3三次样条插值
三次样条插值算法C++实现
三次样条插值算法C++实现三次样条插值算法1 总体说明三次样条插值算法是⼀种计算量和效果都⽐较理想的插值算法。
关于三次样条插值算法的原理这⾥不做过多的解释，下⾯的代码是我在⽹上收集了两种C++实现版本的基础上⾃⼰整合的⼀个版本。
由于本⼈刚接触C++不久，⽔平有限。
没有使⽤模板机制将代码做的更通⽤。
关于算法实现有下⾯⼏点说明。
1. 所有有关的类都被包含到SplineSpace命名空间中。
2. SplineSpace中⼀个有三个类分别是异常类(SplineFailure),接⼝类(SplineInterface)和实现类(Spline)。
有⼀个枚举类型说明边界条件(BoundaryCondition),取值为：GivenFirstOrder和GivenSecondOrder。
分别对应I型边界条件和II型边界条件。
3. 接⼝类定义了Spline在实现的过程中必须要有的三个⽅法：单点插值、多点插值和⾃动⽣成插值序列。
4. 异常类是可能被实现类抛出的类，如果在实现类的运⾏过程中出现了已知数据过少构造失败、使⽤了外插值、设定输出点数过少等⾏为会抛出该类。
因此应该将插值的过程⽤try...catch(SplineFailure sf)包裹起来。
如：double x0[2]={1,2};double y0[2]={3,4};try{SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,2);//...}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}上⾯代码就会抛出异常并显⽰“构造失败,已知点数过少”。
2 插值⽅法调⽤2.1单点插值调⽤⽅法如下：#include <iostream>#include "Spline.h"using namespace std;using namespace SplineSpace;int main(void){//单点插值测试double x0[5]={1,2,4,5,6}; //已知的数据点double y0[5]={1,3,4,2,5};try{//Spline sp(x0,y0,5,GivenSecondOrder,0,0);SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,5); //使⽤接⼝，且使⽤默认边界条件double x=4.5;double y;sp->SinglePointInterp(x,y); //求x的插值结果ycout<<"x="<<x<<"时的插值结果为:"<<y<<endl;}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}getchar(); //程序暂停}此时屏幕会输出"x=4.5时的插值结果为2.71107"。
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
三次样条插值ppt
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
数值计算方法( 三次样条插值)
u xj hj
分段三次Hermite插值算法
则 v A1 y j 1 A2 y j B1 f j1 B2 f j
算法： 1.输入x j , f j , f j （j 0,1,...,n）； 2.计算插值 (1)输入插值点u; (2)对于j 1,2,...,n做 如果u x j 则计算A1 , A2 , B1 , B2 ; v A1 f j 1 A2 f j B1 f j1 B2 f j; 3.输出u , v。
三次样条插值
于是由Taylor展示有 s( x) s( xi ) s( xi )(x xi ) s( xi ) s( xi ) 2 ( x xi ) ( x xi )3 2! 3! M M Mi yi s( xi )(x x j ) i ( x xi ) 2 i 1 ( x xi )3 2! 3!( xi 1 xi )
2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ]
三次样条插值
同理(2)式中令i n得 M n 1 2M n 6 f [ xn 1 , xn , xn ] 即有 2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ] ） i M i 1 2M i i M i 1 6 f [ xi 1 , xi , xi 1 ] （i 1,2,...,n 1 M 2M 6 f [ x , x , x ] n n 1 n n n 1
三次样条插值
对于待定系数a j , b j , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，
而插值条件为 n 2个，还缺两个，因此须 4 给出两个 条件称为边界条件，有 以下三类： 第一类 已知两端点的一阶导数 s( x0 ) f ( x0 ) m0 s( xn ) f ( xn ) mn
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
三次样条插值的调用格式
三次样条插值的调用格式三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定的一组数据点上拟合出一个光滑的曲线。
在大多数编程语言中，调用三次样条插值通常需要使用相应的库或模块。
