第一章 电磁场理论基础
电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结一、电磁场的基本概念电磁场是物理学中的一个重要概念，它是由电场和磁场相互作用而形成的统一体。
电场是由电荷产生的，它对处在其中的电荷有力的作用。
电荷分为正电荷和负电荷，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场强度是描述电场强弱和方向的物理量，用 E 表示。
电场强度的定义是单位正电荷在电场中所受到的力。
磁场是由电流或者运动电荷产生的，它对处在其中的运动电荷或者电流有力的作用。
磁场强度用 H 表示，磁感应强度用 B 表示。
磁感应强度是描述磁场强弱和方向的物理量，它等于垂直通过单位面积的磁力线的数量。
二、库仑定律与高斯定理库仑定律描述了真空中两个静止点电荷之间的相互作用力与它们的电荷量以及距离之间的关系。
其表达式为：F ＝ k q1 q2 ／ r²，其中 k 是库仑常量，q1 和 q2 是两个点电荷的电荷量，r 是它们之间的距离。
高斯定理是电场中的一个重要定理，它表明通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷的代数和除以真空中的介电常数。
简单来说，如果一个闭合曲面内没有电荷，那么通过这个曲面的电通量为零；如果有电荷，电通量就与电荷量成正比。
三、安培定律与毕奥萨伐尔定律安培定律描述了电流元在磁场中所受到的安培力。
安培力的大小与电流元的大小、电流元所在位置的磁感应强度、电流元与磁感应强度之间的夹角有关。
毕奥萨伐尔定律用于计算电流元在空间某点产生的磁感应强度。
它表明电流元在空间某点产生的磁感应强度与电流元的大小、电流元到该点的距离以及电流元与该点连线和电流方向之间的夹角有关。
四、法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律指出，当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中就会产生感应电动势。
感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比。
这一定律揭示了电磁感应现象的本质，是发电机等电磁设备的工作原理基础。
五、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁场理论的核心，它由四个方程组成，分别描述了电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培麦克斯韦定律。
电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结第1章 场论初步一、矢量代数A ∙B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A ∙C ) – C ∙(A ∙B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元 x y z =++l e e e d x yz矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元 =++l e e e z d d d d z ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + eϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕsin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ三、矢量场的散度和旋度1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0l i m∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y zx y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A zz z A A A ρϕρϕρρϕρ s i n s i n ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e eA r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llc o s c o s c o s ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ g r a d ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy zu u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中 1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章 