大学文科数学知识点与试题及解答

1 1⎞ −1 0 ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎠
−2 −1 ⎞ 1 0⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎠
⎛ −2 −1 ⎞ ∴ X == ⎜ 1 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠
2．解齐次线性方程组 ⎧ x1 − x2 + x3 + x4 = 0 ⎪ ⎨ x1 + x2 − x3 + x4 = 0 ⎪x + x + x − x = 0 2 3 4 ⎩ 1
南开大学2008级大学文科数学统考试卷 （A卷） 2010年1月17日 一、 (本题 10 分)袋中装有 10 个号码球， 分别标有 1~10 号。现从袋中任取 3 个球， 记录下其号码，求（1）最小号码为 5 的概率； （2） 中间号码为 5 号的概率.
解 A={最小号码为5} , B={中间号码为5} ,
P ( A) P ( B | A) P ( A)(1 − P ( B | A) = = 1 − P( B) P( B)
0.1(1 − 0.15) 0.085 =0.321. = = 1 − 0.735 0.265
三、(本题 8 分)若随机事件 A, B, C 为相互独立事件, 且
P ( A) = 0.2 ， P ( B ) = 0.4 ， P (C ) = 0.5 ，
∴ 原式 = e
2 lim 2 x ln(1− ) x →∞ x
= e −4 .
tan x − 1 5. lim x→ π sin 4 x 4
2
解
2tan x sec x tan x − 1 = lim lim π x→ π x→ 4 4cos4 x sin 4 x 4
2
2
2tan sec 4 4 = −1. = 4cos π
det(2 A ) =
A
为
3 .
阶 方 阵 ， 若 det( A ) = 4 ， 则
⎛ 1 3．设矩阵 A = ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎝ −3
0 1 2
1 ⎞ 0 ⎟ ，则 r(A)= ⎟ ⎟ −3 ⎠
.
⎛ 4 −8 ⎞ 1. ⎜ 8 −4 ⎟ ⎝ ⎠
2. 32
3. 3
x 2 + 5cos( x − 1) 4. lim = x →1 x+2
7.
∫
a
0
x a 2 − x 2 dx
解: 令 x = a sin t , 则 d x = a cos t dt , 且
当 x = 0 时, t = 0 ; x = a 时, t = π . 2
2 2x 4. lim(1 − ) x →∞ x
解
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 原式= lim ⎜ 1 + x ⎟ = lim ⎜ 1 + x →∞ x →∞ x⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝
x −2 −4
2x
−4
x −2
⎡ ⎤ ⎞ ⎥ ⎢⎛ ⎢ ⎜ 1 + 1 ⎟ ⎥ = e −4 . = lim ⎜ x →∞ ⎢ x⎟ ⎥ ⎜ − ⎟ ⎥ ⎢⎝ 2⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
南开大学2009级大学文科数学统考试卷 （A卷） 2010年1月17日
一、填空题（每小题 4 分，共 40 分） ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 3 4⎞ ⎛ 1 10 ⎞ 1．设矩阵 A = ⎜ ⎟ ， B = ⎜ 2 5 ⎟ ，C = ⎜ − 1 4 ⎟ ，则 ⎝ ⎠ ⎝ 5 −4 ⎠ ⎝ ⎠ . AB − C = 2Baidu Nhomakorabea． 设
1⎞ 0⎟ ， 满 足 ⎟ 1⎟ ⎠
AX + B = 2 X ，求矩阵 X.
解法二 AX +B = 2 X 变形，得 (2 E − A) X = B
(2 E − A | B ) =
⎛ −1 − 1 1 2 1 ⎞ ⎜ 0 1 − 2 −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −1 1 0 3 1 ⎟ ⎠ ⎝ 0 −1 1 −2 0 3 1 1⎞ −1 0 ⎟ ⎟ 3 0⎟ ⎠
x2 + 2 x − 3 3. lim x →1 x3 − x
2x + 2 4 = = 2. 原式 = lim 2 解： x →1 3 x − 1 2
解法二：
( x + 3)( x − 1) 原式 = lim x( x + 1)( x − 1) x →1
x+3 = lim = 2. x →1 x ( x + 1)
解 设事件A表示“人工降雨”, A 表示“不进行人工降雨”； 则事件A, A 构成一个完备事件组. 事件B表示“下雨”．
B = BA ∪ B A
P ( B ) = P ( BA ∪ B A) = P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A)
=(0.9)×(0.8)+(0.1)×(0.15)=0.735.
