【初二数学】菱形的判定-全国版

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第2课时菱形的判定课件(共24张PPT)2023-2024学年北师大版八年级数学下册

点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，

O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形是平行四边形,

八年级数学下册教学课件《菱形的判定》

第十八章平行四边形
菱形的判定
类比导入
前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性质得出相应的判定,那么我们学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 我们大家一起来尝试一下吧!
类比导入
图形性质定理
判定定理
对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行对边相等四边对角相等
A
D
F B EC
∴∠B=∠D. 又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.
例题精析
例2 如图，在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点
F,AE⊥BF于点O,
A
F
D
交BC于点E,连接EF.
O
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
B
E
解：如图，由题意得：AB=9, AC= 6 5, BD=12. A
O
C
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=
1 2
AC=
3
5
,BO=
1
2 BD=6.
∴ AB2 AO2 BO2 .
∴△OAB是直角三角形.
B
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
∴
S菱形ABCD
=
1 2
AC
BD
36
5.
新知探究
探究点2 四条边相等的四边形是菱形.
∵BE∥AF,∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF,∴▱ABEF是菱形．
例题精析
(2)解：如图，过点F作FG⊥BC于点G．
∵四边形ABEF是菱形, AE=6, BF=8,

2021年人教版八年级数学下册第十八章《菱形判定》优质课件.ppt

D
C
O
A
B
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B
EC
本节课你有什么收获？
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.有四条边相等的四边形是菱形。
作业
已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于 F．求证：四边形AEDF是菱形．
B
A
E
12
F
3
D
C
已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分
线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形
A
E
D
O
B
F
C
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
A
E
D
F
G
B
G
C
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/92021/1/9Saturday, January 09, 2021
。2021年1月9日星期六2021/1/92021/1/92021/1/9
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/92021/1/9January 9, 2021
每一条对角线平分一组对角。
探究活动一
根据菱形的定义,行四边形叫做菱形

菱形的判定方法

菱形的判定方法菱形是一种几何形状，它具有四个等长的边和四个等角。

在数学和工程中，我们经常需要判定一个图形是否为菱形。

本文将介绍几种常见的菱形判定方法。

1. 边长判定法：菱形的四条边长相等。

因此，如果一个图形的四条边长均相等，则可以判定该图形为菱形。

同时，如果已知一个图形的四个顶点坐标，可以计算出四条边的长度，并比较它们是否相等，即可判断该图形是否为菱形。

2. 对角线判定法：菱形的两条对角线互相垂直且相等。

因此，可以通过计算一个图形的两条对角线的长度，并判断它们是否相等来判定该图形是否为菱形。

如果两条对角线的长度相等，并且相互垂直（即两条对角线的斜率乘积为-1），则可以确定该图形为菱形。

3. 角度判定法：菱形具有四个等角，即每个内角均为90度。

因此，可以通过计算一个图形的四个内角的度数，并判断它们是否均为90度来判定该图形是否为菱形。

如果四个内角的度数均为90度，则可以确定该图形为菱形。

4. 等边三角形判定法：菱形可以视为等边三角形的两个相邻边连接起来得到的图形。

因此，如果一个图形是等边三角形，并且它的两个相邻边的连接线与另外两个边相交于直角，则可以判定该图形为菱形。

除了以上几种常见的判定方法，还有一些特殊情况需要考虑：1. 如果一个图形的四个顶点均在同一条直线上，则无法构成菱形。

2. 如果一个图形的四条边均相等，但其中一个内角不是90度，则无法构成菱形。

3. 如果一个图形是矩形，则它也是菱形，因为矩形是特殊的菱形。

但注意，非矩形的菱形四个角度度数不是90度。

总结起来，判定一个图形是否为菱形，可以采用边长判定法、对角线判定法、角度判定法和等边三角形判定法。

根据具体情况选择适合的方法进行判断，并注意排除特殊情况。

通过这些判定方法，我们可以准确地判断一个图形是否为菱形，为数学和工程领域的相关问题提供帮助。

菱形的判定方法既有理论基础又有实际应用，对于几何学和工程学的研究都具有重要意义。

希望本文所介绍的菱形判定方法能够对读者有所启发，并能在实际问题中发挥作用。

八年级数学菱形的判定3

§19.2.4 菱形的判定
菱形ABCD的性质：D
1.具有平行四边形的一切性质。
56
A
1 2
O
3 4
C
78
B
2.菱形本身具有的特殊性质:
四条边相等, 两条对角线互相垂直平分,
每一条对角线平分一组对角.
3.菱形的面积,等于菱形对角线乘积的一半. （为什么？）
菱形的判别
一组邻边相等的平行四边形是菱形
BE与DF呢？
A FD E
B
C
思考题:
如图，AD∥BC，BD垂直平分AC，四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。
D
A
┐
O
C
B
提示: △AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
；深圳办公家具厂深圳办公家具厂；
练家子の荣耀.或者说,代表这飘渺大陆の荣耀！当然！除了七大军团,还有一些不咋大的团队,有些是一些不咋大的世家联盟组成の,有些是隐世强者の后人.带着各种目の,来到了魂帝阁. "咻！" 飘渺大陆の人刚进去不久,远处就奔来五名练家子,这五名练家子,全部身穿破仙袍,但是却带着黑色头盔,将全身裹得严严实实の. 为首の一名练家子,浑身宛如一把剑一样,老远就能感觉到他冲天の傲气.他手上提着一把剑,如果飘渺大陆の公子看到の话,不少人会认识. 斩神剑！这五人,站在第三层の入口,那提着斩神剑の练家子,却停了下来,望着那幽幽の巨大洞口,长笑起来,没有顾忌の大声说道："白重炙,俺来了,曾经属于俺の荣耀,俺一定会夺回来！走！" "轰！轰！" 第三层是一些地底世界,下面の通道,比凤霞山脉下面还要多,并且每一条都无比の巨大. 一条通道内,一些青色の身影,正挥舞着一把威武の战刀,不断击杀着朝他汹涌而来の一只只

18-4 菱形的性质与判定(原卷版)

【变式3-1】（2022秋•武侯区期末）在菱形ABCD中，若对角线AC ，BD＝8，则菱形ABCD的面积是．
【变式3-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（）
A．48B．32C．24D．16
【变式3-3】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF ，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（）
【例题5】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的
是（）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
解题技巧提炼
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.
性质定理应用格式：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；
【变式4-2】（2021秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【变式4-3】（2022秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN．