电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程：d ⋅=⎰SE S qεd 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε 0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E Er χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0l⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lI μ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰S E l B S ld dt ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l S t ∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l S l SSV Sl t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J B E D B t t ρ ()() ()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面 和 理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程： 220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ 连续分布： 12=⎰e V W dV φρ 电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε 12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J SE SSSUR G Id d σ （L R =σS ）4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d q C Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章 静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
第一章-电磁场理论基础
——第1章 电磁场理论基 础
矢量分析部分
回忆：有关矢量的定义及计算
矢量定义—— 既有大小又有方向的量
如：力、速度、加速度
矢量的表示方法：
图示形式
A
A 和 eA
A Ax Ay Az
A
A 和 eA
ex Ax ey Ay ez Az
书写形式
直角坐标系中的表示方法
矢量的基本运算 矢量的加法 矢量的减法 矢量的乘法
3. 媒质的本构关系
• 媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。
1. 电介质的极化现象
在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移， 有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称 为电介质的极化。
无极分子
有极分子
无外加电场
E
无极分子
有极分子
有外加电场
极化时，介质中的电场应该是外加电场和极化电荷 产生的电场的叠加。
E和Ｈ边界条件
H • dl J D • dS
C
S 媒质t 2
n
H 2t H 2
e
2 2 2
E C
•
dl
S 1媒 Bt质 •1d1S
1
h H1
M
l H 2t
el
n
Ｄ和Ｂ边界条件
D2n D2
B • dS 0 S
D • dS q S
媒质 2
2 2 2
h M
媒质 1
S
1 1 1
•B 0
•D
D 0rE Β 0rH J E
16个未知量，7+9=16个独立的方程
1.2.3 边界条件
➢ 什么是边界条件？
n
第1章电磁场理论基础
定义：标量场是空间位置的函数，没有方向，只有大小
物理意义：标量场描述了空间中某物理量的分布情况，如温度、压力等
数学描述：标量场可以用一个或多个标量函数来表示，这些函数描述了空间中该 物理量的值
磁场波动行为
的数学模型
波动方程由麦 克斯韦方程组
推导而来
领域。
电磁兼容：电磁 场在电磁兼容领 域中用于研究设 备或系统之间的 相互干扰问题， 以确保电子设备
的正常运行。
电磁辐射防护： 电磁场在电磁辐 射防护领域中用 于研究如何减少 电磁辐射对人体 的危害，以保障
公众的健康。
输电线路：利用电磁场传输电能， 减少能量损失
电机：利用电磁场产生旋转或直线 运动
环保技术对电 磁场的影响
未来发展趋势 与展望
上
电场：电荷静止时产生的 电场
磁场：电流产生磁场
电磁感应：变化的磁场产 生电场
电磁波：电场和磁场交替 变化产生电磁波
