向量的数量积、向量积与混合积
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《高等数学》全程教学视频课
第54讲向量的数量积、向量积与混
-向量之间的位置关系
垂直 ©面积与体积的计算
C
共面
平行四边形的面积
平行六面体的体积
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--问题的引入
•常力做功
-力作用在杠杆上的力矩
W △、、
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--问题的引入
源自文库
向量的数量积
向量的数量积
-向量的投影 —般地，设a为非零向量，。为向量a和b的夹角，称|b |cos。
为 向量b在a上的投影，记作(b) a或Prjab，即：
0Pa
(b) a = |b |cos0.
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
-向量的投影 —般地，设a为非零向量，。为向量a和b的夹角，称|b |cos。
ax a2
0 b3 ? b3 bx b2 丿
=(a2b3 -a3b2,a3b}
一％》)
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
例5 证明：ixj = k, jxk = i, kxi = j . 关于向量积，有 (l)a x b 与a、 b分别垂直；
axb1a
a?
%%
9
ax a
(a x b)・ a 3 3
定义1设a =（，b = 是三维向量空间冊3中
两个向量，则称
记作
。1力1 +。2力2 +。3“3 = 为向量a , b的数量积（点积或内积）.
—般地，设a = （Q"2，・・"n），b =（知M・・・Mn）是打维向 量空间Rn中两个向量，则a , b的数量积定义为
a ・ b = + a2b2^-----1- anbn
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
定理1设a，b为三维向量空间依3中的向量，且夹角为6^^ <n\ 则关于它们的数量积有a・b = |a||b|cos0.
常力做功问题
向量a, b的夹角6也记作
6= b
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
W = |F||S|cos。= F S.
\________________________ ______________)
--
"一丿第54讲向量的数量积、向量积与混合积——向量的数量积
例4设均匀流速为v的流体流过一个面积为刀的平面域，且v与 该平面域的单位垂直向量n的夹角为。，求单位时间内流过该
平 面域的流体的质量F （流体密度为P）.
【例4解】单位时间内流过的体积为
V = A\v\ cos0
单位时间内流过的质量为 |v| cos。
AC = (1, 2, 2)
AD = (9, 14, 16)
34 5 混合积[AB AC AD] = 1 2 2
9 14 16 =0
三向量AB,刀G刀。共面
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
向量的混合积
【例6解】(2) n =应x花=(& 一3,3)
|n| =
2 2=3厲
S = ^\ABxAC\=^
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
向量的向量积
疋乂3已知二向重a, b, c ’称数量
记作
(ax b )・ c [a b c] 为a > b, c的混合积.
几何意义
axb
以a, b, c为棱作平行六面体，则其
P = pA\v\ cos0
” n为单位向量
蜀 =P2n________ _
定义2设3 = （，b =（如奶奶）是三维向量空间収3中 两个向
量，则称向量
co*]
2
a
2
a
3
i+
3
b3 b1
j
+
ai b
a2 b2
义
3
b2 b3
为a与b的b向1 量b2积b（3 亦称叉积或外积）,记作a x b ,即
/
axb = CL 2 ^^3
ha
底面积：4 = |a x b| 高:九=|c|| cosa | 故平
行六面体体积为
V = Ah = |a x b||c|| cosa | = |(a x b)・ c| =|[ab c]|
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的混合积
©混合积的坐标表示
设 a = (ax f ayf Qz)，b = (bx f by ’ bz)，c = (cx ’cy, cj,则
[ab c] = 0. (2)轮换对称性:
[a b c] = [b c a] = [c a b] (可用三阶行列式推出)
<二〔丿第54讲向量的数量积、向量积与混合积
向量的混合积
例7 证明四点A(1 丄 1), B(456),C(233),Q(1O,15,17)共面. 【例7解】届=(3, 4, 5)
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
数量积运算规律 (1)交换律 a・b = b・a; ⑵结合律 Qa) • b = a • (Ab) = 2(a- b); ⑶分配律 (a + b)・c = a・c + b・c; (4)| a・a= |a R:
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
A = |a| |b|sin。= |a x b|
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
关于向量积，有 (1) axb与a、b分别垂直； (2) a、b与a x b服从右手法则;
(3)|a x b| = |a| |b|sinQ，其中。为a与b的夹角.
