粘流-3-基本方程-运动学

粘性流体力学
Viscous Fluid Dynamics
第二章 粘性流体的基本方程
2.1 概述 2.2 运动学方程
2.3 本构方程
2.4 动力学方程 2.5 N－S方程 2.6 量纲分析
这里仅讨论 牛顿流体
牛顿流体的基本 方程即N－S方程
本构方程的建立 是讨论的重点
2
概述
流体的运动是超静定问题
超静定问题的求解途径是什么
平动 变形 转动
(translation)(deformation) (rotation)
9

P ζ
问题9？
2.2 运动学方程
变形率张量 (strain rate tensor)
Sij

1

uj
2

xi

ui x j

S 1 u uT
2

u1
V~t0
Eulerian法（控制体）
(control volume) V
u1t
x2
既代表固定空间域，
又代表体积
V
5
x1
V~t
u2 t
x1
2.2 运动学方程
(convective derivative)
2。随体导数（物质导数）
(material derivative) 将Lagrange随体导
P
ux ux x , y , z
uj uj xi uy uy x , y , z
P点
uz uz x , y , z
dxi (dr)
uj Q－uj P u

duj

dxi
uj xi
u
uj xi

Aij
u j xi

1

u j
2

xi

ui


1

u j
x j

2

xi

ui

x j

Sij＋ij
二阶张量的 分解定理
8
2.2 运动学方程
u j dxiSij dxiΩij u dr S dr Ω
dus du
ijk jk ui i
可证得
1
ij 2 ijk k ijk k
dxiΩij dxi ijk k jki k dxi
u dr S ζ dr
1
k 2 k
变形
转动
dl
ζ
duζ
Helmholtz 速度分解定理
Q
(Helmholtz theorem)
dr
uQ uP dr S ζ dr
dr
大小与方向与坐标系无关
14
2.2 运动学方程
问题（questions）
• 理想气体的状态方程是物性方程吗？
• 如流量属L氏表示法还是E氏表示法？
• 流体微団的相对运动由哪两种基本运动构成？
•
k

2 k
kij
uj xi
是转动的度量，
Sij

1 2

uj xi

ui xj

ui t
uj
ui x j
d u
dt t
du u u u
u u u
dt t
t
6
2.2 运动学方程
质点系的随体导数 ——雷诺输运定理
(Reynolds transport theorem)
d dt
V
dV

t
V
三要素
运动学（几何） 运动学方程
动力学（平衡） 守恒方程 非张 介质特性（物理） 物性方程 量式

ai＝
dui dt

Fi mai

qi

k
T xi
du
dy
a＝ du dt
F ma
q kT p RT
热传导方程
气体状态方程
3
2.1 概述
运动学方程
1. 观察运动的两种方法
u1 x1

u2 x2

u3 x3
u1 1 Ddx1
x1 dx1 Dt
1 Ddx1 1 Ddx2 1 Ddx3
dx1 Dt dx2 Dt dx3 Dt 单位时间单位

1
Ddx1dx2dx3
体积的改变,
dx1 dx2 dx 3
Dt
tr(S) u

是什么运动的度量 ？
•
S12

u2 x1

u2 x1
是张量分量吗？
• 不可压流体中，速度散度等于多少？
15
直角改变 的一半
的转角


u1 x2
dx2
dx2
＝
u1 x2
Q2
dx2
P
Q2

Fra Baidu bibliotekdx1


u2 x1
dx1
dx1

u2 x1
Q1
12




u1 x2

u2 x1
Q1
12
2.2 运动学方程
体积变形率 (bulk srtain rate )
Sii

ui xi

单位时间单位长度 线段的改变，即单 位时间的线应变
tP
11
dx1 Q
D dx1


dx1

u1 x1
dx1dt
Dt
dt
dx1

u1 x1
dx1
2.2 运动学方程
变形率的几何意义
单位时间
角变率
单位时间
S12

1 2

u2 x1

u1 x2

1
2 12
dV

S
u

ndS
S
d
dt
~
~ dV
V

t
dV
V
S u j n jdS
n u
单位体积物理量，可为任意阶张量
7
~ V V
2.2 运动学方程
3。微团的运动学方程 (kinematic formula)
体积微小的流团，团内两点的增 量可用微分代替
Q
(infinitesimal fluid element)
流速散度
变形率张量的迹
不可压流体 u 0
13
2.2 运动学方程
涡量及意义 (vorticity )
dl
ζ
Q

P
duζ
角转速
1 ζ u
1
(angular velocity )
2
2
duζ ζ dr
duζ dl ζ ζ dr sin
ζ
涡量 ω u 2ζ 无旋流 0 （速度旋度）
质点的随体导数
数转为Euler形式
ui p T kl ... xi t , t
d
dt

t
dxi
dt xi

t uj xj
d u •
dt t
d
dt t uj x j
dui dt
x2
P
P
Lagrangian法（质点法）
(Lagrangian description) (particle description)
xi t , t
空间坐标的表示法
r xi x , y , z
Eulerian法（流场法）
~r t0
O
~r t
x1
ui p T kl ...
x1
1 2

u2 x1

u1 x2

Sij

u2 x2


对称
(linear srtain rate )
Sii 线变率
Sij i j
1 2

u3 x1

u1 x3


1 2

u3 x2

u2 x3
x2 ut1 P
ut2
r
(Eulerian description) (field description)
xi , t
O
x1
4
2.2 运动学方程
Lagrangian法（系统）
(material volume) V~t
x2
既代表随时间变化的 质点系，又代表质点 系体积



单位时 间变形
u3
x3
(shear strain rate )
大小与坐标

系有关，在 特征向量坐
标系中，无
角变率
角变率
10
2.2 运动学方程
变形率的几何意义
线变率
u1 1 Ddx1
x1 dx1 Dt
t Dt
P
dx1

u1 x1
dx1dt
Q
随体导数