定义：矢量场是由空间位置和方向的矢量构成的场 性质：矢量场具有方向性和大小，可以描述电磁场的强度和方向
运算：矢量场可以进行加、减、点乘、叉乘等运算，以描述不同位置的电磁场分布
梯度、散度和旋度：这三个概念可以用来描述矢量场的性质和行为，是电磁场理论中的重要概念
波动方程描述 了电磁场的振 幅、频率和传 播速度等参数
通过求解波动 方程，可以研 究电磁场的传 播、反射、折
射等现象
静电感应：电荷在电场中受到力的作用，使电荷发生移动 极化：电介质中的正负电荷发生相对位移，形成电偶极子 静电屏蔽：用金属屏蔽体将电荷隔离，防止外界电场对其影响 电致伸缩：电介质在电场中发生形变，产生机械能
磁场的定义和性质
磁场对电流和磁性物质的作用
电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。
第一章 电磁场理论基础
' j ''
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r e 1 Em 2 2 m (0 ) j
理论模型
d2 r dr 2 m 2 0 r eE dt dt
p er 0 e Em
P Np D 0E P
D(r , t ) E (r,t) H (r,t) B(r , t ) E (r,t) H (r,t)
双各向同性介质：上述情况下，介电常数和磁导率均为标量。
例如手征介质，自然界中大量存在于有机体和生物体中，特别是生命 的基本组成中，如L-氨基酸、D-糖、DNA。最早研究起源于1920年左 右。20世纪90年代前后，人工制作的手征介质的特性及工程应用前景 引起微波工程的的研究兴趣。
D E ( j ) 0 0 H
B H ( j ) 0 0 E
手征介质具有广阔的应用前景。例如，利用手征介质可以开发新型的吸 波材料，用于隐形体表面的涂覆材料。对于手征平板波导、圆波导、椭 圆波导、手征光纤的研究表明，手征波导具有许多新颖独特的性质，如 模式分叉、模式耦合等。利用这些特性，手征波导有望在集成光学元件 及毫米波元件等领域得到应用。 由于手征介质可以改变电磁波的传播、散射特性，因此在军事、民用上 有很大的潜在应用价值。自八十年代以来，许多学者对手征介质中电磁 波的传输特性、手征微波器件及手征特性的物理机制等做了大量工作。 随着隐身技术的不断发展，手征介质的电磁散射特性越来越受到重视。
积 分 形 式
E dl B dS (1) l t S B dl J dS 0 0 E dS (2) 0 l S S t E dS 1 dV (3) S 0 V B dS 0 ( 4) S
高等电磁场理论习题解答（作业）
⾼等电磁场理论习题解答（作业）第⼀章基本电磁理论1-1 利⽤Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell ⽅程导出其频域形式。
（作1-2—1-3）解：付⽒变换和付⽒逆变换分别为：dt e t f F t j ?∞∞-=ωω)()(ωωπωd e F t f tj ?∞∞--=)(21)( 麦⽒⽅程：t D J H ??+=??ρρρtB E ??-=??ρρ0=??B ρρ=??D ρ对第⼀个⽅程进⾏付⽒变换：),(),(),ωωωr H dt e t r H dt e t r H t j tj ρρρρρρ??=??=??=∞∞-∞∞-（左端),(),(),(),(]),(),[ωωωωωωωr D j r J dte t r D j r J dt e t t r D t r J t j tj ρρρρρρρρρρρρ+=+=??+=??∞∞-∞∞-（右端（时谐电磁场） =??∴),(ωr H ρρ),(),(ωωωr D j r J ρρρρ+同理可得：()()ωωω,,r B j r H ??ρρ-=??()0,=??ωr B ρ()()ωρω,,r r D ?ρ?=??上⾯四式即为麦式⽅程的频域形式。
1-2 设各向异性介质的介电常数为=300420270εε当外加电场强度为 (1) 01E x e E =；(2)02E y e E =；(3) 03E z e E =；(4) )2(04y x E e e E +=；(5))2(05y x E e e E +=求出产⽣的电通密度。
（作1-6）解：()),(,t r E t r D ?Θ?=ε=333231232221131211εεεεεεεεεz y x D D D 即z y x E E E 将E 分别代⼊，得：=??=??????????027003000420270000111E E D D D z y x εε )?2?7(001y x E D +=ε?=??=??????????042003000420270000322E E D D D z y x εε )?4?2(002y x E D +=ε? ????=??=??????????300003000420270000333E E D D D z y x εε z E D ?3003ε=? ??==010110230004202700000444E E E D D D z y x εε )?10?11(004y x E D +=ε? ==08160230004202700000555E E E D D D z y x εε )?8?16(005y x E D +=ε? 1-3 设各向异性介质的介电常数为=4222422240εε试求：(1) 当外加电场强度)(0z y x E e e e E ++=时，产⽣的电通密度D ；(2) 若要求产⽣的电通密度004E x εe D =，需要的外加电场强度E 。
