用二分法求解方程的近似解
二分法求方程近似解
二分法求方程近似解：求方程f(x) = x^3 + x^2 - 1 = 0在[0,1]上的近似解，精确度为0.01。
算法分析：二分法求方程近似解的基本思想是将方程的有解区间平分为两个小区间，然后判断解在哪个小区间；继续把有解的区间一分为二进行判断，如此周而复始，直到求出满足精确要求的近似解。
二分法求方程近似解的算法步骤：
⑴确定区间[a,b]，验证f(a).f(b) < 0，给定精确度e
⑵求区间(a, b)的中点mid
⑶计算f(mid)
若f(mid) = 0，则mid就是函数的零点
若f(a).f(mid) < 0，则令b = mid(此时零点a < x0 < mid)
若f(mid).f(b) < 0，则令a = mid(此时零点mid < x0 < b)
⑷判断是否达到精确度e：即若|a-b| < e，则得到零点近似值a（或b）；否则重复⑵-⑷。
《用二分法求方程的近似解》教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。
它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。
二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。
在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。
这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。
通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。
在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。
通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。
1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。
特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。
我们需要借助数值计算方法来求得近似解。
二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。
掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。
本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。
1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。
通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。
通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。
本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。
通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
4.5.2 用二分法求方程的近似解-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(
4.5.2 用二分法求方程的近似解一、二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。
2、注意点：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
二、用二分法求函数零点1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算2-，精确到0.01，即0.3313（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
题型一二分法的概念理解【例1】下列关于二分法的叙述，正确的是（）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法【答案】B【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C 错；求方程的近似解也可以用二分法，故D 错.故选：B.【变式1-1】用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的零点，可以取的初始区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为,lg y x y x ==是单调增函数，故()f x 是单调增函数，其零点至多有一个；又()()11,2lg20f f =-=>，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是()1,2.故选：B.【变式1-2】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A【变式1-3】下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】观察图象与x 轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B 不能用二分法求零点．故选：B.【变式1-4】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）A ．()43f x x =-B ．()ln 28f x x x =+-C ．()sin 1f x x =+D ．()231=-+f x x x【答案】C【解析】选项C sin 10y x =+≥恒成立，不存在区间(),a b 使()()0f a f b ⋅<，所以sin 1y x =+不能用二分法求零点.故选：C题型二 用二分法求方程的近似解【例2】方程322360x x x -+-=在区间[]2,4-上的根必定在（ ）A ．[]2,1-上B ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上C ．71,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上D ．75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 【答案】D【解析】设32()236f x x x x =-+-， 则(2)8866280f -=----=-<，(4)6432126380f =-+-=>，因为2412且(1)123640f =-+-=-<，所以函数()f x 在[]1,4上必有零点. 又因为14522+=且5125251537()6028228f =-+-=>，所以函数()f x 在51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点.又因为517224+=且32777797()()2()360444464f =-⨯+⨯-=-<，所以函数()f x 在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点. 即方程的根必在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上.故选：D【变式2-1】若函数()31f x xx =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f （x ） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.25【答案】B【解析】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可.故选：B【变式2-2】若函数32()22f x x x x =+--的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =- (1.4375)0.162f = (1.40625)0.054f =-那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2B ．1.4C ．1.3D ．1.5【答案】B【解析】因为(1)0,(1.5)0f f <>，所以(1)(1.5)0f f <，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f <，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f <，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .【变式2-3】求方程221x x =+的一个近似解（精确度0.1）【答案】2.4375【解析】设2()21f x x x =--.因为(2)10,(3)20f f =-<=>()f x 在区间()2,3内单调递增，所以在区间()2,3内，方程2210x x --=有唯一的实数根为0x 取2与3的平均数2.5因为(2.5)0.250f =>，所以02 2.5x <<，再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以02.25 2.5x <<；如此继续下去，有(2.375)0,(2.5)0f f <>，所以()0 2.375,2.5x ∈；(2.375)0,(2.4375)0f f <>，所以()0 2.375,2.4375x ∈；因为|2.375 2.4375|0.06250.1-=<，所以方程221x x =+的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375题型三 用二分法求函数的零点【例3】用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A ．()0,0.5，()0.125f B ．()0,0.5，()0.375fC ．()0.5,1，()0.75fD ．()0,0.5，()0.25f【答案】D【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f ，故选：D.【变式3-1】已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.5【答案】C【解析】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2y x 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立；当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3.故选：C.【变式3-2】已知函数()329f x x x =+-在()1,2内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617()f x －6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088要使()零点的近似值精确度为，则对区间()的最少等分次数和近似解分别为（ ）A ．6次1.75B ．6次1.76C ．7次1.75D ．7次1.76【答案】D【解析】由表格数据，零点区间变化如下：(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)→(1.75,1.8125)→(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656)，此时区间长度小于0.01，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取1.76．故选：D ．【变式3-3】用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,要求精确度为0.01，10.012n∴≤，解得7n ≥，故选：C.【变式3-4】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算，()0.540f <，()0.720f >，()0.680f <，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.68 B ．0.72 C ．0.7 D ．0.6【答案】C【解析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为()0.68,0.72，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，故选：C ．。
用二分法求方程的近似解课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
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配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
用二分法求方程的近似解
总结作业
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
0.03
(2.5625,2.625)
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
给定精确度 ,用二分法求函数f (x)零点近似值
的步骤 :
宇普西龙
1.确定区间[a,b], 验证f (a) f (b) 0;
2.求区间(a, b)的中点c;
3.计算f (c);
(1)若f (c) 0,则c就是函数的零点;
(2)若f (a) f (c) 0,则令b c(此时零点x0 (a, c)); (3)若f (c) f (b) 0,则令a c(此时零点x0 (c, b)); 4.判断是否达到精确度 :即若 | a b | ,则得到零点近似值a(或b);否
则重复2 4.
