高中数学不等式的解法
高中数学不等式解题方法全归纳
高中数学不等式解题方法全归纳大家好，今天咱们来聊聊高中数学里的不等式。
这个话题呢，看起来有点吓人，但其实掌握了几个方法，解起来也就像吃饭喝水那么简单了。
我们就像个探险家，一步步揭开不等式的神秘面纱吧！1. 不等式基础知识1.1 不等式的基本概念首先，不等式呢，其实就是用来比较两个数值之间大小关系的。
最常见的有“<”、“>”、“≤”、“≥”这四种符号。
比如，3 < 5，这里表示3小于5。
其实，不等式就像是一道门，我们要找出哪一方在门的左边，哪一方在右边。
1.2 不等式的基本性质要解不等式，得先了解几个基本性质。
比如说，加减乘除这几个操作在不等式中是怎么表现的。
举个简单的例子：加减法：如果你在不等式的两边都加上或减去一个相同的数，结果不等式的方向不会改变。
比如，3 < 5，加2后变成了5 < 7。
乘除法：如果你在不等式的两边都乘以一个正数，结果不等式的方向也不会改变。
但如果你乘或除以负数，不等式的方向就会翻转。
比如，2 < 4，当你乘以1时，就变成了2 > 4。
2. 不等式的常见解法2.1 线性不等式的解法线性不等式是最简单的一类不等式。
比如，2x + 3 < 7。
这种情况，我们可以通过移项和合并同类项来解。
步骤如下：1. 移项：把常数项移到另一边。
2x < 7 3。
2. 化简：化简右边的数值。
2x < 4。
3. 除以系数：最后，除以2，得到x < 2。
这时候，不等式就解出来了。
简单吧？2.2 二次不等式的解法二次不等式可能有点复杂，但不怕，我们一步步来。
假如有一个不等式x^2 4 < 0。
解这个不等式可以分为几个步骤：1. 解对应的方程：先解x^2 4 = 0。
这个方程的解是x = ±2。
2. 画图分析：我们可以把这个方程的解标在数轴上，x = 2和x = 2。
然后就可以用测试点法或者符号法来判断在哪些区间内不等式成立。
高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析
高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析本文介绍了解简单不等式的几种方法，包括解二元一次不等式组、一元二次不等式、含绝对值的简单不等式、分式不等式和简单高次不等式。
其中，第一部分介绍了分数不等式的性质，包括两种情况下的大小关系。
第二部分介绍了“三个二次”的关系，即二次函数图象、一元二次方程的根和不等式的解集之间的关系。
第三部分介绍了解一元二次方程的三种方法，包括求根公式、因式分解法和配方法。
最后一部分介绍了解一元二次不等式的方法，包括统一处理二次项系数为正数，以及(x －a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法。
由y=x^2-3x-10的开口向上，可得x^2-3x-10>0的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞)。
设集合M={x|x^2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N等于[0,4)。
解析：因为M={x|x^2-3x-4<0}={x|-1<x<4}，所以M∩N=[0,4)。
已知不等式ax^2-bx-1≥0的解集是(3/2,3]，则不等式x^2-bx-a0，且Δ=b^2-4ac0，b<0，且0<b<3.综合可得x^2-bx-a<0的解集是(0,3)。
若关于x的不等式m(x-1)>x^2-x的解集为{x|1x^2-x的解集为{x|1<x<2}，所以1和2一定是m(x-1)=x^2-x的解，因此m=2.若一元二次不等式2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(-3,0]。
解析：因为2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，所以2k<0，解得k∈(-∞,0)，又因为Δ=k^2-4×2k×(-8)<0，解得k∈(-3,0]。
设a为常数，∀x∈R，ax^2+ax+1>0，则a的取值范围是(0,4)。
解析：对于任意实数x，ax^2+ax+1>0，即Δ=a^2-4a<0，解得0<a<4.若不等式x^2-2x+5≥a^2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)。
不等式的解法高中数学公式
不等式的解法高中数学公式高中数学中，不等式是基础知识，在函数问题中占比较大，出题面广，难度大，解题比较繁琐。
须把它整理出来，认真研究，学细、学深、学透，为备战高考奠定坚实基础。
不等式是与等式相区别的，意思就是左边与右边不等，等式简单，就“=”一个符号，而不等式有“≠”、“>”、“<”、“≥”“≤”5种，“不等”就是有差距，我们学习不等式的其中一个目的就是掌握这种差距的思维。
比较两个数（函数）的大小，一是作差，二是作商（作除数的不能为零），这个容易理解吧，有了这种思维，不等式问题就好解决了。
以下是高中阶段的不等式公式：一、两个数的不等式公式1. 若a-b>0,则a>b（作差）2. 若a>b,则a±c>b±c3. 若a+b>c,则a>c-b(移项)4. 若a>b,则c>d(不等号同向相加成立，两个大的加起来，肯定比两个小的加起来大)5. 若a>b>0,c>d>0则ac>bd(两个大正数相乘肯定比两个小正数的相乘大)6.若a>b>0,则an>bn(n∈N,n>1)。