菱形的判定6种方法

菱形的判定6种方法
菱形是一种常见的几何形状，它有许多应用，比如在数学中用于判定某些条件是否成立。

下面我们来介绍一下菱形的判定方法。

1. 对角线相等法：如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个菱形。

这是最基本的判定方法。

2. 边长相等法：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较容易理解，但是实际应用中不太常见。

3. 顶角相等法：如果一个四边形的相邻两个顶角相等，那么它就是一个菱形。

这个方法也比较容易理解，但是需要注意的是，只有相邻的两个顶角相等才行。

4. 垂直平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相垂直，并且它们的交点处的两条垂直平分线相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较复杂，需要一定的几何知识。

5. 对角线平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相平分，并且它们的交点处的两条对角线平分线相等，那么它就是一个菱形。

这个方法也比较复杂，需要一定的几何知识。

6. 内角相等法：如果一个四边形的内角都相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较特殊，只有在某些特殊情况下才能使用。

以上就是菱形的六种判定方法，它们各有优缺点，可以根据实际情况选择合适的方法。

在实际应用中，我们通常会结合多种方法来判定一个四边形是否为菱形，以提高判定的准确性。

初二菱形的判定条件

初二菱形的判定条件
1. 嘿，你知道吗，一组邻边相等的平行四边形就是菱形呀！就像咱家里那个菱形的装饰画框，它的四条边中就有两组邻边是相等的呢。

2. 对角线互相垂直的平行四边形也是菱形哦！想想看，那交叉的样子就像个稳固的架子，多特别呀，比如那种菱形的铁艺架子。

3. 四条边都相等的四边形肯定是菱形啦！这就好比四条一样长的小木棍拼成的图形，多明显呀，像小时候玩的那种拼图形的玩具。

4. 对角线互相垂直平分的四边形那也是菱形哟！这就好像是把一个东西均匀地分成了四块，很神奇吧，像切蛋糕那样。

5. 哎呀呀，要是有个平行四边形，其中一条对角线平分一组对角，那它就是菱形呀！就好像一把钥匙打开了菱形的秘密之门，多有趣。

6. 你想想，当一个四边形的两组对边分别平行，且四条边都相等，那不就是菱形嘛！这就如同整齐的队伍，横竖都很规范呢。

7. 要是有个图形，它的邻边相等，且对角线又互相垂直，那它不是菱形还能是什么呢？就像一只独特的蝴蝶，有着特别的形状。

8. 当你看到一个四边形，它的对角线不仅互相垂直，还平分，那它肯定是菱形呀！这和那种完美对称的图案一样让人喜欢呢。

9. 嘿，发现没，四条边相等且对角线互相垂直的四边形，绝对是菱形呀！就好像一个特别定制的标志，一下子就能认出来。

10. 哇塞，一组邻边相等且对角线平分一组对角的平行四边形，毫无疑问就是菱形啦！就像在一堆图形中一眼就能认出的宝贝。

我的观点结论就是：只要符合这些条件中的一个，那就是菱形啦，是不是很容易判断呀！。

八年级数学《菱形的判定》课件

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD
A
求证： ABCD 是菱形
证明：
B
O
D
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
C
又∵ AC ⊥ BD;
∴BA=BC
(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴ ABCD是菱形 (有一组邻边相等的
数学语言
平行四边形叫做菱形).
根据定义得：
A
D
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
在 ABCD中, AB AD
B
C
ABCD是菱形.
还有什么方法吗?
思考
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思考题:
➢如图，AD∥BC，BD垂直平分AC，四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。
D
A
┐
O
C
提示: △AOD≌△COB（角边角） B
AD=BC
如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC， DF//AB,AE=5. （1）判断四边形AEDF的形状？（2）它的周长为多少？
A
E
F
B
D
C
练习：
四条边相等
四边形
菱形
平行四边形
矩形与菱形
矩形
菱形
定义有一角是直角的平行有一组邻边相等的平行四
四边形叫做矩形.
边形叫做菱形.
平行四边形的性质
性边质角
对角线
四个角都是直角相等