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
例1、借助计算器或计算机,用二分法求方程x
3 lg x在(2,3)内的近似解(精确度0.1). 近似 值
区间
中点的值 中点的函数值
(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)
2.5 2.75 2.625
0.10 0.19 0.04
(2.5,2.625) 2.5625
A.(3,4) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
新课讲解
二分法 :
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
对于区间[a,b]上连续不断且f (a) f (b) 0的函 数y f (x), 通过不断地把函数f (x)的零点所在 的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近 零点, 进而得到零点近似值的方法, 称之.
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§ 3.1.2 用二分法求方程近似解
复习引入 新课讲解 课堂小结 课后作业
用二分法求方程的近似解
解：设平均年收益率为 x，由题意， 得 令
x49 x x49 17 4401＋2 · ＝68，即1＋2 · x－55＝0. 2 x49 17 f(x)＝1＋2 · x－55，
149 17 17 ∵f(0)＝－55<0，f(1)＝1＋2 －55>0， x49 17 1 ＋ ∴f(x)＝ x－55在区间[0,1] 上有唯一的零点， 利用 2 ·
束． (2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结 果是相同的，但二分的次数却相差较大，零点所在区间的选取 要尽可能小．
(3) 在二分法的第四步，由|a－b|<ε，便可判断零点近似值
为a或b.
典例剖析
题型一 用二分法求函数的零点 【例1】 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]上的 一个零点(精确度0.01)．
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)， 又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4， 且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8<0.1， 所以原方程的非负近似解可取为2.225.
(3)计算f(x1)．
x1就是函数的零点 ①若f(x1)＝0，则_________________ ； (a，x1) ； ②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈_______) (x1，b) ． ③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈_______)
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
4.5.2用二分法求方程的近似解课件(人教版)
）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数() = 3 + 3 − 1的零点时，第一次经计算(0) <
0，(0.5) > 0，可得其中一个零点0 ∈________，第二次计算________，以上横线
上应填的内容为（ ）.
A.(0，0.5)，(0.25)
B.(0，1)，(0.25)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625
0.001
新知探索
零点所在区间
中点的值
中点函数近似
值
(2,3)
2.5
−0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
0，所以0 ∈ (1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点2 = 1.25，用信息技术算得(1.25) ≈ −0.87.因为
(1.25)(1.5) < 0，所以0 ∈ (1.25,1.5).
同理可得，0 ∈ (1.375,1.5)，0 ∈ (1.375,1.4375).
由于|1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.
