第十三章应力状态与强度理论PPT课件
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材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
应力状态与强度理论
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时的断裂破坏。
3、最大剪应力理论（第三强度理论）：
理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要 因素，只要最大剪应力τmax达到与材料性质 有关的某一极限值，材料就发生屈服。
单向拉伸下，当与轴线成45。的斜截面上的
τmax= s/2时
任意应力状态下
莫尔强度条件为：
1
Байду номын сангаас
t c
3
t
对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、 岩石和土体等，在以压为主的应力状态下， 该理论与试验结果符合的较好。
综合以上强度理论所建立的强度条件， 可以写出统一的形式： σr≤[σ]
σr称为相当应力
r1 1
r2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。
2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)：
理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。
拉断时伸长线应变的极限值为
断裂准则为：
1
1 E
1
2
11
b
E
3
1 2 3 b
第二强度理论的强度条件：
1 2 3
max
1 3
2
屈服准则： 1 3 s
2
2
1 3 s
第三强度理论建立的强度条件为：
1 3
在机械和钢结构设计中常用此理论。
4、形状改变比能理论(第四强度理论)：
第四强度理论认为： 形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。
单向拉伸时，
1
3E
s
2的形状改变比能。
13应力应变分析及强度理论
15 . 5 , 0
15 . 5 90 105 . 5 0
x y
15 . 5 主应力 1 方向： 0
主应力
3
105 .5 方向： 0
18
（3）主单元体：
y
xy
3
1
15.5
x
19
13-5空间应力状态
代表单元体任意斜截面上应力 的点，必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
纯剪切应力状态下： u=τ 2/2G
复杂应力状态下：
u= σ1ε1/2+ σ2ε2/ 2 + σ3ε3/ 2
= [σ12+ σ22+ σ32-2μ（σ1σ2+σ2σ3 +σ3σ1）] /2E
三、体积改变比能和形状改变比能
单元体的变形表现为 体积的改变和形状的改变，其变形 能和比能也由以下这两部分组成：
σ
3
σ1
σ2
σ2
σ
σ1
3
8
13-2 平面应力状态分析-解析法
一个微分六面体可以简化为平面单元体
9
1.斜截面上的应力
y
x
yx
a
xy
x
α
a
n
dA
x
y
a
xy
yx
F 0
n
t
y
F 0
t
10
1 1 ( ) ( ) cos 2 sin 2 x y x y xy 2 2
33
（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）脆性断裂 最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因 观点： 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 1 是
15 . 5 90 105 . 5 0
x y
15 . 5 主应力 1 方向： 0
主应力
3
105 .5 方向： 0
18
（3）主单元体：
y
xy
3
1
15.5
x
19
13-5空间应力状态
代表单元体任意斜截面上应力 的点，必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
纯剪切应力状态下： u=τ 2/2G
复杂应力状态下：
u= σ1ε1/2+ σ2ε2/ 2 + σ3ε3/ 2
= [σ12+ σ22+ σ32-2μ（σ1σ2+σ2σ3 +σ3σ1）] /2E
三、体积改变比能和形状改变比能
单元体的变形表现为 体积的改变和形状的改变，其变形 能和比能也由以下这两部分组成：
σ
3
σ1
σ2
σ2
σ
σ1
3
8
13-2 平面应力状态分析-解析法
一个微分六面体可以简化为平面单元体
9
1.斜截面上的应力
y
x
yx
a
xy
x
α
a
n
dA
x
y
a
xy
yx
F 0
n
t
y
F 0
t
10
1 1 ( ) ( ) cos 2 sin 2 x y x y xy 2 2
33
（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）脆性断裂 最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因 观点： 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 1 是
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
材料力学--应力状态(强度理论)
1 B 76.9MPa 2 0 3 B 76.9MPa
r3 1 3 2 B 153.8MPa [ ]
B max
F S S max
* z max
dI z
75.08MPa
r3 150.16MPa [ ]
性 材 料
1 2 0纵向开裂 第二强度理论
3 0
斜截面开裂 直接实验 [ ]
三向受压： 1＜0 , 3
1
,
max
1
2
3
＞
s
第三强度理论
塑
性 一般应力状态下 第三、第四强度理论
材 三向等拉状态 r3 r4 0 第一强度理论
料 三向等压状态，无论脆性材料还是塑性
材料均不发生破坏。
1 b
1
b
n
铸铁拉伸
2020/4/13
铸铁扭转
7
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态,, 最大拉伸
线变形 1 0 发生脆性断裂
1－构件危险点的最大伸长线应变
1 [ 1 ( 2 3 )]/ E
0 －极限伸长线应E
3、校核A点强度：
A
| M |max Iz
yA
17.5 103 1073 108
75 103
122.3MPa
1 122.3MPa 2 3 0
r3 A 122.3MPa [ ]
4、校核B点强度：
B
B
max
| FS |max A腹板
50 103 130 5 106
76.9MPa
2020/4/13
2
max max
满足
max [ ] max [ ]
是否强度就没有问题了？
7工程力学(下)—应力状态和强度理论1
σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系
工程力学第13章应力状态分析和强度理论
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
z
x
y y
x
z x
2
I 3 1
(1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ1 无关.