以下是一些常见编程语言中调用三次样条插值的示例：在Python中，可以使用SciPy库中的interp1d函数来进行三次样条插值。
调用格式如下：python.from scipy.interpolate import interp1d.f = interp1d(x, y, kind='cubic')。
其中，x和y分别是输入的数据点的横坐标和纵坐标，kind='cubic'表示使用三次样条插值。
在MATLAB中，可以使用interp1函数进行三次样条插值。
调用格式如下：matlab.xq = min(x):0.1:max(x);vq = interp1(x, y, xq, 'spline');其中，x和y同样代表输入的数据点，'spline'表示使用三次样条插值。
在C++中，可以使用GNU Scientific Library (GSL)中的插值函数进行三次样条插值。
调用格式如下：c++。
gsl_interp_accel acc = gsl_interp_accel_alloc();const gsl_interp_type T = gsl_interp_cspline;gsl_spline spline = gsl_spline_alloc(T, n);gsl_spline_init(spline, x, y, n);其中，x和y是输入的数据点，n是数据点的个数，使用gsl_interp_cspline表示使用三次样条插值。
总的来说，不同的编程语言和库可能有不同的调用格式，但一般来说都需要提供输入的数据点，然后指定使用的插值方法，即可进行三次样条插值。
希望这些信息能够帮助到你。
三次样条插值的求解
三次样条插值的求解摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。
如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。
因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。
关键字:三转角方程 三弯矩阵方程0. 引言1，三次样条函数定义1：若函数2()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。
若节点j x 上 给定函数值()j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。
从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2） 共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。
通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。
计算方法大作业——三次样条插值
计算方法上机报告
此完成所有数据的输入。继续按 Enter 键会出现提示“选择封闭方程组的边界条件: 第 一类边界条件输入 1，第二类边界条件输入 2，第三类边界条件输入 3。 ”根据已知情况 选择相应的边界条件，若为自然三次样条插值，则选 1，并将插值区间两端点的二阶导 数值设置为 0。输入完成之后按 Enter 开始求解，程序运行结束后命令窗口会显示要求 的三次样条插值函数，同时会出现该插值函数以及插值节点的图像，便于直接观察。 2.3 算例及计算结果 (1) 《数值分析》课本第 137 页的例题 4.6.1，已知函数 y=f(x)的数值如下表，求它 的自然三次样条插值函数。 xi yi -3 7 -1 11 0 26 3 56 4 29
2 三次样条插值
2 三次样条插值
2.1 算法原理及程序框图 设在区间[a, b]上给定 n+1 个节点 xi（a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b）,在节点 xi 处的函数 值为 yi = f(xi) (i = 0,1,…,n)。若函数 S(x)满足以下三个条件： (1) 在每个子区间[xi-1, xi] (i = 0,1,…,n)上，S(x)是三次多项式； (2) S(xi) = yi (i = 0,1,…,n)； (3) 在区间[a, b]上，S(x)的二阶导数 S”(x)连续， 则称 S(x)为函数 yi = f(x) 在区间[a, b]上的三次样条插值函数。 由定义可知 S(x)共有 4n 个待定参数，根据条件(3)可得如下 3n-3 个方程，
S x
x x i
6hi
3
M i 1
x xi 1
6hi
3
x x hi2 M i yi 1 M i 1 i 6 hi
origin里利用三次次样条曲线插值的方法
origin里利用三次次样条曲线插值的方法
原点（origin）是数学中的一个概念，表示一个坐标轴上的起点或者一个坐标
系的原点。
使用三次样条曲线插值的方法可以用于近似计算原点的位置。
三次样条曲线插值是一种在给定数据点之间创建光滑曲线的方法。
它通过在每
个数据点之间插入三次多项式，以使得曲线在这些点上具有连续的一阶和二阶导数。
这样可以得到一条平滑的曲线，可以用来近似原点。
三次样条曲线插值的方法可以应用于各种领域，如数学建模、计算机图形学和
信号处理等。
在数值计算中，三次样条插值可以通过插值函数的性质来保持数据的平滑性，并能够以较高的精度逼近原点的位置。
要使用三次样条曲线插值的方法来计算原点，首先需要确定要插值的数据点。
然后，使用插值算法计算出三次样条曲线的解析表达式或数值近似。
最后，通过对解析表达式或数值近似进行求解，可以获得原点的位置。
需要注意的是，三次样条曲线插值是一种近似方法，得到的原点位置可能会存