间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5) ≈ −0.084.因为(2.5)(3) < 0，所以零
点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75) ≈ 0.512.因为(2.5)(2.75) <
高中数学《用二分法求方程的近似解》教学设计
用二分法求方程的近似解一、内容与内容解析1.内容利用二分法求方程的近似解.2.内容解析对于区间[a,b]上的连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法，这种方法由“区间”端点对应的数，研究“点”对应的具体的数：通过不断缩小“区间”，由“区间”左端点对应的单调递增数列，以及右端点对应的单调递减数列，不断逼近这一系列“区间”组成的区间套中的具体点对应的数.二分法的本质仍然是通过数的运算研究问题.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.从高中数学角度，二分法体现出函数在数学内部的应用.从高等数学角度，二分法所采用的使实数区间向某一个点收敛的方法，是证明有关连续性结论的基本思路.从函数零点与方程的解的关系，到函数零点存在定理，再到利用二分法求方程的近似解，学生经历了一个完整的利用函数研究问题和解决问题的过程.从中不但能体会到函数的工具性，还获得了从个别问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验，这对提高学生分析问题和解决问题能力，培养学生理性精神有一定的帮助.通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，体现了由具体到一般的认知过程；在求方程的近似解的过程中，需要重复计算区间中点，以及中点的函数值，涉及到的较复杂的数据.因此本节课主要发展学生的数学抽象和数据处理核心素养.教学重点：用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.二、目标与目标解析1.目标（1）通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程方面的应用，渗透极限思想.（2）通过总结二分法的实施步骤，使学生经历由具体到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力.（3）根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解，发展数据处理核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志：（1）能够根据函数零点存在定理想到通过一分为二的逐渐缩小零点所在区间的办法，来求方程lnx+2x-6=0的近似解，知道二分法是求方程近似解的常用方法.（2）能够根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.（3）能够借助信息技术，用二分法求具体方程的近似解.三、教学问题诊断分析（1）学生已经学习了零点存在定理，容易想到通过逐渐缩小函数零点所在区间的办法来求方程的近似解，对二分法的理解不存在困难.（2）学生还没有算法的基本思想，对于求近似值的问题也接触较少，因此在总结用二分法求函数零点近似值的一般步骤时，得出步骤3中的“令b=c”、“令a=c”和步骤4中的“若|a-b|<ε，则得到零点的近似值为a或b”可能会有些困难.因此本节课的教学难点为：根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值的一般步骤.破解这个难点的关键是，让学生用自己的语言准确描述求方程lnx+2x-6=0近似解的每一步，理解精确度的含义，搞清楚其中循环的部分，明确循环结束的条件.（3）在利用二分法求方程近似解的过程中，数值计算较为复杂，这对获得给定精确度的近似值增加了困难.因此，本节课的另一个教学难点为：利用二分法求方程在给定精确度下的近似解.要破解这个难点，需要恰当的使用信息工具.四、教学支持条件分析本节课的教学，需要利用GGB软件绘制函数图象，并进行函数值的计算.五、教学过程设计（一）引入问题、探讨方法引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？追问1：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验给出判断，教师补充.预设的答案：学生的回答是否定的，原因是方程lnx+2x-6=0没有求根公式.教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（“精确度为ε”的含义是：“近似值与精确值之差（即误差）不大于ε”）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生思考和回答，教师启发学生说明理由,给出区间的中点的定义.预设的答案：零点在区间（2,3）内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.教师指出：一般地，称为区间(a,b)的中点.追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：由计算工具算得f(2.5)=-0.084，由f(2.5)f(3)<0可知,零点在区间（2.5，3）内，由数轴上2.5和3之间的距离为0.5可知,零点和3之间的距离小于0.5，因此，3可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围。
用二分法求方程的近似解
必备知识·自主学习
1.二分法的概念 (1)二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把它的零点所在区间_一__分__为__二__,使所得区间的两个端点逐步逼近 零点,进而得到零点_近__似__值__的方法叫做二分法. (2)本质:利用零点存在定理,将零点所在的范围尽量缩小,得到符合一定精确度 要求的零点的近似值. (3)应用:求函数的零点、方程的根的近似解.
0.125 0.097 8
0.156 25 0.379 7
0.187 5 0.664 7
根据上述数据,可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确度0.05)不可能为
()
A.0.625
B.0.093 75
C.0.125
D.0.096
2.用二分法求方程2x+3x-7=0在区间[1,3]内的根,取区间的中点为x0=2,那么下 一个有根的区间是________. 【解题导引】1.首先确定零点所在的区间,再根据相关的概念判断所取的零点 是否正确. 2.依据f(1),f(2),f(3)的符号作出判断.
2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 ( )
【解析】选A.只有A中图象与x轴交点两侧的函数值不变号,都是正值,因此不 能用二分法.
3.(教材二次开发:例题改编)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的 函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:
x
1
f(x) -2
2.关于利用方程的根求参数的范围 (1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式,设出两个函数,作出两个 函数的图象,根的个数即为图象交点的个数,利用图象确定参数的范围; (2)解题思维过程:方程解的个数⇒函数交点个数⇒方程根的个数,方法是数形 结合法.
《用二分法求方程的近似解》示范课教案【高中数学】
《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。
用二分法求解方程的近似解ppt课件
（4）判断是否达到精确度 ：若| a b | ，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤（2）~（4）.
例1 借助信息技术，用二分法求方程2x 3x 7 的近似解（精确度为0.1）.
解：
原方程即 2x 3x 7 ，令 f (x) 2x 3x 7 ，用信息技术画出函数 y f (x) 的图象如 图，并列出它的对应值表如下.
f (0.5) 20.53 30.5 3 0 , f (x) 在 (0, 0.5) 内有零点,
f (0.75) 20.753 30.75 3 0 f (x) 在 (0.5, 0.75) 内有零点, 方程 2x3 3x 3 0 根可以是 0.635. 故选：B.