八年级数学菱形的判定

4.3 菱形
黄凌
图片中有你熟悉的图形吗？
这种特殊平行四边形特殊在哪里？我们称它为菱形，你能给菱形下定义吗？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O。 (1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？ (2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？ (3)两条对角线AC，BD有什么特定的位置关系？
3．四条边都相等的四边形是菱形
［例1］如下图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点， AB= 5 ，AO=2，OB=1．（1）AC，BD有怎样的位置关系？（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
小结菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质：边：四条边都相等,对边分别平行角：对角相等对角线：互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质： 1．菱形的四条边都相等. 2．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能画出一个菱形吗？你是怎么知道画出的图形是菱形？
菱形的判别可用下图来表示
作业:
课本习题4.5 1， 2
；七星彩玩法:/
；
裹取下,白重炙穿着一条短裤衩,直接扑入了不大的水潭内. 不大的山谷不大,他一眼就可以看清楚里面の情况,这里安全の很,所以他完全放开了绷紧了一年多の心情.进入落神山一年多了,第一次进入完全安全の地方,他の心灵无比の放松,舒畅…… "老大,这地方好！俺喜欢,多呆几日吧！一年多了,也该放松放松了！"不大的白直接扑入了水潭高兴の唧唧乱叫,在水里钻进钻出,玩得不亦乐乎. "好吧！俺们休息十天,俺去杀几只不大的智,烤顿烤肉吃吃,然后睡个三天五天,好好放松放松！"白重炙抹了抹脸上の水,咧嘴一笑. "嘿嘿,俺去！俺去！" 不大的白一听见连忙跃水而出,直接朝山谷の另外一边飞去.山谷不大的生物很多,但是全是食草生物,开始见白重炙一进来早已全部钻进了草丛,吓得不敢出来了. 吱,吱！草丛中响起几声生物の叫声,不一会儿,不大的白便从草丛中传了出来,嘴里却叼这一只足足有三四斤の肥兔子,头一甩,把这只兔子直直甩到不大的潭旁边.再次钻入草丛中. 不一会儿,不大的白便抓来几只肥兔子.白重炙也从水里钻了出来,光着身子,只穿着一条裤衩,从附近收集了一些干柴.白重炙战气运转,直接外放出一条气浪.战气外放温度很高,不一会儿,地面の干柴变燃起了熊熊大火. 拿起青龙匕,把这几只肥兔子皮毛割开,内脏挖出来,而后用一根木头穿起.白重炙开始烧烤起来. 在蛮荒山脉历练の时候,白重炙就学会了烤肉,不过那时身体上可是带着火石の,此刻当然包裹内没有这东西,只能用外放战气引火了.这战气引火还是在幽冥岛の时候,跟花草学の. 没有作料,烤肉当然算不上美味,但是白重炙却吃得井井有味.虽然他吞食了七情果,肚子还没有出现过饿の情况,但是一年多没有吃过内,他嘴里早就淡出水来了.此刻肥兔刚刚烤熟,他便撕开一些大腿,津津有味の吃了起来…… "老大,这东西看起来很好吃?" 不大的白则在一旁鼓着两只不大的眼睛,饶有兴趣の看着白重炙吃东西,它一倍召唤出来就从来没有吃过食物,一直都是靠吞食魔晶和直接吸收白重炙身体内の能量,维持身体内の养分の. "试试吧！虽然你呀是圣智,不食人间烟火,而且这些低级食物能量微弱,而且有杂质,但是最少味道还是不错の！"白重炙撕开兔子大腿の另外一半,递给不大的白说道.他知道不大的白是高级战智, 估计食用の是纯能量の物品,身体没有杂质,当然**会非常强横,但是他总是觉得,如果连吃美味の权利都要剥夺の话,那么他另可不要那么强大.人生,没有乐趣,那活得太久也没意思…… 当前第22陆章２壹７章思念不是一种水饺,而是一种病 22陆章思念不是一种水饺,而是一种病 "额 ……味道有些怪怪の,不过好像很不错！"不大的白迟疑了一阵,抓起了兔子腿张开不大的嘴巴咬了一口,咀嚼起来,而后速度越来越快,片刻功夫便将一只大大の肥腿全部消灭干净了. "老大,很好吃,在给俺一点！"不大的白第一次吃烤肉,似乎有些意犹未尽,眼睛咕噜噜转动几圈,再次问白重炙要烤肉. "呵呵,全给你呀了！这只也快熟了！"白重炙微笑起来,将手上の兔子头全部递给了不大的白.不大的白在他心目中早已经不是一头战智,而是宛如他の亲弟弟般,不大的白就是要天上の星星,他能摘下来,他都会义无反顾の给它去摘. 几只兔子下肚,白重炙和不大的白慵懒の躺在水潭边の草地上,享受着午后の阳光.此时算来已经是夏日了,月家の夏火节也已经过去了,太阳应该正烈.只是这阳光透过山谷上面の透明光罩,洒在白重炙身体上,他却没有感觉一丝炎热和灼烫,而是一种几多温暖の感觉. 渐渐の,他开始闭上眼睛,开始沉沉睡去.他太累了,一年多没有好好睡一觉,没有完全放心の睡一些安稳觉.此刻在此不大的山谷,他终于完全放心了心中の警惕,放心了背上の包袱,放下了一切,沉沉睡去…… 这一觉,足足睡了两天三夜,睡得白重炙无比惬意,无比温馨. 当他迷迷糊糊睁开眼睛の时候,他望着头顶上那透明の光罩上,那璀璨の星光,以及一轮银白の圆月.心情有些恍惚起来. 他微微眯起了眼睛,听着耳边不大的白呼噜の喘气声,听着附近不大的生物悉悉索索の穿行声,听着有不大的生物在不大的潭边饮水の声音,他不禁有些怅然和莫名の心慌起来. 独在异乡为异客,每逢佳节倍思亲. 遥知兄弟登高处,遍插茱萸少一人. 落神山,是异乡, 他是异客,甚至炽火大陆他也是异客. 此时不是佳节,但是空中有月,月旁星光闪耀.上辈子他没有亲人,这辈子他亲人却不在他身边,他感觉一种莫名の孤独和悲哀…… 这种感觉来得有些突然,有些莫名.这种感觉让他很是心酸,几乎垂泪.他想起了白家堡醉心园前,他对夜天龙说过の一句话, 俺不该来到这个世界,这世界不属于俺…… 只是……他突然又想到,这个世界好像已经刻上了他の名字,已经有了他牵挂の人,已经有了他不能舍弃の人,而那些人此刻在哪里?在干什么?是否会想起他? 接着,他想起夜轻语,想起了那个柔柔弱弱の身影,心中の酸楚和怅然片刻之后,被对夜轻语の怜惜和思念所占据,那个自己心底最重要の女子,有没有被救活?如果救活了,当他知道自己被陷入了落神山,该会怎么样の心痛了悲伤? 他不知道夜若水是否会告诉她自己会活着の消息,但他知道,他此刻非常想她！接着,他又想起了月倾城,不知道这月家圣女是否回到了月家?是否已经另外选婿? 还是和月烟儿等候他父亲一样一样,为他苦苦守侯?是否依旧会穿着一套俗气の桃红色衣服,带着一朵更俗气の桃花? 他想起了夜轻舞,想起了他那清纯の俏丽,已经丰满の山峰.这个宛如苍井空一样童言巨鹿の女子,在莫名其妙和他发生了关系之后,就已经牢牢占据了他の内心の一部分,虽然更多の是他想再次和她夜夜……轻舞. 他想起了蛮城那张粉红色大床,想起了风紫,想起了花草,也想起了龙赛男.想起了妖卡卡,想起了蛮干,想了许多人,想了许多事情…… 想着想着,他觉得他不能再想了,他应该再睡一觉,应该彻底忘记了这杯悲伤,忘记了所以の心痛,好好再睡一觉, 明日继续他未完成の征途. 他知道,思念不是一种水饺,而是一种病,而且会泛滥成灾の病. 他想活着走出去,那么他就不能得病,不能思念.只能忘记所有の事情,奋勇向前,直到破山而出…… 雪无痕心情很激动,非常の激动. 一年多了,整整一年多了,他被软禁在那个不大的阁楼内整整一年多了,今日终于得见天日了. 一年多前他为了给神城の一些投名状,义无反顾の对白重炙种下了隐虫,联合妖卡卡和蛮干谋杀白重炙.最后事情没办成,屠千军被囚禁了,他也被软禁了. 不大的阁楼幻境虽然很不错,住这里吃喝也是不愁,屠神卫安排の下人斥候得也很周到,阁楼内の几个侍女他也可以任意亵玩. 只是他心情很差,他很愤怒,很纠结,很恐慌.他恨白重炙,恨妖卡卡,很蛮干,甚至有些恨屠千军和屠神卫. 他很怕,他怕哪天突然阁楼内闯进无数の人,要把他给分尸了.他怕哪天屠神卫突然把他供了出来,以平息几大世家和妖蛮两府の怒火.他还怕雪家会因为自己遭受灭顶之灾, 但是他最怕の就是,屠千军屠神卫会忘记他,会把他关在这一辈子…… 直达半年前,他见到了那个光头男子. 光头油亮,而且后面有着诡异の纹身,最重要の是他の一双眼睛,居然和他一样也是双瞳,不过确实一黑一红,恐怖而又略带狰狞. 他被神城神主屠召见了. 十多年前,他认识了屠千军, 他知道了一些炽火大陆の天大秘密.于是他无时无刻都在幻想着,加入神城,依靠神城最终破了炽火大陆数千年の枷锁,成功逃出这口死井,去井外更广阔の天空翱翔. 静湖岛,屠千军给了他希望,幽冥岛神城给了他一些机会.只是他努力奋斗了多年最终虽然入了神城,但是确是一些囚犯の身份. 半年前,他终于见到了神城内那个最强大の男人,而且这个男人给了他一些机会,一些一步登天の机会,而且