0 −1 1 −2 0 3 0 1 0 0 0 1
1 1⎞ ⎛ −1 r3 ÷3 −1 0 ⎟ ⎯⎯→ ⎜ 0 ⎯⎜ ⎟ ⎜ 0 3 0⎟ ⎠ ⎝ 2 1⎞ ⎛ 1 r +r3 1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 ⎟ r2 +2r3 →⎜ ⎜ 0 1 0⎟ ⎠ ⎝ 0 1 0
0 −1 1 −2 0 1 0 0 1
2 2 解法二： 令 u = − ， 则 x = − x u
2 2x 4. lim(1 − ) x →∞ x
原式 = lim(1 + u)
u→0
2
−2 u
= lim[(1 + u) ] = e −4 .
u→0
1 u −4
2 2x 4. lim(1 − ) x →∞ x
2 2 x ln(1− ) 2 2x x , 解法三： 取对数得 (1 − ) = e x 2 2ln(1 − ) ( 0 ) 2 0 x ∵ lim 2 x ln(1 − ) = lim x →∞ x →∞ x 1 2 x 2( − ) x = −4, = lim x →∞ 1 x
2 C5 1 P ( A) = 3 = , C10 12 1 1 C4C5 1 P( B) = = . 3 6 C10
二、(本题 10 分)由现在的天气状况分析，政府有 90％ 的概率进行人工降雨，10%的概率不进行人工降雨。 若进行人工降雨后下雨的概率为 0.8, 不进行人工降 雨而下雨的概率为 0.15， 试求 （1）下雨的概率； （2）在已知没有下雨的条件下， 求没有进行人工降雨的概率.
⎛ −1 − 1 1 2 1 ⎞ ⎛ −1 r3 −r 1 r +r2 1 ⎯⎯→ ⎜ 0 1 − 2 −1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 ⎯ → ⎟ r3−2r2 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 2 − 1 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝
⎛ −1 r +r2 1 ⎯⎯⎯ ⎜ 0 →⎜ r3 −2r2 ⎜ 0 ⎝ ⎛ −1 r +r3 1 ⎯⎯⎯ ⎜ 0 →⎜ r2 +2r3 ⎜ 0 ⎝
1⎞ 0⎟ ， 满 足 ⎟ 1⎟ ⎠
AX + B = 2 X ，求矩阵 X.
解
AX +B = 2 X
变形，得
(2 E − A) X = B
若2E-A 可逆， 则 X = (2 E − A)−1 B .
⎛ −1 − 1 1 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎜ 0 1 − 2 ⎟ X = ⎜ −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟ ⎜ 3 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10．“原函数”与“不定积分”这两个概念的区别是 联系是 . 10. 原函数是一个函数，不定积分是一族函数； 它们的导数相等，而且原函数的全体就是不定积分。
；
二、计算下列各题： （每小题 6 分，共 42 分） ⎛ 2 ⎛ 3 1 −1 ⎞ 1 ． 已 知 A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ， B = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 1 −1 2 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝ ⎝
P ( B | A) = P ( B | A) ，求 P ( B | A) .
