飞机运动方程
飞机运动的动力学、弹道学和控制
飞机运动的动力学、弹道学和控制1. 飞机运动的动力学
1.1 飞机的六度自由运动
- 平动运动：沿x、y、z三个坐标轴的平动
- 转动运动：绕x、y、z三个坐标轴的转动
1.2 飞机的空气动力学
- 升力原理
- 阻力原理
- 机动力学方程
2. 飞机的弹道学
2.1 弹道运动的基本概念
- 初始条件
- 空气阻力
- 重力加速度
2.2 弹道方程
- 二维平面弹道方程
- 三维空间弹道方程
2.3 弹道修正
- 风阻修正
- 重力修正
3. 飞机的控制
3.1 飞机的控制面
- 升降舵
- 方向舵
- 副翼
3.2 飞行控制系统
- 自动驾驶仪
- 飞行控制计算机
- actuators
3.3 控制律设计
- PID控制
- 最优控制
- 自适应控制
本文概述了飞机运动的动力学、弹道学和控制的基本理论和方法。
动力学部分介绍了飞机六度自由运动和空气动力学原理;弹道学部分阐述了弹道运动基本概念、弹道方程及修正方法;控制部分则涉及飞机控制面、飞行控制系统和控制律设计等内容。
这为深入研究飞机运动及其控制奠定了基础。
飞机重心变化对飞机运动方程的影响
飞机重心变化对飞机运动方程的影响飞机的重心是指飞机质量分布的重心位置，是飞机保持平衡和稳定运动的关键因素之一。
飞机重心的变化会对飞机的运动方程产生影响，下面我们来详细探讨一下这个问题。
飞机的运动方程可以简化为以下几个部分：加速度方程、力方程和力矩方程。
飞机的加速度方程描述了飞机在各个方向上的加速度变化情况，力方程描述了飞机所受的各种力的平衡情况，而力矩方程描述了飞机所受的力矩的平衡情况。
首先，飞机重心的变化会对飞机的加速度方程产生影响。
飞机的加速度方程中包含了质量的变化率，而质量的变化率与飞机的重心位置有直接关系。
当飞机的重心位置发生变化时，其质量分布也会相应改变，导致质量的变化率产生变化。
这将影响到飞机在各个方向上的加速度变化情况。
其次，飞机重心的变化会对飞机的力方程产生影响。
飞机的力方程中包含了各种力的平衡情况，而这些力的平衡与飞机的重心位置密切相关。
当飞机的重心位置发生变化时，各种力的作用点也会相应改变，进而影响到力的平衡情况。
这将导致飞机受到的各种力的分布情况发生变化，进而影响到飞机的运动状态。
最后，飞机重心的变化会对飞机的力矩方程产生影响。
飞机的力矩方程描述了飞机所受的力矩的平衡情况，而这些力矩的平衡与飞机的重心位置密切相关。
当飞机的重心位置发生变化时，力矩的作用点也会相应改变，进而影响到力矩的平衡情况。
这将导致飞机所受的力矩发生变化，对飞机的姿态和稳定性产生影响。
总的来说，飞机重心的变化会对飞机的运动方程产生影响，影响体现在加速度方程、力方程和力矩方程中。
因此，在设计和操作飞机时，需要重视飞机重心位置的变化对飞机运动方程的影响。
在飞机的设计阶段，需要合理安排飞机质量分布，以确保飞机在不同运动状态下能够保持平衡和稳定。
在飞行操作中，需要及时调整飞机的重心位置，以适应不同的飞行条件和任务需求。
只有合理控制飞机重心的变化，才能保证飞机的安全和性能的良好表现。
飞行器运动方程
绕
轴转 得到 x1 y1 z g oz
x1 cos y1 sin zg 0
2、线运动学方程式
得到 再绕轴 oy 1 转
xy1 z 2
x cos y 0 1 z2 sin
相垂直，向右为正。
：沿ox轴向量，向前为正。
p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。 当 0, 0时，没有一个角速度分量是水 平或垂直的。
1、角运动学方程式
把 向机体三轴投影的话，只有 p 包含 的 ,,
先令
的投影分量。为简单起见， 全部，p,q,r都包含 ,
2、线运动学方程式
xg V cos cos yg V cos sin h V sin
飞机六自由度方程组（1）
状态向量：
u v w Fx u vr wq g sin m v ur wp g cos sin Fy m Fz w uq vp g cos cos m
3、角运动方程式
飞机动量矩的推导：
r
dm
dL r ( r )dm
3、飞机运动方程
方程应包括动力学方程及运动学方程：
运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系，找 出体轴系下角速度、位移量与地面轴系下角速 度、位移量的关系。
2、线运动方程
用机体系表示绝对参数变化时： ~ dv dv Iv v dt dt ~ dv 1v V dt 为速度向量 V 相对于动坐标系的变化率， 为由于动坐标系转动而引起的向量变化率，是牵连 加速度。
L dL r ( r )dm iLx jLy kLz
飞行力学第六章-运动方程
ωx
ω y I x ω x I xy
