面体的表面积和体积计算：
- 表面积：正多面体的表面积等于每个面积乘以面的个数，非正多面体的表面积等于每个面积乘以面的个数再除以2。

- 体积：对于正多面体，可以使用公式V = (1/3) * S * H来计算体积，其中S为底
面积，H为高。

对于非正多面体，需要将其分解为等腰三角形棱锥或棱台来计算体积。

以上是数学必修二中关于多面体的一些主要知识点，希望能对你有所帮助。

棱柱的概念性质

课题棱柱及其性质学习目标了解多面体、凸多面体的概念；掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念及其性质，了解棱柱的表示及其分类；能初步利用棱柱的概念及其性质解决一些简单的问题．学习重点、难点棱柱的概念及其性质学习过程一、知识点分析： 1．多面体（1）多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．（2）凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．（3）凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等．说明：我们学习的多面体都是凸多面体．2．棱柱引人：从一些常见的物体（凸多面体），例如三棱镜，方砖等，它们呈棱柱的形状（如图）．（1）棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。

两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）．（2）棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．练习：判断下列命题是否正确：（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（2）有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；（3）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱；（4）有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（5）底面是正方形的棱柱是正棱柱；（6）棱柱最多有两个面是矩形；（7）底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直的棱柱是正棱柱；（8）每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱。

高中数学必修二课件：多面体

题型四多面体的平面展开图例4 (1)如图是三个几何体的展开图，请问各是什么几何体？
【解析】由几何体展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，把展开图还原为原几何体，如图所示．
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
(2)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2 3 ，D，F分别是棱 AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF的周长的最小值为( D )
题型三棱锥与棱台的结构特征例3 (1)下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为( A )
【解析】 A项中的几何体不符合棱锥的定义，不是棱锥．
(2)如图，下列几何体是棱台的是( C )
【解析】 A不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义与特征．故A不是棱台．B、D中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义与特征，故B、D不是棱台．C中的截面平行于底面，且侧棱的延长线交于一点，符合棱台的定义与特征，故C是棱台．
思考题1 下列几何体中，是棱柱的有_①__②_⑤__⑧__；是棱锥的有_④__⑥_⑦__⑪__；是棱台的有__③_⑨__⑩___．
题型二棱柱的结构特征例2 如图为长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
探究4 将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法．立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”来解决．
化“曲”为“直”的一般步骤 (1)将几何体沿着某些棱剪开后展开，画出其平面展开图． (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题． (3)结合已知条件求得结果．

高三数学课件：9.11多面体与正多面体

9.11多面体与正多面体
【教学目标】
了解多面体、正多面体的概念
【知识梳理】
1若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．３每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体． 4.正多面体有且只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
2 5
【典例剖析】
【例1】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于
A.
B.
C.
D.
1 3
1 3
1 2
1 2
【典例剖析】
【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.
【点击双基】
1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的
对角面，所得截面图形是
BAຫໍສະໝຸດ BCD【点击双基】
5 2.正多面体只有_____种，分别为____________
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线AM与 CN所成的角的余弦值是_____________.
z P
D
A
O
E
B x
Q
Cy
【典例剖析】
【例3】三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B 两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.

(上海)数学高三上册-15.1 多面体的概念课件

上的高相等(它叫做正棱锥的斜高)；
S 2、正棱锥的高、斜高和斜高在底
面的射影组成一个直角三角形，
正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内
的射影也组成一个直角三角形.
D
A
O
C
B
接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿先淡后浓，先疏后密，先远后近，交友之道也。我为你今天的表现感到骄傲。友谊早在友谊之花凋谢之前就已不复存在。学校要求教师在他的本职工作上成为一种艺术家。——爱因斯坦太过于欣赏自己的人，不会去欣赏别人的优点。得到的分是我努力的，扣掉的分是你遗传的！活在当下，别在怀念过去或者憧憬未来中浪费掉你现在的生活。我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。每件事情都必须有一个期限，否则，大多数人都会有多少时间就花掉多少时间。就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。如果为了安全而不和大海在一起，船就失去了存在的意义。
(3)截面和底面面积之比，
P
等于顶点到截面的距离的平方比。D` OLeabharlann C`A`B`D
C
H
A
B
正棱锥
如果一个棱锥得底面是正多边形，并且顶
点在底面得射影是底面的中心，这样的棱锥
叫做正棱锥。
各个面都是等边三角形的
S
三棱锥称为正四面体。
D
C
A
B
正棱锥的性质:
1、正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全
等的等腰三角形，各等腰三角形底边
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形 ……, 把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
几种特殊的四棱柱（六面体）的关系：
底面是平行四边形

高三数学复习(文科)立体几何知识点、方法总结

立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。

llαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。

《多面体与正多面体》精品课件公开课课件

02 多面体基本性质
面、棱、顶点数量关系
面数、棱数和顶点数的关系
对于任意多面体，其面数、棱数和顶点数之间存在一定的数量关系，即面数+顶点数-棱数=2。
正多面体的面、棱、顶点数量关系
正多面体是一种特殊的多面体，其所有面都是全等的正多边形，且每一个顶点所对的面角都相等。对于正多面体，其面数、棱数和顶点数之间也有特定的数量关系。
01
卡塔兰立体
卡塔兰立体是一类非正多面体，具有多种形状和性质，如双曲面、抛物
面等。
02
德尔塔立体
德尔塔立体是由三角形和四边形组成的一类非正多面体，具有独特的结
构和性质。
03
其他非正多面体的构造与性质
除了约翰逊多面体、阿基米德多面体和卡塔兰立体外，还有许多其他类
型的非正多面体，它们的构造和性质各不相同，呈现出丰富多彩的几何
定义
正六面体也被称为立方体，是由六个全等的正方形所组成的立体
。
特点
正六面体有6个面、8个顶点、12 条棱，每个面都是正方形，每个顶点都是三条棱的交点。
对称性
正六面体也有很高的对称性，它有三种不同的对称轴，分别是经过每个面的中心、每个顶点和每条棱的中点的轴。
正八面体
01
02
03
定义
正八面体是由八个全等的等边三角形所组成的立体。
世界。
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软件辅助设计工具介绍
专业设计软件
如AutoCAD、SolidWorks等，这类软件功能强大，可以精确设计和渲染多面体模型，但学习曲
线较陡。
在线设计工具
如Tinkercad、3D Builder等，这些工具易于上手，适合初学者

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高三数学多面体与正多面体
9.11多面体与正多面体
【教学目标】
了解多面体、正多面体的概念
【知识梳理】
1若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．
２把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都
在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．
３每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一
端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．
4.正多面体有且只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
【点击双基】
1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得
截面图形是
答案：B
2.正多面体只有_____________种，分别为
________________.
答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、
正二十面体
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中
点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.
解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可. 答案：
【典例剖析】
【例1】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于
A.－
B.
C.－
D.
解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得
cosθ==－（设正方体的棱长为2）.
答案：A
【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.
解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y
轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n・=x+y=0，n・=y－z=0，解得
n=（－1，1，1），所以向量=（－2a，2a，0）在n上的射影长d==即为所求.
特别提示
由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建
立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.
【例3】三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一
个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.
解法一：补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=×123=864 cm3.
甲乙
解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三
棱锥=864 cm3.
思考讨论
补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是
求多面体体积的常用方法.
【知识方法总结】。