电磁场理论(第一章)
二、电磁场理论发展简史
1．电磁场理论的早期研究
电、磁现象是大自然最重要的物理现象，也最早
被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最
大的有来顿、富兰克林、伏打等科学家。
19世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现 象来研究，因而未发现电与磁的联系。但是这些研究 为电磁学理论的建立奠定了基础。
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§1.1 正交曲线坐标系
2. 正交曲线坐标变换 三维空间中同一位置 可以用不同的正交曲 线坐标系描述。因此 不同坐标系之间存在 相互变换的关系，且 这种变换关系只能是 一一对应的
q1＝q1x, y, x q2 q2 x, y, x q3 q3 x, y, x
x＝xq1, q2 , q3
第30页，此课件共65页哦
如果场与时间无关，称为静态场，反之 为时变场。静态标量场和矢量场可分别 表示为：
ux, y,z Fx,y,z ，
时变标量场和矢量场可分别表示为：
ux, y,z，t F x, y,z,t ，
（1)场的基本性质及其分析方法 （2)场与源的关系及其相互作用 （3)场的相互作用
第31页，此课件共65页哦
| u
nˆ
u l
max
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z
第35页，此课件共65页哦
§1.3 标量场的梯度
5 梯度的性质 ☻ 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的
方向表示该点场变化最大（增大）的方 向，其数值表示变化最大方向上场的空间 变化率。 ☻ 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度 在该方向上的投影。
电气工 程学科 的核心
致力于电磁场的物理属 性、统一场理论、微观 量子电动力学等的研究
东南大学《电磁场理论》复习总结
axkx
ayky
azkz
ank
，电场强度 E
R
E0e jk R
E0
e
jan
k
R
，则等相位面方程为
an
R
0
，磁场强度
则电场强度 E R
H H0
R
an
1 e
an
E0
e
jan
k
R
，媒质的本征阻抗
jan
k
R
。均匀平面电磁波是
TEM
波。
k
；若磁场强度 H
t 2A t 2 2 t 2
J
。
dt
第1页共6页
第三章 静态场
静电场：基本方程：微分形式：
D DEE0
，积分形式：
S
E dl 0
l D dS dV
V D E
，静电场是无旋有源场。
电位方程：电场强度
E
，标量电位
满足泊松方程 2
；若
0
，则
满足拉普拉斯方程 2
2V
I
0 ，静磁场是有旋无散场。
we
1 2
DE
。
磁位方程：磁通量密度 B A ，矢量磁位 A 满足泊松方程 2 A J 。
磁偶极子：半径很小的圆形载流回路。磁偶极矩 m
az
Ib
2
，空间一点的磁位
A
a
0Ib2 sin 4R 2
0
m
aR
，磁通量密度
4R 2
B
A
0 Ib 2 4R3
动方程为：
22HE
2 2
E H
0 0
，令波数
k
2π λ
第1章电磁场理论基础
第1章 电磁场理论基础
1.1.3 矢量场的散度
1. 通量
– 元通量 dΨ：场矢量 F 穿过面元dS 的通量。
dΨ F •dS F cos dS
– 通量 Ψ ：场矢量 F 穿过任意曲面 S 的通量。
Ψ SF •dS S F cos dS
– 穿过闭合面的通量 ：Ψ F •dS F cos dS
为电荷体密度。试证明： • D。
证明 由高斯定理可得
D • dS • DdV dV
S
V
V
• D dV 0
V
•D
第1章 电磁场理论基础
1.1.3 矢量场的散度
• 散度定理：矢量场通过任意闭合面向外的 总通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包 围的体积内的积分。体积分面积分
• 散度含义
物理意义明确：
S
S
若 Ψ 0，体积内存在着流体的源；
若 Ψ 0，体积内存在流体的汇（负源）；
若 Ψ 0，体积内正负源的总和为零。
第1章 电磁场理论基础
1.1.3 矢量场的散度
2. 散度
（1）散度的定义
divF lim SF • dS V 0 V （2）散度的运算
• 在直角坐标系中
divF Fx Fy Fz