0 I zx
I xy Iy I yz
I zx ω x M x I yz ω y = M y I z ω z M z
飞行器飞行力学2010
得
dω x 2 2 + ( I z I y )ω y ω z + I yz (ω z ω y ) + Ix dt dω y dω z I xy (ω x ω z ) I zx (ω x ω y + ) = Mx dt dt dω y 2 2 + ( I x I z )ω x ω z + I zx (ω x ω z ) + Iy dt dω z dω x I yz (ω x ω y ) I xy (ω y ω z + ) = M y dt dt dω z 2 2 + ( I y I x )ω x ω y + I xy (ω y ω x ) + Iz dt dω y dω x I zx (ω y ω z ) I yz (ω z ω x + ) = Mz dt dt
飞行器飞行力学2010
根据速度之间的关系
u = V cos α cos β v = V sin β w = V sin α cos β
可得
du dV dα dβ V sin α cos β V cos α sin β cos α cos β = dt dt dt dt dv dV dβ V cos β sin β + = dt dt dt dw dV dα dβ sin α cos β + V cos α cos β V sin α sin β = dt dt dt dt
dω z dω x + ( I z I y )ω y ω z I zx (ω x ω y + Ix ) = Mx dt dt 方 程 dω y 2 2 + ( I x I z )ω x ω z + I zx (ω x ω z ) = My 简 Iy dt 化 为 I d ω z + ( I I )ω ω + I (ω ω d ω x ) = M z y x x y zx y z z dt dt
第三章飞行器运动方程(0901)
第三章飞行器的运动方程 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；5）假设机体坐标系的z o x --平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积0==zy xy I I 2.旋转坐标系中向量的导数设活动坐标系b b b z y Ox 具有角速度ω （见图）。
向量ω在此坐标系中的分量为r q p ,,，即k r j q i p++=ω （） 其中i 、j、k 是b x 、b y 、b z 轴的单位向量。
图设有一个可变的向量)(t a，它在此坐标系中的分量为z y x a a a ,,，即k a j a i a a z y x++= （）由上式求向量)(t a对时间t 的导数：b xωb yb zOijkdtkd a dt j d a dt i d a k dt da j dt da i dt da dt a d z y x z y x +++++= （） 从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度ω旋转时，刚体上任何一点P的速度为r dt r d⨯=ω （） 其中r是从O 点到P 点的向径。
现在，把单位向量i看作是活动坐标系中一点P 的向径，于是可得：i dtid⨯=ω （） 同理可得： j dtj d⨯=ω （） k dtkd⨯=ω （） 将式（）、（）及（）代入式（）中，可得：)(k a j a i a k dtda j dt da i dt da dt a d z y x z y x ++⨯+++=ω （） 或写为： a t a dt a d⨯+=ωδδ （） 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x++=δδ taδδ 称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。
飞机的上升性能 下滑性能 续航性能
介绍飞机上升、下滑 续航性能特点与指标
飞机上升、下滑和续航性能特点 飞机上升、下滑和续航性能指标 2/62
§3—3 飞机的上升性能
• 一、飞机等速直线上升运动方程式 • 二、简单推力法确定飞机的上升性能
一、飞机等速直线上升运动方程式 • 在上升中，作用于飞机的力与平飞相同， 有升力、阻力、推力和重力。所不同的是，由于 航迹与地面有一个倾角 (该倾角叫做航迹倾角 或上升角)，重力与飞机运动方向并不垂直。为 了便于分析问题，把重力分解垂直于运动方向的 分力(重力第一分力 G1 )，和平行运动方向的分 力(重力的第二分力 G2 )，如图3—3—10所示。 • 飞机等速直线上升同平飞一样，也是一种受力平 衡状态。利用等速直线运动方程式，飞机等速直 线上升运动方程式为 • P X G sin • Y G cos
