排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)

排列组合问题专项讲义
知识点+例题+练习题+详细解析
基本知识框架：
加法原理
排列数 排列数公式
综合应用
乘法原理 组合数 组合数公式
一、基本概念：
乘法原理：
一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：
N ＝a ×b ×…×x
种不同的方法。

加法原理：
一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：
N ＝a ＋b ＋…＋x
种不同的方法。

排列、排列数
一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

记做m
n A 。

m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)
组合、组合数
一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。

记座m
n C 。

m n
C ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略
1、特殊元素优先排列
2、合理分步与准确分类
3、排列、组合混合问题先选后排
4、正难则反，等价转化
5、相邻问题捆绑法
6、不相邻问题插空法
7、定序问题除法处理
8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部
10、构造模型 11、树形图
三、排列组合例题
1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？
2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？
3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？
4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？
5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？
6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？
7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？
8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？
9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？
10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？
11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？
四、应用排列组合解决计数问题
1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？
方法一
解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有
3
7C ＝35（个）
两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有
27C ×1
5C ＝105（个）
一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有
17C ×2
5C ＝70（个）
由加法原理得：
35＋105＋70＝210（个）
答：略
方法二（排除法）
解：312C －3
5C ＝220－10＝210（个）
答：略
2、如下图，问：
①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G
②下右图中，共有多少个角？
解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是
一个组合问题，图中共有7点，所以：
2
7C ＝21
共有21条线段。

②图中任何两条射线都可以组成一个角，这是
一个组合问题，图中共有7条射线，所以：
2
7C ＝21
共有21个角。

3、如图，图中有多少个长方形（正方形）？
分析：由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，
因此只要看图中水平方向的所有平行线中，可以
选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平行线中，
可以选出机组两条平行线？
解：25C ×2
7C ＝210（个）
因此，图中共有210个长方形（正方形）。

4、如图，图中有多少个长方体（正方体）？
分析：由于长方体是由三组分别平行的平面组成的，
因此，只要看图中，平行于长方体上面的所有平面中，
可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右
面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，
平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两个
互相平行的平面。

解：25C ×26C ×2
4C ＝900（个）
因此，图中共有900个长方体（正方体）。

5、如右图，在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在
同一条直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，
问：总共能作多少个三角形？
解：（排除法）
五点共线的有4组，四点共线的有9组，三点共线的
有8组，所以：
320C －833C －435C －93
4C
＝1056（个）
答：略
五、排列组合综合应用
1.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.
2.现有五元人民币2张，十元人民币8张，一百元人民币3张，用这些人民币可以组成多少种不同的币值？
3.从6个人中选3人去开会，并选其中一人为组长，那么有多少中选法？
4.从5种菜籽中选出4种分别种在4块不同土质的土地上，共有多少种不同的种植方法？
5.四个好朋友去看话剧，剧院共有3个入口，他们进入剧院共有多少中走法？
6.甲乙二人在象棋比赛中赛了3盘，试列出所有可能的结果。

7.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的偶数？
8.8人站成前后两排，每排4人，其中某两人要站在前两排，某一人要站在后排，有多少种不同的排法？
9.有5个不同编号的红球，7个不同编号的白球，从中选出5个，使红球比白球少的选法有多少种？
10.从1、3、5中任选两个数字，从0、2、4中任选两个数字，共可以组成多少个没有重复数字的四位数？
解答
2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，
画树形图：
由图可见共有14种可能.
甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.
5.五点共线有4组，四点共线的有9组，三点共线的有8组，利用排除法：
C320-4C35-9C34-8C33
=1140-4×10-9×4-8
=1056.
6.因为任一张人民币的币值都大于所有币值比它小的人民币的币值的和，例如1角的大于1分、2分、5分的和，因此不论取多少张，它们组成的币值都不重复，所以组成的币值与组合总数一致，有C110+C210+……+C1010=210-1=1023种.
因为由这些人民币能组成的最小的币值是1分，最大的币值是十张币值的和，即1888分，而1023＜1888，可见从1分到1888分中间有一些币值不能组成.
8. 200种
第一个盒子中的每一张卡片都可以与第二个盒子中的十张卡片组成 20种加法式子（包括被加数与加数交换位置，例如将 1＋11与11＋1看成为两个加法式子），而第一个盒子中共有十张卡片，则由乘法原理，共10×20＝200种不同的加法式子。

9. 27种
每束花共有3只，分别取自不同的篮子，每只篮子中都有三种不同的花，即从每只篮子中取出的花都有3种可能，由乘法原理，可以扎成3 × 3 × 3＝ 27种不同的花束。

10. 75种。

由2张五元的人民币和8张十元的人民币可以组成：5，10，15，...，90共18种币值.这与18张五元人民币所能组成的币值相当，故我们将2张五元和8张十元的人民币就当成18张五元的人民币，这18张五元币与3张百元币所组成的币值取决于这两种人民币的不同搭配对于五元币可以有0，l，2， (18)
19种取法，而对于百元币可以有0，l，2，3共4种取法，由乘法原理，则应有19×4＝76种搭配方法；再从其中除去五元币和百元币都不取的一种情形，则共有75种组合币值。

11. 9种
在山北坡有2条路，山南坡共有1＋1×2＝3条路；在山西坡共有2×2＝4条路；由加法原理，登上山顶共有2＋3＋4＝9条不同的道路。