(天津版)高考数学分项版解析专题05平面向量理

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2024年高一数学真题分类汇编(天津专用)平面向量(解析版)

专题01平面向量考点一、向量的基本概念和线性运算考点二、向量共线定理的应用考点三、向量共线和垂直考点四、向量的数量积及夹角考点五、向量的投影1、数量积及其最值问题2、平面向量的综合应用向量的基本概念和线性运算1．（20·21高一·全国·课时练习）下列说法正确的是（）A ．向量AB与向量BA 是相等向量B ．与实数类似，对于两个向量a ，b 有a b = ，a b > ，a b <r r三种关系C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A ，向量AB与向量BA 是相反向量，所以A 错误；对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B 错误；对于C ，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C 错误；，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以3．（2023高一·天津市下学期期中）已知向量A．()5,7B．()5,9【答案】Aa=2(4,8)A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD -AP 1233PQ BQ BP BC =-=- 故选：A.8．（20·21高一下·山西吕梁AP AB AC λμ=+，则λ+A ．49【答案】B3A ．2B ．4【答案】A【分析】设CP CD λ=，可得出AP的坐标，再由两向量共线列方程可求出，则向量【点睛】本题考查投影向量的计算，涉及向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题则有BD AC ⊥，且BD 所以()AB BA BC BA ⋅+=- 故答案为：32-.【答案】74/1.75【分析】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解【详解】以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图：()()()2,0,0,2,0,0C A B ，设()2,D x ，()2,2AC =- ,BD 2AC BD ⋅=- ，则42x -=()2,3D ∴，点M 为边AB 设()0,M t ，[]0,2t ∈，MC 【答案】2-19-【分析】以B 为坐标原点可建立平面直角坐标系，求得D 点坐标，由向量数量积坐标运算可得则()0,0B ，()2,0C ，()0,2A ，E ()2,2CD x ∴=- ，22,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 向量CD 在向量CE 上的投影向量的模为BP 26．（20·21高一上·广西·期末）如图，在菱形。

天津专用2018版高考数学总复习专题05平面向量分项练习含解析理201710013108

专题05 平面向量一．基础题组1.【2006天津，理12】设向量与b的夹角为，且a (3,3)，2b a(1,1)，则cos__________．【答案】31010【解析】设向量与的夹角为,且a (3,3),2b a (1,1),∴b (1,2)，则cosa b9310||||325a b10m2.【2007天津，理10】设两个向量a(2,2cos2)和b (m,sin),其中,m ,为2实数.若a 2b,则m的取值范围是( )A.[6,1]B.[4,8]C.(,1] D. [1,6]【答案】A【解析】(16t 18t2)[0,4]2111t [1,]18k28解得6k 1.故选A解不等式得因而3.【2007天津，理15】如图，在ABC中，BAC 120,AB 2,AC 1,D是边BC上一点，DC 2BD,则AD A BC.AB DC1【答案】 8 3 【解析】cos 由余弦定理得 B AB AC BC AB AD BD2 2 2 2 2 22 AB AC 2 AB BD可得 BC 7, AD 13 3 ， BD 2AD 2 AB 232 9 8 cos ADBBD AD，又 AD , BC 夹角大小为 ADB ，29 4 13 7 918AD BC cos ADB所以 AD A BC. 34.【2008天津，理 14】如图，在平行四边形 ABCD 中， AC1,2, BD3,2，则AD AC.【答案】35.【2009天津，理 15】在四边形 ABCD 中,AB DC (1,1) ,|1 1BABCBA || BC |3 BDBD,则四边形 ABCD 的面积为_________________.【答案】 3 【解析】由于 AB DC (1,1) ,则四边形 ABCD 是平行四边形且| AB | 2 ,又由| 11BABCBA || BC |3 BDBD,得 BC 、CD(BA)与 BD 三者之间的边长之比为1∶1∶3,那么可知∠DAB＝120°,所以AB边上的高为62.所以四边形ABCD的面积为623.26.【2010天津，理15】如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC3BD，|AD|＝1，则AC AD＝__________.2【答案】3【解析】解析：∵AC AB BC AB 3BD AB 3(BA AD)(13)AB 3AD ∴AC·AD＝(1－3)AB＋3AD]·AD＝(1－3)AB·AD＋3A D2＝3AD＝3.27.【2012天津，理7】已知△ABC为等边三角形，AB＝2．设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ) AC，λ∈R．若BQ CP32，则λ＝()A．1212B．2110C．2D．3222【答案】A3即(2λ－1)2=0，∴1 2．8.【2013天津，理12】在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为__________．【答案】1 2【解析】如图所示，在平行四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE ＝1 AB 2＋AD.41AB AD所以 AC ·BE ＝(AB ＋ AD )·21 |AB |2＋|AD |2＋＝2 1 2 AB ·AD 1 1 1|AB |2＋＝|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝ (舍去|AB |＝0)，所以线段 AB 的长2 4 21为 .29. 【2017天津，理 13】在△ABC 中，∠A60 ， AB 3， AC 2 ．若 BD 2DC ，AEAC ABR ，且 AD AE4 ，则的值为___________( )3【答案】11【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中 AB , AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．二．能力题组1.【2005天津，理 14】在直角坐标系 xOy 中，已知点 A (0，1)和点 B (3，4)，若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC | = 2，则 OC = __________。

天津市四合庄中学2021年高考数学中“平面向量多选题”的类型分析含答案

天津市四合庄中学2021年高考数学中“平面向量多选题”的类型分析含答案一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M 【答案】BD【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥，所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上C ．线段PG长的最大值为1D ．PA PB ⋅的最小值6+【答案】ABC【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断. 【详解】对于选项A ：设()00,G x y，2AB =G 为弦AB 的中点，GB ∴=，而()()22:114C x y+++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --， ()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆.故选项A 正确；对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=， ()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确；对于选项D ： ()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2min min3PA PB PG ⋅=-，由选项C 知：1112min11PG PG r r =--=-=，所以()()2min 136PA PB ⋅=-=-，故选项D 错误；故选：A B C.【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.3．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．32OA OB OC ++=D ．132DE = 【答案】AC【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =，所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB OC ++= D ．因为()123,0,03D E ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误，故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.4．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°【答案】ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．6．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（）A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.7．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AD 【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等， ∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=；当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD.【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.8．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3) 【答案】ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.9．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（）A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确．对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形， a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（）A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确；对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。