飞机的升限有三种: 一种叫理论升限，一种叫实用升限，还有一种叫动 力升限。 l、理论升限 H max 理 如果绘制最大上升率随高度变化的曲线，如图3— 3—14所示，则可以看出最大上升率限高度增加而减小， 最后趋向于零。最大上升率等于零时的高度叫做理论上 H 升限度，简称理论升限，用 表示。在该高度上发 max 理 动机的可用推力只能使飞机在某一速度下维持 平飞。超过这一高度时，飞机不能维持等速直线飞行。 这样确定的升限之所以称为理论升限，是因为愈接近这 一高度，飞机的最大上升率愈小，因而上升单位高度所 需的时间将趋向于无限大。所以理论升限没有什么实际 意义。 2、实用升限 H max实 由于理论升限没有什么实际意义，常规定最大上升
P可用 P平需 G sin
sin • 所以 G P 称为剩余推力。其作用是用来平飞加速和上升。 • 式(3—3—10)可以确定每个速度C下的瞬时上升性能。 飞机的上升性能主要包括最大上升角，最大上升率，上 升限度和上升时间等。
第二章-3 飞行动力学-飞机的横侧运动+飞机方程
四、气动导数变化对横侧动力学特性的影响
1.滚转阻尼模态 时间常数与飞机横滚阻尼气动导数Clp成反比 Clp大，滚转阻尼特性好；过大，副翼操纵滚转困难，飞机进 入盘旋太慢，影响盘旋机动性能； 超音速飞机一般都是小展弦比机翼，Clp小，滚转阻尼特性不 好，因此有必要加人工阻尼。 2.荷兰滚模态 航向静稳定性越大，荷兰滚模态固有频率越高； Cl太大，会降低荷兰滚阻尼。 3.螺旋模态
重力 倾斜 产生 的侧 力
横侧向方程
偏航角不产生力或力矩，仅为几何关系
写成p算子形式
式中各大导数：
二、横侧向扰动运动与三种模态
纵向运动时的同一飞机，以M=0.9.高度h=11000m作定常平飞， 各参数及气动导数如下(对稳定轴系》:
代入方程
扰动运动 控制输入为0：a=r=0
拉氏变换后得代数方程:
三、空速、高度变化对横侧动力学的影响
1.荷兰滚模态
荷兰滚模态的简化特征方程 由于 ，荷兰滚模态的固有频率为：
与空速成正比
阻尼比： 2.滚转阻尼模态
都正比于
滚转阻尼模态传递函数的时间常数为： TL与V0成反比。
3.螺旋模态 螺旋模态小实根的近似表示式
由于 远远大于其他项，所以 螺旋模态时间常数与飞行速度成正比
特征多项式：
特征根：
扰动运动的解
一对共挽复根代表振荡运动模态 大负根代表滚转快速阻尼模态 小根(可正可负)代表缓慢螺旋运动的模态 飞机横侧扰动运动由此三种典型模态线性叠加而成
经拉氏反变换，（设0=1）得
都受振荡模 态影响
1.滚转阻尼模态
飞机受扰后的滚转运动，受到机翼产生的较大阻尼力矩的阻 止而很快结束。这是由于大展弦比机翼的滚转阻尼导数Clp大， 而转动惯量Ix较小所致。对应一个大的负实根。
飞机运动方程
刚体飞机运动方程
基本假设 飞行器是刚体，质量为常数（非必要条件）； 假设地球不动，地面坐标系为惯性坐标系； 忽略地球曲率，认为地面为平面； 重力加速度为常数，不随高度变化； 机体坐标系平面为飞机对称平面，飞机几何外形对 称，质量分布也对称，惯性积满足 I = ∫ xydm = 0 ， I zy = ∫ zydm = 0
牵连运动的加速度合成定理
G r = x i + yj + z k 点在动系中的矢量为
则
其中 i, j,k 分别是动系各轴上的单位矢量，如果从动系中观察，它们都 是常矢量，其导数为零。则（ 1）式为 G
dr i + y j + z k =x dt
G dr d （1） i + y j + z k + x = ( xi + yj + zk ) = x i + y j + zk dt dt
Iy ， I xz ， I z的时间导数为零。 假定飞行器的质量不会移动，质量不变，则 I x， ~ ~ ~ d d d I x − r I xz Hx = p I y Hy = q I z − p I xz Hz = r dt dt dt
j q Hy k r Hz
i G G 展开 Ω × H = p Hx
，
表示矢量 r
G
d 在动系中的导数，称为相对矢导数，导数符号记为 dt 。
G
i, j,k 都是变矢量，当动系以角速度转动时，利 如果从惯性坐标系观察，
= x(ω × i ) + y (ω × j) + z (ω × k )+ = ω × r 用泊桑公式有 x i + y j + zk G G G d r dr = +ω ×r 则 dt dt G 此为矢量 r 在惯性坐标系中的导数，称为绝对矢导数。
第一章-6 飞行动力学-飞机的横侧运动+飞机方程
4.三种模态的简化处理(续)