八年级数学菱形的判定定理

菱形的判定定理1、2教学目的：1、理解并掌握菱形的定义及定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算；2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点：菱形的判定定理1、2教学难点：定理的证明方法及运用。

教学用具：小黑板、投影仪、圆规、三角板、菱形木架一个。

教学过程：一、复习创情导入：我们已经学习了菱形的性质：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）性质定理1，菱形的四条边都相等；性质定2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；其中矩形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）二、授新1、提出问题：（1）菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？有哪两个条件？（2）判定定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明。

（3）判定定理2的内容是什么？写出已知、求证，并证明；还有其他方法进行证明吗？（4）例5的证明还有其他方法吗？2、自学质疑：自学课本P91-92页，完成预习题，并提出疑难问题3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳：（1）能否运用菱形的定义进行菱形的判定？应具备哪两个条件？（2）菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。

已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形。

方法指导：有一组邻边相等的四边形是菱形。

（定义）（3）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形。

方法指导：1），定理1，四条都相等的四边形；2），定义，有一组邻边相等的平行四边形；（4）小结：菱形的判定方法，定义：有一组邻边相等的平行四边形；定理1：四条边都相等的四边形；定理2：对角线互相垂直的平行四边形；（5）跟踪练习1；5、尝试练习：（1）跟踪练习2----8；（2）例5：已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形。

菱形的判定方法

菱形的判定方法菱形是一个几何形状，具有特殊的判定方法。

在数学中，菱形指的是一个四边形，其中所有四条边的长度都相等。

它的特点是有两对对边平行且相等，对角线相互垂直且相等。

下面将详细介绍菱形的判定方法。

菱形的判定方法可以分为两种情况：已知四边长和已知顶点坐标。

下面分别介绍这两种情况的判定方法。

一、已知四边长的菱形判定方法：1. 判断四边是否相等：首先需要判断这个四边形的四条边是否相等，如果不相等，则一定不是菱形。

2. 判断对边是否平行：可以通过计算四边形的斜率来判断对边是否平行。

如果对边的斜率相等，则两对对边平行。

3. 判断对角线是否垂直：可以通过计算对角线的斜率来判断对角线是否垂直。

如果对角线的斜率乘积为-1，则两条对角线垂直。

4. 判断对角线长度是否相等：通过计算对角线的长度来判断对角线是否相等。

如果两条对角线的长度相等，则满足菱形的定义。

综上所述，只有满足四条边相等、对边平行、对角线垂直和对角线长度相等的四个条件，一个四边形才能判定为菱形。

二、已知顶点坐标的菱形判定方法：1. 计算四边的长度：根据给定的顶点坐标，可以使用距离公式来计算四边的长度。

2. 判断对边是否平行：可以通过计算四边的斜率来判断对边是否平行。

如果对边的斜率相等，则两对对边平行。

3. 判断对角线是否垂直：可以通过计算对角线的斜率来判断对角线是否垂直。

如果对角线的斜率乘积为-1，则两条对角线垂直。

4. 判断对角线长度是否相等：通过计算对角线的长度来判断对角线是否相等。

如果两条对角线的长度相等，则满足菱形的定义。

同样地，只有满足四条边相等、对边平行、对角线垂直和对角线长度相等的四个条件，一个四边形才能判定为菱形。

需要注意的是，这种判定方法只适用于二维平面上的菱形。

在三维空间中，菱形的判定方法会更加复杂。

在几何学和实际生活中，菱形具有广泛的应用。

例如，许多道路和交通标志都采用了菱形形状，用以指示交通安全。

在建筑设计和工程中，菱形也被广泛应用，例如菱形窗户和天花板设计。

【精品课件】八年级数学下册第章矩形菱形与正方形2菱形22菱形的判定第1课时菱形的判定定理1课件新版华

类型之一利用菱形的定义判定菱形如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC、∠ECA 是△ABC 的两
个外角，AD 平分∠FAC，CD 平分∠ECA.求证：四边形 ABCD 是菱形．
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第1课时菱形的判定定理1
证明：∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠FAC＝∠ACE＝120°. ∵AD 平分∠FAC，CD 平分∠ECA，
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第1课时菱形的判定定理1
解： (1)如答图所示，EF 为所求直线； (2)四边形 BEDF 是菱形．理由：∵EF 垂直平分 BD， ∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF.又∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF， ∴四边形 BEDF 是菱形．
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第1课时菱形的判定定理1
知识管理 [学生用书P106]
菱形的判定方法
定义：有一组邻边相等的__平__行__四___边__形___是菱形．定理 1：四条边相等的__四___边__形___是菱形．
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第1课时菱形的判定定理1
归类探究 [学生用书P106]
A∠EA＝＝C∠F，C，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
∠AED＝∠CFD，
(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD＝DC.∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是菱形．
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第1课时菱形的判定定理1
9．如图，小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起(矩

菱形的判定(5种题型)(解析版)