高考数学压轴专题天津备战高考《平面向量》图文答案

《平面向量》考试知识点一、选择题1．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v方向上的投影为AB．2C ．1 D【答案】C 【解析】【分析】根据a v在b v方向上的投影定义求解. 【详解】a v 在b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b⋅⋅--+===-rr r ，选C. 【点睛】本题考查a v在b v方向上的投影定义，考查基本求解能力.2．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为,P Q 在圆222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为（）A．18-B．19-C．18+D．19+【答案】B 【解析】【分析】设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，求得23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故()223MP MQ ⋅≥-u u u r u u u u r，得到答案.【详解】依题意，设PQ 中点D ，则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，221C D ==Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上，21C C ==≥Q ，1221min min MD C C C D MC ∴=--故()22319MP MQ ⋅≥-=-u u u r u u u u r【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.3．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ=( )A 3B 3C 6D 6【答案】D 【解析】【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u ur 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC=u u u r u u u r ，||3622||AB AC λ===u u u ru u u r . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.4．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．5．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为（）A ．22B ．19C ．-19D ．-22【答案】D 【解析】由余弦定理可得22211cos 216AB BC AC B AB BC +-==⋅，又()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.6．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v，则λ=（）A ．13B ．12C ．3D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()BABC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AD DC λ=u u u v u u u v ，所以λ= 12，故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.7．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8．如图，已知1OA OB ==u u u v u u uv ，2OC =u u u v ，4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（）A ．57B ．75C ．37D ．73【答案】A 【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可．【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ）即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =，故选A ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．9．设()1,a m =r ，()2,2b =r，若()2a mb b +⊥r r r ，则实数m 的值为（）A ．12B ．2C ．13-D ．-3【答案】C 【解析】【分析】计算()222,4a mb m m +=+r r，根据向量垂直公式计算得到答案.【详解】()222,4a mb m m +=+r r，∵()2a mb b +⊥r r r ，∴()20a mb b +⋅=r r r ，即()22280m m ⋅++=，解得13m =-.故选：C . 【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.10．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuur =2，则△ABC 的面积为（）A B ．32C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积．【详解】在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB =BA u u u r⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，∴△ABC 的面积为：116223acsinB =⨯⨯=．故选C ．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．11．已知向量(b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A 【解析】【分析】设(),a x y =r 6=-，()4x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b⋅+==-r rr 即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥r r r ，∴()0a b b λ+⋅=r r r即130x y λ++=，∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.12．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D 【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r，则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r）•12（AC AB +u u ur u u u r ）＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．13．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-，所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6 故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.14．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（）A ．2B ．2CD ．12【答案】A 【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为22=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．15．下列命题为真命题的个数是（） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=r r，则0a =r r 或0b =r r；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.16．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,C ．[0,4]D ．[0,8]【答案】D 【解析】【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．17．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （）A．8+B．8-C ．12 D ．4 【答案】C【解析】【分析】【详解】由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.18．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（）A ．15，45B ．43，13-C ．45，15D ．13-，43【答案】C【解析】【分析】求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r ，又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =，又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=，联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（）A ．10B ．16C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．20．已知单位向量,a b r r 满足3a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【解析】由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，又因为单位向量,a b r r ，所以1632a b a b ⋅=⇒⋅=r r r r ，所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3a b π〈〉∈r r ，故选C.。

(天津专用)2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量数量积与应用课件

= 1 ,又知<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= ,故选B.
2
3
解法二:如图,令
OA
=a,
OB
=b,则
BA
=
OA
-
OB
=a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以
∠AOB= ,即<a,b>= .故选B.
3
3
思路分析本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.
13 3
方法总结利用数量积求解向量模的处理方法: ①a2=a·a=|a|2或|a|= a a ; ②|a±b|= (a b)2 .
11.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=
.
答案 2 3
解析本题考查向量数量积的计算.
由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×1 =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.
9.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=
.
答案 8
解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8. 易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.
)·(AD
+μAB
)=μ
AB
2
+λ
AD
2
+(1+λμ)

专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2教师版)

※知识点※1 等量代换
所以 CD b 2CD a ，所以 CD (b 2a) 0
※知识点※1 去分母 ※知识点※1 移项；2 提取公因式
1 2 1 2 2 2 2 4 1 2 A 选项因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3
C
4 AD AB 5
4 (CB CA) 5 4 4 a b 5 5
A
※知识点※1 共线定理
D
B
※知识点※1 向量的减法；2 向量的分解
二．能力题组 1 【2014 新课标，理 3】设向量 a, b 满足 | a b | 10 ， | a b | 6 ，则 a b ( A1 【答案】A 【曹亚云·解析】 | a b | 10 a 2a b b 10 ，※知识点※1 模长公式；2 完全平方和公式
CD a ， | CD |
，剩余部分读者自行解答，剩余部分读者自行解答，剩余部分读者自行解答
CD b CD CB CD CA ， cos CD, CB 2 | CD | | CD | | CB | | CD | | CA |

※Байду номын сангаас识点※1 夹角公式
所以
CD b CD a ， 2 | CD | | CD |
| b | 2 ，则 CD （
）
1 2 （A） a b 3 3 【答案】B；
2 1 （B） a b 3 3
3 4 （C） a b 5 5
4 3 （D） a b 5 5
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【曹亚云·解析 1】特例法（特殊图形法）在 Rt ABC 中，设 | a | 1 ， | b | 2 ， B 90 ，则 C 60 ， AB 3 在 Rt CBD 中， BD BC tan 30