2.荷兰滚模态的简化处理 初步近似认为滚转运动对荷兰滚模态没有影响，即认为偏航
和侧移运动不受滚转速率和滚转角的影响，得到：
全自由度方程解： 偏差较小：
3）螺旋模态的简化处理
螺旋模态在各运动参数中只占据很小的份额，而且运动参数 的变化慢，因此初步近似时，惯性项可以忽略，令方程中：
二、横侧向扰动运动与三种模态
纵向运动时的同一飞机，以M=0.9.高度h=11000m作定常平飞， 各参数及气动导数如下(对稳定轴系）:
由表中表 达式计算：
拉氏变换后得代数方程:
扰动运动 控制输入为0：a=r=0
特征多项式：
特征根：
扰动运动的解
一对共挽复根代表振荡运动模态 大负根代表滚转快速阻尼模态 小根(可正可负)代表缓慢螺旋运动的模态 飞机横侧扰动运动由此三种典型模态线性叠加而成
飞机：倾斜转弯(bank-to-turn)
2、导弹的控制
利用升力、侧力控制导弹飞行轨迹-产生加速度（过载） 水平舵面—，升力，法向过载，上下飞行 垂直舵面—，侧力，侧向过载，左右飞行 滚转:无a，同一平面舵面的差动偏转—滚转力矩
鸭式导弹 鸭翼，不受气流下洗的影响，改变气动特性
推力矢量控制 导弹舵面气动力小，靠推力改变方向控制
三种模态中，振荡模态的系数最大，说明这一模态在横侧 运动各参数中均有明显的表现。
与纵向短周期相同，航向静稳定性导数Cn起恢复作用， 消除侧滑角；侧力导数CY和航向阻尼力矩导数Cnr起阻尼
作用；
CY和Cnr在数值上很小，因此横侧向振荡模态的衰减很慢。
与纵向短周期模态不同的是:由于横滚静稳定性导数的存 在，伴随着侧滑角的正负振荡，飞机还产生了左右滚转的 运动。航向和滚转运动的耦合。
飞行器质心运动方程
内容绪论1.1 作用在飞机上的外力1.3 常用坐标系及其转换1.4 飞机质心运动方程小结本章作业1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.7；1.8；1.9绪论飞行动力学=飞行性能+飞行品质研究飞机的飞行性能和飞行轨迹特性时，可将飞机视为一可控的质点来处理。
可控：是指飞机的飞行轨迹是可以人为改变的，而轨迹的改变取决于作用于飞机上的外力的改变。
绪论质点运动：通过偏转操纵机构，使飞机的合力矩为零；研究飞机的飞行轨迹和飞行性能时可以把飞机视为质点运动。
力矩平衡作为运动的约束条件。
质点系运动：合力矩不为零。
研究飞机飞行品质时将其视为质点系运动。
1.1.1 升阻特性1.1.2 发动机推力TJ G 从飞行性能的角度，假设操纵面偏转可使力矩平衡，但将其最大平衡能力作为约束。
实际还常忽略操纵面偏转对力平衡的影响。
外力一般不通过质心，它将引起绕质心转动的力矩L J GD JG W JJ G T J G 'L J G 1.1作用在飞机上的外力1.1作用在飞机上的外力在常规飞行性能问题中，假设飞行无侧滑，视侧力为零升力系数阻力系数侧力系数2L L V SC ρ=2D D V SC ρ=2CC V S C ρ=升力和阻力系数主要取决于马赫数、雷诺数、迎角、侧滑角以及飞机的外形马赫数的物理含义？雷诺数的物理含义？迎角的定义?侧滑角的定义?9马赫数：指空气的压缩性效应；低速空气流场不相互影响，高速时则前后相互影响。
9雷诺数:指飞机的尺寸效应；即飞机的尺寸大小会影响飞机的气动特性，一般飞机在真实大气中飞行时，其雷诺数在1000万以上。
这就是研究飞机气动特性时，要建立大尺寸风洞和进行飞行试验研究的原因。
DO1. 升力特性（1）定义升力是飞机上的空气动力的合力在飞机纵向对称平面上垂直于飞行速度方向的分力。
向上为正。
飞机的最大的升力系数约1.2—1.5；采用增升装置后，飞机的最大的升力系数约2.2—3.0。
1. 升力特性0)L L L C αδαα−+升力线斜率,与翼型、机翼平面形状、M 数有关,即~M ,λ, χ零升迎角，取决于机翼有效弯度和M 数,即~M ,f升力部件有翼－身组合体和平尾。
1 飞机性能计算的原始数据和质心运动方程
C y sx C y yx C y dd
C
y max
M
北航 509
§1-1 飞机的升力和阻力特性
阻力特性
无侧滑时的极曲线表达式
C x C x 0 C x i C x 0 AC
零升阻 力系数 诱导阻 力系数
2 y
诱导阻 力因子
零升阻力系数
1) 与升力无关，取决于外形、M、Re
q kh
Pf 较快，且 kh不变 q
如何提高喷气发动机的推力？
北航 509
11 km
H
§1-2 发动机推力和耗油率特性
如何提高喷气发动机的推力？
V取决于飞行条件。提高P f可以通过提高Vp和mk 。
提高Vp的限制： 提高Vp和提高燃气温度有关。由于发动机的耐高 温限制，所以限制了Vp 。 高温高速气体直接排放于空气中，推进效率低， 油耗大，经济性差。 Vp大，则噪音大。 增加mk而提高可以避免上述缺点——涡扇发动机的 设计思想。