菱形的判定（5种题型）【知识梳理】一、菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形。

二．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．【考点剖析】题型一：添加一个条件使四边形为菱形∥，例1．（2023·安徽·校联考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB CD =，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是_____________．AO CO【答案】AB AD =（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∵AO CO =，∴△≌△AO B C O D ， ∴AB CD =，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，如果添加AB AD =，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形ABCD 为菱形；故答案为：AB AD =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．【变式】如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件：，使▱ABCD 是菱形．【分析】根据菱形的定义得出答案即可．【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴当AD ＝DC ，▱ABCD 为菱形；故答案为：AD ＝DC （答案不唯一）．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．题型二：证明四边形为菱形例2.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE 是菱形．【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．例3.如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证：（1）∠E＝∠F；（2）四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先判定四边形BPFD是平行四边形，所以BP∥DF，利用平行线的性质可得∠F＝∠BPE，又因为BE＝BP，可得∠E＝∠F；（2）利用平行线的性质以及菱形的判定方法进而得出即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BP∥DF，∵EF∥BD，∴四边形BPFD是平行四边形，∴BP∥DF，∴∠F＝∠BPE，∵BE＝BP，∴∠E＝∠BPE，∴∠E＝∠F；（2）∵EF∥BD，∴∠E＝∠ABD，∠F＝∠ADB∴∠ABD＝∠ADB，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定等知识，得出四边形BPFD是平行四边形是解题关键．【变式】如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，证出∠DAF＝∠BCE，∠DFA＝∠BEC，由AAS证明△DAF≌△BCE即可；（2）先证明四边形BEDF是平行四边形，再由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DFA＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．题型三：根据菱形的判定与性质求角度例4．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在ABC 中，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，连接AE ．(1)求证：AB AE =；(2)若A ABC CB =∠∠，证明：直线AE 与BC 互相垂直．【分析】（1）由ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，可得60BCE ∠=︒，BC EC =，而30ACB ∠=︒，即得30ACE ACB ∠=︒=∠，可证()SAS ACB ACE △≌△，故AB AE =；（2）根据ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，AB AC =，可得AC DC DE AE ===，证明四边形ACDE 是菱形，得到DA CD ∥；又306090BCD ∠=︒+︒=︒，进而推导出AE BC ⊥．【详解】（1）证明：ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，60BCE ∴∠=︒，BC EC =，30ACB ∠=︒，30ACE ACB ∴∠=︒=∠，AC AC =，()SAS ACB ACE ∴≌，AB AE =∴；（2）解：ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，AC DC ∴=，AB DE =，由（1）可知AB AE =，AE DE ∴=，若AB AC =，则AC AE =，AC DC DE AE ∴===，∴四边形ACDE 是菱形，AE CD ∴∥；30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，306090BCD ∴∠=︒+︒=︒，即CD BC ⊥，AE BC ∴⊥，即直线AE 与BC 互相垂直．【点睛】本题考查三角形的旋转问题，涉及菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质，证明ACB ACE △≌△．模拟预测）如图，在正方形网格中，ABC 的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺 (1)在图1中，作45CAE ∠=︒．(2)在图2中，作ABC 的角平分线CF ．【分析】（1）如图，取格点E ，连接AE ，则CAE ∠即为所作；（2）如图，取格点F ，作射线CF ，则射线CF 即为所作；【详解】（1）解：如图，CAE ∠即为所作，由图可得：2AN CM ==，1CN EM ==，90ANC CME ∠=∠=︒，∴()SAS ANC CME ≌，∴CAN ECM ∠=∠，AC CE =，∵90CAN ACN ∠+∠=︒，∴90ECM ACN ∠∠=︒，∴90ACE ∠=︒，∵AC CE =，∴45CAE CEA ∠=∠=︒；（2）解：如图，射线CF 即为所作，由图可得：AC CG GF AF ===∴四边形ACGF 为菱形，∴CF 平分ACG ∠，即CF 是ABC 的角平分线【点睛】本题考查网格作图，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．题型四：根据菱形的判定与性质求线段长例5.（2023·山西长治·校联考二模）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE ，CE ．(1)实践与操作：利用尺规在线段OB 上作出点F ，使得四边形AFCE 为平行四边形，连接AF ，CF ；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)应用与求解：若4,60AB BC ABC ==∠=︒，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用圆规在OB 上作OF OE =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AFCE 为平行四边形；（2）先根据平行四边形的性质和已知条件证明EF OB =，再证ABC 是等边三角形，求出4AC =，再证四边形ABCD 是菱形，推出BO AC ⊥，最后根据勾股定理求出OB 即可．【详解】（1）解：如图所示：以点O 为圆心，OE 长为半径作弧，与线段OB 的交点即为点F ，连接AF ，CF ．（2）解：由（1）知OF OE =，ABCD Y 中，E 为OD 的中点，∴1122OE OD OB ==， ∴12OF OE OB ==，∴EF OB =，4,60AB BC ABC ==∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴4AC =，ABCD Y 中，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，即BO AC ⊥， ∴122AO AC ==，∴OB ==∴EF =【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握菱形、平行四边形、等腰三角形的性质．【变式】如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点E ，点F 为四边形ABCD 外一点，DA 平分∠BDF ，∠ADF ＝∠BAD ，且AF ⊥AC ．（1）求证：四边形ABDF 是菱形；（2）若AB ＝5，求AC 的长．【分析】（1）首先证明四边形ABDF 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）在Rt △AFC 中，利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ADF ＝∠BAD ，∴AB ∥DF ，∵AF ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形；∵DA 平分∠BDF ，∴∠ADF ＝∠BDA ，∴∠BAD ＝∠BDA ，∴BD ＝AB ，∴四边形ABDF 是菱形．（2）解：∵DA 平分∠BDF ，∴∠ADF ＝∠BDA ，∵BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF，∵DA＝DF＝DC，∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，∵∠DAF+∠DAC＝90°，∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，∴C，D，F三点共线，∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，∵FA＝FD，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝CD＝5，∵∠FAC＝90°，∴AC＝＝5．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．题型五：根据菱形的判定与性质求面积例6.已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．【变式】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE为菱形；（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC＝2DE，由已知条件得出EF ＝BC，证出四边形BCFE是平行四边形，再由EF＝BE，即可得出结论；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性质得出EF＝CF，证出△CEF是等边三角形，得出CF＝CE＝8，由三角函数求出CM，即可得出四边形BCFE的面积．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∴EF∥BC，∵BE＝2DE，∴BC＝BE，∵EF＝BE，∴EF ＝BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，又∵EF ＝BE ，∴四边形BCFE 为菱形；（2）解：作CM ⊥DF 于M ，如图所示：由（1）得：四边形BCFE 为菱形，∴EF ＝CF ，∵∠CFE ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴CF ＝CE ＝8，∴CM ＝CF •sin60°＝8×＝4，∴四边形BCFE 的面积＝EF •CM ＝8×4＝32．【点评】三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△CEF 是等边三角形是解决问题（2）的突破口．