2020版高考数学(天津专用)大一轮精准复习精练：5.2 平面向量数量积与应用含解析

5.2平面向量数量积与应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.理解数量积的性质并能运用2014天津,8基底法线性表示向量向量的共线表示★★★2.平面向量数量积的应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题2015天津,14向量方法解决平面几何问题基本不等式★★★分析解读在天津高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积;遇到模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决,主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是()A.-B.[-1,1)C.-D.[-1,0)答案 A2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为;·的最大值为.答案1;1考点二平面向量数量积的应用3.已知向量||=2,||=1,且|-2|=2,则向量和的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案 C4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()A.4,0B.4,4C.4,0D.16,0答案 A5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,2),若a⊥(2a+b),则a,b的夹角为.答案炼技法【方法集训】方法1求平面向量的模的方法1.已知平面向量,满足||=||=1,·=-,若||=1,则||的最大值为()A.-1B.-1C.+1D.+1答案 D2.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于()A.6B.4C.2D.1答案 C3.已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=x a+y b(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为()A. B. C. D.3答案 A方法2求平面向量的夹角的方法4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案 C5.若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.120°答案 D6.已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为()A. B. C. D.答案 C方法3用向量法解决平面几何问题的方法7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案 B8.已知向量,的夹角为60°,||=||=2,若=2+,则△ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 C过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一平面向量的数量积1.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为()A.-B.C.D.答案 B2.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()A. B. C. D.答案 C考点二平面向量数量积的应用(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案 B2.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案 A3.(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案24.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-25.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·=.答案9考点二平面向量数量积的应用1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-答案 A2.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1答案 B3.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案 A4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-答案 B5.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=.答案C组教师专用题组1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=()A.5B.4C.3D.2答案 A2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+k b.若b⊥c,则实数k的值等于()A.-B.-C.D.答案 A3.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是()A.[4,6]B.[-1,+1]C.[2,2]D.[-1,+1]答案 D4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为.答案-35.(2015安徽文,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.答案①④⑤6.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.答案227.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=,则a·b=.答案108.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=t a+(1-t)b.若b·c=0,则t=.答案 29.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=.答案 2解析解法一:·=·(-)=-=22-×22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-2,2),则·=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2018天津芦台一中模拟,7)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2,CD=1,P为线段BC上的一点,设=,若·=,则||=()A.2B.C.D.1答案 A2.(2018天津南开二模,8)设△ABC是边长为1的正三角形,M是△ABC所在平面上的一点,且+2λ+=,则当·取得最小值时,λ的值为()A. B. C.2 D.3答案 A3.(2019届天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A. B. C.π D.π答案 A4.(2017天津南开一模,7)在△ABC中,AB=AC=1,=,=,·=-,则∠ABC=()A. B. C. D.答案 C5.(2017天津五校联考一模,7)在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上的一点,且=3,则·的值是()A.-B.-C.-D.-答案 A6.(2019届天津南开中学第二次月考,7)在△ABC中,·=4,||=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则·的值是()A.5B.C.6D.8答案 C7.(2017天津和平一模,7)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=,AB=2,AD=1.若M、N分别是边AD、CD上的点,且满足==λ,其中λ∈[0,1],则·的取值范围是()A.[-3,1]B.[-3,-1]C.[-1,1]D.[1,3]答案 B8.(2018天津部分区县一模,7)已知点G是△ABC内的一点,且满足++=0,若∠BAC=,·=1,则||的最小值是()A. B. C. D.答案 C二、填空题(每小题5分,共45分)9.(2018天津南开中学第三次月考,12)已知向量a与b的夹角为60°,若a=(0,2),|b|=1,则|a+2b|=.答案210.(2017天津南开三模,11)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,(a+b)⊥a,则向量a,b的夹角为.答案11.(2017天津河西三模,12)已知等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=. 答案-212.(2017天津八校联考,13)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是.答案13.(2018天津红桥二模,12)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·=.答案14.(2019届天津耀华中学第二次月考,13)已知向量、、满足=+,||=2,||=1,E、F分别是线段BC、CD的中点,若·=-,则向量与的夹角为.答案15.(2018天津南开一模,13)在四边形ABCD中,AB=AC=AD=,AB⊥AD,则·的最小值为.答案2-216.(2018天津十二区县一模,13)在等腰梯形中,AB∥CD,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若=3,=λ(λ∈R),且·=-1,则λ=.答案17.(2018天津北辰模拟,14)在梯形ABCD中,BC∥AD,∠BAD=60°,∠CDA=30°,AB=2,AD=6,CD=2,在边BC,DC上分别有动点E,F,使=λ,=μ,λ+μ=1,则·的最小值为.答案 6。

天津市静海县2019届高考数学复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积校本作业

第五章平面向量第三节：平面向量的数量积一基础题：1.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π22.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3.. 已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________。

4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2→AO =→AB +→AC 且→AO =→AB ，则向量→AB 在→BC 方向上的投影为5．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝( ) A ．－32 B.32C ．－2D ．2 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．28．在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．18 B ．3 C ．15 D ．129．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．210．已知a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝________.11．△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足AM MC ＝MP PB＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝90°，则AP →·BC →的值为( )A ．1B ．－23 C.143 D ．－13二中档题：1. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.1182、在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，求AB 的长．_________________3.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4。

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第 1 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量一、选择题1 ．（2019年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=A P A Bλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （）A ．12B．12CD．32-± 2 ．（2019年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |3 ．（2019年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=（）ABC．D ．104 ．（2019年高考（四川理））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =5 ．（2019年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b6 ．（2019年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =.（）ABC． D 7 ．（2019年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b（）A ．12B ．1C ．32D ．528 ．（2019年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（）第 2 页A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--9 ．（2019年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 10．（2019年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是（）A．(- B．(-C．(2)--D．(2)-二、填空题11．（2019年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;则_____b =[来源:shulihuashulihua]12．（2019年高考（浙江理））在∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ⋅=______________. 13．（2019年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .[来源:shulihua]14．（2019年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.15．（2019年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________; DE DC ⋅的最大值为________.16．（2019年高考（安徽理））若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____第 3 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--,=CP AP AC -=AB AC λ-, [来源:数理化网] 又∵3=2BQ CP ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ. 2. 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 3. 【答案】B【解析】由0240a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.4. [答案]D[解析]若使||||a ba b =成立,则方向相同，与选项中只有D 能保证,故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 5. 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. [来源:shulihua]C第 4 页6. 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,解得BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7. 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b ba a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=>,所以12a b <<,故有32a b =,选 C. 【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 12θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥>,所以123,1k k ==,于是32a b =,选C. [来源:数理化网] 8. 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--. 9. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用. [来源:shulihua]【解析】由0ab ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得CD =,所以AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D 10. 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin)cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== [来源:数理化网]则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- C第 5 页【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=- 二、填空题[来源:shulihuashulihua] 11. 【解析】b=12. 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法.假设∆ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,AM =3,BC =10,AB =ACcos∠BAC =3434100823417+-=-⨯.AB AC ⋅=cos 16AB AC BAC ⋅∠=-13. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23),C (25,23).t CD BC ==||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2t ,23t ),N (25-2t ,23),故AN AM ⋅=(2+2t)(25-2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,(AN AM ⋅)max = f (0)=5,(AN AM ⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!14. .【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由2AB AF=,得cos ABAF FAB ∠=由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.15. 【答案】1;1 [来源:shulihuashulihua]【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. [来源:shulihuashulihua]16. 【解析】a b的最小值是98第 6 页。