北航 509
§1-2 发动机推力和耗油率特性
功率式发动机简介(如:涡轮螺旋桨发动机)
工作原理：首先产 生转动功率，带动 螺旋桨转动，依靠 空气动力获得前行 的拉力。
北航 509
优点：低M数时耗油小， 马力大，经济性好。 缺点：失速限制， 只适用于亚音速。
§1-3 飞机质心运动方程
坐标系
飞机在铅垂面内的运动方程
C x 0 AC
2 y yl
2 y yl
2 y
Cx
C x0
AC
y
C x0 C
2 y yl
A 0
C y yl
C x0 A
C x yl C x 0 AC
6 北航飞行力学_飞机的运动方程
Ax'dy'dz'd: 固定于地表, Ax'dz'd为水平面, Ay'd垂直向上。 Oxdydzd: O为飞机质心, 轴向平行于Ax'dy'dz'd。 航迹轴系Oxhyhzh
机体轴系Oxtytzt
气流轴系Oxqyqzq 轴系间关系
右手正交系
北航 509
航迹轴系
纵向和横航向扰动运动可以分别讨论 第 六 章 ： 小 扰 动 线 化 方 程 和 气 动 导 数北航 5ຫໍສະໝຸດ 9小扰动方程纵 向
V [ Pky m V cos( 0 P ) QV ]V [ Pky0 sin( 0 P ) Q ] G cos 0 V V mV ( ) [ P sin( ) Y ]V 0 ky 0 P 其中： [ Pky0 cos( 0 P ) Y ] G sin 0 d( ) Y z z () dt V V I ( M M ) V M M zP z z z z z z z M M z z z z z 纵向扰动运动变量：
北航 509
气动导数分类
, Mx , My 静稳定性导数： M z
阻尼导数：
y x Mz z , M x , My
x 交叉阻尼导数： M x y , M y
操纵导数：
y x Mz z , M , M x y
x y 交叉操纵导数： M , M x y
洗流时差导数： Mz 其它导数：
垂直于Q ,Y， 对称面内垂直于速度 沿速度方向， 指向右为正 方向，指向座舱为正 指向后为正
飞行动力学飞机方程
设方向余弦表为矩阵Mbg，用欧拉角描述：
体轴坐标与地轴坐标可以互相转换
Mbg是复共轭矩阵：
x
y
M bg
xg
yg
z
zg
M 1 bg
MbTg
姿态角变化率与角速度分量间的几何关系
地轴系 Oxgyg平面
飞机三个姿态角变化率的方位
—沿ozg轴的向量，向下为正
—在水平面内与ox轴在水平面上的
u vw
F 按各轴分解，表示为： F iX jY kZ
各轴分量：
X m u wq vr
Y
m v ur
wp
Z
m
w
vp
uq
飞机的力方程
2.力矩方程
M
dH dt
dH dH dt 1H dt H
先考虑第一项
H 是动量矩，单元质量dm因角速度引起的动量矩为
dH r ( r )dm
式中：r 为质心至单元质量dm 的向径。
对飞行器的全部质量积分，可得总的动量矩 H r ( r )dm
式中： r ix jy kz, ip jq kr
依据：
i jk r p q r i(qz r y) j(r x pz) k( p y xq)
xyz
i r ( r ) x
xydm Ixy
表示惯性积
依据假设 Ixy=Izy=0 ，H 的各分量
H
x
H y
pI x qI y
rI xz
代入
dH dt
1H
dH dt
H
H
z
rI z
pI xz
可得
dH x dt
pI x rI xz
dH y dt
qI y
飞机的纵向运动
关于反操纵问题
总结
1. 飞机纵向运动的线性化方程； 2.飞机纵向运动的模态及其物理成因； 3.飞机定速稳定性和定载稳定性； 4.飞机油门杆的操纵响应； 5.反操纵
绕oy 轴转动动力学方程线性化
纵向运动线性化方程总结来自飞机纵向运动的典型示例、扰动运动的两种模态
纵向运动模态及物理成因
纵向运动的传递函数
小结
根据以上讨论，可以得到结论 纵向运动的基本模态有两种，一种响应速度快，另一种响应速度慢，我们称响应 速度快的模态为短周期运动模态，响应速度慢的模态为长周期运动模态。 迎角响应以短周期运动模态为主，速度响应以长周期运动模态为主，俯仰角响应 同时具有短周期和长周期模态特点。因此，迎角为短周期运动，速度为长周期运 动。 在短周期运动结束时，长周期运动刚刚开始。在短周期运动过程，长周期运动的 位置、速度和加速度变化不大。 在长周期运动过程，短周期运动已经结束。 长周期运动和短周期运动的主要特性都可以用欠阻尼二阶环节来近似。 系统的阻尼不足，阶跃响应调节时间较大。
飞机纵向短周期运动的传递函数近似
飞机纵向长周期运动的近似传递函数
定速稳定性与定载稳定性
静稳定性与短周期运动稳定性的关系
纵向运动的静稳定性和定载稳定性
空速与高度变化对纵向模态特征参数的影响
