自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

----------2007--------------------

一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。

解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*

t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。

解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。

3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。

解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。

4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 )

5.0)(1()(2+--=

z z z z

z X

解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此，

211x()lim(1)X()lim

20.5

z z z

z z z z →→∞=-==-+。

5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 )

2)(1(1

e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h

解：11

1

1211

11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++

6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下：

)k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。

试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。

解：

22

()6()8()()

()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1

(){2324},0

6

k k z C z C z C z R z z z z z

C z z z z z z z c k k -+===-+--+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制()

D z K =，

其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。 注意，这里的数字控制器D (z )就是上课时的()c G z 。

(i X s )

z 图1

1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数

()

()

o i X z X z ； 2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。

解：1.

1011

1

1

11

1()(1)(1)11(1)1(1)()1e 11e 1e G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e z -------??

=-??

+????=--??+??

=-----=---=

-

1

101

011111111e ()

()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o

i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------==-++--=-+--=-+- 2．（5分）特征方程为 1

1

e e

0z K K ---+-=

特征根为1

1

e e z K K --=-+ 欲使系统稳定，需满足条件 11

e e 1z K K --=-+<

则使系统稳定的K 值范围为0 2.16K <<

三、(8分)设数字控制系统的框图如下

已知)

0067.01)(6065.01)(1()

5355.01)(4815.11(7385.0)(1

11111---------++=z z z z z z z G ，T = 0.5秒，设计响应单位阶跃输入信号时的最少拍系统(要求给出Gc (z )及C (z )、E (z) )。

解：选取11()(1)(1b )e z z z Φ--=-+、11

()(11.4815)z az z Φ--=+；

(z)1()0.403,0.597e z a b ΦΦ=-?== （4分）

1111

()0.5457(10.6065)(10.0067)

()()()(10.597)(10.05355)

c e z z z G z G z z z z ΦΦ------==++； 111

1

()()()0.403(11.4815)1C z z R z z z z Φ---==+-； 111

1

()()()(1)(10.597)

1e E

z z R z z z z

Φ---==-+- （4分） R (z C (z )

2007补考

一、求解下列问题：

1．(3分) 简述离散系统与连续系统的主要区别。

解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。

2．(3分) 简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。

解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。

3．(3分) 简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。

4．(5分) 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。

解： 2

2522510252510()[][]25e e (e e )e

T T T T T

z z z G z Z Z s s z z z z -----=?==++---++ 5．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下：

0)(2)1(3)2(=++++k c k c k c ，c(0)=0，c(1)=1。

试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。

解：

221

11

2

()3()2()()32

()(1)(2),0

2

1k k k

k

z z z

z C z zC z C z z C z z z z z z z c k k z z --=-=-++=?=++=

+

=---≥++

二、（10分）已知系统结构如下图所示

采样周期T = 0.25秒，0.5e ()s K G s s -=，1e ()Ts

h G s s

--=， r (t )=t 。

1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数；

2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。

解： 2.52 2.5 2.52(1e )0.393()(1e )e 1.6070.607

T T T K z K z

G z z z z z ----==

-++-+； 闭环脉冲传递函数为： ()

()1()

G z z G z Φ=+；

闭环特征方程为：

0607.0)607.1393.0(2=+-+z K z ；

)

稳定条件：

D (1) = 0.393 K > 0；(-1)2D (-1) =3.214 - 0.393K > 0； 得到

0 < K < 8.178。

三、(8分)设数字控制系统的框图如下:

已知)

6.01)(1()

53.01(47.0)(1111------+=z z z z z G ，T = 0.5秒，设计响应斜坡输入信号

r (t ) = t 时的最少拍系统(要求给出Gc (z )及C (z )、E (z) )。

解：选取12()(1)e z z Φ-=-、12()2z z z Φ--=-；2

11)1/()(---=z z z R

1111

()2(10.6)(1-0.5)

()()()0.74(10.53)(1)

c e z z z G z G z z z z ΦΦ-----==+-； 2112

2(10.5)

()()()(1)

z z C z z R z z Φ----==-； 1()()()e E z z R z z Φ-==

——————————————2008——————————————

一、

2．(3分) 写出脉冲序列*()x t 及其Z 变换X (z )的表达式。 解：

*

00

()()()

()()n n

n x t x nT t nT X z x nT z δ∞

=∞

-==-=∑∑

3．(3分) 写出离散系统稳态位置误差、速度误差、加速度误差系数表达式。 解：1

lim[1()]p z K G z →=+ (1分)

