排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)

排列组合问题专项讲义

知识点+例题+练习题+详细解析

基本知识框架：

加法原理

排列数 排列数公式

综合应用

乘法原理 组合数 组合数公式

一、基本概念：

乘法原理：

一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：

N ＝a ×b ×…×x

种不同的方法。

加法原理：

一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：

N ＝a ＋b ＋…＋x

种不同的方法。

排列、排列数

一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。记做m

n A 。 m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)

组合、组合数

一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。记座m

n C 。 m n

C ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略

1、特殊元素优先排列

2、合理分步与准确分类

3、排列、组合混合问题先选后排

4、正难则反，等价转化

5、相邻问题捆绑法

6、不相邻问题插空法

7、定序问题除法处理

8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部

10、构造模型 11、树形图

三、排列组合例题

1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？

2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？

3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？

4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？

5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？

6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？

7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？

8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？

9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？

10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？

11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？

四、应用排列组合解决计数问题

1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？

方法一

解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有

3

7C ＝35（个）

两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有

27C ×1

5C ＝105（个）

一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有

17C ×2

5C ＝70（个）

由加法原理得：

35＋105＋70＝210（个）

答：略

方法二（排除法）

解：312C －3

5C ＝220－10＝210（个）

答：略

2、如下图，问：

①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G

②下右图中，共有多少个角？

解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是

一个组合问题，图中共有7点，所以：

2

7C ＝21

共有21条线段。

②图中任何两条射线都可以组成一个角，这是

一个组合问题，图中共有7条射线，所以：

2

7C ＝21

共有21个角。

3、如图，图中有多少个长方形（正方形）？

分析：由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，

因此只要看图中水平方向的所有平行线中，可以

选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平行线中，

可以选出机组两条平行线？

解：25C ×2

7C ＝210（个）

因此，图中共有210个长方形（正方形）。

4、如图，图中有多少个长方体（正方体）？

分析：由于长方体是由三组分别平行的平面组成的，

因此，只要看图中，平行于长方体上面的所有平面中，

可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右

面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，

平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两个

互相平行的平面。

解：25C ×26C ×2

4C ＝900（个）

因此，图中共有900个长方体（正方体）。

5、如右图，在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在

同一条直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，

问：总共能作多少个三角形？

解：（排除法）

五点共线的有4组，四点共线的有9组，三点共线的

有8组，所以：

320C －833C －435C －93

4C

＝1056（个）

答：略