二、基本不等式（也叫均值不等式）思想：反应的是算术平均值(a+b)/2和几何平均值的大小关系，这里a，b都是正数。
1.(a+b)/2≥ ab（算术平均值不小于几何平均值，a=b时取等号）2.a2+b2 ≥ 2ab（由1两边平方变化而来，a=b时取等号）3.ab≤（a2+b2）/2≤(a+b)2 /2(由2扩展而来，a=b时取等号)三、绝对值不等式公式（a,b看成向量,“| |”看成向量的模也适用）思想：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。
1.| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|2.| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|四、二次函数不等式f(x)=ax2+bx +c（a≠0）思想：函数图像是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的曲线，令函数值为0，解出f(x)的零点，符号看函数值处在纵坐标的正半轴还是负半轴。
高中数学中的不等式解题方法与实例分析
高中数学中的不等式解题方法与实例分析不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要我们掌握一些解题方法和技巧。
本文将对高中数学中的不等式解题方法进行分析，并通过实例来进一步说明。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是不等式中常见的一种形式，解决该类问题可以分以下几种情况进行讨论：1. 若|x| < a，则x的取值范围为(-a, a)；例如，若|3x + 2| < 5，则-5 < 3x + 2 < 5，解得-7/3 < x < 1。
2. 若|x| > a，则x的取值范围为(-∞, -a)∪(a, +∞)；例如，若|2x - 1| > 3，则2x - 1 < -3或2x - 1 > 3，解得x < -1 或 x > 2。
二、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中最高次项为一次的情况。
解决一次不等式问题的方法如下：1. 将一次不等式化简为数轴上的区间问题，确定不等式的解集和表示方法；例如，若2x - 3 > 5，则解不等式可得x > 4。
2. 注意一次不等式中系数的正负对不等号的影响；例如，若4x + 6 < 10，则解不等式可得x < 1/2。
三、二次及以上次数不等式的解法对于二次及以上次数的不等式，我们通常会进行如下步骤来解决问题：1. 将不等式转化为二次函数的零点问题，求出二次函数的零点。
2. 根据二次函数的图像特点，确定不等式的解集和表示方法。
实例分析：例如，解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
首先，将不等式化简为(x-1)(x-3) > 0。
得到二次函数的两个零点为x=1和x=3。
其次，根据二次函数的图像特点，我们知道当x小于1或大于3时，二次函数的值大于零。
因此，不等式的解集为x < 1 或 x > 3。
综上所述，我们通过绝对值不等式、一次不等式和二次及以上次数不等式的解题方法及实例分析，详细介绍了高中数学中解决不等式问题的技巧与方法。
高中数学不等式解题技巧
不等式解题漫谈一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a,1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a|分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
不等式公式高中数学知乎
不等式公式高中数学知乎高中数学中的不等式公式是一种重要的数学工具，它在解决实际问题和证明问题中起着重要的作用。
本文将从基本概念、求解方法、常见不等式类型以及应用等方面进行阐述。
一、基本概念不等式是指在两个数之间存在着其中一种关系，即不相等的关系。
一般表现为大于、大于等于、小于、小于等于等符号的组合。
常见的不等式符号有：≥（大于等于）、＜（小于）、＞（大于）及≤（小于等于）等。
二、不等式的解法1.移项法不等式中含有未知数时，可以通过将未知数移到一边来进行求解。
比如，对于不等式5x>10来说，可以将10移到等号另一边得到5x-10>0，进而求得x>22.同乘法不等式中含有分数时，可以通过同乘一个整除分母的数字来消去分数，比如对于不等式2/x>3来说，可以同乘以x来得到2>3x，进而解得x<2/33.开放区间法在求解不等式时，如果不对未知数的范围有具体要求，可以使用开放区间来表示解的范围。
比如不等式2<x<5表示x的取值范围为大于2小于5的所有实数。
4.基本性质法不等式具有一系列性质，常用的有：同加同减性质、同乘同除性质、倒置性质、取倒数性质等。
通过运用这些性质，能够简化不等式的求解过程。
三、常见不等式类型1.一元一次不等式一元一次不等式指的是只含有一个未知数的一次方程，如2x+1>5、求解一元一次不等式的基本思路是通过移项将未知数移到一边，然后利用各种性质进行化简，最后求得解的范围。
2.一元二次不等式一元二次不等式指的是含有一个未知数的二次方程，如x^2-2x-3>0。
求解一元二次不等式的方法一般有两种：一是通过求出方程的根点，然后结合二次函数的凹凸关系，求得解的范围；二是通过将不等式转化为二次函数的判别式关系，进而求得解的范围。