在一定的误差。
因此，在实际应用中，需要综合考虑误差范围和计算复杂度等因素。
总之，利用三次样条曲线插值的方法可以近似计算原点的位置。
这种方法在数
学和计算领域有广泛应用，并且可以通过合适的数据点和插值算法来提高近似的精度。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
cubic插值
cubic插值
三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是现代图形处理，信号处理和计算机动画中常用的曲线拟合方法。
一种常见的插值技术，有助于在一组有序的点之间创建曲线，以产生连贯、平滑的曲线，仅需要很少的点就可以将曲线的内容表示出来。
三次样条技术的基本思想是将曲线分为许多介入片段，每个片段一个“子”三次多项式。
连接点被称为锚点，子曲线拟合被称为“子曲线”。
通过建立三次多项式来实现子曲线的拟合，这里用到线性代数学里的矩阵方程组来求解各个子曲线的拟合参数。
三次样条插值的优点是要到达平滑效果，可以更灵活地操控重点，使得拟合曲线的拐点数量比普通插值拟合出的曲线的拐点数量大的多，在某种程度上说也可以看作保留了原数据的大致特性。
它还可以避免曲线偏离原始折线图的意外情况，并且可以选择灰度程度以控制曲线的平滑度和轻抖动style。
另一方面，三次样条插值也当然有些缺点。
由于计算出的曲线距离拟合数据很远，可能会出现拟合不够准确的情况，这是由于拟合的曲线与数据在精确性上存在差异，很多时候曲线上使用的技术参数难以与原始数据精准一致。
另外，三次样条插值也需要将锚点设置在一定的位置上，以便确定解决方案，因此会极大地限制三次样条插值的应用范围。
总之，三次样条插值是一种有效、快速、灵活的曲线拟合方法，可以实现对不连续的数据集的图形拟合。
它具有平滑、平稳、抖动控制等优点，被广泛用在图形处理、信号处理和计算机动画中。
然而，它也有一些缺点，诸如需要设置较多复杂的参数等，加大了计算量，容易出现精度损失等情况。
因此，在进行三次样条插值时，应当充分考虑因素，并采取谨慎的操作。
第二章三次样条插值
mk 1 2mk
hk 1 hk hk 1
k 1
3( hk yk1 yk hk1 yk yk1 )
hk hk 1
hk
hk hk 1
hk 1
k mk1 2mk k mk 1 gk
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
k 0,1,2
小结
1 x3 3 x2 7 x 1
8 8 4
1 x2
S(x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
3 x3 45 x2 103 x 33
88
4
2x4 4x5
f (3) S(3) 17 4
最后，介绍一个有用的结果
定理 . 设f (x)C2[a,b],S(x)是以xk (k 0,1,,n)
m2 m3
g0 g1 g2
g3
解方程组得：m0
17 8
, m1
Байду номын сангаас
7 4
, m2
5 4
, m3
19 8
将上述结果代入(10)式
S0 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
S1 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
1 x 2 2x4
S2(x)
3 8
x3
45 8
x2
103 4
x
33
4x5
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
三次样条插值c++代码实现及注释
一、引言在计算机编程和数据处理领域，插值是一种常见的数值分析方法，用于在已知数据点之间估算未知点的数值。
而三次样条插值是插值方法中的一种重要技术，它可以在使用较少插值节点的情况下，实现更为平滑和精确的插值结果。
本文将着重探讨三次样条插值的原理和C++代码实现，并给出详细的注释和解释。
二、三次样条插值的原理三次样条插值是一种分段插值方法，它将整个插值区间分割为若干个小区间，每个小区间内采用三次多项式进行插值。
这样做的好处是可以在每个小区间内实现更为细致和精确的插值，从而提高插值的准确性和平滑性。
而三次样条插值的核心在于确定每个小区间内的三次多项式的系数，一般采用自然边界条件进行求解。
在具体实现中，我们需要先对给定的插值节点进行排序，并求解出每个小区间内的三次多项式系数。
最终将这些系数整合起来，就可以得到整个插值区间的三次样条插值函数。
三、C++代码实现及注释接下来，我们将给出使用C++语言实现三次样条插值的代码，并对每个关键步骤进行详细注释和解释。
```cpp// include necessary libraries#include <iostream>#include <vector>using namespace std;// define the function for cubic spline interpolationvector<double> cubicSplineInterpolation(vector<double> x, vector<double> y) {// initialize necessary variables and containersint n = x.size();vector<double> h(n-1), alpha(n), l(n), mu(n), z(n), c(n), b(n), d(n);vector<double> interpolatedValues;// step 