1
3
II 2
(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、 τα ,其上之应力与σ2 无关.
2
III 1 3
2
(3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ3 无关.
例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢 块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
Fy
解：1) 研究对象ຫໍສະໝຸດ 正方形钢块y F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
工程力学之应力状态分析和强度计算PPT(50张)
3
2 主应变：主应力方向上的应变
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
工
1 单独作用 2 单独作用 3 单独作用
程 力
1
1
2
3
E
E
E
学
2
1
E
2
E
3
E
3
1
E
2
E
3
E
同时作用
1
1
E
( 2 ) ( 3
E
E
)
13
§10.应力状态分析和强度理论—— 广义胡克定律
Fn 0
A x Ax cos y Ay sin x Ax sin y Ay cos 0
F 0
A x Ax sin y Ay cos x Ax cos y Ay sin 0
x
2
y
x
y
2
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2 7
§10.应力状态分析和强度理论——平面应力状态分析
=0
tg2o
2 x x y
9
§10.应力状态分析和强度理论——平面应力状态分析
x 2y(x 2y)2(x)2sin 2 ()
工 程
(x 2y)2(x)2cos2 ()
力
学 ● 最大和最小剪应力
21 0
or
max min
(
x
2平面与主平面的夹角为45°： 1 0 45
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。 (3) 相邻垂直面上的切应力根据切应力互等定理确定.
4
§10.应力状态分析和强度理论——概 述
理论力学12应力状态和强度理论
ο
ζ min = −80MPa α 0 = 116.56
ο
ζ max = 20MPa
26
例
３
可用同种方法求出其他点的 主应力和主平面位置。由此可得 梁内主应力特点：除上、下边缘 外，其他点处的主应力，必有一 主拉应力和一个主压应力。主拉 应力的方位角由９０度连续减到 ０度。
主拉应力迹线：各点的切线方 向为该点处的主拉应力方向。 实线表示 主压应力迹线：各点的切线方 向为各点的主压应力方向 虚线表示 对于钢筋混凝土梁，纵向钢筋 大体按主拉应力方向布置。
25
例
tg2α 0 = −
３
2η xy
2 × 404 ==− − 60 − 0 3
ζ x −ζ y
ο
α 0 = 26.56
+
ο
116.56
ο
将 α 0 = 26.56 代入 ζ α =
ζ x +ζ y
2
ζ x −ζ y
2
cos 2α − η xy sin 2α
ζ α = −80MPa
α 0 = 26.56
z
θ ζt
ζt
p
D
7
应力状态和强度理论
三、应力状态的分类
对于受力构件内任一点，总可以找到三个相互垂直 的平面，这些面上只有正应力而没有切应力，这些切应 力为零的平面称为主平面。作用在主平面上的正应力称 ζ为主应力。三个主应力分别用 ζ 1 ζ 2 ， 3 ， 并按代数值 ， 大小排列， 1 ≥ ζ 2 ≥ ζ 3。围绕一点按三个主平面取出的 ζ ζ2 单元体称为主应力单元体。 主应力
x
)
在坐标系内画出点 A(ζ x ,η xy ，B (ζ y ,η yx ) AB与横轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆
ζ min = −80MPa α 0 = 116.56
ο
ζ max = 20MPa
26
例
３
可用同种方法求出其他点的 主应力和主平面位置。由此可得 梁内主应力特点：除上、下边缘 外，其他点处的主应力，必有一 主拉应力和一个主压应力。主拉 应力的方位角由９０度连续减到 ０度。
主拉应力迹线：各点的切线方 向为该点处的主拉应力方向。 实线表示 主压应力迹线：各点的切线方 向为各点的主压应力方向 虚线表示 对于钢筋混凝土梁，纵向钢筋 大体按主拉应力方向布置。
25
例
tg2α 0 = −
３
2η xy
2 × 404 ==− − 60 − 0 3
ζ x −ζ y
ο
α 0 = 26.56
+
ο
116.56
ο
将 α 0 = 26.56 代入 ζ α =
ζ x +ζ y
2
ζ x −ζ y
2
cos 2α − η xy sin 2α
ζ α = −80MPa
α 0 = 26.56
z
θ ζt
ζt
p
D
7
应力状态和强度理论
三、应力状态的分类
对于受力构件内任一点，总可以找到三个相互垂直 的平面，这些面上只有正应力而没有切应力，这些切应 力为零的平面称为主平面。作用在主平面上的正应力称 ζ为主应力。三个主应力分别用 ζ 1 ζ 2 ， 3 ， 并按代数值 ， 大小排列， 1 ≥ ζ 2 ≥ ζ 3。围绕一点按三个主平面取出的 ζ ζ2 单元体称为主应力单元体。 主应力
x
)
在坐标系内画出点 A(ζ x ,η xy ，B (ζ y ,η yx ) AB与横轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆
应力状态及强度理论
应力张量是一个二阶对称张量， 包含六个独立的分量，可以用 来描述物体的应力状态。
主应力和应力张量可以通过计 算得到，它们是描述物体应力 状态的重要参数。
02
强度理论
第一强度理论
总结词
最大拉应力准则
详细描述