2. 环量面密度
lim CF • dl
S0 S
n
M S
C 图1-1-7 环量面密度定义用图
第1章 电磁场理论基础
1.1.4 矢量场的旋度
3. 旋度
（1）旋度的定义：若在点M处场矢量F在某 方向的环量面密度值最大，并记此最大环 量面密度值为R，定义旋度为
curlF R
• 在直角坐标系中 A • B A B cos
A
第一章电磁场理论基础
1.6无线电波的辐射
• 均匀理想媒质
媒质在任一点的性质都相同，即电介质常数和磁导率为常 数，电导率为0，均与时间和空间无关；媒质各点的电荷密 度和电流密度为0。
• 均匀媒质中的麦克斯韦方程组
1.6无线电波的辐射
• 辐射的形成
1.7均匀平面波
1.7均匀平面波
1.7均匀平面波
• 导体和介质 传导电流代表了能量的损耗机理和位移电 流代表了能量的存储，他们的比值为衡量材 料损耗特性的尺度，其绝对值为接触损耗， 远大于1时为良导体，远小于1时为纯介质。 • 趋肤深度 在有耗媒质中传播的波，电磁波在媒质中穿 透一定距离后，能量衰减为原来的37%，这 个距离称为趋肤深度，和频率成反比。
1.4麦克斯韦方程组求解
• 可以推导出赫芝矢量的非齐次波动方程：
J ∇ ∏ +k ∏ = − jwε
2 2
• 可见求出一波源的赫芝矢量就可以由其求出波源 的电场和磁场，这样计算会简单很多。但要注意， 满足麦克斯韦方程组的解一定满足波动方程，但 满足波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程组， 因此有波动方程求出的解需要带入麦克斯韦方程 组进行检验。
1.1矢量分析
• 矢量的表示方法 图示:带箭头的线段； → 书写:黑斜体，如A；或斜体字母上加一箭头，如 A 。 矢量的大小称为矢量A的模，记A 为 或 A。 矢量的方向可用单位矢量 a(a=A/A)表示，或记作eA
1.1矢量分析
• 矢量的表示方法 矢量可用其在坐标轴上的投影，即坐标分量表 示。直角坐标系中
1.1矢量分析
1.1矢量分析
1.1矢量分析
1.1矢量分析
• 斯托克斯定理表明，通过一个开放平面S的 矢量场旋度的合成环量可有沿着包围此开 放平面的闭合回路C的矢量场的先积分来获 得。这个结论使得面积分和线积分之间能 相互转换。
电磁场和电磁波基础
第一章 电磁场和电磁波基础1 电磁学基本物理量 2 电磁场定律 3 边界条件 4 本构关系 5 波动方程 6 场和方程的复数形式 7 波数和波阻抗 8 均匀平面波 9 平面波的反射和折射 10 坡印亭定理1 电磁学基本物理量在电磁场基本方程中，所涉及到的基本物理量有：E ：称为电场强度（伏/米）H ：称为磁场强度（安/米）D ：称为电通密度（库/米 2） B ：称为磁通密度（韦/米 2）电位移矢量 磁感应强度⎯真空→ ε 0 E ⎯ ⎯ ⎯真空→ μ 0 H ⎯ ⎯J ：电流密度（安/米 2）ρ ：电荷密度（库/米 ）3⎧ ⎪基本物理量：E , B ⎨ ⎪导出物理量：D, H ⎩瞬时值或时域表示 一般情况下，各场量和源量既是空间坐标的函数，又是时 间的函数，即2 电磁学场定律电磁学场定律描述场和源的关系，包括积分形式场定 律和微分形式场定律。
微分场定律形式把某点的场与就在该点的源及该点 的其它场量联系起来，适用于场、源量都是连续函数并有 S 连续的导数的良态域。
•⎧ E = E ( r , t ) = E ( x, y , z , t ) ⎪ ⎪ D = D ( r , t ) = D ( x, y , z , t ) ⎪ B = B ( r , t ) = B ( x, y , z , t ) ⎪ ⎨ ⎪ H = H ( r , t ) = H ( x, y , z , t ) ⎪ ρ = ρ (r , t ) = ρ ( x, y, z , t ) ⎪ ⎪ J = J (r , t ) = J ( x, y, z , t ) ⎩对应不同时刻，这些场量和源量的方向和数值会发生变 化，对应着一般时变场，称为场量的时域表示，或者瞬时 值。
P⎧ ⎪场：E , B ⎨ ⎪源：ρ，J ⎩2.1 自由空间场定律 2.2 物质中场定律V2.1 自由空间场定律∇× E = −B∂B （1a） ∂t∂ε 0 E （1b） ∂tVS自由空间指真空或同真空基本上具有同样特性的任 何其它媒质 （如空气） 自由空间场定律描述纯粹的源 ρ 、 。
电磁场理论 第一章
• 梯度、散度、旋度的定义与计算
• 矢量恒等式 • 亥姆霍兹定理的概念和意义
标量与矢量
在物理学中所遇到的物理量，一般分为两类：
1、标量（数量）：只有大小，在取定其单位后
可以用一个数来表示。
2、矢量（向量）：不仅有大小之分，而且有方
向之别。
场的概念
如果在空间中一个区域内的每一个点都有一物理量 的确定值与它对应，则在这个区域中就构成该物理
（3）球坐标→直角坐标
（3）直角坐标→球坐标
r ( x 2 y 2 z 2 )1 / 2 z arcco s( 2 ) 2 2 1/ 2 (x y z ) x arcco s( 2 ) ( x y 2 )1 / 2
x r sin co s y r sin sin z r co s