1: calculate the differences between x valuesfor (int i = 0; i < n-1; i++) {h[i] = x[i+1] - x[i];}// step 2: calculate alpha valuesfor (int i = 1; i < n-1; i++) {alpha[i] = (3/h[i]) * (y[i+1] - y[i]) - (3/h[i-1]) * (y[i] - y[i-1]); }// step 3: calculate l, mu, and z valuesl[0] = 1;mu[0] = 0;z[0] = 0;for (int i = 1; i < n-1; i++) {l[i] = 2*(x[i+1] - x[i-1]) - h[i-1]*mu[i-1];mu[i] = h[i]/l[i];z[i] = (alpha[i] - h[i-1]*z[i-1])/l[i];}l[n-1] = 1;z[n-1] = 0;c[n-1] = 0;// step 4: calculate coefficients for the cubic polynomials for (int j = n-2; j >= 0; j--) {c[j] = z[j] - mu[j]*c[j+1];b[j] = (y[j+1] - y[j])/h[j] - h[j]*(c[j+1] + 2*c[j])/3;d[j] = (c[j+1] - c[j])/(3*h[j]);}// step 5: interpolate values using the cubic polynomials for (int i = 0; i < n-1; i++) {double xi = x[i];while (xi < x[i+1]) {double dx = xi - x[i];double interpolatedValue = y[i] + b[i]*dx + c[i]*dx*dx + d[i]*dx*dx*dx;interpolatedValues.push_back(interpolatedValue);xi += 0.1; // adjust the step size for finer interpolation }}return interpolatedValues;}// main function for testing the cubic spline interpolation int main() {vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};vector<double> y = {3, 6, 8, 10, 15};vector<double> interpolatedValues = cubicSplineInterpolation(x, y);for (int i = 0; i < interpolatedValues.size(); i++) {cout << "Interpolated value " << i << " : " << interpolatedValues[i] << endl;}return 0;}```四、总结与展望通过本文的学习，我们了解了三次样条插值的原理和C++代码实现。
2[1].7三次样条插值
![2[1].7三次样条插值](https://img.taocdn.com/s3/m/af64461fff00bed5b9f31dc1.png)
即
lim S ( x ) = lim S ( x ) lim S ′ ( x) = lim S ′ ( x) = m lim S ′′( x) = lim S ′′ ( x) S ′( x ) = f ′ S ′( x ) = f ′ 或
将(13)式化为矩阵形式
2 λ2
µ1 λ3
2
µ2 λ4
2
µ3
2 O O O
λn − 2
λn − 1
O 2
m1 g 1 − λ1 f 0′ m2 g2 g3 m3 M = M M M µ n − 2 mn − 2 gn−2 2 mn − 1 g n − 1 − µ n − 1 f n′
共4 n − 2个条件
′ ′ lim S k′( x ) = lim S k′− 1 ( x ) + −
S k ( x )是[ xk , xk + 1 ]上的三次样条插值多项式, 应有4个待定的系数 即要确定S ( x )必须确定4n个待定的系数
少两个条件
并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件: 第二类(二阶)边界条件 第三类(周期)边界条件
f(x) H(x) S(x)
二、三次样条插值多项式
a ≤ x0 , x1 ,L , xn ≤ b为区间[ a , b ]的一个分割 如果函数f ( x )在节点x0 , x1 ,L , xn处的函数值为
f ( x j ) = y j , j = 0 ,1,L , n 如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数, 则其必满足
三次样条插值
一、问题提出
为给定的节点， 设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi = f ( xi ) ，i = 0,1, n 为相应的函数值， 为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) = yi，
i = 0,1, n .