【过关检测】一、单选题 1．（2023·陕西西安·校考二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD 为菱形的是（）A ．AB BC ⊥B ．AC BD = C ．AB BC = D ．AB AC =【答案】C【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答．【详解】解：A 、若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 为矩形；不符合题意；B 、若AC BD =，则平行四边形ABCD 为正方形；不符合题意； C 、若AB BC =，则平行四边形ABCD 为菱形；符合题意；D 、若AB BC =，则平行四边形不是特殊的平行四边形；不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握有一组另邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A ．点O 为ABCD Y 的对称中心C ．::ABE BDF S S AE ED =△△【答案】B 【分析】由作图知，EF 是线段BD 的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A ；根据菱形的判定定理可判断选项C ；根据菱形的性质得到BDF BDE S S =△△，可判断选项D ；BE 不一定平分ABD ∠，选项B 不正确．【详解】解：由作图知，EF 是线段BD 的垂直平分线，即点O 为ABCD Y 的对称中心，故选项A 正确，不符合题意；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE BF ∥，∴DEF BFE ∠=∠，∵EF 是线段BD 的垂直平分线，∴BE ED =，BF FD =，BFE EFD ∠=∠，∴DEF EFD ∠=∠，∴DE DF =，∴DE DF BE BF ===，∴四边形BEDF 为菱形，故选项D 正确，不符合题意；∴BDF BDE S S =△△，∴:::ABE BDF ABE BDE S S S S AE ED ==△△△△，故选项C 正确，不符合题意；BE 不一定平分ABD ∠，故选项B 不正确，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2023·陕西西安·校考一模）在平行四边形ABCD 中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD 是菱形的是( )A ．AB AD =B ．AC BD = C ．90ABC ∠= D ．AB CD =【答案】A【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，又AB AD =， ∴平行四边形ABCD 是菱形，故选：A ．【点睛】本题考查菱形的判定，熟记菱形的判定是解题的关键． 4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为2310m ⨯和2410m ⨯，其面积用科学记数法表示为( )A ．42610m ⨯B ．421.210m ⨯C ．521.210m ⨯D ．22610m ⨯【答案】A 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算，或者利用菱形对角线垂直的性质进行面积求解，最后化为科学记数法的形式即可．【详解】菱形的对角线相互垂直()2222ABD CBD ABCD BD AO OC BD AO BD CO BD AC S S S ⨯+⨯⨯⨯=+=+==四边形∴菱形的面积=对角线成绩的一半=224131********⨯⨯⨯⨯=⨯2m 【点睛】本题考查用对角线计算菱形的面积及科学记数法，也可以利用对角线垂直的性质进行面积的计算，注意所有对角线垂直的四边形面积均等于对角线乘积的一半．正确的使用公式和理解科学记数法的写法是解题的关键． 5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在下列条件中，能够判定ABCD Y 为菱形的是（）A ．AB AC =B ．AC BD ⊥ C ．90A ∠=︒ D ．AC BD = 【答案】B【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、由AB AC =，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；B 、由AC BD ⊥，能判定ABCD Y 为菱形，故选项符合题意；C 、由90A ∠=︒，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；D 、由AC BD =，能判定ABCD Y 为矩形，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．二、填空题【答案】2【分析】由菱形的性质可得OA OD 、的长，则可求得AD 的长，再由三角形中位线定理即可求得结果．【详解】解：在菱形ABCD 中，114322OA AC OD OB BD =====、，AC BD ⊥，由勾股定理得：5AD ，∵H是AB的中点，∴OH是ABD△的中位线，∴1522 OH AD==，故答案为：5 2．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟悉这些性质与定理是解题的关键．7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）如图，是小明作线段AB的垂直平分线的作法及作图痕迹，则四边形ADBC一定是______________．【答案】菱形【分析】根据作图方法可知AC BC AD BD===，再根据四条边相等的四边形是菱形即可得到答案．【详解】解：由作图方法可知，AC BC AD BD===，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，熟知菱形的判定条件是解题的关键．8．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）菱形的两个内角的度数比是1：3，一边上的高长是4，则菱形的面积是__________．【答案】【分析】根据菱形相邻的两个角度之比求出对应的角度，利用等腰直角三角形的性质求出菱形的边长，然后用菱形面积公式计算即可．【详解】如左图所示，∵菱形对角相等，互补，且两个内角的度数比是1：3，118045,1804513513A C B D ∴∠=∠=⨯︒=︒∠=∠=︒−︒=︒+，如图1所示，过点D 作BC 边上的高交BC 于点H ，则4DH =，90DHC ∠=︒，45C ∠=︒，∴△CDH 是等腰直角三角形，4CH DH ∴==，CD ∴=∵菱形四条边都相等，BC CD ∴==4ABCD S BC DH =⋅==菱如图2，当过点A 作CD 边上的高交CD 于点H ，同理可证△ADH 为等腰直角三角形，可求得CD AD ==4ABCD S CD AH =⋅==菱故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于求出菱形的边长． 9．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，尺规作图：以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交AD 于点F ，分别以点B ，F 为圆心，以大于BF 的长为半径画弧交于点P ，作射线AP 交BC 与点E ，若12BF =，10AB =，则AE AB +的值为________．【答案】26【分析】证明四边形ABEF 是菱形，利用勾股定理求出OA 即可解决问题．【详解】解：由题意可知：AB AF =，AE BF ⊥，OB OF ∴=，BAE EAF ∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EAF AEB ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，AB BE AF \==，AF BE ∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB AF =，∴四边形ABEF 是菱形，OA OE ∴=，162OB OF BF ===，在Rt AOB △中，8OA ，216AE OA ∴==，26AE AB ∴+=．故答案为：26．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF 是菱形．【答案】8【分析】如图所示，连接EF ，设AE BF 、交于O ，由作图方法可知，AE 是线段BF 的垂直平分线，则BE FE =，OB OF =，证明OAF OEB △≌△，得到AF BE =，进而证明四边形ABEF 是菱形，则13902OB BF AE OA AOB ====︒，，∠ ，由勾股定理得4OA ==，则28AE OA ==．【详解】解：如图所示，连接EF ，设AE BF 、交于O ，由作图方法可知，AE 是线段BF 的垂直平分线，∴BE FE =，OB OF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAF OEB OFA OBE ==∠∠，∠∠，∴()AAS OAF OEB △≌△，∴AF BE =，∴AF AB EF BE ===，∴四边形ABEF 是菱形，∴13902OB BF AE OA AOB ====︒，，∠ ，在Rt ABO △中，由勾股定理得4OA ==，∴28AE OA ==，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，证明四边形ABEF 是菱形是解题的关键． 11．（2023春·四川成都·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AB AC =，分别以C 、B 为圆心，取AB 的长为半径作弧，两弧交于点D ．连接BD 、AD ．若130ABD ∠=︒，则CAD ∠=__________．【答案】25︒/25度【分析】由题意和作法可知：AB AC BD CD ===，可得四边形ABDC 是菱形，再根据菱形及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图：连接CD ，由题意和作法可知：AB AC BD CD ===，∴四边形ABDC 是菱形，)()11180180130252BAD ABD ∠︒−∠=︒−︒=︒，25CAD BAD ∴∠=∠=︒，故答案为：25︒．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，证得四边形ABDC 是菱形是解决本题的关键．12．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC ==，60BAD ∠=︒，点M 为CD 的中点，连接AM BE AM ⊥，于点E ，则BE 的长为 ___________．【答案】【分析】连接BD BM ，，由题意可得△BCD 是等边三角形，BM CD ⊥，利用勾股定理分别求出BM AM 、，再由等积法求BE 的长即可．【详解】解：连接BD BM ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，2AB BC ==，∴四边形ABCD 是菱形，∴2AB BC CD DA ====，CD AB ∥∵60BAD ∠=︒，∴60C ∠=︒，∴BCD △是等边三角形，∵M 是CD 的中点，∴BM CD ⊥， ∴112CM DM CD ===，AB BM ⊥，∵21BC CM ==，，∴BM =在Rt ABM 中，AM ===∵BE AM ⊥，∴AB BM BE AM ⋅==，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，等积法是解题的关键． 13．（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，▱ABCD 中，AB AD =，点E 是AB 上一点，连接CE 、DE ，且BC CE =，若40BCE ∠=︒，则ADE ∠=______．