3.一元有理不等式一元有理不等式指的是含有有理数域的一个未知数的不等式，如x/(x-1)>0。
求解一元有理不等式的方法一般有两种：一是通过求出不等式的定义域，然后结合分数的正负性进行分析；二是通过化简不等式，将其转化为一元一次或二次不等式进行求解。
高中数学中的不等式求解
高中数学中的不等式求解高中数学中，不等式是一个重要的概念和技能，它在解决实际问题以及推导数学定理中起着重要作用。
在本文中，我们将探讨不等式的基本概念以及如何准确地求解不等式问题。
一、不等式的基本概念不等式是指数值或代数表达式之间的数的大小关系的一种表示方式。
我们常见的不等式符号有“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”。
以x > 2 为例，其中的符号“>”表示大于的关系，而“2”则是被比较的数。
在不等式中，我们可以通过运用加、减、乘、除等运算法则来进行等式变换和不等式变换，以找到不等式的解集。
二、一元不等式的求解方法1. 加减法解法当不等式中只包含一个变量并且不等式的符号不变时，我们可以通过加减法来求解不等式。
举个例子，考虑不等式 2x - 3 < 5，我们可以通过将两边加上 3，得到 2x < 8，然后再除以 2，得到 x < 4。
因此，不等式的解集为 (-∞, 4)。
2. 乘除法解法当不等式中只包含一个变量并且不等式的符号与乘除法对应时，我们可以通过乘除法来求解不等式。
例如，考虑不等式 4x > 8，我们可以通过将两边除以 4，得到 x > 2，即不等式的解集为(2, +∞)。
3. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是形如 |a - b| < c 或者 |a - b| > c 的不等式。
对于 |x - 3| < 2 这个不等式，我们可以将其分解为 x - 3 < 2 和 -(x - 3) < 2 两个不等式，然后分别求解得到 x < 5 和 x > 1，因此不等式的解集为 (1, 5)。
三、二元不等式的求解方法在某些情况下，我们可能面临着含有两个变量的不等式。
这时，我们需要将问题转化为图像解法或某个方程的解。
例如，考虑不等式组 x + y > 3 和 2x - y < 4，我们可以将其转化为图像解法，即画出两个不等式所代表的直线，并确定它们的交点。
高中数学不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
不等式的解法高中数学公式
不等式的解法高中数学公式
高中数学常见的不等式解法有如下几种公式：
1. 二次函数法：
对于一元二次不等式，可以将其转化为二次函数的求解问题。
首先对不等式中的二次项与常数项进行合并，得到一个一元二次函数。
然后通过求解二次函数的根或者根的位置来确定不等式的解集。
2. 直接法：
对于一些简单的不等式，可以直接通过对不等式进行变形，化简得到最终结果。
常见的直接法有加减法、乘除法等。
3. 分段讨论法：
对于一个包含多个不等式的复合不等式，可以将复合不等式拆分成若干个简单的不等式，并通过讨论每个简单不等式的解集的情况来确定复合不等式的解集。
4. 取模法：
对于一些涉及取模的不等式，可以通过取模运算的性质来进行求解。
通过去除不等式中的取模运算，将其转化为普通的不等式，进而求解得到最终结果。
5. 绝对值法：
对于一些含有绝对值的不等式，可以通过绝对值的性质来进行求解。
通过分情况讨论绝对值的取值范围，进而求解得到最终结果。
以上是高中数学中常见的不等式解法公式，通过灵活应用这些公式，可以有效地解决各种不等式问题。
不等式的解法高中数学
不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。
高中数学解不等式的方法及效果对比
高中数学解不等式的方法及效果对比不等式是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、优化问题等方面有广泛的应用。
解不等式是我们解决数学问题的关键一步，因此学会不等式的解法对于高中学生来说至关重要。
本文将介绍几种常见的不等式解法，并对它们的效果进行对比。
一、一元一次不等式的解法对于一元一次不等式，我们可以采用图像法、代数法和区间法等方法进行求解。
1. 图像法图像法是一种直观的解不等式的方法。
我们可以将不等式转化为对应的函数图像，通过观察函数图像的变化趋势来确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x +1 > 0，我们可以绘制出函数y = 2x + 1的图像，从图像上可以看出函数的取值大于0的区间为(-∞, -1/2)。
2. 代数法代数法是一种常用的解不等式的方法。
我们可以通过代数运算将不等式转化为等价的形式，再进行求解。
例如，对于不等式2x + 1 > 0，我们可以通过减去1并除以2的方式将不等式转化为x > -1/2，从而得到不等式的解集为(-1/2, +∞)。
3. 区间法区间法是一种简便的解不等式的方法。
我们可以通过构造不等式的解集的区间表示形式，来得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 1 > 0，我们可以通过观察系数2的正负性，得到不等式的解集为(-∞, -1/2)。
通过比较这三种方法，我们可以发现图像法是一种直观、易于理解的解不等式的方法，但对于复杂的不等式可能不够准确；代数法是一种常用的解不等式的方法，但需要一定的代数运算能力；区间法是一种简便的解不等式的方法，但对于含有绝对值等特殊形式的不等式可能不适用。