这类问题称为插值问题。 称为被插值函数 P 被插值函数， 这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数， n ( x) 称 插值问题 插值函数， 称为插值节点 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
六、 分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每 个 [ xi , xi +1 ] 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一， 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一， 作为整个区间 [ a, b ] 上的插值函数，即称为分段多项式。如果 上的插值函数，即称为分段多项式。 次式， 函数 Sk ( x ) 在每个子段上都是 k 次式，则称为 一般（低次： 一般（低次：k=1,2,3） ） 次式。 k 次式。
f [ x0 , x1 ] = 5, f [ x0 , x1, x2 , x3 ] = 1,
N n ( x) = 0 5( x 1) + 2( x 1)( x 2)
+ ( x 1)( x 2)( x 3)
= x3 4 x + 3
五、 Hermite插值多项式 插值多项式
给定的是节点上的函数值和导数值 问题： 问题：已知
∑
i=0
y i li ( x )
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi +1 ) ( x xn ) , i = 0,1, n ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi +1 ) ( xi xn )
三次样条插值
三次样条插值
三次样条插值是插值运算的一种，它具有计算精度高、收敛性好以及曲线拟合准确等特点，是插值运算中最常用的插值方法之
三次样条插值是以曲线为基本元素，把离散点数据连接成一个曲线，并能够在曲线上求出任意点的函数值。
它通过拟合所有离散数据点，来求出一个连续曲线，从而解决了插值法的局限性。
三次样条插值的基本原理是：在离散点的两端，曲线的曲率是零，由此可以计算出曲线的系数，从而得到曲线的表达式，这样就可以得到曲线上任意点的函数值。
三次样条插值的优点在于计算精度高、收敛性好，可以很好地拟合离散数据，并且经过插值后得到的曲线更加平滑，其结果更加可靠。
由于它的优点，三次样条插值得到了广泛的应用，如在统计分析中，用于拟合离散数据；在机械工程中，用于优化加工轨迹；在号处理中，用于滤波等。
总之，三次样条插值是插值运算的一种，它的准确性高，拟合性好，广泛应用于各种领域，是科学研究中的一种重要方法。
三次样条插值cubicsplineinterpolation
三次样条插值cubicsplineinterpolation什么是三次样条插值 插值（interpolation）是在已知部分数据节点（knots）的情况下，求解经过这些已知点的曲线，然后根据得到的曲线进⾏未知位置点函数值预测的⽅法（未知点在上述已知点⾃变量范围内）。
样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法，在技术制图中，使⽤软尺连接两个相邻数据点，以达到连接曲线光滑的效果。
样条插值是⼀种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。
数学上，曲线光滑需要在曲线上处处⼀阶导连续，因此，在节点处需要满⾜⼀阶导数相等。
另外，为了使得曲线的曲率最⼩，要求曲线⼆阶导连续【1】，在节点处需要⼆阶导相等。
三次及以上多项式可以满⾜节点处光滑和曲率最⼩要求，但是次数⾼的曲线容易震荡，因此，就选⽤三次多项式即可。
数学表述 假设有n个已知节点： 函数关系记为：。
在区间中插值多项式曲线：注意，这⾥头曲线为，尾曲线为。
插值在节点处满⾜条件： （1）曲线经过节点： （2）曲线⼀阶导连续（光滑）： （3）曲线⼆阶导连续（曲率最⼩）： 边界条件：对两端节点的约束。
（B1）⾃然(natural (or free))边界条件 （B2）固定(clamped)边界条件 固定⼀阶导数： , 固定⼆阶导数： , （B3）⾮节点边界(not-a-knot ) 要求在第⼆个节点和倒数第⼆个节点，曲线的三阶导也连续：三次多样式函数的计算 样条函数采⽤n-1个三次多项式，每个三次多项式有4个参数，⼀共是4n-4个参数，因此需要4n-4个⽅程。
条件（1）n-1个曲线每个两端经过节点，提供2（n-1）=2n-2个⽅程； 条件（2）n-1个曲线相邻⼀阶导连续，提供n-2个⽅程； 条件（3）n-1个曲线相邻⼆阶导连续，提供n-2个⽅程； 以上⼀共是4n-6个⽅程，还需要2个⽅程，这两个⽅程由边界条件提供，条件（B1）, （B2）, （B3）每个均提供2个⽅程，这样就凑够了4n-4个⽅程。
三次样条插值python代码
三次样条插值python代码三次样条插值Python代码介绍三次样条插值是一种常用的数值分析方法，可以用于数据的平滑处理和函数的近似拟合。
在Python中，可以使用SciPy库中的interpolate模块实现三次样条插值。
原理三次样条插值是将给定的数据点拟合成一组连续的三次函数，使得函数在每个数据点处具有一阶和二阶连续性。
这些函数被称为样条函数，它们是由一系列二次和三次多项式组成的。
代码实现下面是使用SciPy库中的interpolate模块进行三次样条插值的Python代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy import interpolate# 生成随机数据x = np.linspace(0, 10, 10)y = np.sin(x)# 创建插值对象f = interpolate.interp1d(x, y, kind='cubic')# 插值计算xnew = np.linspace(0, 10, 100)ynew = f(xnew)# 绘制图像import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x, y, 'o', xnew, ynew)plt.show()```代码解析首先导入需要使用的库，包括NumPy、SciPy和Matplotlib。
然后生成随机数据x和y。
接着使用`interpolate.interp1d`创建一个插值对象f，其中kind参数指定为'cubic'表示使用三次样条插值。
最后，使用插值对象f对新的x值进行插值计算，并绘制出原始数据点和插值结果的图像。
代码优化在实际应用中，可能需要对三次样条插值进行优化，以提高计算效率和精度。
下面是一些常用的优化方法：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理、去噪或滤波等操作，可以提高插值结果的精度。
2. 插值节点密度：如果节点密度过低，则可能导致插值结果不够精细；如果节点密度过高，则可能导致计算量过大。
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j 1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x
a)
m
(x a)m, x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
类的分段m次多项式。
Cm-1(-∞,+∞)表示(-∞,+∞)上m-1次连续可微函数的集合。
(
x
a)
m
m次截断多项式
a
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S(x) 28 25x 9x2 x3 3 x 1
26 19x 3x2 x3 1 x 0
26 19x 3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
即，
x 1
x 1
a b c 1 13 12 2 a b c 3
由一阶导数连续性，应有
ax3 bx2 cx 1 x3 x2
即，
x 1
x 1
3ax2 2bx c 3x2 2x
m=1时，样条函数是分段线性函数；
m=2时，是1阶连续可微的分段二次多项式；
显然, m次样条函数比一般的m次分段插值多项式的光滑性好。
问题: 如何判断一个分段的多项式函数是样条函数?