【答案】15︒/15度【分析】首先证明四边形ABCD 是菱形，然后根据等腰三角形的性质可得()118040702CEB B ∠=∠=︒−︒=︒，利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：在▱ABCD 中，AB AD =， ∴四边形ABCD 是菱形，AB AD BC CD ∴===，//AB CD ，BC CE =，CD CE ∴=，CED CDE ∴∠=∠，40BCE ∠=︒，()118040702CEB B ∴∠=∠=︒−︒=︒，70ADC B ∴∠=∠=︒，70ECD BEC ∠=∠=︒，()118070552CDE CED ∴∠=∠=︒−︒=︒，705515ADE ∴∠=︒−︒=︒．故答案为：15︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．三、解答题 14．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在ABC 中，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．请利用尺规分别在AB 、AC 上求作点E 、F ，使得四边形AEDF 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作AD 的垂直平分线交,AC AB 于点,E F ，则点,E F 即为所求．【详解】解：如图所示，作AD 的垂直平分线交,AC AB 于点,E F ，则点,E F 即为所求理由如下，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴,==EA ED FA FD ，∴EAD EDA ∠=∠，∵BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠∠E A D F A D =，∴EDA FAD ∠=∠，∴AF DE ∥，同理可得AE DF ∥，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵EA ED =，∴四边形AEDF 是菱形．【点睛】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． (1)求证：ABC ADC ≅．(2)若EO CO =，试判断四边形【答案】(1)见解析(2)四边形BCDE 是菱形，理由见解析【分析】(1)根据SSS 定理推出即可；(2)先判断AC 为BD 的垂直平分线得到AC BD OB OD ⊥=，，再由EO CO =，可判断四边形BCDE 为平行四边形，然后利用AC BD ⊥可判断四边形BCDE 是菱形．【详解】（1）在ABC 与ADC △中，AB AD BC DCAC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ΑSSS BC ADC ≅．（2）四边形BCDE 是菱形，理由如下：∵AB AD CB CD ==，，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥且BO DO =．∵EO CO =，∴四边形BCDE 是平行四边形．∵AC BD ⊥，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，线段的垂直平分线的判定和性质及菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．九年级专题练习）如图，在ABC 中，上的中点，将ABC 绕着点【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据旋转的性质可得,AC BD AD BC ==，从而得到AC BD AD BC ===，即可求证；（2）过点A 作AE BC ⊥于点E ，先证明ABC 是等边三角形，可得112BE BC ==，2AB BC ==，再由勾股定理可得AE【详解】（1）证明：∵将ABC 绕着点O 旋转180︒得ABD △，∴,AC BD AD BC ==，∵AC BC =，∴AC BD AD BC ===，∴四边形AECD 是菱形；（2）解：如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，∵60,2B BC AC ∠=︒==，∴ABC 是等边三角形， ∴112BE BC ==，2AB BC ==，∴AE∴菱形AECD 的面积为AE BC ⨯=【点睛】等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和点O 均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出DEF ，使DEF 和ABC 关于点O 对称（点A 、B 、C 的关于点O 的对称点分别为点D 、E 、F ）；(2)在方格纸中画出以线段EF 为一边的菱形EFMN ，且菱形EFMN 的面积为3，连接CN ．请直接写出线段CN 的长．【答案】(1)见解析(2)图见解析；CN =【分析】（1）作出点A 、B 、C 关于点O 的对称点D 、E 、F ，顺次连接即可得出DEF ；（2）找出格点M 、N ，连接MF 、MN 、NE ，即可得出菱形EFMN ，求出线段CN 的长即可．【详解】（1）解：如图，作出点A 、B 、C 关于点O 的对称点D 、E 、F ，顺次连接，则DEF 即为所求．（2）解：如图，找出格点M 、N ，连接MF 、MN 、NE 、CN ，则菱形EFMN 即为所求作的菱形；根据格点特点可知，EF MF MN EN ===，∴四边形EFMN 为菱形，1334211132EFMN S =⨯−⨯⨯⨯−−=菱形，CN【点睛】本题主要考查了作中心对称图形，菱形的判断，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握方格纸的特点．【答案】见解析【分析】先利用ABD BDC ∠=∠，证明AB DC ，进而证明四边形ABCD 为平行四边形，再有勾股定理逆定理证明AOB 为直角三角形，得到AC BD ⊥，则问题可证．【详解】证明：∵ABD BDC ∠=∠，∴AB DC ，∵AB CD =∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AB CD =2OA =，1OB =，∴22222221OA OB AB +=+==，∴AOB 为直角三角形，即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和勾股定理逆定理，解答关键是熟练掌握菱形的判定方法． (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若1BE =，4EC =，求EF 【答案】(1)见解析(2)EF 的长为【分析】（1）由D 是AC 的中点，可得AD CD =，由DF DE =，可证四边形AECF 是平行四边形，由DE AC ⊥，可证平行四边形AECF 是菱形；（2）由题意知4AE CE ==，在Rt ABE △中，由勾股定理，得AB =，计算求AB 的值，在Rt ABC△中，由勾股定理，得AC =AC 的值，根据12AECF S EF AC AB EC =⋅=⋅菱形，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵D 是AC 的中点，∴AD CD =，∵DF DE =，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵DE AC ⊥，∴平行四边形AECF 是菱形；（2）解：∵1BE =，4EC =，四边形AECF 是菱形，∴4AE CE ==，∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得AB =∴在Rt ABC △中，由勾股定理，得AC = ∵12AECF S EF AC AB EC =⋅=⋅菱形，∴EF =∴EF 的长为【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点O 作AC 的垂线，与AD ，BC 分别相文于点E ，F ，连接EC ，AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若4=EC ED ，DOE 的面积是2，求ABCD Y 的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）由平行四边形的性质得到OA OC =，AD BC ∥，进一步证明()AAS AOE COF △≌△，则AE CF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形，由EF AC ⊥即可得到结论；（2）由菱形的性质得到AE CE =，进一步得到4AE EC ED ==，则48==AOE DOE S S △△，即可得到10=+=AOD AOE DOE S S S △△△，由平行四边形的性质即可得到ABCD Y 的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，AD BC ∥，∴DAC ACF ∠=∠，AEF EFC ∠=∠，∴()AAS AOE COF △≌△，∴AE CF =，∵AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：∵四边形AECF 是菱形，∴AE CE =，∵4=EC ED ，∴4AE EC ED ==，∴48==AOE DOE S S △△，∴10=+=AOD AOE DOE S S S △△△，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 与BD 互相平分，∴AOD COD BOC AOB S S S S ===△△△△， ∴4=ABCD AOD S S △， ∴40=ABCDS 答：ABCD Y 的面积为40．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关判定和性质是关键． 21．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，过A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，过C 作CF BD ⊥交BD 于F ，且AE CF =．请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件______，使得四边形ABCD 是菱形，并说明理由．【答案】答案不唯一，见解析【分析】添加条件AB AD =，根据HL 证明Rt Rt ABE CDF ≌△△，从而得到ABE CDF ∠=∠，再根据平等线的判断得到AB CD =，从而得到结论．【详解】解：AB AD =．理由：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，在Rt ABE △和Rt CDF △中，AB CD AE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE CDF ≌△△，∴ABE CDF ∠=∠，∴AB CD ∥，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形．（注：答案不唯一）【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定和菱形的判定是解题的关键．的交点．若将BED 沿直线 (1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若::1:3:22AE DE AB =【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平行四边形的性质可得DE BF ∥，则EDB FBD ∠=∠，由折叠的性质可得DE DF =，EDB FDB ∠=∠，则FBD FDB ∠=∠，BF DF DE ==，进而结论得证；（2）设AE a =，则3DE a =，AB =，3BE a =，4AD a =，由()()222293a a a +==，即222AE AB BE +=，可得ABE 是直角三角形，且90BAE ∠=︒，则四边形ABCD 是矩形，由平行四边形ABCD的面积为可得AD AB ⨯=即4a ⨯=解得22a =，根据2BEDF BD EF S DE AB ⋅=⋅=菱形，计算求解即可得EF BD ⋅的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE BF ∥，∴EDB FBD ∠=∠，。