4.用二分法研究函数 f x x3 2x 1的零点时，第一次经计算 f 0 0 ，f 0.5 0 ，
x012345678 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表，可知 f (1) f (2) 0 ，说明该函数在区间(1，2) 内存在零点 x0 . 取区间 (1，2) 的中点 x1 1.5 ，用信息技术算得 f (1.5) 0.33 . 因为 f (1) f (1.5) 0 ，所以 x0 (1，1.5) .
6.已知函数 f (x) 3x x 4 在区间[1, 2] 上存在一个零点，用二分法求该零点的近似 值，其参考数据如下： f (1.6000) 0.200 ， f (1.5875) 0.133 ， f (1.5750) 0.067 ， f (1.5625) 0.003 ， f (1.5562) 0.029 ， f (1.5500) 0.060 ，据此可得该零点的近
结论
可使用二分法：设电线两端分别为A、B,他首先从中点C查,用随身
带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中
§30 二分法求方程的近似解
一、基础知识
1.二分法简介： （1）二分法的作用不仅仅是求方程的近似解； 反之求方程的解也不一定要用二分法. （2）二分法求方程解的优点是： 操作步骤上极具规律性，便于编程， 便于用电脑求方程的近似解. 练习1：二分法简介 ①资料P:128 Ex9 2.精确度为0.1与精确到0.1的区分： 精确度为0.1：是指小数点后第一位. 精确到0.1：是指运算到小数点后第二位， 最后四舍五入.
2.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a)· f(b)<0，且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内 必有惟一的一个零点。 注3：充分条件闭连异 顾名思义存在性 加入单调根唯一 未谈个数具体值
充分条件：有他必成，无他未必不成 必要条件：有他未必成，无他必不成
二、二分法求近似解
使用前提闭连异 定区间 找中点 周而复始何时了
②资料P:71 例1 ③资料P:71 左下 Ex1 试一试 ④资料P:73 左上 Ex3 ⑤资料P:128 Ex1
参课本P:90
操作程序四大步 零点落在异号间 精确度上来判断
练习2：何时能用二分法求解
例1：课本P:88 例1
例2：课本P:90 例2
练习3：二分法求方程的近似解
个人观点：二分法求方程的近似解，要么不考， 就算考也难度不会太大. 因为二分法主要是给电脑用.而高考时，严禁用电脑.
⑥资料P:128 Ex5 ⑦资料P:132 Ex10
作业： 课本P:92 Ex1
预习：1.根的分布 资料P:69 2.函数的实际应用
Ex3
§30 二分法求方程的近似解
一、基础知识 二、二分法求近似解
零点存在（堪根）定理
注1：区间（a,b）称对应方程的一个隔根区间.
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13
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1
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点(zero point).
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
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2
求下列函数的零点
(1) f ( x ) x 1
(2) f (x) x2 2x 3
尽量缩小,那么在一定精确度的要
-6
求下,我们可以得到零点的近似值.
-8
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6
一般地,我们把 x a b 称为区间(a,b)的中点. 2
区间
(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.2625) (2.53125,2.546875) (2.53125,2.5390625)
12
用二分法求解方程的近似解：
1、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
(1) 若0,则c就是函数的零点
(2) 若f(a). f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))
(3) 若f(a).f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点
的近似值a(或b)；否则得编复辑pp2t ～4
8
探究
为什么由|a-b|< ε, 便可判断零点的 的似值为a(或b)?
编辑ppt
9
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x7的近似解（精确到0.1）
解：原方程即 2x 3x7,令 f(x)2x3x7，
用计算器或计算机作出函数 f(x)2x3x7对应值
表与图象（如下):
x
01234 5 6 7
f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142
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10
4 3x -3 7
-2
01 2
-1
4
-2
-3
-4
-5 -6
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6
8
1
11
区间
1、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点
(2) 若f(a).f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))
(3) 若f(a).f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))
(1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.375,1.4375)
中点的值
1.5 1.25 1.375 1.4375
中点函数近似值
0.33 -0.87 -0.28 0.02
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 所以原方程近似解为1.4375。
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中点的值
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625
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中点函数近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001
7
二分法
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数 y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似 值的方法叫二分法。
(3) f (x) 2 x 4
( 4 ) f ( x ) log 2 x 8
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3
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就 是方程f(x)=0的根.
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4
一元二次方程可以用公式求根,但没有公 式来求Inx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相 应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来
求它的根呢？
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5
例如 求解方程lnx+2x-6=0.
8
6
f(x) = ln x + 2x -6
4
2
-5
0 23 5
10
15
-2
-4
想法:如果能够将零点所在的范围