教材和参考书
教材：
王增和等 《电磁场与波》 机械工业出版社
参考书：
谢处方等 《电磁场与电磁波》 高等教育出版社 吴万春 《电磁场理论》 电子工业出版社
毕德显 《电磁场理论》 电子工业出版社
第一章 矢量分析
本章内容：
• 坐标系的构成、坐标变换 • 坐标单位矢量的概念和不同坐标系坐标单位
矢量之间的关系
标单位矢量可能是积分变量的函数。
Fe a s i n e b c o s e c x y z
与电磁场理论有关的学科
微波技术 电波传播 电磁兼容
天线技术 雷达工程 光纤通信
空警2000预警机
与电磁场理论有关的学科
微波技术 电波传播 电磁兼容
天线技术 雷达工程 光纤通信
隐身飞机
与电磁场理论有关的学科
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（2）人工仿真电介质
人工仿真电介质用大量相同的导体结构与晶格类似的等间距三维规则点阵排 放构成。点阵由轻质介质支撑，或在其间填充泡沫塑料形成支撑。
2021/2/22
29
（4）左手介质
一般介质的介电常数、磁导率都是非负数，电磁波在其内传播时，电 场强度、磁场强度与传播方向成右手关系，因此这样的介质称为右手 介质。
左手介质的起源于1967年，前苏联物理学家Veselago在前苏联一个学术 刊物上发表了一篇论文，首次报道了他在理论研究中对物质电磁学性质 的新发现，即：当ε和μ都为负值时，电场、磁场和波矢之间构成左手关 系。他称这种假想的物质为左手材料(left-handed materials,LHM)，同时指 出，电磁波在左手材料中的行为与在右手材料中相反，比如光的负折射、 负的切连科夫效应、反多普勒效应等等。这篇论文引起了一位英国人的 关注，1968年被译成英文重新发表在另一个前苏联物理类学术刊物上。 但几乎无人意识到，材料世界从此翻开新的一页。
2021/2/22上图为金属带构成的具有渐变折射率的仿真电介质。
28
（3）人工等离子体 等离子体的磁导率 0 ，但它的介电常数具有特殊性
在实验室中对等离子体的模拟是用人工仿真媒质实现的。一种早期的方 案使用细圆柱形导体线栅构成二维或三维晶格。
20世纪末，英国J.D.Pendry研究小组成功地将 p 降到10GHz左右，较金 属的 p降低了6个数量级。他们使用半径为1m的铝丝制作间距为5mm的 立方晶格线栅，如图所示。
麦克斯韦方程反映了电荷与电流激发电磁场
以及电场与磁场相互转化的运动规律。在无
场源的区域，电场和磁场相互激发而运动传播。
它激发了电磁场内在的矛盾和运动，由此预言了电
磁波的存在，且以光速传播。光也是电磁波。
麦氏方程是对电磁规律的全面高度的概括和总结，
它是一组线性偏微分方程组。它和洛伦兹力一起构
成了经典电磁理论的基石。
例如，使用介质微结构，对浸没于背景介质中的稀疏球形介质微结构， 可以在经典近似下求出它的介电常数。设球形介质微结构的半径为a，
介电常数为 1 ，分布于介电常数为 的背景介质中，微结构之间的距离
b远小于波长，a远小于b，通过静电场问题的解可近似求出所构造的人 工介质的介电常数。
e
1 2 f 1 f
1 1 2
2021/2/22
f EJB
14
（4）独立方程和非独立方程
独 立 方 程
E
B
H
J
t
D
t
J
t
非
独 立 方
D (3)
B 0(4)
程
划分方法不唯一。
（5）限定形式和非限定形式
独立方程中，共5个矢量和1个标量，7个标量方程，16个标量方 程，因此称为非限定形式。
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9
1-1 Maxwell方程组
宏观电磁理论的基础是Maxwell方程。该方 程理论正确，并被实验验证。Maxwell当初建 立的方程，其数学描述非常繁杂，矢量分析 和场论建立后， Maxwell方程的表达变得非 常简洁， Maxwell方程具有积分形式和微分 形式。
2021/2/22
2021/2/22
21
（2）各向异性媒质
均匀、各向异性介质
D1 11 12 13 E1 D2 21 22 23E2 D3 31 32 33E3
Dij E
i,j1,2,3
非均匀、各向异性介质
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D1(r) D2(r)
ij
(r)
EE12((rr))
D3(r)
E3 (r)
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20
导电媒质
（2） p 对应于紫外或更短波长的电磁波。
' r
1,r''
~p 2/31
金属呈现电介质性，对于电磁波近乎是透明的。
（3） p 对应于红外波段的电磁波。
r ' ~p 2/ 2 ,r ''p 2/ 3 ,r ''/r ' 1
金属表面对于电磁波有较强的反射，趋肤深度很小。（为什么？）
15
补充3个辅助矢量方程后，成为限定形式。
1-2 介质的电磁特性
一、概述
介质的电磁参数 、、分别反映了介质中的电通量密