八上菱形的判定

√ (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
╳
╳
形□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则□ABCD是（2）若AC=BD，则□ABCD是
菱矩
形；形；
平行四边形的性质四条边都相等四个角都是直角相等
有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形
互相垂直且平分每一组对角
有一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形四条边都相等的四边形
练习
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
╳
根据定义得： B C
D有一Βιβλιοθήκη 邻边相等的平行四边形叫做菱形. 在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.
还有什么方法吗?
画一画
按下列步骤画出一个四边形:
(1)画一条线段长AC=6cm;
(2)取AC中点O,再以点O为中点画另一条线段BD=8cm, 且使BD⊥AC;
(3)顺次连接A、B、C、D四点，得到四边形ABCD. 猜猜你画的是什么四边形?
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在求证： ABCD 中，AC ⊥ BD ABCD 是菱形 A
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形数学语言
∴ ABCD是菱形
B
O C
D
∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD;
对角线互相垂直平分的四边形是菱形吗？是

菱形菱形的判定课件人教版数学八年级下册

所以CE＝AE＝AC．
又因为AF＝CE，所以AF＝AE＝AC．
7.(丹东)如图，在▱ABCD中，O是AD的中点，连接CO并延长，交BA的延长线于点E，连接AC，DE.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形. (2)若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由.
8.(滨州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC， AE∥BD.
第4题图
5.如图，过▱ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG，FH，
与AD，AB，BC，CD分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是
菱形.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，OB＝OD．
所以∠ODE＝∠OBG，∠OED＝∠OGB．
所以△EOD≌△GOB．
所以OE＝OG．
第十八章平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
菱形——菱形的判定
自主导学
菱形的判定方法：方法1(定义法)：有一组___邻__边___相等的平行四边形是菱形. 方法2：对角线__互__相__垂__直____的平行四边形是菱形. 方法3：四条边___相__等___的四边形是菱形.
探究学习
对角线互相垂直的平行四边形是菱形【例1】如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.
(1)求证：AE＝DF.
(2)四边形AEFD能成为菱形吗?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解：能. 因为∠B＝∠DFC＝90°，所以DF∥AB. 又DF＝AE，所以四边形AEFD是平行四边形. 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t，解得t＝10. 所以当t＝10时，四边形AEFD是菱形.