二、一元二次不等式的解法对于一元二次不等式，我们可以采用图像法、代数法和区间法等方法进行求解。
1. 图像法对于一元二次不等式，我们可以绘制出对应的二次函数的图像，通过观察函数图像的变化趋势来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出函数y = x^2 - 4x + 3的图像，从图像上可以看出函数的取值大于0的区间为(1, 3)。
高中数学解解不等式的常用技巧和方法
高中数学解解不等式的常用技巧和方法在高中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。
解不等式需要我们掌握一些常用的技巧和方法，本文将介绍一些常见的解不等式的技巧，并通过具体的例题加以说明。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程类似。
我们以以下例题为例：例题1：解不等式2x + 1 > 5。
解法：首先将不等式转化为等价的形式：2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0。
然后解这个一元一次方程，得到x > 2。
所以不等式2x + 1 > 5的解集为x > 2。
这个例题中的关键是将不等式转化为等价的形式，然后通过解方程的方法得到解集。
这是解一元一次不等式的常用技巧。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式形式，我们需要通过一些特殊的方法来解决。
以下是一个例题：例题2：解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
解法：首先我们需要求出不等式的零点，即将不等式转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。
通过因式分解或配方法，我们得到(x - 1)(x - 3) > 0。
然后我们需要绘制函数图像来确定不等式的解集。
绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像，我们可以发现函数的零点为x = 1和x = 3，这两个点将实数轴分成了三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。
然后我们取每个区间内的一个测试点，例如选取x = 0，2，4。
将这些测试点代入原不等式，我们可以得到以下结果：当x = 0时，左边为3，右边为0，不满足不等式；当x = 2时，左边为-1，右边为0，不满足不等式；当x = 4时，左边为3，右边为0，满足不等式。
根据测试点的结果，我们可以得到不等式的解集为x < 1或x > 3。
这个例题中的关键是通过绘制函数图像和选取测试点的方法确定不等式的解集。
高中数学绝对值不等式的解法
－2
1 2
3
巩固练习：
解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2
(3) | 5 x 4 | 6 (5)1 | 3 x 4 | 6
2 1 ( 2) | x | 3 3 (4) | 3 2 x | 7
(6) | x 3 x | 4
2
(7) | 3 2 | 1
2017/4/20
②
①
-m -n 0 n m 题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
推广： | f(x) | ＜g(x), | f(x) | >g(x)
2017/4/20 南粤名校——南海中学
3 x 4， 或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
2017/4/20 南粤名校——南海中学
解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法3：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
3 2 x 3 5， 或 5 2 x 3 3
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
1.探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0Байду номын сангаас1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
高考数学不等式的解法
1 2
3x
1x22或 x
x
3
2
2
故不等式的解为：{x|x<-5或x>1}
例6：解不等式：⑴
3x2 2x3
1 x1
9
⑵16x-22+2x+3<0 ⑶lg(x2-3x-4)-lg(x+5)≥lg2
⑷
log 1
2
x
8log
x
1 2
7
0
解：⑴原不等式 3x2-2x-3<32-2x
<0）(a>0)的解的情况
3、简单的高次不等式 将不等式一边化为 若干个一次因式积，一边为0的情形，再 用数轴标根法写出不等式的解集。
4、分式不等式：通过移项、通分变为 （或≤0）的形式
f x gx
0
f g
x x
0（或≤0）
f
xgx 0或
gx 0
1x
3x
1
0
x 3, x 1
3 x 1或 1 x 1
2
原不等式的解为
-
3,
-
1
1 2
,1
例3：解不等式:(x-1)(x2-5x+6)(x2-x-2)≥0