1

lim(1)()v z K z G z →=- (1分)

21

lim(1)()a z K z G z →=- (1分)

4．(3分) 写出输出采样信号的Z 变换C (z )。

解：()

()1()

G z C z R z HG z =

+() (3分)

R (z C (z )

7．(5分) 已知)(t x 的拉氏变换为)

()(a s s a

s X +=, 求)(t x 的Z 变换。

解：

11()11(1e )

()[][]1e (1)(e )

aT

aT aT X s s s a

z z z X z Z Z s s a z z z z ---=-

+-=-=-=

+---- (5分) 8．(5分) 已知差分方程、初始状态及输入，试用Z 变换法计算输出序列c (k )。

(2)5(1)6()()c k c k c k r k +-++=；(0)(1)0c c ==；()1(),0r k k k =>。

解：2()5()6()()z C z zC z C z R z -+=，()1

z

R z z =

- 2()(1)(56)(1)(2)(3)2(1)(2)2(3)

11()230

22

k k z z z z z

C z z z z z z z z z z c k k =

==-+

--+------=-+?≥ (5分)

二．（9分）设离散系统的方框图如下图所示，设采样周期T =0.1s ，368.0e 1=-。

?()

R s T

-

1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数； 2．（4分）试判断系统稳定的K 值范围。 1.系统的开环传递函数为

1010102

2

101

1()(10.1)(10)10(1e )1e (1)(e )0.6321.3680.368()0.632()1()(0.632 1.368)0.368

T T T

K G z Z KZ K s s s s s s z z Kz K z z z z Kz z z G z Kz

z G z z K z Φ---??????===-??????+++??????

-??

=-=??----??=-+==++-+ 2．闭环系统的特征方程为：2()(0.632 1.368)0.3680D z z K z =+-+= （1分） 方法一：1

1

w z w +=

-，w 域特征方程为： 20.632 1.264(2.7360.632)0Kw w K ++-=

列出劳斯表：

210

0.632 2.7360.6321.2642.7360.632w K K

w w K

--

欲使系统稳定K 需满足：0.63200 4.332.7360.6320

K K K >?

?<?

（3分）

方法二：利用朱利稳定判据判断：

0.3681(1)0.63200 4.33(1) 2.7360.6320D K K D K ?

=>?<

?-=->? （3分）

三．(8分) 设数字控制系统的框图如下

?

()

R z -

已知1111110.761(10.046)(1 1.134)()(1)(10.135)(10.183)

z z z G z z z z ------++=---，T = 1秒， 设计()1()r t t =时的

最少拍系统（要求给出数字控制器()c G z 及相应的C (z )、E (z ) )。 解：解：()G z 含有不稳定的零点，选取闭环脉冲传递函数为

11()(1)(1)e z z az Φ--=-+；11()(1 1.134)z bz z Φ--=+；1

1

()1R z z -=- （5分） 由()1()e z z ΦΦ=-解得0.53a =，0.47b =

1111111

1

()0.618(10.135)(10.183)

()()(10.046)(10.53)

0.47(1 1.134)

()()()1()()()10.5)3(e e c z z z G z z z z z z C z z R z z E z z z G R z z ΦΦΦΦ----------==

+++==

-==+

2010年

一、(25分)求解下列问题：

1．(3分)如图所示，写出f *( t)的数学表达式（ ）

*()()()o o n f t f nT t

nT δ∞

=-∞

=

-∑

T

2．(3分)在使用脉冲传递函数分析系统的动态响应和稳态误差时， 该系统应是（ B ）

A 输入等于零

B 初始状态等于零

C 输入和初始状态都等于零

D 输入和初始状态都不等于零

5．(3分)已知x (t )的拉氏变换为X (s ) = 2 / [ s (s + 2)]，则x (t )的

Z 变换X(z)为（ ）。

解：

)e )(1()e 1(e

1211)(222T T -T z z z z z z z s s Z z X -----=---=??????+-=。 6．(5分) 试用Z 变换法求解下列差分方程：

)()(8)(6)2(t r t c T t c T t c ****=++-+，)(1)(t t r =，)0(0)(≤=*t t c

解：)()(8)1(6)2(k r k c k c k c =++-+，0)1()0(==c c ；

2()(1)(2)(4)3(1)2(2)6(4)z z z z C z z z z z z z ==-+------；

1

()(2324)6

n n c nT =-?+，0≥n 。

7. (5分)试求下图所示闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ

解：11213()