专题05 平面向量-2017年高考数学理母题题源系列天津专版含解析精品

母题五平面向量【母题原题1】【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．【母题原题2】【2015天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9D F D C λ=12D C A B=，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.A【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.【母题原题3】【2015天津，理8】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF?-，则l m += （）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C ．考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，运用向量的加法、减法正确表示向量，利用向量的数量积求值，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是本题的做法，借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助模运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查平面向量的线性运算和坐标运算. 【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要有两种：其一为平面向量的线性运算，其二为平面向量的坐标运算.【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：选基底，选用的基底最好已知向量的模和夹角. 本题选取,AB AC 为基地，已知3AB = ，2AC =，且两向量夹角为060.第二步：借助向量的加法、减法及数乘运算表示出解题需要的有关向量.本题中由于2BD DC =，利用定比分点公式表示1232AD AB AC =+，根据已知AE AC AB λ=-用AB AC 、表示AE . 第三步:利用题目所提供的条件（如向量的夹角、模或数量积等）列出向量所满足的要求 .本题需要满足条件4AD AE ⋅=-，借助AB AC 、的模和数量积解题.第四步：根据要求解方程，求出λ . 【方法总结】1. 求向量的模：（求模必先求模方，得出模方勿忘开方）根据公式22a a a a =⋅=，求出模的平方，然后开方得出向量的模，同样题目中有时给出某向量的模的大小时，也是利用向量的模的平方去解题的. 2. 求两个向量的夹角:（点积比模积）利用向量夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅，使用本公式求夹角时，要注意利用数量积与模的关系.3. 求数量积:cos ,a b a b a b ⋅=<>确定应使用的一组基地，要求已知基地的模和夹角，利用加、减、数乘运算表示向量，然后利用数量积运算进行计算. 4. 向量的坐标运算建立适当的平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标运算公式进行计算. 有关向量的坐标运算公式：设1122(,),(,)a x y b x y ==，（1）2a x =+（2）1212(,)a b x x y y ±=±±（3）11(,)a x y λλλ= （4）1212a b x x y y ⋅=+（5）设向量,a b 的夹角为θ，则2cos a b a bx θ⋅==⋅+（6）非零向量12120a b x x y y ⊥⇔+= （7）1221//0a b x y x y ⇔-=1. 【2017广东佛山二模】直角ABC 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =， 3AB =，则CD AB ⋅=（）A.910 B. 310 C. 310- D. 910- 【答案】A2.【2017江西南昌十所重点二模】已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+，若()AB AC R λλ=∈，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=A. 0B.C.D. 【答案】A【解析】∵32015BA a OB a OC =+， ∴32015OA OB a OB a OC -=+，即()320151OA a OB a OC =++，又∵()AB AC R λλ=∈， ∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=.3．【2017江西4月质检】在矩形ABCD 中， 2AB =, 3AD =，点F 为CD 的中点，点E 在BC 边上，若4AF DE ⋅=-，则AE BF ⋅的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算及平面向量的数量积，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，往往更能将问题直观化． 4.【2017安徽阜阳二模】已知点()()()1,1,1,2,2,3A B C -，且()AB BC AC λ⊥+，则λ= （）A.38 B. 38- C. 12 D. 12- 【答案】B【解析】解：由题意可知： ()()()2,1,1,1,3,2AB BC AC === ，则： ()13,12BC AC λλλ+=++ ，由平面向量垂直的充要条件可知： ()()32131208λλλ+++=⇒=- . 本题选择B 选项.5.【2017四川资阳4月模拟】如图，在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， AB ∥DC ， 2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是A. 234⎡+⎢⎣⎦，B. 23⎡⎢⎣⎦， C. 334⎡-+⎢⎣⎦ D. 33⎡-⎢⎣⎦【答案】B【解析】解：以A 点为坐标原点， ,AD AB 方向为y 轴，轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点P 的坐标为(),P m n ，由意可知： ()()2,01,1AP x y =+- ，据此可得： 2{m x y n y=-= ，则： {2m nx y n+== ，目标函数： 42z x y m n =-=+ ，其中为直线系2n m z =-+ 的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值3当直线过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭时，目标函数取得最小值，则4x y -的取值范围是2,3⎡+⎢⎣⎦. 本题选择B 选项.【点睛】本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题.求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，值最大，在y 轴截距最小时，值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，值最小，在y 轴上截距最小时，值最大.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6．【2017云南、四川、贵州高三联考14】在矩形ABCD 中，30CAB ∠=， ||AC AD AC =，则AC AB =____________.【答案】12考点：平面向量的数量积.7.【2017广东海珠区综测，16】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若2AB AC AO +=，且||||AC AO =，则AB 与BC 的夹角为 .【答案】56π【解析】试题分析：因为2AB AC AO +=，所以O 是BC 的中点，又因为O 是ABC ∆的外接圆的圆心，所以OA OB OC == ，又||||AC AO =，可得AOC ∆是正三角形，23AOC ABO BAO ABO π∠==∠+∠=∠，6ABO π∠=，因此AB 与BC 的夹角为56π，故答案为56π. 考点：1、向量的几何运算及外接圆的性质；2、向量的夹角.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．8.【2017河北唐山二模】平行四边形ABCD 中， M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ=__________．【答案】29【解析】由图形可得： 12AM AB AD =+①，DB AB AD =-②， ①2⨯+②得： 23AM DB AB +=，即2133AB AM DB =+，∴21,33λμ==，∴29λμ=，故答案为29.9.【2017河北唐山二模】平行四边形ABCD 中， AB AC DB λμ=+，则λμ+=__________．【答案】110.【2017陕西师范附属二模】如图,在ABC ∆中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，2BC BE =.（1）用向量AB 、AC 表示DE ；（2）设6AB =, 4AC =, 60A =︒,求线段DE 的长.【答案】（1）1162AB AC + ;（2【解析】试题分析:（1）现将DE 转换为DB BE +，然后利用题目给定的比例，将其转化为以,AB AC 为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量DE 两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得DE . 试题解析：（1）由题意可得： 21DE DB BE AB BC 32=+=+ ()21AB AC AB 32=+- 11AB AC 62=+ （2）由11DE AB AC 62=+可得：2222211111|DE |DE AB AC AB AB AC AC623664⎛⎫==+=+⋅+ ⎪⎝⎭22111664cos60473664=⨯+⨯⨯⨯︒+⨯=.故DE =。