解：原不等式 (x+1)2(x-2)3(x-1)(x-3)≥0 (x-1)(x-2)(x-3)≥0 或x=-1
∴logkx<-1或logkx>0
①若k>1，则 0
x
1 k
或x>1
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。
2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。
其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。
例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。
变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。
解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。
例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得，当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。
变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为 。
解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：故而可得分式的解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。
高中数学中的不等式求解方法
高中数学中的不等式求解方法在高中数学学科中，不等式是一个重要的概念。
不等式的求解是解决不等式问题的关键步骤。
本文将介绍高中数学中常见的不等式求解方法，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
1. 一元一次不等式的求解方法一元一次不等式是高中数学中最简单的不等式形式，形如ax + b > 0的形式。
对于这类不等式，我们可以使用如下方法求解：（1）根据不等式中的不等号确定等于零的条件，即ax + b = 0。
解这个方程可以得到不等式的临界点。
（2）根据临界点将数轴分成若干个区间。
（3）选取区间内的一组值代入原不等式，判断符号。
（4）根据符号判断确定不等式的解集。
2. 一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是比一元一次不等式更复杂的一种形式。
解决一元二次不等式的关键是找到二次函数的图像与x轴夹角所对应的区间。
（1）将不等式化为标准形式，即ax² + bx + c > 0。
（2）使用一元二次方程求根公式，求出二次函数的根。
（3）根据二次函数开口方向，绘制二次函数的图像。
（4）根据图像与x轴夹角所对应的区间，确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式的求解方法绝对值不等式是一个常见的不等式形式。
它的解决方法主要有以下两种情况：（1）当绝对值不等式中的绝对值表达式大于等于零时，拆分绝对值不等式，将问题转化为一元一次不等式求解。
（2）当绝对值不等式中的绝对值表达式小于零时，证明无解。
4. 有理不等式的求解方法有理不等式是指包含有理函数的不等式。
解决有理不等式的关键是确定有理函数的零点和极值点，然后根据区间判断符号。
（1）将有理不等式转化为相应的分式。
（2）求出分式的分母为零的根和分式的分子为零的根作为不等式的临界点。
（3）根据临界点将数轴分成若干个区间。
（4）选取区间内的一组值带入原不等式，判断符号。
（5）根据符号判断确定不等式的解集。
5. 复合不等式的求解方法复合不等式是指将多个不等式联立起来，通过求解这个系统不等式来得到满足条件的解集。
高中数学中的不等式组求解方法
高中数学中的不等式组求解方法不等式组是高中数学中的一个重要概念，它由多个不等式组成，需要找到满足所有不等式的解集。
在解不等式组时，我们需要运用一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的不等式组求解方法。
一、图像法图像法是一种直观且易于理解的不等式组求解方法。
通过将不等式转化为图像，我们可以直观地看出解集的范围。
例如，对于一个简单的一元一次不等式组，我们可以将其转化为一条直线的图像。
通过观察直线与坐标轴的交点，我们可以得出解集的范围。
二、代数法代数法是一种常用的不等式组求解方法。
通过代数运算，我们可以将不等式组转化为等价的形式，从而找到解集。
例如，对于一个二元一次不等式组，我们可以通过消元法或代入法将其转化为一个只含有一个变量的不等式，然后求解这个不等式即可得到解集。
三、区间法区间法是一种常用的不等式组求解方法，特别适用于含有绝对值的不等式组。
通过将不等式组中的变量范围划分成若干个区间，然后分别求解每个区间内的不等式，最后将解集合并起来，即可得到整个不等式组的解集。
这种方法可以有效地简化求解过程，提高求解效率。
四、求导法求导法是一种适用于含有函数的不等式组求解方法。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的增减性，从而确定不等式的解集。
例如，对于一个含有二次函数的不等式组，我们可以通过求解函数的导数和零点，来确定函数的增减性和极值点，从而得到不等式的解集。
五、数列法数列法是一种适用于含有数列的不等式组求解方法。