油门杆偏转的纵向动力学响应
油门杆阶跃偏转时运动参数的稳态值
综上所述，关于飞机操纵问题，可以得到以下基本概念 单纯改变油门杆偏角，只能在过渡过程中改变飞行速度，稳 态时速度和迎角都不会改变，飞机出现直线爬升或直线下滑 运动。 如果加大推力的目的在于进行爬升而不是增速，则在加大油 门的同时最好进行拉杆操作（升降舵上偏以增加迎角），使 得飞行航迹的变化速度加快，到达规定的上升航迹倾斜角后 再推驾驶杆，使升降舵归位。若不进行驾驶杆操作，虽然飞 机最终会到达爬升状态，调节时间一般太长。 若要保持水平加速飞行，必须在加大油门的同时进行推杆操 作，减少迎角，使得升力等于飞机的重力。
飞行基本知识平飞,上升,下降
16
12
8
4
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
α
由平飞时拉力和阻力相等，拉力曲线即可用 阻力曲线表示。
D
D诱导
D平飞
D废
VMD
VI
②平飞所需功率 平飞所需功率:
N
120
100
80
60 16°
40
20
8° 6°4°
0
60
100 VMD 140
N平飞 P平飞 v平飞
0° 2°
理论升限
可用速度范围 可用速度范围
失速边界
0
VMP
拉力边界 VI
5.1.5 飞机平飞改变速度的原理
第二速 度范围
P
第一速 度范围
油门大
迎角大 速度小
油门小
油门小 迎角大
迎角小 速度小
速度大
0 V1 V2 VMP
油门大 迎角小 速度大
VI
V1 V2
●在第一速度范围内
加速：
第二速 度范围
P
第一速 度范围
第五章
平飞 、上升 、下降
飞机的平飞、上升和下降是飞机既不带倾斜 也不带侧滑的等速直线飞行，是飞机最基本的飞 行状态。
5.1 平 飞
平飞是指飞机作等高、等速不带倾斜和 侧滑的直线飞行。平飞是运输机的一种主要 飞行状态。
5.1.1 平飞的作用力
飞机在空中稳定直线飞行时,受到四个力的作用：
升力(L)、重力(W)、拉力(P)、阻力(D)。
加油门使飞机加速，P
顶杆保持高度，然
后逐步收油门。
油门大
减速： V2到V1，最初需
迎角大 速度小
油门小
第一章-5-飞行动力学-飞机的纵向运动
mV
d dt
T sin( T ) L G cos
Iy
dq dt
M
a
TzT
d q dt
第二式中：Vd/dt=an-法向加速度，速度在法向的变化率
第三式是绕oy轴的转动动力学方程， 第四式与第五式是补充几何关系。
注：仅是在纵向剖面的力与力矩关系。
式中，
XV
X
X
-XT
—无因次速度
Tv，TT可由发动机特性曲线求出
Dv，Da是阻力对速度和迎角的函数，由吹风数据得出
也可写成：
d V dt
ห้องสมุดไป่ตู้V V
X X XT T
(二)法向动力学方程的线性化
法向加速度为
0
对于等速直线平飞的基准运动有 代入几何关系 得：
各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一
阶项,得
令 得到力与力矩的线性化描述：
T T0 TV V TT T
L L0 LV V L Lee
D D0 DV V D
Ma
M
a 0
M Va V
M
a
研究初始条件为t=0时， 的扰动运动的解。
(一)扰动运动的解 用拉氏变换求解，令 考虑到前面给出的初始条件，有 代人微分方程组，得拉氏变换代数方程组：
方程的系数行列式(特征行列式)为
展开系数行列式，得特征多项式：
分解因式得:
有两对极点：s1,2 0.7322 j2.8998, s3,4 0.006 j0.038
d
dt
01_飞机的一般运动方程
无人驾驶飞机：无人飞机和微型无人飞机
最大尺寸微型飞行器
英国的“Sender”无人机
微型飞行器和小尺寸无人机的尺寸对比
2015/10/7 6
“黑寡妇”微型飞机
“微星”微型飞机
2015/10/7
7
特殊航空器：微型扑翼和旋翼飞机
加州理工大学的“微型蝙蝠” 微型扑翼飞机
美国加州大学：扑翼机（翼展 200mm，总重11.5克，微型电 机驱动
29
2015/10/7
二、在动坐标系中质点的速度和加速度
在旋转体上某一点P的速度V为角速度矢量ω
和矢径r叉积，即 V ω r , 如图中旋转轴上 的O点线速度为V0，则P点的合速度为
V V0 r
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矢量导数dA/dt是矢量端点的速度
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31
旋转坐标轴上的矢量A的导数
0 1 L qh 0 cos s 0 sin s
0 sin s cos s
coscos Ltq sin cos sin
sin cos 0