2020版高考数学(天津专用)大一轮精准复习精练5.1 平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示

专题五平面向量【真题典例】5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示挖命题【考情探究】分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.破考点【考点集训】考点一平面向量的基本概念与线性运算1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为()A.-B.-C.-D.-答案 A2.在△ABC中,G为重心,记a=,b=,则=()A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b答案 A3.M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC中点,则的值为()A. B. C.1 D.2答案 B考点二向量共线问题4.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若∥a,则点B的坐标为.答案(-3,-6)考点三平面向量基本定理5.D是△ABC所在平面内一点,=λ+μ(λ,μ∈R),则“0<λ<1,0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B6.已知△OAB,若点C满足=2,=λ+μ(λ,μ∈R),则+=()A. B. C. D.答案 D7.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A. B. C.1 D.答案 A考点四平面向量的坐标运算8.已知向量a=(2,m),b=(1,1),若a·b=|a-b|,则实数m=()A. B.- C. D.-答案 D9.已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,则t=.答案±3炼技法【方法集训】方法1平面向量的线性运算技巧1.在△ABC中,点D满足=2-,则()A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上答案 D2.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.答案 2方法2向量共线问题的解决方法3.已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,则x=()A.-3B.-C.D.4.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线,则实数λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案 D5.在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y(x>0,y>0),则4x+y的最小值为.答案方法3平面向量的坐标运算的解题策略6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),若(2a-b)∥c,则实数λ=()A.-3B.C.1D.3答案 A7.已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且=3,则||=.答案过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.答案2.(2012天津,8,5分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.答案 53.(2009天津,15,4分)在四边形ABCD中,==(1,1),+=,则四边形ABCD的面积为. 答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的基本概念与线性运算1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-答案 A3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为.答案90°考点二向量共线问题1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6答案 B2.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.答案-33.(2016课标Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.答案-6考点三平面向量基本定理1.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案 B2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案考点四平面向量的坐标运算1.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2答案 A2.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案 D3.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案5.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案-3C组教师专用题组1.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥答案 D的是()2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案 B3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A. B.C. D.答案 A4.(2014福建文,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于()A. B.2 C.3 D.4答案 D【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019届天津耀华中学统练(2),2)已知A、B、C、D是平面内任意四点,现给出下列式子:①+=+;②+=+;③-=+.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 C2.(2017天津河北一模,7)若O为△ABC所在平面内的任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案 B3.(2018天津和平一模,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为()A. B. C.2 D.答案 B4.(2018天津河东一模,7)设P是△ABC边BC上的任意一点,Q为AP的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=()A. B. C. D.1答案 C5.(2018天津和平二模,7)如图,在平行四边形ABCD中,已知=,=2,G为线段EF上的一点,且=,=λ+μ(λ,μ∈R),则的值为()A. B. C. D.答案 D二、填空题(每小题5分,共45分)6.(2018天津河西二模,13)在△ABC中,∠A=60°,||=2,点D在边AB上,点E在边BC上,=,=,若·=,则||=.答案 57.(2019届天津第二十中学第三次月考,7)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,=2,则·=.答案8.(2018天津部分区县二模,14)在△ABC中,AB=6,AC=6,∠BAC=,点D满足=,点E在线段AD上运动(不包括端点),若=λ+μ(λ,μ∈R),则3λ+取得最小值时,的模为.答案29.(2018天津南开中学第六次月考,13)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内的一点,且AP=1,若=x+y,则3x+2y的最大值为.答案 210.(2018天津耀华中学一模,13)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=AB=1,F是BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动,E为圆弧DE与AB的交点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ+μ的取值范围是.答案[0,2]11.(2017天津河东二模,14)如图,在△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足==2,若||=2,||=3,∠BAC=120°,则·的值为.答案-212.(2017天津实验中学热身训练,13)已知△ABC的外接圆圆心为P,若点P满足=(+),则cos∠BAC=. 答案13.(2017天津新华中学模拟,14)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是.答案14.(2017天津耀华中学二模,14)已知函数f(x)=|-x|(x∈R),其中MN是半径为4的圆O的一条弦,O为原点,P 为单位圆O上的点,设函数f(x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为3,则线段MN的长度为.答案4三、解答题(共10分)15.(2019届天津河西期中,19)设平面内的向量=(-1,-3),=(5,3),=(2,2),点P在直线OM上,且·=-16,其中O为坐标原点.(1)求的坐标;(2)求∠APB的余弦值;(3)设t∈R,求|+t|的最小值.解析(1)设P(x,y),由点P在直线OM上,可知与共线,而=(2,2),∴2x-2y=0,即x=y,∴P(x,x).∴=-=(-1-x,-3-x),=-=(5-x,3-x),∴·=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)=2x2-4x-14=-16⇒x=1,∴P(1,1),则=(1,1).(2)由(1)得P(1,1),=(-2,-4),=(4,2),∴||=-=2,||==2,∴cos<,>=·=-.∴∠APB的余弦值为-.(3)+t=(-1,-3)+(t,t)=(t-1,t-3),∴|+t|=--=-=-.当t=2时,|+t|min=.。

专题05平面直角坐标系中求图形面积(解析版)

专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。

专题07 平面向量-五年(2017-2021)高考数学真题分项详解(新高考地区专用)(解析版)