设
p0 (x), x x1
s(x)
p1(x), x1 x x2
p j (x), x j x x j1
第5章 插值与逼近
5.3 三次样条插值
多项式Lagrange插值: 整体性强, 光滑性好 (无穷阶连续), 但不一定收敛;
分段Lagrange多项式插值: 局部性好, 光滑性差 (C0连续), 收敛性保证;
分段 Hermite多项式插值: 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 但需要导数值
信息; 样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。
pn (x), xn x
p j (x) Pm ( j 0,1,..., n)
即有
p0 (x) p1(x) p j1(x) p j (x)
pn (x) x
x1
x2
xj
xn
由m次样条函数的定义，可知
p(i) j 1
(
x
j
)
p
(i) j
(
x
j
),
j 1, 2, , n i 0,1, , m 1
局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值 信息。
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x1 x2 xn ,
若分段函数s(x)满足条件：
（1）在每个区间(-∞，x1]，[xj, xj+1]，(j=1,2,…,n-1)和
a 1x3 b 1x2 cx 1 x3 3x2 3x 1
比较1,x,x2,x3的系数，可得
a 1 1 a 2 , b 1 3 b 2 , c 3。
2）由连续性，应有
ax3 bx2 cx 1 x3 x2
结论
n
s(x) pm (x) c j (x x j )m , x j 1
Sm (x1,
x2 ,...,
xn )
span
1,
x, ,
xm,(x
x1)m , (x
x2
)
m
,,
(
x
xn )m
m次样条空间的维数：dim Sm (x1, x2,..., xn ) m n 1
p1(x) p0 (x) c1(x x1)m ,
p j (x) Pm ( j 0,1,..., n)
p2 (x) p1(x) c2 (x x2 )m p0 (x) c1(x x1)m c2 (x x2 )m ,
n
pn (x) pn1(x) cn (x xn )m p0 (x) c j (x x j )m
n
s(x) pm (x) c j (x x j )m , x (4-31) j 1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
和n个实数c1,c2,…,cn，使得
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3 x2
0 x 1
S(x) ax3 bx2 cx 1 1 x 2
是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a= ,b= ,c= 。
解：1）由 ax3 bx2 cx 1 x3 x2 x 13 , 即
[xn,+∞)上，s(x)是一个次数不超过m的实系数代数多项式； （2）s(x)在对区间(-∞，+∞)上具有直至m-1阶的连续导数，
则称y=s(x)为对应于分割Δ 的m次样条函数，x1,x2,…,xn 称为 样条节点，以x1, x2,…, xn为节点的m次样条函数的全体记为：
Sm(x1, x2, …, xn)
j 1, 2, , n
对于满足上述性质的如下形式的分段m次多项式s(x)，
p0 (x), x x1
p1(x), x1 x x2
s(x)
p j (x), x j x x j1
pn (x), xn x
s(x)是 am xm ,
令
可知
q j (x) p j (x) p j1(x) Pm
q(ji) (xj )
p(i) j 1
xj
p(i) j
xj
0,
i 0, 1, , m 1
即，xj是q(x)的 m重零点，从而有
qj (x) cj (x xj )m
进一步可得，
光滑因子
p j (x) p j1(x) q j (x)