cos sin sin sin cos
dA d (i A x j A y k A z ) dt dt d Ay d Ax d Az di dj dk i j k Ax A y Az dt dt dt dt dt dt
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32
如果坐标轴不旋转，显然后三项为零。如 果坐标轴的角速度为ω，则有
di i dt
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20
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图2-3
21
飞行原理 第五章 平飞、上升、下降
V1到V2，加油
门，随速度的增加， 顶杆保持高度。 减速：
V2到V1，收油 门，随速度的降低，
油门大
迎角大 速度小
油门小
油门小 迎角大
迎角小 速度小
速度大
油门大 迎角小 速度大
带杆保持高度。
0 V1 V2 VMP
VI
V1 V2
●在第二速度范围内
加速： V1到V2，最初需
第二速 度范围
第一速 度范围
加油门使飞机加速，P
顶杆保持高度，然
后逐步收油门。
油门大
减速： V2到V1，最初需
迎角大 速度小
油门小
油门小 迎角大
迎角小 速度小
收油门使飞机减速， 速度大
带杆保持高度，然
油门大 迎角小 速度大
后逐步加油门。
0 V1 V2 VMP
VI
V1 V2
5.2 巡航性能
巡航性能主要研究 飞机的航程和航时。航 时是指飞机耗尽其可用 燃油在空中所能持续飞 行的时间。航程是指飞 机耗尽其可用燃油沿预 定方向所飞过的水平距 离。
前称有利速度。
120
对应的迎角称最
0°
小阻力迎角，以前 80
8°
2°
4°
称有利迎角。
40
VMD
VI
80 120 160 200 240 260
⑷最小功率速度
平飞所需功率最小的速度，VMP平飞最小 功率速度在平飞所需功率曲线的最低点。以 前称经济速度，对应的迎角称最小功率迎角， 以前称经济迎角。
N
120
VI
180
220
随着平飞 速度的增 大，平飞 所需功率 先减小后 增大。
③平飞拉力曲线和剩余拉力
飞机运动方程及小扰动方程推导
飞机运动方程及小扰动方程推导飞机是一种重要的交通工具，它的运动可以通过一系列的方程来描述。
其中，飞机的运动方程是指描述飞机在空气中运动的基本方程，而小扰动方程是指描述飞机在受到微小扰动时的动力学方程。
飞机的运动方程是通过对牛顿运动定律的应用得到的。
根据牛顿第二定律，飞机的运动可以用以下方程来描述：F = ma在这个方程中，F代表飞机所受到的合力，m代表飞机的质量，a 代表飞机的加速度。
根据牛顿第二定律，飞机所受到的合力等于质量乘以加速度。
飞机所受到的合力可以分解为重力和气动力两部分。
重力是指地球对飞机的引力，可以用以下方程来描述：Fg = mg在这个方程中，Fg代表重力，m代表飞机的质量，g代表重力加速度。
重力的大小与飞机的质量成正比。
气动力是指飞机在空气中运动时所受到的阻力和升力。
阻力是指空气对飞机运动的阻碍力，可以用以下方程来描述：Fr = 0.5 * ρ * V^2 * Cd * A在这个方程中，Fr代表阻力，ρ代表空气密度，V代表飞机的速度，Cd代表阻力系数，A代表飞机的参考面积。
阻力的大小与空气密度、速度、阻力系数和参考面积有关。
升力是指空气对飞机垂直方向上的支持力，可以用以下方程来描述：Fl = 0.5 * ρ * V^2 * Cl * A在这个方程中，Fl代表升力，ρ代表空气密度，V代表飞机的速度，Cl代表升力系数，A代表飞机的参考面积。
升力的大小与空气密度、速度、升力系数和参考面积有关。
小扰动方程是指在飞机受到微小扰动时，飞机的动力学方程。
小扰动方程可以用以下方程来描述：m * δa = δF在这个方程中，m代表飞机的质量，δa代表飞机的微小加速度，δF代表飞机所受到的微小合力。
小扰动方程描述了飞机在受到微小扰动时的运动情况。
通过对飞机的运动方程和小扰动方程的推导，我们可以更好地理解飞机在空中的运动规律。
这些方程为飞机的设计、控制和性能评估提供了重要的理论基础。
同时，这些方程也为飞机的飞行安全和效率提供了指导，使得飞机能够更加稳定、安全地在空中飞行。
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dr xi yj zk
dt
d
表示矢量 r 在动系中的导数，称为相对矢导数，导数符号记为 dt 。
如果从惯性坐标系观察，i, j,k 都是变矢量，当动系以角速度转动时，利
用泊桑公式有 xi yj zk x( i) y( j) z( k) r 则 dr dr r
dH r ( r )dm