度D与电场强度E、磁感应强度B与磁场强度H、传导电流密
度Jc与电场强度E之间的关系。
静止介质： 、、 与时间无关；反之，运动介质。
均匀介质： 、、 与空间坐标无关；反之，非均匀介质。
22
电各向异性介质：仅具有张量介电常数 的介质。例如处于恒定磁场中
的等离子体。一旦恒定磁场消失，为各向同性介质。
晶体是一种典型的电各向异性介质。
理论模型
mddvt e[Ev(BB0)]
11 jg
jg 22
0
0
0 0 33
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23
磁各向异性介质：仅具有张量磁导率 的介质。例如处于恒定磁场中的
线性介质： 、、 与场强大小无关；反之，非线性介质。
色散介质： 、、 与频率有关；反之，非色散介质。
各向同性介质： 、、与外加场的方向无关；反之，各向异
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性介质。
16
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17
二、各种本构关系
（1）各向同性媒质
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18
复介电常数和磁导率：
频率足够高时，存在电损耗和磁化损耗。虚部代表损耗。另外，通 过电损耗角、磁损耗角的正切值反映虚部和实部的相对大小。
——介电常数 ——磁导率 ——狄拉克函数 ——赫兹矢量位 ——电荷体密度 ——标量势 ——电导率 e ——电极化率 m ——磁极化率 ——角频率
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第一章 电磁理论基础
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8
本章内容
▪ 1-1 Maxwell方程组 ▪ 1-2 介质的电磁特性 ▪ 1-3 磁荷及磁流，电磁场方程的对偶性 ▪ 1-4 电磁边界条件 ▪ 1-5 辐射条件 ▪ 1-6 电磁能量和能流 ▪ 1-7 电磁场微分方程
微 分 形 式
E
B
B (1)
t 0 J 0 0
E t
(2)
E B
/0 0 (4)
(3)
辅 助 方
D B
0 0
E (1) H (2)
程
J
E
(3)
2021/2电/22 荷守恒定律：
SJdStVdV
J
t
11
（2）介质中的Maxwell方程
积 分 形 式
但由于只是停留在理论上，而在自然界中并未发现实际的左手材料，
所以，这一怪诞的假设并没有立刻被人接受，而是处于几乎无人理睬的
境地，直到时光将近本世纪时才开始出现转机 。21世纪以来，左手材料
理论模型
mdd2t2r
dr dt
eE
r
1- p2 (
j )
对于常温下的金 p ~属 1016， /s, ~1014/s
（1）
r ' ~p 2/ 2, r '' ~p 2/ , r ''/r ' 1
微波及以下频率的电磁波，介电常数的虚部是主要的，金属呈现导电 性，电磁波在金属中受到强烈的衰减。
' j ''
'j''
理论模型
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mdd2t2rddrt 02reE
e
1
rm(022)jEm
per0eEm
P Np
r
D0EP
r'
r0r' jr'' 1(0 2 2p 2)j 1
p
Ne 2 0m
——电子等离子频率
O
r''
19 0
导电媒质
频率足够高时，主要表现为电损耗。另外，弹性恢复力可视为零。
铁氧体。一旦恒定磁场消失，为各向同性介质。
理论模型
dPm dt
PmB0
双轴晶体：
11 jg
jg 22
0
0
0
0 33
11
0
0 22
0
0
0 0 33
11
0
0
22
0
0
0 0 33
20单21/2轴/22 晶体：若矩阵中的2个对角线元素相同的晶体。
24
（3）双各向异性介质
介质的极化特性和磁化特性具有一定的耦合关系，电场不但
可使介质极化，也可使其磁化，同理，磁场也可使介质同时
发生磁化和极化。并且介电常数和磁导率均为张量，即
D ( r ,t)E ( r ,) t H ( r ,)t
B ( r ,t)E ( r ,) t H ( r ,)t
双各向同性介质：上述情况下，介电常数和磁导率均为标量。
例如手征介质，自然界中大量存在于有机体和生物体中，特别是生命 的基本组成中，如L-氨基酸、D-糖、DNA。最早研究起源于1920年左 右。20世纪90年代前后，人工制作的手征介质的特性及工程应用前景 引起微波工程的的研究兴趣。
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参考书目
1、张克谦，李德杰 微波与光电子学中的电磁 理论, 清华大学出版社，2005
2、杨儒贵 高等电磁理论，高教出版社，2007 3、张善杰 工程电磁理论，科学出版社，2009 4、龚中麟 近代电磁理论（第二版），北京大