专题07 平面向量【2021年】一、【2021·浙江高考】已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.【答案】25 【解析】【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得22x y +-=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y=，所以d a-在c 方向上的投影1()||m x ny da c z c -+-⋅===，即252x yz +=, 所以(()()2222222222112212510105x y z x y z x y z ⎡⎤++=++++≥+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当215252x y x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即25155x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.二、【2021·江苏高考】已知O 为坐标原点，点P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( )A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】AC【知识点】向量的数量积【解析】解：∵P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,−sinβ)，OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos(α+β),sin(α+β))，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−1,sinα)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ−1,−sinβ)，则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2β+(−sinβ)2=1，则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故A 正确；|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosα−1)2+sin 2α=√cos 2α+sin 2α−2cosα+1=√2−2cosα，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√cos 2β+sin 2β−2cosβ+1=√2−2cosβ， |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故B 错误；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β)，OP 1−⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosαcosβ−sinαsinβ=cos(α+β)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 正确；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cosα+0×sinα=cosα，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosβcos(α+β)−sinβsin(α+β)=cos[β+(α+β)]=cos(α+2β)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 错误．故选：AC ．由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．【2020年】一、【2020·北京高考】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ；PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD⃗⃗⃗⃗⃗ = ．【答案】√5 −1【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、向量的数量积【解析】【分析】本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题．根据向量的几何意义可得P 为BC 的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得P 为BC 的中点，则|CP|=1，∴|PD|=√22+12=√5，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，故答案为√5；−1．二、【2020·浙江高考】已知单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√2，设a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，向量a⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值为．【答案】2829【知识点】利用向量的数量积求向量的模、利用向量的数量积求向量的夹角【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，属于中档题．设e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由题意求出cosα≥34；再求a⃗ ，b ⃗ 的夹角θ的余弦值cos 2θ的最小值即可．【解答】解：设e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 为单位向量，满足|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√2，所以4e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4−4cosα+1≤2，解得cosα≥34；又a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ 2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4+4cosα，a ⃗ 2=e 1⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=2+2cosα，b ⃗ 2=9e 1⃗⃗⃗ 2+6e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=10+6cosα；则cos 2θ=(a ⃗ ⋅b ⃗ )2a ⃗ 2×b ⃗ 2=(4+4cosα)2(2+2cosα)(10+6cosα)=4+4cosα5+3cosα=43−835+3cosα，所以cosα=34时，cos 2θ取得最小值为43−835+3×34=2829．故答案为2829．三、【2020·天津高考】如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为．【答案】16 132【知识点】平面向量的坐标运算、向量的几何运用、向量的加法、减法、数乘运算、二次函数、向量的数量积【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52， ∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16；132．四、【2020·上海高考】已知a 1⃗⃗⃗⃗ ，a 2⃗⃗⃗⃗ ，b 1⃗⃗⃗ ，b 2⃗⃗⃗⃗ ，…，b k ⃗⃗⃗⃗ (k ∈N ∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a 1⃗⃗⃗⃗ −a 2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i ⃗⃗⃗ −b j ⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i =1，2，j =1，2，…，k)，则k 的最大值是．【答案】6【知识点】向量的几何运用、向量的模【解析】【分析】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．设OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k 的最大值．【解答】解：如图，设OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2⃗⃗⃗⃗ ，由|a 1⃗⃗⃗⃗ −a 2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i ⃗⃗⃗ −b j ⃗⃗⃗ |∈{1,2}，分别以A 1，A 2为圆心，以1和2为半径画圆，其中圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．【2019年】一、【2019·北京高考（文）】已知向量a ⃗ =(−4,3)，b ⃗ =(6,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______．【答案】8【知识点】向量垂直的判断与证明、向量的数量积【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．a ⃗ ⊥b ⃗ 则a ⃗ ⋅b⃗ =0，代入a ⃗ ，b ⃗ ，解方程即可．【解答】解：由向量a ⃗ =(−4,3)，b ⃗ =(6,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，得a ⃗ ⋅b ⃗ =−24+3m =0，∴m =8．故答案为8．二、【2019·浙江高考】已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i =1,2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是，最大值是．【答案】0 2√5【知识点】利用向量的数量积求向量的模、向量在平面几何中的应用【解析】【分析】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，难度较大．由题意可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，化简|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√(λ1−λ3+λ5−λ6)2+(λ2−λ4+λ5+λ6)2，由于λi (i =1,2，3，4，5，6)取遍±1，由完全平方数的最值，可得所求最值．【解答】解：如图，正方形ABCD 的边长为1，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+λ6 (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|(λ1−λ3+λ5−λ6)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2−λ4+λ5+λ6)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√(λ1−λ3+λ5−λ6)2+(λ2−λ4+λ5+λ6)2，由于λi (i =1,2，3，4，5，6)取遍±1，当λ1−λ3+λ5−λ6=0，λ2−λ4+λ5+λ6=0时，可取λ1=λ3=λ5=λ6，λ5=−1，λ6=−1，λ2=1，λ4=−1，可得所求最小值为0；接下来求最大值：∵|λ1−λ3+λ5−λ6|，|λ2−λ4+λ5+λ6|的最大值都为4，但是①当λ5+λ6=2或−2时，λ5−λ6=0，|λ2−λ4+λ5+λ6|可取最大值4，|λ1−λ3+λ5−λ6|最大值只能取2；②当λ5+λ6=0时，λ5−λ6=2或−2，|λ1−λ3+λ5−λ6|可取最大值4，|λ2−λ4+λ5+λ6|最大值只能取2．可得所求最大值为√42+22=2√5．故答案为：0；2√5．三、【2019·天津高考】在四边形ABCD 中，AD//BC ，AB =2√3，AD =5，∠A =30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．【答案】−1【知识点】向量的数乘运算、向量的数量积的概念及其运算【解析】【分析】本题考查了向量的数量积及向量的线性运算，属于中档题．利用向量数量积的运算律，并结合向量的线性运算进行计算即可．【解答】解：∵AE =BE ，AD//BC ，∠A =30°，∴在等腰三角形ABE 中，∠BEA =120°，又AB =2√3，∴AE =BE =2，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−25AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −25AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −25AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+75AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −25AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+75|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|AD|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cos∠BAD −25AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−12+75×5×2√3×√32−25×25 =−1．故答案为−1．四、【2019·上海高考】在椭圆x 24+y 22=1上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为______．【答案】[π−arccos 13,π]或[arccos (−13),π]【知识点】平面向量的坐标运算、向量的夹角、椭圆的概念及标准方程、向量的数量积【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，平面向量的夹角与数量积，属于中档题．设P(x,y)，则Q(x,−y)，结合F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，x 24+y 22=1可得：y 2∈[1,2]，进而可得F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ满足：cosθ=F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的范围，最后得到答案．