范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(交换)

第17章 交 换

1．考虑福利经济学第二定理的显示偏好观点。证明：如果偏好严格凸时，对所有1i = ，…，

n 都有i i x x *'=。

Consider the revealed preference argument for the Second Welfare Theorem. Show that if preferences are strictly convex, then i i x x *'= for all 1i = ,…,n .

证明：令{}1n x x **

，…，是一个帕累托有效的分配，并且消费者的初始禀赋为{}{}11n n w w x x **

= ，…，，…，，假设在此初始禀赋下的竞争性均衡为{}1n x x ** ，…，，那么就有*i i x x '≥。又因为{}1n x x ** ，…，是一个帕累托有效的分配，从而可以得到i i x x *' ~（否则，如

果存在某些i x '，使得*i i x x '

，这就和{}1n x x ** ，…，是帕累托有效的分配相矛盾）

。 由于

{}

1

n

x x *

* ，…，和

{}1n

x x '' ，…，都是可行分配，从而可以知道()(){}

1

11 i

n

n

tx t x tx t x *

*''+- +-，…，也是一个可行分配。下面来进一步证明

12i i x x i n *' == ，，，…，。如果不是这样，那么一定存在某些()12i i n = ，，…，，使得i i x x *' ~，

但是i i x x *'≠，由于消费者具有严格凸的偏好，所以()1i i i tx t x x **'+->，这样

()(){}

1

11 i

n

n

tx t x tx t x *

*''+- +-，…，就是对{}1n x x **

，…，的一个帕累托改进，这就和

{}1

n

x x ** ，…，是帕累托有效的分配相矛盾，所以必有12i

i

x x i n *

' == ，，，

…，。

2．用无限数目的瓦尔拉斯均衡价格画出一个埃奇沃思方盒示例。

Draw an Edgeworth box example with an infinite number of prices that are Walrasian equilibrium.

答：采用里昂惕夫技术，并且采用22⨯模型，如图17-1所示。

图17-1 契约曲线上的任一点都是帕累托有效的

3．考虑图17-2。此处X*是一个帕累托有效分配，但是X*不能被竞争性价格所支持。福利经济学第二定理的哪一条假设未被满足呢？

图17-2 不存在竞争价格支持的帕累托有效的分配

Consider Figure 17-2. Here X*is a Pareto efficient allocation, but X*cannot be supported by competitive prices. Which assumption of the Second Welfare Theorem is violated?

答：福利经济学第二定理：假设X*是一个帕累托有效分配，其中每个当事人对每种商

品都持有正的数量。假设偏好是凸的、连续的和单调的。则X *是对应于初始禀赋i i w x *=的一个瓦尔拉斯均衡，此处1i n = ，…，。

在图17-2中，当事人2持有物品2的数量为零。这位违背了“其中每个当事人对每种商品都持有正的数量”的假设。

4．两个消费者A 和B 具有下述效用函数和禀赋：

计算市场出清价格和均衡分配。

There are two consumers A and B with the following utility functions and endowments:

Calculate the market clearing prices and the equilibrium allocation.

答：由于对于A 的效用函数是柯布-道格拉斯函数的变形形式，且A 的禀赋收入为：

12201p p p ⨯+⨯=

因此有：

建立拉格朗日函数：

一阶条件是：

得到：

121

2

1A A x ap p x a

==-

对于B 的效用函数：

(){}1212

=min B B B B B u x x x x

，， 可以得到需求函数为：

12

B B x x =

对于B 的要素禀赋收入为：

()1121B p p x p +=

则B 对第一种商品的需求为：

11

12

B p x p p =

+ 将1p 正规化为1，则得到：

12

1

1B x

p =

+ 12A x ap =

在均衡价格下，对每种商品总需求等于总供给。由瓦尔拉斯法则知，仅仅需要求商品1总供求相等的价格：

111A B x x +=

所以有：

22

1

11ap p +

=+ 可以得到：

21a

p a

-=

因此均衡时的需求数量为：

112211A B A B x a x a

x a x a

=-==-=

5．有具备相同的严格凹效用函数的n 个经济单位。w 为初始商品束。证明：均等分配为一个帕累托有效分配。

We have n agents with identical strictly concave utility functions. There is some initial bundle of goods w . Show that equal division is a Pareto efficient allocation.

证明：令1

x w n

*=

表示平均分配，()u x 表示消费者的效用函数。下面来证明i x x *=是一个帕累托有效的分配。如果不是这样，那么一定存在某个分配{}

1n x x ''，…，，使得()

()12i u x u x i n *≥= ' ，，

，…，，并且在这n 个不等式中有若干个严格成立。由于()u x 是严格

凹的，因此：

这样就出现了矛盾，所以i x x *=一定是帕累托有效的分配。

6．有两个当事人，其间接效用函数为，