通过构造递推数列，我们可以找到数列的通项公式，并通过分析数列的性质来确定不等式的解集。
例如，对于一个含有递推数列的不等式组，我们可以通过构造数列的递推关系式和递推初值，来确定数列的通项公式和解集。
六、综合运用在实际的不等式组求解过程中，我们常常需要综合运用多种方法和技巧。
通过灵活运用各种方法，我们可以更准确地确定不等式的解集。
例如，对于一个复杂的不等式组，我们可以先通过图像法或代数法简化不等式，然后再运用区间法或求导法求解。
八种方法解决高中数学不等式问题
八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题： 例题：224x y ，求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识：柯西不等式（二维下的）解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55x y 时，取得最大值10.【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。
【解法二】线性规划解：令34x y t ，则344t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344t y x ，也满足方程224x y ，因此：显然，由图像得： 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。
建议从数形结合角度理解。
【解法三】判别式法解：令34x y t ，则344t y x ，代入方程：224x y ，得： 223444t x x ， 整理，得：222534016816t x tx ………………（*） 一元二次方程（*）有解，则：2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。
【解法四】三角换元224x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。
【解法五】对偶式先备知识： 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2)，得：222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法，学有余力可了解。
【解法六】向量法（类似柯西不等式）34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积：34a b x y .所以：cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。
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高中数学不等式的解法
复习目标
1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法．
2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力．
知识回顾
一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax
b(a 0) 的解集情况是
b
b （1）当 a 0 时，解集为 { x |
} （2）当 a 0时，解集为 { |
} x
x x
a
a
二、一元二次不等式的解法
2
bx c
2
的有
一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c
关性质求解，具体见下表：
2
0 0 0 a
0 ， b 4ac
二次函数
y 2
ax b x c
的图象
一元二次方程
有两个相等的实根
有两实根
2
bx c
ax
的根
x x 或
1 x x
2
x
x
1
x
2
b
2a
无实根
不等式
一 式 元 的 2
bx c
ax
{x| x x 1或x x 2}
{ x | x
x 1 }
R
二 解 次 集 不
的解集 不等式
等
2
bx c
ax
{x|x 1 x x 2}
Φ Φ
的解集
注：1．解一元二次不等式的步骤：
（1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系
数变为正）
1
（2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）
2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”．
三、含有绝对值的不等式的解法
1．绝对值的概念
a (a 0)
a 0 a 0
a a 0
2．含绝对值不等式的解：
（1）| x | a(a 0) a x a
（2）| x | a(a 0) x a或x a
（3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a
（4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a
注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数．
四、一元高次不等式的解法
一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是：
