高三数学多面体与正多面体

高三数学多面体与正多面体

9.11多面体与正多面体

【教学目标】

了解多面体、正多面体的概念

【知识梳理】

1若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．

２把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都

在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．

３每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一

端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．

4.正多面体有且只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

【点击双基】

1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得

截面图形是

答案：B

2.正多面体只有_____________种，分别为

________________.

答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、

正二十面体

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中

点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.

解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可. 答案：

【典例剖析】

【例1】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于

A.－

B.

C.－

D.

解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得

cosθ==－（设正方体的棱长为2）.

答案：A

【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.

解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n・=x+y=0，n・=y－z=0，解得

n=（－1，1，1），所以向量=（－2a，2a，0）在n上的射影长d==即为所求.

特别提示

由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建

立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.

【例3】三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一

个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.

解法一：补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=×123=864 cm3.

甲乙

解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三

棱锥=864 cm3.

思考讨论

补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是

求多面体体积的常用方法.

【知识方法总结】