含绝对值号的一元一次方程

含绝对值号的一元一次方程

题目特点：一元一次方程中的未知数含有绝对值号。

解题关键：去绝对值号，化为一元一次方程求解。

解题方法：分类讨论，分x ≥0和x ＜0两种情况讨论。讨论时，要注意方程的解是否符合题意。 解题关键：去绝对值号。

所用知识：0||0x x x x x ⎧=⎨-<⎩。 ,,||(),.x a x a x a x a a x x a -⎧-=⎨--=-<⎩

例1 方程|3x|=15的解的情况是（ ）

A 、有一个解，是5

B 、无解

C 、有无数个解

D 、有两个解，是±5

解：①当x ≥0时，去绝对值得：3x=15，解得：x=5；

②当x ＜0时，去绝对值得：-3x=15，解得：x=-5。

故方程有两根，分别为x=5和x=-5．故选D ．

点评：这是绝对值方程，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 例2 若关于x 的方程||21x x =+的解为负数，则x 的值为（ ）

A 、14-

B 、13-

C 、12

- D 、-1 分析：分x ≥0和x ＜0两种情况讨论去绝对值即可．

解：①当x ≥0时，去绝对值得，x=2x+1，解得x=-1，不符合预设的x ≥0，舍去．

②当x ＜0时，去绝对值得，-x=2x+1，得13x =-．故选B ．

例3 方程2|x-5|=6x 的解为（ ）

A 、x=52-或54x =

B 、x=52或54x =-

C 、54x =

D 、52

x =- 分析：首先考虑去掉绝对值，这是要考虑x 的取值范围，即x ＞5和x ＜5，又有方程2|x-5|=6x 可知，x ＞0，由上可知方程的解．

解：（1）当x ≥5时，2（x-5）=6x ，∴4x=-10，解得x=52-

，与x ＞5矛盾，舍去； （2）当x ＜5时，2（5-x ）=6x ，∴8x=10，解得x=54

；故选C 。 点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算题，充分考察了绝对值的几何意义．难易适中．

例4 方程|21|45x x -=+的解是（ ）

A 、x=-3或23x =-

B 、x=3或23x =

C 、23

x =- D 、3x =- 分析：分210x -和210x -<两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．

解：①当2x-1≥0，即x ≥12

时，原式可化为：2145x x -=+，解得，x=-3，舍去； ②当2x-1＜0，即x ＜12时，原式可化为：1245x x -=+，解得，23

x =-，符合题意． 故此方程的解为23x =-．故选C ．

练习：

1．方程|2x-6|=0的解是（）

A、3

B、-3

C、±3

D、13

2．方程|3x|=15的解的情况是（）

A、有一个解，是5

B、无解

C、有无数个解

D、有两个解，是±5 3．方程|2007x-2007|=2007的解是（）

A、0

B、2

C、1或2

D、2或0

4．若|x-2|=3，则x的值是（）

A、1

B、-1

C、-1或5

D、以上都不对

5．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）

A、-2

B、0

C、2

3

D、不存在

6．已知|3x|-y=0，|x|=1，则y的值等于（）

A、3或-3

B、1或-1

C、-3

D、3

7．关于x的方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（）

A、4

3

B、

4

3

-C、

3

4

D、

3

4

-

8．已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足|x-1

2

|-1=0，则m的值是（）

A、10或2

5

B、10或

2

5

-C、-10或

2

5

D、-10或

2

5

-

9．方程|x|=5的解是x= ，|x-2|=0的解是，3|x|=-6的解是，|x+2|=3的解是。10．方程2|x-5|=6的解为。

11．|x-1|-1=0，则x= 。

12．若2x-3=0且|3y-2|=0，则xy= 。

13．若x+y=-2，|x|=4，则y= 。

14．方程3|x|+2x=10的解是。

15．若|x-2|=3-2x，则x= 。

16．如果|x-3|-3+x=0，那么x的取值范围是。

含绝对值号的一元一次方程答案

1．A．分析：根据非负数的性质去掉绝对值符号，求出未知数的值即可．

解：∵|2x-6|=0，∴2x-6=0，∴x=3．故选A．

2．D．3．D．分析：分别讨论x≥1，x＜1，可求得方程的解．

解：①当x≥1时，原方程可化为：2007x-2007=2007，解得：x=2，

②当x＜1时，原方程可化为：2007-2007x=2007，解得：x=0，综上可得x=0或2．故选D．4．C．分析：|x-2|=3去绝对值，可得x-2=±3，然后计算求解．解：∵|x-2|=3，∴x-2=±3，∴x=-1或5．

5．D．分析：要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|= -2

3

，根据绝对值的性质即可得出答案．

解：要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=

2

3

-，根据绝对值的非负性，即可得知使方程3|x+2|+2=0

成立的x不存在．故选D．

6．D。分析：由|x|=1可得x=±1，所以|3x|-y=0，就可以变成方程3-y=0，就可以求得y的值．解答：解：∵|x|=1，∴x=±1，又3|x|-y=0，即3-y=0，∴y=3。故选D。

点评：也可采用整体思想，由|x|=1，可得|3x|=3．．

7．D．分析：根据x的方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，先解出x的值，再代入求m的值即可．解：由方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，∵|x+2|=0，根据绝对值的几何意义可得：x+2=0，∴x=-2，

把x=-2代入mx+1=2（m-x）得：-2m+1=2（m+2），移项化系数为1得：m=

3

4

-．故选D．

8．A．分析：解此题分两步：（1）求出|x-1

2

|-1=0的解；（2）把求出的解代入方程mx+2=2（m-x），把未

知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可．

解：先由|x- 1

2

|-1=0，得出x=

3

2

或

1

2

-；再将x=

3

2

和x=

1

2

-分别代入mx+2=2（m-x），求出m=10或

2

5

。

9．x=±5，x=2，不存在，1或-5。

10．2或8．分析：根据2|x-5|=6⇒|x-5|=3，去绝对值后即可得出答案．

解：∵2|x-5|=6，∴|x-5|=3，即：x-5=3或-（x-5）=3，解得：x=8或x=2．故答案为：2或8．

11．0或2．分析：先将方程变形，|x-1|=1，绝对值为1的数是±1，从而求得x的值．

解：∵|x-1|-1=0，∴|x-1|=1，∴x-1=±1，解得：x=2或0．故填0或2．

12．1．分析：根据0的绝对值为0，得3y-2=0，解方程得x，y的值，再求积即可．

13．-6或2．分析：由|x|=4得出x的值，代入x+y=-2进行求解．

解：先解方程|x|=4，

①当x≥0时，x=4，代入x+y=-2，得4+y=-2，解得：y=-6。

②当x<0时，x=-4，代入x+y=-2，得-4+y=-2，解得：y=2。故y=-6或2．

14．2或-10．分析：首先根据绝对值的性质，分x≥0和x＜0两种情况去掉绝对值符号，转化成两个一元一次方程，即可求解．

解：当x≥0时，原方程即：3x+2x=10，解得：x=2；当x＜0时，原方程即-3x+2x=10，解得：x=-10。

故方程的解是：2或-10．

15．1．分析：分情况讨论：当x-2≥0或x-2＜0进行讨论即可．

解：当x-2≥0时，x-2=3-2x，解得x=5

3

，与x≥2矛盾，不合题意；

当x-2＜0时，x-2=2x-3，解得x=1，符合题意；故答案为1．

16．x≤3．

解：由原方程，得|x-3|=3-x，∵|x-3|≥0，∴3-x≥0，解得，x≤3．故答案是：x≤3．