力F作用在杠杆上的力矩M为
L
M = OP x F
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
关于向量积，有 (1) axb与a、b分别垂直； (2) a、b与a x b服从右手法则;
(3)|a x b| = |a| |b|sinQ，其中。为a与b的夹角.
当a, b为非零向量时,a x b的长度等于 由a, b所确定的平行四边形的面积.即
例1已知三点M(1丄1),4(221)书(2丄2)，求^AMB.
【例1解】"MB即向量応与丽的夹角
B
MA = (2-1,2 - 1,1 - 1) = (1,1,0)
MB = (2-1,1- 1,2 -1) = (1,0,1)
X AAMB M --- A
MA-MB = 1-1 + 1-0 + 0-1 = 1
为 向量b在a上的投影，记作(b) a或Prjab，即：
(b) a = |b |cos0. 由 a ・ b = |a||b|cos。,有 a・b = |a|(b) a 且
,、 a ・ b a (b)力=----=—• b = • b ・
a |a| |a| a
同理，如果b为非零向量，则有a b = |b|(a) b，即(a) b = eb a 衝----
向量的向量积
例6已知三角形ABC 三个顶点为，(1,—1,2)书(32官(223),
(1)求垂直于这个三角形所在平面的单位向量.
(2)求这三角形的面积.
___
【例6解】(1) AB2, 3
=(1, 3
n
=(
3
-1AC
5
=(-1
2
31
11
-1)
丄 2 3|、 1 3，
n = AB x AC
=( _________ 1
向量的数量积
对于三维非零向量a > b，由定理1可得
COS0 = |a||b| n |a・b| < |a||b|
柯
对于三维向量，有坐标形式
西
COS0 = ___。__1加__+__a_2_b_2 + a3b3
— 施
lal + a^ + aljb^+b^ + bl
瓦
|Qibi + a2b2 + a3b^ < a* + + a官 传 + 辑 + 嵯
=」
b
I0
%
G]
b2
3 ~a2
b
%
a\ a2
+ G b] b2
] 第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
a %%
x
% =0
a b2
x
b
例5 证明：ixj = k, jxk = i, kxi = j . 关于向量积，有 (l)a x b与a、b分别垂直； (2)a、b与a x b服从右手法则;
茨 不
等
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
若向量a与b的夹角为m,则称向量a与b正交或垂直，并记作a丄b. alb = a・b = O
特别地，当a =（㈤,a2,（13）, b =（如M如），则 alb。+ a2b2 + a3b3 = 0
对于三维空间的基向量，有 i・i = j・j = k・k=l』i・j = j・k = k・i = O.
|n| = J6, + (—3)2 + 3，= n°= —= (2, —1,1)
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
例6已知三角形ABC 三个顶点为，(1,—1,2),B(321),C(223),
(1)求垂直于这个三角形所在平面的单位向量. _
⑵求这三角形的面积. ^n=AB%AC
\MA\ = J12 + 12 + 02 =後 I兩=J12 + 02 + 12 = 72
~MA-MB 1 1
7T
cosZ-AMB = )— . = l l = — => Z.AMB =—
\MA\ \MB\ V2V2 2
3
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
例2证明三角形的三条高交于一点.
例3已知向量a, b的夹角。=手，且|a| =吃冋=3,求\a-b\. 4
【例3解】|a - b|2 = （a 一 b） • （a - b） =|a|2 + |b|2 — 2a・b
=|a^ + |b|2-2|a||b|cos0
2
3TT
=（扼）+32-2V2-3COS— = 17
因此|a-b| =面
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
向量积运算规律： ⑴反交换律 a x b = -b x a; ⑵结合律 Qa) x b = a x (Ab) = 2(a x b); (3) 分配律
(4) a x a = 0. ⑸两非零向量 〃b o a x b = 0.