该理论认为材料达到破坏是由于最大拉应力达到极限值，不考虑剪切应力和压 力的影响。
第二强度理论
05
实际应用
航空航天领域
飞机结构强度分析
利用应力状态及强度理论，对飞 机各部件的受力状态进行详细分 析，确保飞机在各种工况下的结 构安全。
航天器材料选择
根据材料的应力-应变关系，选择 适合航天器发射和运行阶段的材 料，确保航天器的可靠性和寿命。
航空材料疲劳寿命
评估
通过应力状态及强度理论，评估 航空材料的疲劳寿命，预防因疲 劳引起的结构失效。
03
材料失效分析
弹性失效
总结词
材料在弹性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其弹性极限时 ，会发生弹性失效。这种失效通常表 现为突然断裂或大幅度变形，且材料 不具有恢复原状的能力。
塑性失效
总结词
材料在塑性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其屈服点后，会发生塑性失效。这种 失效表现为材料发生较大的塑性变形，无法保持其原始形状 和尺寸。
土木工程领域
桥梁承载能力分析
通过对桥梁的应力分布和承载能力的分析，确保桥梁在设计寿命 内的安全性和稳定性。
建筑结构抗震设计
利用强度理论，对建筑结构进行抗震设计，提高建筑物的抗震能 力，减少地震灾害的影响。
岩土工程稳定性分析
通过对岩土工程的应力状态和强度理论的分析，评估岩土工程的 稳定性和安全性。
应力状态分析强度理论组合变形资料课件
弯曲与扭转组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的内力和变形。
拉伸与压缩组合变形的计算公式
根据材料力学的基本理论，通过建立力和位移的 关系式，求解出结构的应力和应变。
3
剪切与弯曲组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的应力和变形。
根据应力方向和大小的不同，可以将应力状态分为 单向应力状态、双向应力状态和三向应力状态。
应力状态对材料强度的影响
01
02
03
04
Hale Waihona Puke 屈服强度在单向应力状态下，材料开始 发生屈服时的应力值。
抗拉强度
在双向应力状态下，材料在拉 力作用下所能承受的最大应力 值。
抗压强度
在三向应力状态下，材料在压 力作用下所能承受的最大应力 值。
剪切强度
在剪切应力状态下，材料能够 承受的最大剪切应力值。
02
强度理论
第一强度理论
最大拉应力理论
第一强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应力是其强度极限，而实际应 用中，材料可能因最大拉应力的作用而发生断裂。
第二强度理论
最大伸长应变理论
第二强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应变是其强度极限，而实际应用中，材料可能因最大伸长应变的积累而发 生断裂。
组合变形的分析方法
解析法
通过数学公式和定理，对组合 变形进行理论分析和计算。
有限元法
利用离散化的思想，将复杂的 结构分解为若干个小的单元， 通过求解每个单元的平衡方程 来得到整体结构的应力分布。
实验法
通过实验测试，对实际结构进 行加载和测量，获取结构的应 力分布和变形情况。
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工程力学—材料力学
第十三章 应力状态与强度理论
F
q
m
x
x
m
x
Me
Me
东北大学秦皇岛分校
工程力学—材料力学 三、单元体特征
第十三章 应力状态与强度理论
单元体三个方向上的尺寸均无穷小
2 3
每个面上应力均匀分布
1
1
任意一对平行平面上的应力相等
3 2
单元体的应力状态可代表一点的应力状态
东北大学秦皇岛分校
13.6 广义胡克定律 13.7 强度理论 东北大学秦皇岛分校
工程力学—材料力学
第十三章 应力状态与强度理论
§13.1 应力状态与强度理论
一、一点的应力状态 拉伸或压缩
扭转
cos2
2
sin
2
T
T
Al
B
东北大学秦皇岛分校
T
IP
工程力学—材料力学
弯曲
q
A
l
第十三章 应力状态与强度理论
My
第十三章 应力状态与强度理论
四、应力状态分类
2 3
1
1）空间（三向）应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
3 2 2
2）平面（二向）应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零 1
1 1
2
3）单向应力状态
1
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
1
东北大学秦皇岛分校
工程力学—材料力学 三向应力状态的实例 滚珠轴承
R
( x
2
y
)2
2 xy
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工程力学—材料力学 二、应力圆的作图方法
第十三章 应力状态与强度理论
应力圆法——应力分析的图解法
y
y
α
x
τα
xy x
o
① 建 - 坐标系,根据已知应力选取适当比例尺 东北大学秦皇岛分校
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y
y
第十三章 应力状态与强度理论
α
x
D
τα
xy x
d e
x
a
y
y yx c
x xy
f b
由力的平衡
第十三章 应力状态与强度理论
n
e
e
x
x
xy
α
α n
dA
α dAcos α
α
ayx y f t
a
f dAsin
Fn 0 dA ( xydAcos ) sin
( xdA cos )cos ( yxdA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