解 设 P ( B | A) = P ( B | A) = a ,
P ( B ) = P ( BA ∪ B A) = P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = P ( A)a + P ( A)a = ( P ( A) + P ( A))a = a 1 ∴ a = P( B) = . 3 1 2 P ( B | A) = 1 − P ( B | A) = 1 − = . 3 3
⎛ 1 −1 1 1 ⎞ r2 − r1 ⎛ 1 ⎜ 1 1 −1 1 ⎟ r3 − r1 ⎜ 0 → A=⎜ ⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ ⎜ 1 1 1 −1 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝
⎛1 0 0 1 ⎞ ⎜ 0 1 0 −1 ⎟ r1 − 2 r2 ⎯⎯⎯ ⎜ → ⎟ ⎜ 0 0 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠
即得与原方程组同解的方程组 即
⎧ x1 = − x4 ⎪ ⎨ x2 = x4 ( x4可取任意值 ) ⎪x = x ⎩ 2 4
⎧ x1 + x4 = 0 ⎪ ⎨ x 2 − x4 = 0 ⎪x − x = 0 4 ⎩ 3
取
x4 = c , c为任意实数, x2 = c ,
x3 = c ,
得原方程组的全部解：
x1 = − c ,
x4 = c .
二、(本题 10 分)由现在的天气状况分析，政府有 90％ 的概率进行人工降雨，10%的概率不进行人工降雨。 若进行人工降雨后下雨的概率为 0.8, 不进行人工降 雨而下雨的概率为 0.15， 试求 （1）下雨的概率； （2）在已知没有下雨的条件下， 求没有进行人工降雨的概率.
解
P ( AB ) P( A | B) = P( B)
π
2
π
6.
x 3 ln xdx ∫
4 3
x u = ln x , x dx = d = dv , 解 4 1 4 1 3 3 ∫ x ln xdx = 4 x ln x − 4 ∫ x dx 1 4 1 4 = x ln x − x + C . 4 16
.
⑴被积函数是两类不同性质函数的乘积； ⑵按“反、对、幂、指、三”顺序选择u和v.
4. 2
.
5 ． 函 数 y = x3 − x + 1 在 点 （ 1 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为 . 6．设 y = 5sin(ln x ) ，则 dy= dx.
4. 2
6. 5
5. y = 2 x − 1
sin(ln x )
1 ln 5 cos(ln x ) x
7．若函数 f ′( x ) =
1 0
1 x
, （x>0）, 则 f (x)=
. .
则 8． ∫ (2 x 4 + kx )dx = 2 (其中 k 为常数)， k= 若
d 9．设 f (x)为连续函数, 结论 ∫ f ( x )dx = f ( x ) 是否正 dx 确？为什么？ .
7. 2 x + C
16 8. 5
9.正确，根据微积分学基本定理：连续函数一定存在原函数。
⎛ −1 − 1 0 ⎞ X = ⎜ 0 − 1 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 0 − 1 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 2 1⎞ ⎜ −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1 − 1 0 ⎞ X = ⎜ 0 − 1 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 0 − 1 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 2 1⎞ ⎜ −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 1⎟ ⎝ ⎠
求事件 A, B, C 中至少有一个发生的概率. 解 P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P ( ABC )
= 1 − P ( A) P ( B ) P (C ) = 1 − (1 − 0.2)(1 − 0.4)(1 − 0.5) = 0.76.
1 四、设 A，B 为两个随机事件，已知 P ( A) = P ( B ) = ，且 3
解 对系数矩阵 A 施以初等行变换, 化为行最简形 矩阵:
−1 1 1 ⎞ ⎟ 2 −2 0 ⎟ 2 0 −2 ⎟ ⎠ ⎛ 1 −1 1 1 ⎞ ⎛1 0 0 1 ⎞ r2 ÷ 2 ⎜ 0 1 −1 0 ⎟ r1 + r2 ⎜ r3 ÷ 2 ⎯⎯⎯ 0 1 −1 0 ⎟ → ⎯⎯→ ⎜ r3 − r2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 0 −1 ⎟ ⎜ 0 0 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− 1/ 3 − 1/ 3 ⎞⎛ 2 1 ⎞ ⎛ −2 / 3 = ⎜ −2 / 3 − 1/ 3 2 / 3 ⎟⎜ −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ −1/ 3 ⎟⎜ − 2/ 3 1/ 3 ⎠⎝ 3 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ −2 −1 ⎞ ⎜ 1 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠
二、计算下列各题： （每小题 6 分，共 42 分） ⎛ 2 ⎛ 3 1 −1 ⎞ 1 ． 已 知 A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ， B = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 1 −1 2 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝ ⎝