韦达定理练习
韦达定理练习题
韦达定理练习题一、选择题A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = b/aC. x1 x2 = √(b^2 4ac)/aD. x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为？A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2的值为？A. 2B. 4C. 2D. 4二、填空题1. 已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
2. 若一元二次方程3x^2 6x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
3. 已知一元二次方程4x^2 + 8x 9 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
2. 设一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
3. 已知一元二次方程x^2 (a+b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
4. 若一元二次方程x^2 (m+n)x + mn = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
5. 已知一元二次方程x^2 (2a1)x + a^2 a = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
四、应用题1. 在一个一元二次方程中，两根的和是10，两根的积是21，请写出这个方程。
2. 如果一元二次方程的两根分别是方程系数的倒数，且两根的积是1/6，求这个方程。
3. 有一个一元二次方程，它的两根的和是它们积的3倍，且两根的积是12，求这个方程。
韦达定理练习题
韦达定理练习题一、选择题1. 已知二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，根据韦达定理，下列哪个选项是错误的？A. \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)B. \( x_1x_2 = \frac{c}{a} \)C. \( x_1 + x_2 = \frac{c}{a} \)D. \( x_1x_2 = -\frac{b}{a} \)2. 对于二次方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，使用韦达定理，下列哪个选项是正确的？A. 根的和为 5B. 根的积为 -6C. 根的和为 3D. 根的积为 63. 如果二次方程 \( 2x^2 - 4x + 1 = 0 \) 的一个根是 \( x = 1 \)，那么另一个根是：A. 0.5B. 2C. -2D. 1二、填空题4. 假设二次方程 \( 3x^2 - 6x + 2 = 0 \) 的根为 \( x_1 \) 和\( x_2 \)，根据韦达定理，\( x_1 + x_2 \) 等于 ________。
5. 对于二次方程 \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)，其根的积 \( x_1x_2 \)等于 ________。
6. 如果二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根相等，即\( x_1 = x_2 \)，那么 \( b^2 \) 与 \( 4ac \) 之间的关系是\( b^2 \) ________ \( 4ac \)。
三、解答题7. 已知二次方程 \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)，求出它的两个根，并验证韦达定理是否成立。
8. 给定一个二次方程 \( 2x^2 - 12x + 10 = 0 \)，使用韦达定理求出它的两个根，并计算根的和与积。
9. 如果二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根的和为 5，根的积为 6，求出 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的值。
韦达定理练习题初三
韦达定理练习题初三韦达定理是初中数学中的重要定理之一，它为我们解决三角形中的问题提供了有效的工具。
在初三学习阶段，我们需要通过练习题的形式，巩固和应用韦达定理的知识。
下面是一些韦达定理练习题，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
【题目一】已知△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，求△ABC的高。
【解题思路】根据韦达定理，对于三角形ABC，有公式：a² = b² + c² - 2bc * cosA其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A表示夹角。
根据已知条件，代入公式中可得：8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosA进一步计算可得：64 = 36 + 100 - 120cosA28 = -120cosAcosA ≈ -0.233由于A为锐角，cosA不可能为负数，因此此题无解。
【题目二】已知△ABC中，AB = 12，BC = 18，AC = 24，求△ABC的面积。