对飞行器的全部质量积分 ， 可以得到总的动量矩
H dH r ( r )dm
考虑到r ix jy kz ， ip jq kr
，得到
r i(zq yr) j(xr zp) k( yp xq)
dt dt 此为矢量 r 在惯性坐标系中的导数，称为绝对矢导数。
刚体飞机运动方程
基本假设 飞行器是刚体，质量为常数（非必要条件）； 假设地球不动，地面坐标系为惯性坐标系； 忽略地球曲率，认为地面为平面； 重力加速度为常数，不随高度变化； 机体坐标系平面为飞机对称平面，飞机几何外形对
示的绝对坐标系的ddVt导数1满V d~足dVt 关系
V
dH dt
1H
d~H dt
H
这 里： 1V 为速度向量的单位向量； 为动坐标系相对惯性系的总的角速度向量，目前表示的是沿机体坐标系测量的角
速度向量； 表示矢量叉积运算符号； 1H为动量矩的单位向量； d~V ，d~H 表示对动坐标系的相对导数。
根据机体速度，通过地面坐标系与机体坐标系的方向余弦矩 阵，可以得到地面坐标系的速度，积分得到位置信息。
~
动量矩导数满足
dH 1H dt i
0
~ dH x
dt
，因此
~ j dHy k
Hx
d~H
z
dt
dt
pI x
rI xz
H y qI y
H z rI z pI xz
假定飞行器的质量不会移动，质量不变，则 I x，I xz ，I y ，I z的时间导数为零。
~
d dt
Hx
H iH x jH y kH z
其中 H x [(y2 z 2 ) p xyq xzr]dm
H y [(z 2 x2 )q yzr xyp]dm
dm r
H z [(x2 y2 )r xzp yzq]dm
因为在转动时，角速度对每一个质量点是相同的，所以角速度分量可以移到
飞机的六自由度运动方程
1. 牵连运动 2.动力学方程 3.运动学方程
牵连运动
(1)动点相对于静系的运动称为绝对运动。在静系中看到的 动点的轨迹为绝对轨迹。
(2)动点相对于动系的运动称为相对运动。在动系中看到的 动点的轨迹为相对轨迹。
(3)动系相对于静系的运动称为牵连运动。牵连运动为刚体 运动。
最后得到 L pI x rI xz qr(I z I y ) pqI xz
M qI y pr(I x I z ) ( p2 r 2 )I xz
N rI z p I xz pq(I y I x ) qrI xz
运动学方程
从地面看，飞行器的轨迹是用速度坐标系描述的，知道了飞 行器的机体运动参量，需要将机体坐标系参量转换到地面坐 标系。
称，质量分布也对称，惯性积满足
， I xy xydm 0 I zy zydm 0
基本动力学方程
由于在研究飞机运动时，我们研究的力在速度坐标系，力矩作用在机体坐
标系，飞机速度相对空气流场，测量飞机的机体角速度，因此，应当按照
机体坐标系列写力矩方程。
机体坐标系相对惯性坐标系是动坐标系，根据动力学知识，用动坐标系表
p I x
rI xz
d~ dt
Hy
qI y
~
d dt
Hz
rI z
p I xz
展开
H
i p
j q
k r
得到
H
i(qH z
rH y )
j(rH x
pHz )
k( pH y
qHx )
Hx Hy Hz
由于力矩沿机体满足 M iL jM kN
牵连运动的加速度合成定理
点在动系中的矢量为 r xi yj zk ，
则 dr d xi yj zk xi yj zk xi yj zk（1）
dt dt
其中 i, j, k 分别是动系各轴上的单位矢量，如果从动系中观察，它们都
是常矢量，其导数为零。则（1）式为
积分式外部。同时令
I x ( y2 z 2 )dm I y (z 2 x2 )dm
I z (x2 y2 )dm
I xy I yx xydm I xz I zx xzdm I yz I zy yzdm
依据对称性假设，I xy I zy
j(ur
wp) k(vp uq)
作用在机体坐标系的合外力
根据
F
m dV
dt
得到 X
Y
F 表示为
m(u wq vr) m(v ur wp)
F
iX
jY
kZ
Z m(w vp uq)
角运动方程
r
单位质量的动量矩满足
dt dt
注意：这里研究的是速度在动坐标系的表示形式。
质心运动方程
质心运动方程分解----机体坐标系的描述
V
和
V
iu
在机体坐标表示为 jv kwFra bibliotek ip
jq
kr
~ ~~ ~
dV du dv dw
因此 令 u 另外
1V ~ du dt
i
dt
， v
d~dvt
dt
ij
j k
，
k
dt
w
d~wdt，则 dt 展开得到1V
d~V dt
iu jv kw
V p q r
uvw
V i(wq vr) j(ur wp) k(vp uq)
所以
1V
dV dt
V
iu
jv kw i(wq vr)