高中数学专题训练(五)——三个二次问题.doc

高中数学专题训练——三个二次问题

（二次函数、不等式、方程）

1. 解关于x的不等式： (1) x2－ (a＋ 1)x＋ a＜ 0， (2) 2x2 mx 2 0 ．

2 设集合 A={ x|x2＋3k2≥2k(2x－ 1)} ， B={ x|x2－ (2x－ 1)k＋k2≥ 0} ，且 A B，试求 k 的取值

范围．

3．不等式 (m2－ 2m－ 3)x2－ (m－ 3)x－1＜ 0 的解集为 R，求实数m 的取值范围．

4．已知二次函数y＝ x2＋ px＋ q，当 y＜ 0 时，有－1

＜x＜

1

，解关于x的不等式qx2＋px

2 3

＋1＞ 0．

5．若不等式

1 x 2qx p 0的解集为x |

2 x 4，求实数p与q的值．

p

6. 设f x ax2bx c a 0 ，若 f 0 1， f 1 1， f － 1 1 ,试证明：对于

5

任意 1 x 1，有f x.

4

7（. 经典题型，非常值得训练）设二次函数 f x ax 2 bx c a 0 ，方程 f x x 0

的两个根 x1 , x2满足 0 x1

1

0,x1 时，证明 x f x x1. x2. 当x

a

8. 已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－ 1， 0)内，另一根在区间(1， 2)内，求 m 的范围 .

(2)若方程两根均在区间(0， 1)内，求 m 的范围 .

9. 已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c 和一次函数 g(x)=－ bx ，其中 a 、b 、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R ).

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点

A 、

B ；

(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A 1B 1 的长的取值范围 .

t

y

(a>0 且 a ≠ 1)

10.已知实数 t 满足关系式 log a

log a

a 3

a 3

(1)令 t= a x ,求 y=f(x)的表达式；

(2)若 x ∈ (0,2 ] 时， y 有最小值 8，求 a 和 x 的值 .

11.如果二次函数 y=mx 2+(m － 3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m

的取值范围 .

p q r

12.二次函数 f(x)=px 2

+qx+r 中实数 p 、 q 、 r 满足

m 1

=0,其中 m>0,求证：

m 2

m

(1)pf(

m

)<0;

m 1

(2)方程 f(x)=0 在 (0，1)内恒有解 .

13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件 )与售价 P( 元/件 )之间的关系为P=160－ 2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元 .

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300 元

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少元

14.已知 a、b、c 是实数，函数 f(x) ＝ax2＋bx＋ c，g(x)＝ax＋ b，当－

1≤x ≤ 1 时， |f(x)|≤1．

(1)证明： |c|≤1；

(2)证明：当－ 1≤x ≤1 时， |g(x)|≤2；

15. 设二次函数 f x ax2 bx c a 0 ，方程 f x x 0 的两个根x1, x2满足

0 x1 x2 1

f x 的图像关于直线x x0对称，证明： x0

x1 . 且函数.

a 2

16. 已知二次函数 f ( x) ax 2bx 1 (a,b R, a 0) ，设方程 f (x) x 的两个实数根为 x1和 x2.

（ 1）如果x 2 x

2 4 ，设函数 f ( x) 的对称轴为

x x0

，求证：

x0 1

；

1

（ 2）如果x1 2 ， x2 x1 2 ，求 b 的取值范围.

17. 设f ( x ) 3ax2 2bx c.若 a b c 0 ,

f ( 0 ) 0

，

f (1) 0,求证：

(Ⅰ ) a＞ 0 且－ 2＜a

＜－ 1；b

(Ⅱ )方程f ( x ) 0在（ 0，

1 ）内有两个实根 .

18. 已知二次函数的图象如图所示：

（ 1）试判断及的符号；

（ 2）若 |OA| ＝ |OB|，试证明。

19.为何值时，关于的方程的两根：

（ 1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（ 4）一根大于 2，一根小于2；（ 5）两根在0， 2 之间。

20. 证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个桓成立。

21.已知关于的方程两根为，试求

的极值。

x28x 20

22.若不等式

0对一切x恒成立，求实数m的范围.

mx2mx 1

23.设不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 {x|a

答案：

1.解： (1) 原不等式可化为：( x a)( x 1) 0, 若a＞1时，解为1＜ x＜a，若 a＞1 时，

解为 a＜ x＜ 1，若 a=1 时，解为

(2)△ = m2 16 ．

①当 m 2 16 0即m 4或m 4时，△＞0．

方程 2x 2 mx 2 0 有二实数根：x1 m m2 16

, x2 m m 2 16 .

4 4

∴原不等式的解集为x | x m m2 16 或x m m2 16 .

4 4

①当 m =±4时，△=0，两根为 x1 x2 m .

4

若 m 4, 则其根为－1，∴原不等式的解集为x | x R, 且x 1 ．

若 m 4, 则其根为1，∴原不等式的解集为x | x R,且 x 1 ．

②当－ 4＜m 4 时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．

2．解：A { x | [ x (3k 1)][ x (k 1)] 0} ，比较3k 1, k 1的大小 , 因为 (3k 1) (k 1) 2( k 1),

(1)当 k＞ 1 时， 3k－ 1＞ k＋1， A={ x|x≥ 3k－1 或 x k 1}.

(2)当 k=1 时， x R .

(3)当 k＜ 1 时， 3k－ 1＜ k＋1， A= x | x k 1或 x 3k 1 .

B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式4k 2 4(k 2 k) 4k ，

(1)当 k=0 时，0, x R .

(2)当 k＞ 0 时，△＜ 0， x R .

(3)当 k＜ 0 时，0, x k k或

x k k .

故：当 k 0 时，由B=R，显然有 A B ，

当 k＜0 时，为使 A

3k 1 k k

k 1 ，于是k 1 时，A B.

B ，需要

1 k k

k

综上所述， k 的取值范围是：k 0或 1 k0.