【解题思路】根据韦达定理，我们可以先通过余弦定理求得角BAC的值。
cosA = (b² + c² - a²) / 2bccosA = (18² + 24² - 12²) / 2 * 18 * 24cosA ≈ 0.5由于韦达定理中的角A为夹角，无法直接计算面积，我们需要进一步计算角B、角C。
角B = arcsin(b * sinA / a)角B = arcsin(18 * sin(0.5) / 12)角B ≈ 0.573 rad角C = π - A - B角C = π - 0.5 - 0.573角C ≈ 2.068 rad根据三角形面积公式S = 0.5 * a * b * sinC，代入已知条件可得：S = 0.5 * 12 * 18 * sin(2.068)S ≈ 110.4所以，△ABC的面积约为110.4平方单位。
韦达定理练习题
韦达定理练习题一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】已知方程组-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ====2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】已知，关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n+12n的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件. 【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x的一元二次方程X2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程：。
韦达定理练习
韦达走理练习1、已知关于X的一元二次方程x+x+1二0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是5、已知x1、x2是方程x+6x+3二0的两个实数根，则6、如果关于x的一元二次方程x - 6x+c=0没有实根，那么c 的取值范围是_________ 、7、已知关于x的一元二次方程x+2x-m二0有两个相等的实数根，则m的值是8、方程x - 2x - 1=0的两个实数根分别为xl, x2,则二9、已知a, 0是一元二次方程x-4x-3二0的两实数根，则代数式二________ 、10、已知x二2是方程x+mx-2二0的一个解，则方程的另一个解为11、用指定的方法解方程22 - 25=0 x+4x - 5=0[1 **********]的值等于-10+25=04) 2x - 7x+3=012、+3+2=013、已知关于x的一元二次方程x+2x+m二0、当m二3时，判断方程的根的情况；当m=- 3时，求方程的根、14、当实数k为何值时，关于x的方程x-4x+3-k二0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根、15、阅读材料：如果xl, x2是一元二次方程ax+bx+c=O的两根，那么有xl+x2= - , xlx2二、这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例xl, x2是方程x+6x-3二0的两根，求222222xl+x2的值、解法可以这样：Vxl+x2=6, xlx2=-3 则xl+x2=-2xlx2-2X =42、请你根据以上解法解答下题：已知xl, x2是方程x - 4x+2=0 的两根，求：的值；222222222 的值、16、已知xl, x2是方程3x+2x - 1=0的两根，求xl+x2的值、17、已知关于x的一元二次方程x+kx - 1=0,求证：方程有两个不相等的实数根；设方程的两根分别为xl, x2,且满足xl+x2二xl・x2,求k的值、18、已知x1、x2是一元二次方程2x - 2x+l - 3m=0的两个实数根，且x1、x2满足不等式xl・x2+2>0,求实数m的取值范围、19、已知xl, x2是方程x-2x-2二0的两实数根，不解方程求下列各式的值：20、已知一元二次方程X - 2x+m二0、若方程有两个实数根，求m的范围；若方程的两个实数根为xl, x2,且xl+3x2=3,求m的值、2222222；、21、阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax+bx+c二0的两根，那么，名的韦达定理、现在我们利用韦达定理解决问题：2已知m与n是方程2x - 6x+3二0的两根填空：m+n= ________ , m* n= _________ ；计算22、已知关于x的一元二次方程x-2x-0二0、如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；如果此方程的两个实数根为xl, x2,且满足23、已知关于x的一元二次方程kx- 2x+k - 1=0有两个不相等的实数根xl, X2、求k的取值范围；是否存在实数k,使+二1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由、222,、这就是著的值、，求a的值、。
韦达定理练习题初三
韦达定理练习题初三一、选择题1. 若一个一元二次方程的两个根分别是α和β，则下列选项中正确的是（）A. α + β = 0B. αβ = 1C. α + β = b/aD. αβ = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，则x1 x2的值为（）A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为x1和x2，则下列说法错误的是（）A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = c/aC. 若a > 0，则方程有两个实数根D. 若b^2 4ac < 0，则方程有两个不相等的实数根二、填空题1. 已知一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两个根为x1和x2，则x1 + x2 = _______。