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
.
a x b = «2 %
ax b2 b3 b
a2 % % a % %
3 b3 & x b >2 a
(a x b) • c 】
ay % 6
by bz
b、
%
bz
】
Cy +
%
ay by
a
ax
y az
—bx by bz
"丿第54讲向量的数量积、向量积与混c合xx积—c—y 向y 量cz的z 混合积
。性质 (1)三个非零向量a』b > c共面的充要条件是
第54讲向量的数量积、向量积与混
-向量之间的位置关系
垂直 ©面积与体积的计算
C
共面
平行四边形的面积
平行六面体的体积
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--问题的引入
•常力做功
-力作用在杠杆上的力矩
W △、、
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--问题的引入
源自文库
向量的数量积
向量的数量积
-向量的投影 —般地，设a为非零向量，。为向量a和b的夹角，称|b |cos。
为 向量b在a上的投影，记作(b) a或Prjab，即：
0Pa
(b) a = |b |cos0.
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
-向量的投影 —般地，设a为非零向量，。为向量a和b的夹角，称|b |cos。
ax a2
0 b3 ? b3 bx b2 丿
=(a2b3 -a3b2,a3b}
一％》)
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
例5 证明：ixj = k, jxk = i, kxi = j . 关于向量积，有 (l)a x b 与a、 b分别垂直；
axb1a
a?
%%
9
ax a
(a x b)・ a 3 3
定义1设a =（，b = 是三维向量空间冊3中
两个向量，则称
记作
。1力1 +。2力2 +。3“3 = 为向量a , b的数量积（点积或内积）.
—般地，设a = （Q"2，・・"n），b =（知M・・・Mn）是打维向 量空间Rn中两个向量，则a , b的数量积定义为
a ・ b = + a2b2^-----1- anbn
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
定理1设a，b为三维向量空间依3中的向量，且夹角为6^^ <n\ 则关于它们的数量积有a・b = |a||b|cos0.
常力做功问题
向量a, b的夹角6也记作
6= b
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
W = |F||S|cos。= F S.
\________________________ ______________)
--
"一丿第54讲向量的数量积、向量积与混合积——向量的数量积
例4设均匀流速为v的流体流过一个面积为刀的平面域，且v与 该平面域的单位垂直向量n的夹角为。，求单位时间内流过该
平 面域的流体的质量F （流体密度为P）.
【例4解】单位时间内流过的体积为
V = A\v\ cos0
单位时间内流过的质量为 |v| cos。
AC = (1, 2, 2)
AD = (9, 14, 16)
34 5 混合积[AB AC AD] = 1 2 2
9 14 16 =0
三向量AB,刀G刀。共面
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
向量的混合积
【例6解】(2) n =应x花=(& 一3,3)
|n| =
2 2=3厲
S = ^\ABxAC\=^
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
向量的向量积
疋乂3已知二向重a, b, c ’称数量
记作
(ax b )・ c [a b c] 为a > b, c的混合积.
几何意义
axb
以a, b, c为棱作平行六面体，则其
P = pA\v\ cos0
” n为单位向量
蜀 =P2n________ _
定义2设3 = （，b =（如奶奶）是三维向量空间収3中 两个向
量，则称向量
co*]
2
a
2
a
3
i+
3
b3 b1
j
+
ai b
a2 b2
义
3
b2 b3
为a与b的b向1 量b2积b（3 亦称叉积或外积）,记作a x b ,即
/
axb = CL 2 ^^3
ha
底面积：4 = |a x b| 高:九=|c|| cosa | 故平
行六面体体积为
V = Ah = |a x b||c|| cosa | = |(a x b)・ c| =|[ab c]|
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的混合积
©混合积的坐标表示
设 a = (ax f ayf Qz)，b = (bx f by ’ bz)，c = (cx ’cy, cj,则
[ab c] = 0. (2)轮换对称性:
[a b c] = [b c a] = [c a b] (可用三阶行列式推出)
<二〔丿第54讲向量的数量积、向量积与混合积
向量的混合积
例7 证明四点A(1 丄 1), B(456),C(233),Q(1O,15,17)共面. 【例7解】届=(3, 4, 5)
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
数量积运算规律 (1)交换律 a・b = b・a; ⑵结合律 Qa) • b = a • (Ab) = 2(a- b); ⑶分配律 (a + b)・c = a・c + b・c; (4)| a・a= |a R:
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
A = |a| |b|sin。= |a x b|
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
关于向量积，有 (1) axb与a、b分别垂直； (2) a、b与a x b服从右手法则;
(3)|a x b| = |a| |b|sinQ，其中。为a与b的夹角.