【解答】解：设P(x,y)，则Q(x,−y)，椭圆x 24+y 22=1的焦点坐标为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，∵F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1， ∴x 2−2+y 2≤1，结合x 24+y 22=1可得：y 2∈[1,2]故F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ满足：cosθ=F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=222+2+y 2)2−8x 2=2−3y 2y 2+2=−3+8y 2+2∈[−1,−13] 故θ∈[π−arccos 13,π]或[arccos (−13),π]故答案为：[π−arccos13,π]或[arccos(−13),π]【2018年】一、【2018·北京高考（文）】设向量a⃗=(1,0)，b⃗ =(−1,m).若a⃗⊥(m a⃗−b⃗ )，则m=．【答案】−1【知识点】向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量线性运算的坐标表示【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可．【解答】解：向量a⃗=(1,0)，b⃗ =(−1,m)．m a⃗−b⃗ =(m+1,−m)．∵a⃗⊥(m a⃗−b⃗ )，∴m+1=0，解得m=−1．故答案为−1．二、【2018·浙江高考】已知a⃗，b⃗ ，e⃗是平面向量，e⃗是单位向量．若非零向量a⃗与e⃗的夹角为π3，向量b⃗ 满足b⃗ 2−4e⃗⋅b⃗ +3=0，则|a⃗−b⃗ |的最小值是()A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√3【答案】A【知识点】向量垂直的判断与证明、数形结合思想、向量的模、圆有关的最值问题、点到直线的距离公式【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算以及模的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属较难题．把等式b⃗ 2−4e⃗⋅b⃗ +3=0变形，可得得(b⃗ −e⃗ )⋅(b⃗ −3e⃗ )=0，即(b⃗ −e⃗ )⊥(b⃗ −3e⃗ )，设e⃗=(1,0)，则b⃗ 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到a ⃗ 的终点在不含端点O 的两条射线y =±√3x(x >0)上，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由b ⃗ 2−4e ⃗ ⋅b ⃗ +3=0，得(b⃗ −e ⃗ )⋅(b ⃗ −3e ⃗ )=0， ∴(b ⃗ −e ⃗ )⊥(b ⃗ −3e ⃗ )，如图，不妨设e⃗ =(1,0)，则b ⃗ 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a⃗ 与e ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ 的终点在不含端点O 的两条射线y =±√3x(x >0)上．不妨以y =√3x 为例，则|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是(2,0)到直线√3x −y =0的距离减1．即|2√3|√3+1−1=√3−1．故选：A ．三、【2018·天津高考（理）】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2116B. 32C. 2516D. 3【答案】A【知识点】向量数量积的坐标运算【解析】【分析】本题考查了向量数量积，坐标法解决向量问题，属于中档题．以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 作BN ⊥x 轴，过点B 作BM ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1， ∴AN =ABcos60°=12，BN =ABsin60°=√32，∴DN =1+12=32，∴BM =32， ∴CM =MBtan30°=√32， ∴DC =DM +MC =√3， ∴A(1,0)，B(32,√32)，C(0,√3)，设E(0,m)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗=(−32,m −√32)，0≤m ≤√3， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+m 2−√32m =(m −√34)2+32−316=(m −√34)2+2116，当m =√34时，取得最小值为2116．故选A ．【2018·天津高考（文）】在如图所示的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120°，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −15B. −9C. −6D. 0【答案】C【知识点】向量的数量积的概念及其运算、利用余弦定理解三角形【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积，余弦定理的应用，是中档题．由题意判断BC//MN ，且BC =3MN ，再利用余弦定理求出MN 和∠OMN 的余弦值，再计算BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】解：连接MN ，由题意，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BMMA =CNNA =2，∴BC//MN ，且BC =3MN ，又MN 2=OM 2+ON 2−2OM ⋅ON ⋅cos120°=1+4−2×1×2×(−12)=7， ∴MN =√7；∴BC =3√7， ∴cos∠OMN =OM 2+MN 2−ON 22OM⋅MN=2×1×7=7，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−∠OMN)=3√7×1×√7)=−6．故选：C ．四、【2018·上海高考】在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．【答案】−3【知识点】平面向量的坐标运算、二次函数、向量的数量积【解析】【分析】本题考查向量的数量积，向量的坐标运算，二次函数，属于中档题．据题意可设E(0,a)，F(0,b)，从而得出|a −b|=2，即a =b +2，或a =b −2，并可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+ab ，将a =b +2代入上式即可求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值，同理将a =b −2带入，也可求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．【解答】解：根据题意，设E(0,a)，F(0,b)； ∴|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a −b|=2； ∴a =b +2，或a =b −2；且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,b)； ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+ab ；当a =b +2时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+(b +2)⋅b =b 2+2b −2； ∵b 2+2b −2的最小值为−8−44=−3；当a =b −2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+(b −2)⋅b =b 2−2b −2； b 2−2b −2最小值也为−8−44=−3，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−3．故答案为：−3．【2018·上海高考】已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√222√2的最大值为．【答案】√2+√3【知识点】向量数量积的坐标运算、由标准方程确定圆心和半径、点到直线的距离【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查直线与圆的位置关系，属于较难题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√2+22√2的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，设AB 中点为M ，则距离d 1与d 2之和等于M 到直线l 的距离的两倍，接着求出点M 到直线l 的距离的最大值，由此可求11√222√2的最大值．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，O 为坐标原点， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=12，即有∠AOB =60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线l:x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，设AB 中点为M ，则距离d 1与d 2之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心(0,0)到线段AB 中点M 的距离d =√32，圆心到直线l 的距离d′=√2=√22， ∴M 到直线l 的距离的最大值为d +d′=√32+√22，即11√2+22√2的最大值为√2+√3，故答案为：√2+√3．【2017年】一、【2017·北京高考（文）】设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】向量的数量积的概念及其运算【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．从充分性和必要性两方面分别分析即可【解答】解：m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0．反之不成立，非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，而m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立． ∴m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的充分不必要条件．故选A ．二、【2017·浙江高考】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. I 1<I 2<I 3 B. I 1<I 3<I 2 C. I 3<I 1<I 2 D. I 2<I 1<I 3【答案】C【知识点】向量的数量积的概念及其运算【解析】【分析】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3， ∴AC =2√2，∴∠AOB =∠COD >90°，由图象知OA <OC ，OB <OD ，∴0>OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即I 3<I 1<I 2，故选：C ．【2017·浙江高考】已知向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是 (1) ，最大值是 (2) ．【答案】42√5【知识点】范围与最值问题、函数的最值、向量的概念及几何表示【解析】【分析】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．通过记∠AOB=α(0≤α≤π)，利用余弦定理可可知|a⃗+b⃗ |=√5+4cosα、|a⃗−b⃗ |=√5−4cosα，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2+2|a⃗||b⃗ |cosα=5+4cosα，|a⃗−b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2−2|a⃗||b⃗ |cosα=5−4cosα，∴|a⃗+b⃗ |=√5+4cosα，|a⃗−b⃗ |=√5−4cosα，令x=√5−4cosα，y=√5+4cosα，则x2+y2=10(x、y≥1)，其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=−x+z，则直线y=−x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=−x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的√2倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的√2倍，所以z max=√2×√10=2√5．综上所述，|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是4，最大值是2√5．故答案为：4、2√5．三、【2017·天津高考（理）】在△ABC 中，∠BAC =60°，AB =3，AC =2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则λ的值为．【答案】311【知识点】向量的加减与数乘混合运算、向量的数量积的概念及其运算【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．根据题意画出图形，结合图形，利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据平面向量的数量积结合AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC 中，∠BAC =60°，AB =3，AC =2， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(13λ−23)AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23λAC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(13λ−23)×3×2×cos60°−13×32+23λ×22=−4，∴113λ=1，解得λ=311．故答案为311．。