（1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数；
（2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积；
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
（4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集．
如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0
a a
n
或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）：
a
2
五、分式不等式的解法
' '
f (x) f ( x)
对于解 a a
或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成
'
g ( x) g'( x)
2
f ( g( x ) x)
0(
f ( x) 0)或
0( 0) 的形式，再转化为整式不等式求解。
g( x )
f (x)
（1）
( ) ( ) 0 f x
g x
g (x)
f (x)
（ 2）
f (x) g( x ) 0
g (x)
（3） f f ( x) g (x) 0 （4）f
f (x)
g (x) 0
( x)
(x) 0
g(x)
g( x )
g (x) 0
g(x) 0 六、无理不等式的解法
（1）
f (x)
g( x)型
f g (x)
(x) 0
定义域
f (x) g(x)
（2）
f (x) 0 f ( x) f (x) g( x )型 或
g(x) 0 2
g(x)
f (x) [ g(x)] 0 0
f (x) 0
（3）
f (x) g( x )型
g( x ) 0
2
f (x) [g( x )]
经典例题导
讲 [ 例 1] 如果 kx
2
+2k
x －
(k +
2)
<
恒
成立数
k
的
取
A. －1≤ k ≤ 0
B. －1≤ k<0
C. －1<k ≤ 0
D. －1<k<0
[ 例 2] 命题A : x 1 ＜3，命题B
:( x 2)( x a) ＜0，若 A 是 B 的充分不必要条件， 则 a 的 取是 ＿＿＿＿＿＿＿ A. (4, ) B. 4, C. ( , 4) D. , 4
[ 例 3] 已知 f(x) = a x + x b ，若 3 f (1) 0, 3 f (2) 6, 求 f (3) 的范围. [ 例 4] 解不等式（ x+2） 2(x+3)(x －2) 0
[ 例 5] 解关于 x 的不等式 a( x ab) b(x ab) 1 2 bx c [ 例 6] 关于 x 的不等式 0 { x | x 2或x ax 的解集为 } 2 , 求关于 x 的不等
2 bx c 式
ax 的解集．
3
[ 例7] 不等式log ( 1 6) 3
x 的解集为
2 x
典型习题导练
2 bx a
1. 若不等式 2 0
x 的解集为{ x |1 x 5} ，则a （）A．5 B．6 C．10 D．12
2 m x2 m x
2.已知不等式m 4 5 4 1 3 0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
2 a x a
3.关于x 的不等式ax ( 1) 1 0 对于x R恒成立，求 a 的取值范围．
4. 若不等式
2
mx
2
x 8x 20
2(m 1)x 9m 4
<0 的解集为R，求实数m的取值范围.
5. 已知不等式x
2-4x+3<0 ①x2-6x+8<0 ②2x2-9x+m<0③，要使同时满足①②的x 也满足
③，则有( )A.m>9 B.m ＝9 C.m ≤9 D.0<m ≤9
6. 若函数f(x) ＝log 1 ( 2 x kx 2) 的值域为(- ∞,+ ∞) ，则实数k 的取值范围是()
2
A.(-2 2 ，2 2 )
B. ［-2 2 ,2 2 ］
C.(- ∞，-2 2 ) ∪(2 2 ,+ ∞)
D.(- ∞,-2 2 ) ∪［2 2 ,+ ∞］
7. 关于x 的不等式(k 2-2k+ 5
2
) x<(k 2-2k+
5
2
) 1-x 的解集为( )
1 1
A. ｛x｜x< ｝
B. ｛x｜x> ｝
C. ｛x｜x>2｝
D. ｛x｜x<2｝
2 2
8. 若ax
2+bx+c>0 的解集为｛x｜x<-2 或x>4｝，那么对于函数f(x) ＝ax2 +bx+c 会有( )
A.f(5)<f(2)<f(-1)
B.f(2)<f(5)<f(-1)
C.f(-1)<f(2)<f(5)
D.f(2)<f(-1)<f(5)
1 1
9. 不等式ax )，则a+b 的值是.
2+bx+2>0 的解集为(-
，
2 3
x(x+2) -8 ·32x>0 的解集为. 10.4
11. 设关于x 的二次方程px
2+(p-1)x+p+1 ＝0 有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围.
2
x 3x 2 12. 解不等式0
2
x 2x 3
2 x x2 x 13. 解不等式(x 4 5)( 2) 0
16
2 x x x
3
14. 解不等式(x 2) ( 1) ( 1)( 2) 0 15. 解不等式 1
x
x 1
2
17. 解不等式3x 4 x 3 0
2x2kx k
16. k 为何值时，下式恒成立：1
2
4x 6x 3
2 x x
18. 解不等式2x 6 4 2
4。