()1()()()

G z z G G z G z G z Φ=

++

二（10分）设离散系统如图所示，要求: 1(3分)计算系统闭环脉冲传递函数。 2(3分)确定闭环系统稳定的K 值范围。

3(4分)设1T s =，t t r =)(时，若要求其稳态误差)(∞e ≤0.1，该系统能否稳 定工作？

解：1 （3分）开环脉冲传递函数为 11

22()[

](1)(1)(1)1

K Tz KT G z Z z K z s z z --=-=-=--； （1分） 闭环脉冲传递函数为

()()1()1G z KT

z G z z KT

Φ=

=+-+； （2分）

2 （3分）

特征方程 ()101D z z KT z KT =-+=?=-； （1分） 稳定时02/K T <<。 （2分） 3 （4分）

1

l i m (1)(),

()/1/0.110v z v K z G z K T e T K K K →=-=∞==≤?

≥ （2分）

不满足稳定条件，不能稳定工作。 （2分） 三、离散系统如图所示，其中采样周期s T 1=，连续部分传递函数

)

1(1

)(+=

s s s G ，试求当)(1)(t t r =时，系统无稳态误差、过渡过程在最

少拍内结束的数字控制器()c G z 。

解

（1）系统的开环脉冲传递函数为

|1

1()(1)1(e T T z z G z Z s s z z -=????

==-????+--????1110.632(1)(10.368)z z z ---=--（3分）

（2）当()1()r t t =时，[]1

1

1()11z Z t z z

-=

=--。则 取1

()1e z z Φ-=-（满足稳态误差要求）（4分）

1()1()e z z z ΦΦ-=-=（抵消延迟环节）（4分）

（3）数字控制器脉冲传递函数为：

1

1()10.36(8 1.5820.582()()0.32

)6e c G z z z z G z z ΦΦ---===-（4分）

2011换

一、(25分)求解下列问题：

1．(5分) 试确定下列函数的终值)

1.0)(8.0()(2

--=z z z z E 。

解：0)

1.0)(8.0()1(lim

)(lim 2

11=---=-→∞→z z z z t e z t 2．(5分) 已知x (t )的拉氏变换为)

5)(2(10

)s (X ++=s s ，求x (t )的Z 变换。

解：

]5

1

21[310])5)(2(10[

)(+-+=++=s s Z s s Z z G

252251010(e e )()3(e e )e T T T T T

z

G z z z ------=-++。

3．(6分) 已知系统差分方程、初始状态如下：

0)(6)1(11)2(6)3(=++++++k c k c k c k c ，1)1()0(==c c ，0)2(=c 。

试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解：

)

3(2527)1(211)3)(2)(1(177)(23+++-+=+++++=z z

z z z z z z z z z z z C

n n nT c )3(5.2)2(7)1(5.5)(n -?+-?--=

4．(3分)在使用脉冲传递函数分析系统的动态响应和稳态误差时， 该系统应是（ B ）

A 输入等于零

B 初始状态等于零

C 输入和初始状态都等于零

D 输入和初始状态都不等于零

6．(3分)写出输出采样信号的Z 变换C (z )。

解：()

()1()

G z C R z HG z =

+(z)

二、（10分）设离散系统如图所示，其中1T s =，试分别讨论当K=2和K=3时 系统的稳定性。（368.0e 1=-）

解：

11

22

1

1

1111()[

](1)(1)[](1)1

(e 12e )(1)(e )

K G z Z z K z Z s s s s s K z z z -----=-=---+++-=

-- （3分）

2()(0.37 1.37)0.260.370D z z K z K =+-++= （3分）

解得0

故K =2时系统稳定，K =3时系统不稳定。 （2分） 三、(10分) 设数字控制系统的框图如下:

已知)

6.01)(1()

53.01(47.0)(1

111------+=z z z z z G ，T = 0.5秒，设计响应斜坡输入信号 r (t ) = t 时的最少拍系统(要求给出Gc (z )及C (z )、E (z) )。

解：选取12()(1)e z z Φ-=-、12

()2z z z Φ--=-；

211)1/()(---=z z z R （3分）

1111

()2(10.6)(1-0.5)

()()()0.74(10.53)(1)

e z z z Gc z G z z z z ΦΦ-----==+-；（3分） 2112

2(10.5)

()()()(1)

z z C z z R z z Φ----==-；（2分） 1()()()e E z z R z z Φ-== （2分）

R (z C (z )