高等半导体物理参考答案
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习题参考答案
第一章
1）
求基函数为一般平面波、哈密顿量为自由电子系统的哈密顿量时，矩阵元1ˆ1H
和2ˆ1H 的值。 解：令r
k i e
V
⋅=
111，r k i e V
⋅=212，222ˆ∇-=m H
，有： m k r d e e mV k r d e V
m e V H r k i V r k i r k i V r k i 221)2(11ˆ121202122201111 =⋅=∇-=⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰021)2(12ˆ121210222220=⋅=∇-=⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰r d e e mV k r d e V
m e V H r k i V r k i r k i V r k i
2）
证明)2(πNa
l k =，)2(πNa l k '
='，l '和l 均为整数。
证：由Bloch 定理可得：
)()(r e R r n
R ik n ψψ⋅=+
考虑一维情况，由周期性边界条件，可得：
π
πψψψ221
)()()(Na
l
k l Na k e r e r Na r Na ik Na ik =⇒=⋅⇒=⇒==+⇒⋅⋅ 同理可证)2(πNa
l k '
=
'。
3）
在近自由电子近似下，由
022122ˆ11ˆ1=--E H H
H
E H
推导出0)()(002
1=--εεεεk n n k V V 。 解：令r k i e V
⋅=
111，r k i e V ⋅=212， V r V V m V V r V m r V m H -++∇-=-++∇-=+∇-=)(2)(2)(2ˆ22
2222
V m V
k V V V m V k r d e V e V
r d e r V e V V m V k r d e V
V r V V m e V H r k i V r k i r k i V r k i r k i V
r k i +=-++=-++=-++∇-=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰⎰2)2(1)(1)2(1])(2[11ˆ121221200212220111111
令V mV
k k +=
22
1201
ε，即有01
1ˆ1k H ε=。 同理有：
02
2ˆ2k H ε=。 n
r k i V r k i r k i V
r k i V r d e r V e V r d e V
r V m e V H =+=+∇-=⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰
2121)(101)](2[12ˆ10
220
其中r d e
r V e
V
V r
k i V
r
k i n
⋅⋅-⎰
=21)(10
，是周期场V(x)的第n 个傅立叶系数。
同理，n
V H =1ˆ2。 于是有：
0)
()(0021=--εεεεk n n
k V V 。
4）证明当m
R k i m e N a
⋅=1时，)()(m n R m n R r a r m
-=∑φψ具有bloch 波函数的形式。 证：将m
R k i m e
N
a ⋅=
1代入)()(m n R m n R r a r m
-=∑φψ，有： )(1)(m n R R k i n R r e N r m
m
-=∑⋅φψ
要证明)(r n
ψ具有bloch 波函数的形式，只要证明
)()(r e R r n R k i n n n
ψψ⋅=+即可。因为：
)]([1)(1)()(n m n R R R k i R k i m n n R R k i n n R R r e N e R R r e N R r m
n
m n m
m
--=-+=+∑∑-⋅⋅⋅φφψ 令n m l R R R
-=，即有：
)(1)(l n R R R k i R k i n n R r e
N
e
R r n
l l
n
-=+∑
+⋅⋅φψ，
由于求和遍及所有格点，有：
)(1)(1l n R R k i l n R R R k i R r e N R r e N l
l
n
l l
-=-∑∑
⋅+⋅φφ，
于是有：
)()(1)(r e R r e N e R r n R k i l n R R k i R k i n n n l
l
n
ψφψ⋅⋅⋅=-=+∑，证毕。
5)写出用紧束缚近似LCAO 方法求解硅材料能带的思路，计算)(2k g
。
解：取如右图的坐标系，坐标系原点位置原子的最近邻原子坐标
为：
考虑
令⎰-=r d r H r r r H S j y j yS )()(4)(*ϕϕ，
绕x 轴转π，31r r →，**y y ϕϕ-→；绕y 轴转π，41r r
→，**y y ϕϕ→；绕z 轴转π，21r r
→，*
*y y ϕϕ-→ 也即 )()()()(4321r H r H r H r H yS yS yS yS
=-=-=，于是有
{}
)
()(}
2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin ){()}
(2
sin 2cos 2)(2
cos 2
sin
2{4
)()}
22sin(2)2
2sin(2{4)()]}
(2
exp[)](2
exp[)](2
exp[)](2
{exp[4)(4)(2112
2
2
2
12
2
1114
3
2
1
k g r H k k k i k k k r H e
e
k k i e
e
k k i r H k k i e
k k i e
r H k k k i
k k k i k k k i
k k k i
r H e
e
e
e
r H A H B yS z y x z y x yS k i
k i
y x k i
k i
y x yS y x k i
y x k i
yS z y x z y x z y x z y x yS r k i r k i r k i r k i yS S y z
z
z
z
z
z
=+-=++-=
--+=-+-+---+---++=
+--=
---⋅⋅⋅⋅πππππππ
ππ
π
π
ππ
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
z
y x z y x k k k i k k k k g 2
cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin )(2ππππππ+-=
其中),,(2z y x k k k a
k π
=
)
1,1,1(4 ),
1,1,1(4
),
1,1,1(4 ),
1,1,1(4 4321a
r a
r a
r a
r ==== '
τj r
⎰⎰⎰⎰∑⎰-+-+-+-=-=⋅⋅⋅⋅=⋅r
d r H r r
e r d r H r r e r
d r H r r
e r d r H r r e r
d r H r r
e A H B S y r k i S y
r k i S y r k i S y r k i j S j y r k i S
y j
)()()()()()()()()()(4*3*
2*2*
4
,3,2,1*4321ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