高中数学高考综合复习对称性
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高中数学高考综合复习
专题六函数奇偶性的认知与延伸
纵观中学数学的函数体系,函数象一棵长青的大树:函数的概念是“根”,函数的性质是“干”,函数的重要命题以及基本函数则是树干上生出的主要枝杈.其中,奇函数与偶函数作为对偶范畴,它们一方面相互对立,另一方面又相互依存,相互联系和相互贯通。
注意到奇函数与偶函数“本是同根生”亲缘关系,由偶函数性质引出的命题,与由奇函数性质引出的相应的命题,在具有鲜明个性的同时,又会“具有惊人的相似之处”。
认知函数奇偶性的本质,揭示函数图象的对称性与函数之间的联系,审题时便会目光犀利,入骨三分;解题时自然转换灵活,得心应手。
一、关于偶函数性质的认知与延伸
1、原型:函数f(χ)为偶函数函数f(χ)的图像关于y轴对称.
即对函数f(χ)定义域内每一个χ都有f(–χ) =f(χ)
函数y= f(χ)的图象关于直线χ=0对称
认知:函数关系式与对称轴方程之间的联系
(1)几何角度:数轴上χ与–χ的对应点关于点χ=0对称.
(2)代数角度:
关系式:f(–χ) =f(χ),即f(0–χ) =f(0+χ)
对称轴:x=0
2、延伸
(1)延伸之一:函数图象自身关于直线χ=a对称
我们由上述对对称轴χ=0展开联想:直线χ=0可视为直线χ=a的特例.此时,以“χ=a”替代“χ=0”,进而分别以a替代上述等式中的0(f(–χ) =f(χ)即f(0–χ) =f(0+χ)),便得出作为原型之引申的结论1.
把握住函数关系式与对称轴方程之间的这一联系,如下结论便应运而生.
我们不难证明上述结论正确,上述三个函数图象自身关于直线χ=a对称的结论彼此等价,这为我们解决相关问题时灵活转换,巧妙变通提供了理论的支持.
(2)延伸二:两个函数图象关于直线χ=λ对称.
“一分为二”与“合二为一”是辩证的统一.不论是字面理解还是哲学意义,“一分为二”与“合二为一”都是既相互对立,又相互依存、相互联系和相互贯通的,注意到上述函数关系ƒ(–χ) =ƒ(χ)等均是两个不同函数“合二为一”的产物,于是循着“合二为一” 与“一分为二”的辩证关系,考察各个恒等式两边分别对应的一对函数之间的联系,寻出关于函数图象对称性的另一类结论.
(ⅰ)原型:函数y=ƒ(χ)与y=ƒ(–χ)的图象关于直线χ=0对称
探究:寻觅上述两个函数与它们图象的对称轴之间的联系,在“合二为一”的形式之下,我们考察的是两式相加,其和与对称轴的联系.循着对立联想的思路,如今在“一分为二”之后,首先想到考察相同位置的两式相减,其差与对称轴之间的联系:
(ⅱ)延伸
循着延伸之一中结论的顺序,它们各自繁衍出新的不同结论.
结论1:
结论2:
结论3:
结论4:
例1.设f(χ)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线χ=2对称,已知当χ∈[-2,2]时,f(χ)=-χ2+1,求当χ∈[-6,-2]时的f(χ)的解析式.
解:从进一步认知f(χ)的性质切入,由函数f(χ)的图象关于直线χ=2对称知,
对任意χ∈R都有f(-χ)= f(χ+4)(为便于与“f(χ)为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择)又f(χ) 为偶函数f(-χ) =f(χ)
∴由以上两式得f(χ+4) =f(χ)①
∴f(χ)为周期函数且4是f(χ)的一个周期.
而当χ∈[-6,-2]时4+χ∈[-2,2]
∴由已知条件得f(4+χ) =-(χ+4)2+1②
于是由①,②得f(χ) =-(χ+4)2+1,
即当χ∈[-6,-2]时,f(χ)= -χ2-8χ-15
例2.设f(χ)是定义在R上的偶函数,且f(χ+3) =1-f(χ),又当χ∈(0,1]时,f(χ)=2χ,求f(17.5)的值.
解:从进一步认知f(χ)的性质切入.
∵f(χ+3)=1- f(χ)①
∴注意到χ的任意性,在①中以-χ替代χ得
f(-χ+3)=1- f(-χ)②
又f(χ)为偶函数f(-χ)= f(χ)③
∴由①、②、③得f(3-χ)= f(3+χ)
f(χ)图象关于直线χ=3对称
f(-χ)= f(6+χ)④
∴由③、④得f(χ+6)= f(χ)
即f(χ)是以6为周期的周期函数.
于是有f(17.5)=f(17.5-3×6)=f(-0.5)=f(0.5)⑤
再注意到当x(0,1]时,f(x)=2x,
∴由⑤得f(17.5)=f(0.5)=2×0.5=1
例3.设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且a R)
(1)求f(x);
(2)是否存在a[2,6]或a(6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:
(1)设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点,则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).
∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称.
∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.
由此得f(x)=g(2-x)
(利用引申之二的命题易得这一结果:y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称)
设x[-1,0],则2-x[2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3
又f(x)为偶函数f(-x)=f(x),x[-1,1].
∴当x[0,1]时,f(x)=2ax-4 x3
(2)注意到f(x)为偶函数,只须研究f(x)在[0,1]上的最大值.
(ⅰ)当a(2,6]时,由0x1得a-2x2>0,
f(x)=2x(a-2 x2)= ≤=
(当且仅当4=a-2,即x=[0,1]时等号成立).
由题意知,f(x)的最大值为12,令=12得=486>,
∴a>6,这与a(2,6]矛盾,故此时满足条件的a不存在.
(ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1-)
同理可证f(x)= (当且仅当2=1-,即x=时等号成立),也与已知矛盾.
(ⅲ)当a>6时,设0,则
f()-f()=2a(-)-4(-)
=2(-)[a-2(++)]
由题设0<++<3,a>6
∴a-2(++)>0
又-<0
∴f()-f()<0即f() ∴f(x)在[0,1]上为增函数. ∴此时=f(1)=2a-4. 令2a-4=12,解得a=8(6,+∞),适合题意. 因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在a=8(6,+∞),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上.