备战高考十年高考理数分项版(天津版)专题05平面向量(含答案解析)

第五章平面向量一．基础题组1.【2006天津，理12】设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __________．2.【2007天津，理10】设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A 【解析】由22(2,cos )a λλα=+-(,sin ),2m b m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A 3.【2007天津，理15】如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =__________.【答案】83-4.【2008天津，理14】如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==，则=⋅AC AD . 【答案】3【解析】令AB a =，AD b =，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩ 所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=. 5.【2009天津，理15】在四边形ABCD中,)1,1(==,BD BC BA 3=+,则四边形ABCD 的面积为_________________. 【答案】3B ACD6.【2010天津，理15】如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3BC BD =，|AD |＝1，则A CA D ＝__________.7.【2012天津，理7】已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ．若32BQ CP ⋅=-，则λ＝( )A ．12 B ．12± C ．12 D ．32-± 【答案】A【解析】设AB =a ，AC =b ，则|a|=|b|=2，且〈a ，b 〉=π3．()1BQ AQ AB λ=-=--b a ，CP AP AC λ=-=-a b ． BQ CP ⋅= (1－λ)b －a ］·(λa －b)=λ(1－λ)+1］a·b －λa2－(1－λ)b2 =(λ－λ2+1)×2－4λ－4(1－λ) =－2λ2+2λ－2=32-．即(2λ－1)2=0，∴12λ=．8.【2013天津，理12】在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为__________．【答案】12【解析】如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝12-AB ＋AD.所以AC ·BE ＝(AB ＋AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝12-|AB |2＋|AD |2＋12AB ·AD ＝12-|AB |2＋14|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为12. 二．能力题组1.【2005天津，理14】在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (-3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且| OC | = 2，则OC = __________。

天津天津市耀华中学平面向量多选题试题含答案

天津天津市耀华中学平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．下列命题中真命题的是（）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断对于B ：利用平面向量的数量积判断对于C ：利用数量积的应用判断对于D ：利用向量的四则运算进行判断【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.2．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（） A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是2D ．向量a 的单位向量是⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断；对于B:利用模的计算公式；对于C:利用投影的计算公式；对于D:直接求单位向量即可．【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =，对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确；对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.4．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确；对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.5．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.7．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =，所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是A ．1-B ．113C D 【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.二、立体几何多选题9．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒B ．点A 到平面BCDC ．四面体ABCDD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径，因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即62=66OF AO =，, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确；建系如图：26230,0,,0,,0A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,333AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以222324812241393972y x y +=++⨯+⨯，即222388=33y x y +++，平方化简可得：22323400399y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.10．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 【答案】BD 【分析】对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断；对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断；对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可. 【详解】如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =，对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+，故CN 为定值，故B 正确；如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.。

2020高考数学课标二轮(天津专用)课件：专题五 5.3 立体几何中的向量方法

因为点 D 在线段 AB 上,且�� = 13,
即�� = 1 ��.
3
所以 a=2,b=43 , �� =
-1,
4 3
,0
.
平面 BCD 的法向量为 n1=(0,0,1).
设平面 B1CD 的法向量为 n2=(x,y,1),
专题五
5.3 立体几何中的向量方法
高频考点•探究突破核心归纳•预测演练
-9-
突破点一
突破点二
突破点三
(2)证法一 ��1=(0,-4,4),设平面 B1CD 的法向量 m=(x,y,z),
由��1�� ·m=(-3,0,-4)·(x,y,z)=-3x-4z=0,
设 CF=h(h>0),则 F(1,2,h). 依题意,��=(1,0,0)是平面 ADE 的法向量,又��=(0,2,h),可得�� · ��=0,又因为直线 BF⊄平面 ADE,所以 BF∥平面 ADE.
突破点一
专题五
专题五
5.3 立体几何中的向量方法
高频考点•探究突破核心归纳•预测演练
-7-
突破点一
突破点二
突破点三
即时巩固1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,BC=3,AA1=4, AC⊥BC,点D在线段AB上.
(1)证明:AC⊥B1C;
(2)若D是AB的中点,证明:AC1∥平面B1CD; (3)当�� = 13时,求二面角 B-CD-B1 的余弦值.

天津市静海县2020届高考数学二轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示校本作业(无答案

第五章平面向量第二节：平面向量基本定理及坐标表示一、基础题1．已知点A (－1,1)，B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若ma －nb 与2a ＋b 共线(其中m ，n ∈R 且n ≠0)，则m n ＝( )A ．－2 B ．2 C ．－12 D.123．已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C.32a －12bD ．－32a ＋12b5.设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b |等于( ) A. 4 B. 5 C. 3 5 D. 4 56.已知向量OA →＝(1,3)，OB →＝(3，－1)，且AP →＝2PB →，则点P 的坐标为( ) A. (2，－4) B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，13 D. (－2,4)7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．8．已知点A (7,1)，B (1,4)，若直线y ＝ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a＝________.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.10．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．11．如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个三等分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．___________二中档题：1．已知O 为坐标原点，且点A (1，3)，则与OA →同向的单位向量的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－322．在平面直角坐标系中，O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →按逆时针旋转3π4后，得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.4、已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．55、在△ABC 中，点D 在边CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →－sAC →，则s ＋r 等于( )A ．0B.45C.83D ．3 6．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．___________。