高等数学定积分复习题

1. 求

dx e x ⎰-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。

dt t dt t t dx e x )111(21211021

0222ln 0⎰⎰⎰+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π-

=-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。

．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积

31)3132()(1

0323210=-=-=⎰x x dx x x S 3. 求反常积分

⎰+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3

12lim 222222+--=-+=-+⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞ 4ln 3

1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b

b 5、 4. 设⎩⎨⎧≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求⎰-22)(dx x f 解：原式=⎰⎰-+0

22

0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分

6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分

面积⎰--+=3122)32(dx x x S π

---------5分 =17

256 7.

计算定积分2

2π

π

-⎰

8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b

a f x dx =⎰，求()

b a

f a b x dx +-⎰。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b

a f a

b x dx +-⎰＝()a b f u du -⎰ ＝()1b a

f x dx =⎰。

9. 求dt te t ⎰-10

32 解：31103210321031032

323)](23[323212222------=-===⎰⎰⎰e e t d e dt e dt te t t t t 10. 计算由曲线)0(sin π≤≤=x x

y 与直线0=y 所围成的平面图形绕x 轴旋转所产生的旋

转体的体积. 解: 2)2sin 21(2)2cos 1(21sin 20002πππππππ=-=-==⎰⎰x x dx x xdx V 11. 求由曲线x y =

和y=x 所围部分的面积及其绕x 轴旋转所得立体图形的体积。（8分） 解:S=⎰=-=-10236

101)2132()(x x dx x x ； ——（3.5分） V=6

01|3101|213210210πππππ=⋅-⋅=-⎰⎰x x dx x xdx 12. 已知⎰∞

+-∞→=+a x x x dx xe a x x )(lim ，求a （8分）

解：左边=a a a a a

x x x x e a x a

x a a x a ---+-∞→∞→=+-⋅+-=+-)11(])1[(lim )1(lim ——（5分） 右边=a x a a x x ae a

e ae dx e a xe ---∞+--=∞+-=+∞+-⎰2|| 12=∴a 既2

1=a 13. 求由抛物线y=-42+x

和其过点（-2，0），（2，0）处的切线所围成的图形面积。（10分） 解：x y 2'-= ——（1分）

4',4'22-==∴=-=x x y y ———（2分）

8402+=-∴x y ）的切线方程为：，过点（ ——（1分） 8402+-=∴x y ）的切线方程为：，过点（ ——（1分） 它们的交点由⎩⎨⎧+-=+=8484x y x y 得⎩⎨⎧==8

0y x ——（1分） 故面积3

16)]4()84[()]4()84[(202022=+--+-++--+=⎰⎰-dx x x dx x x S ——（4分 14. 计算由曲线

x y e y x -==1,与直线1=x 所围成图形的面积. 解：曲线x y e y x -==1,与直线1=x 所围成图形的面积：

dx x e S x ⎰+-=1

0)1(（3分）=)21(2x x e x +

-|01（4分）=2

3-e （5分） 15. 计算由曲线x y e y x -==1,2与直线1=x 所围成图形的面积. 解：曲线x y e y x -==1,2与直线1=x 所围成图形的面积：

dx x e S x ⎰+-=1

2)1(（3分）=)2121(22x x e x +-|01（4分）=1212-e （5分） 16. dx x x

⎰-1

023 解：令x t 23-=（1分），则)3(212t x -=（2分），tdt dx -=（3分）， dx x x ⎰-1023=⎰-13

42)3(21dt t t （4分）=5233-（5分） 17. dx x x

⎰-1

01 解：令x t

-=1（1分），则)1(2t x -=（2分），tdt dx 2-=（3分）， dx x x ⎰-101=⎰-1

042)22(dt t t （4分）=15

4（5分） 18. ⎰-1

1

)(dx x f 其中⎩⎨⎧<≥=0sin 0)(x x x x x f =⎰⎰-+01

10sin xdx xdx （3分）=

01102cos 21--x x （6分）=2

11cos - 19. 求⎰--+11

22)4(dx x x

84)424(11

1

12==-+=⎰⎰--dx dx x x

20.