力F作用在杠杆上的力矩M为
L
M = OP x F
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
关于向量积，有 (1) axb与a、b分别垂直； (2) a、b与a x b服从右手法则;
(3)|a x b| = |a| |b|sinQ，其中。为a与b的夹角.
当a, b为非零向量时,a x b的长度等于 由a, b所确定的平行四边形的面积.即
例1已知三点M(1丄1),4(221)书(2丄2)，求^AMB.
【例1解】"MB即向量応与丽的夹角
B
MA = (2-1,2 - 1,1 - 1) = (1,1,0)
MB = (2-1,1- 1,2 -1) = (1,0,1)
X AAMB M --- A
MA-MB = 1-1 + 1-0 + 0-1 = 1
为 向量b在a上的投影，记作(b) a或Prjab，即：
(b) a = |b |cos0. 由 a ・ b = |a||b|cos。,有 a・b = |a|(b) a 且
,、 a ・ b a (b)力=----=—• b = • b ・
a |a| |a| a
同理，如果b为非零向量，则有a b = |b|(a) b，即(a) b = eb a 衝----
向量的向量积
例6已知三角形ABC 三个顶点为，(1,—1,2)书(32官(223),
(1)求垂直于这个三角形所在平面的单位向量.
(2)求这三角形的面积.
___
【例6解】(1) AB2, 3
=(1, 3
n
=(
3
-1AC
5
=(-1
2
31
11
-1)
丄 2 3|、 1 3，
n = AB x AC
=( _________ 1
向量的数量积
对于三维非零向量a > b，由定理1可得
COS0 = |a||b| n |a・b| < |a||b|
柯
对于三维向量，有坐标形式
西
COS0 = ___。__1加__+__a_2_b_2 + a3b3
— 施
lal + a^ + aljb^+b^ + bl
瓦
|Qibi + a2b2 + a3b^ < a* + + a官 传 + 辑 + 嵯
=」
b
I0
%
G]
b2
3 ~a2
b
%
a\ a2
+ G b] b2
] 第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
a %%
x
% =0
a b2
x
b
例5 证明：ixj = k, jxk = i, kxi = j . 关于向量积，有 (l)a x b与a、b分别垂直； (2)a、b与a x b服从右手法则;
茨 不
等
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
若向量a与b的夹角为m,则称向量a与b正交或垂直，并记作a丄b. alb = a・b = O
特别地，当a =（㈤,a2,（13）, b =（如M如），则 alb。+ a2b2 + a3b3 = 0
对于三维空间的基向量，有 i・i = j・j = k・k=l』i・j = j・k = k・i = O.
|n| = J6, + (—3)2 + 3，= n°= —= (2, —1,1)
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
例6已知三角形ABC 三个顶点为，(1,—1,2),B(321),C(223),
(1)求垂直于这个三角形所在平面的单位向量. _
⑵求这三角形的面积. ^n=AB%AC
\MA\ = J12 + 12 + 02 =後 I兩=J12 + 02 + 12 = 72
~MA-MB 1 1
7T
cosZ-AMB = )— . = l l = — => Z.AMB =—
\MA\ \MB\ V2V2 2
3
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
例2证明三角形的三条高交于一点.
例3已知向量a, b的夹角。=手，且|a| =吃冋=3,求\a-b\. 4
【例3解】|a - b|2 = （a 一 b） • （a - b） =|a|2 + |b|2 — 2a・b
=|a^ + |b|2-2|a||b|cos0
2
3TT
=（扼）+32-2V2-3COS— = 17
因此|a-b| =面
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
向量积运算规律： ⑴反交换律 a x b = -b x a; ⑵结合律 Qa) x b = a x (Ab) = 2(a x b); (3) 分配律
(4) a x a = 0. ⑸两非零向量 〃b o a x b = 0.
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
.
a x b = «2 %
ax b2 b3 b
a2 % % a % %
3 b3 & x b >2 a
(a x b) • c 】
ay % 6
by bz
b、
%
bz
】
Cy +
%
ay by
a
ax
y az
—bx by bz
"丿第54讲向量的数量积、向量积与混c合xx积—c—y 向y 量cz的z 混合积
。性质 (1)三个非零向量a』b > c共面的充要条件是