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第十三章 应力状态与强度理论
把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得
(
x
y
2
)2
2
( x
y
2
)2
2 xy
上式为以、 为变量的圆方程。此圆称为应力圆或莫尔圆
以 为横坐标轴， 为纵坐标系轴
圆心的坐标
C(
x
y
,0)
பைடு நூலகம்
2
圆的半径
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第十三章 应力状态与强度理论
主平面：切应力为零的面 主应力：主平面上的正应力
A
通过受理构件的任意点必定存在 三个相互 垂直的主平面,因而没一点都有三个主应力 分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数
值大小的顺序来排列, 即 1 2 3
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第十三章 应力状态与强度理论
Ft 0 dA ( xydAcos ) cos
( xdAcos )sin ( ydAsin ) cos ( yxdAsin ) sin 0
化简以上两个平衡方程最后得
x cos2 y sin2 xy 2 sin cos
F
第十三章 应力状态与强度理论
3
A
2
1
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第十三章 应力状态与强度理论
§13.2 平面应力状态分析——解析法
y
y yx xy
x
x
z
y yx
x xy
单元体的六个侧面上仅在四个侧面上作用有应力，且其作用 线均平行于单元体的不受力表面，称为平面应力状态。 单向受力与纯切应力状态均为平面应力状态的特殊情况。 东北大学秦皇岛分校
m
60MPa
100MPa x
60o
α
m
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第十三章 应力状态与强度理论
§13.3 平面一般应力状态分析——应力圆法
一、应力圆
斜截面应力计算公式为
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
改写为
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
Iz
重要结论 (1) 杆件内不同位置的点具有不同的应力 (2) 同一点不同方位面上的应力也是各不相同
一点的应力状态 过一点不同方位面上应力的总和
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第十三章 应力状态与强度理论
二、应力状态的研究方法
取单元体法
F
A
F
A
A
F
A
σa
A
τa τβ
σβ
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四个面上既有正应力又有切应力 所取方位不同，单元体各面上应力不同
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
( x y )sin cos xy (cos2 sin2 )
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
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第十三章 应力状态与强度理论
不难看出 90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
注意：
1）应力均为正值，并规定α自x轴开始逆时针转动为正， 反之为负。
o
B
C
A
② 量取 OA= x
AD = xy 得 D 点
y
D′
x
③量取 OB= y BD′= yx 得 D′ 点
④连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点
⑤以C为圆心, CD 为半径作圆,即得相应于该单元体的应力圆 东北大学秦皇岛分校
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第十三章 应力状态与强度理论
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第十三章 应力状态与强度理论
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第十三章 应力状态与强度理论
目录
13.1 应力状态概念及其表示方法
13.2 平面应力状态应力分析——解析法
13.3 平面一般应力状态分析——应力圆法
13.4 极值应力与主应力
13.5 空间应力状态的主应力与最大切应力
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第十三章 应力状态与强度理论
1）斜截面上的应力
y
y
y
y yx
yx xy x
d e
x
c
x
x
x
xy
f
z
a
b
已知：垂直于坐标轴x的截面上，应力为 、x 。x y 垂直于坐标轴y的截面上，应力为 、y 。y x
研究与坐标轴z平行的任一横截面ef上的应力 东北大学秦皇岛分校
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2）式中τxy和τyx均为垂直于x轴的截面上的x面上的切应力，
且按切应力互等定理，二者相等。
3）单元体无限小，故aef部分可视为汇交力系平衡。
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第十三章 应力状态与强度理论
【例13.1】 已知应力状态如图所示。试计算截面m-m上的正应力 σm与切应力τm。
y
50MPa