2. 若一元二次方程x^2 3x + k = 0有两个实数根，则k的取值范围是_______。
3. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两个根为x1和x2，则x1 x2 = _______。
三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两个根为x1和x2，且x1 x2 = 6，求k的值。
2. 已知一元二次方程x^2 (a+2)x + a = 0的两个根为x1和x2，且x1 + x2 = 4，求a的值。
3. 设一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为x1和x2，且x1 + x2 = 5，x1 x2 = 6，求a、b、c的关系。
4. 已知一元二次方程x^2 4x + m = 0的两个根为x1和x2，且x1和x2是两个连续的正整数，求m的值。
5. 已知一元二次方程x^2 (k+2)x + k^2 5 = 0有两个实数根，求k的取值范围。
四、应用题1. 小华解一元二次方程x^2 (3a+1)x + 2a^2 = 0时，发现两个根的和是7，请问a的值是多少？2. 在一个三角形中，三边的长度分别是x、x+1和x+2，已知x是方程x^2 (a+3)x + 6 = 0的一个根，求a的值。
韦达定理练习题
韦达定理练习题韦达定理，也称作维特定理或者勒让德-费尔马定理，是解决几何问题的一种重要方法之一。
该定理通过运用面积比较，可以在一定条件下求得未知的长度或者位置关系。
本文将通过一系列的练习题，来帮助读者更好地理解和运用韦达定理。
练习题一已知三角形ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（-1，4），C （1，-2），求BC边的长度。
解答：根据韦达定理的原理，我们可以得出以下公式：BC² = (AC² + AB²) - 2(AC × AB × cos∠CAB)首先，我们需要计算AC、AB两条边的长度：AC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]= √[(1 - 2)² + (-2 - 3)²]= √[1 + 25]= √26AB = √[(-1 - 2)² + (4 - 3)²]= √[9 + 1]= √10接下来，我们可以计算∠CAB的余弦值：cos∠CAB = [( (AC² + AB²) - BC² ) / 2AC × AB ]将AC、AB的值代入公式，得：cos∠CAB = [( (26 + 10) - BC² ) / 2× √26 × √10 ]由于我们已知∠CAB的余弦值为正值，所以∠CAB是锐角，也就是说∠CAB的余弦值在(0,1)之间。
根据余弦函数的性质，我们可以推出BC²的最大值为36，最小值为0。
因此，我们可以将推导出的余弦值的范围带入公式，计算BC²的区间：0 ≤ [( (26 + 10) - BC² ) / 2× √26 × √10 ] ≤ 1经过计算，得到：0 ≤ [36 - BC² / 2× √26 × √10 ] ≤ 1通过推导和计算，我们得出BC边的长度满足以下条件：0 ≤ BC ≤ 6练习题二已知平行四边形ABCD，AB边长为5，AD边长为9，对角线AC 的长度为12，求BC和CD两条边的长度。
专项韦达定理(一)
18、设21,x x 是方程()031222=-+--m x m x 的两个实数根。
（1）当m 取何值时，21x x ≠；（2）当42221=+x x 时，求m 的值。
19、已知关于x 的一元二次方程()()002122>=-+--m m x m mx（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为21,x x 且()()m x x 53321=--，求m 的值.20、已知关于x 的方程：x m x m 22240---=() （1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根x 1、x 2满足x x 212=+，求m 的值及相应的x 1、x 2。
《韦达定理》练习2一 填空题:1、如果()51222+++-m x m x 是一个完全平方公式，则=m ______。
2、已知x 的二次方程04422=++k kx x 的一个根是–2，那么k=__________3、已知关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根为2和3，则q p +=________.4、已知关于x 的一元二次方程02=--k x x 无实数恨，则k 的取值范围是=_________5、关于x 的一元二次方程()01122=-+++k x k kx 有两个实数根，则k 的取值范围是______。
6、若m 、n 是方程0120022=-+x x 的两个实数根，则mn mn n m -+22的值是 .7、如果关于x 的一元二次方程022=+-m x x 有两个相等的实数根，那么m ＝________。
8、如果关于x 的方程022=+-k x x 的两根的差等于6，那么k=___________9、若关于x 的方程0122=-+kx x 的两根均是整数，则k 的值可以是________。
（只要求写出两个）。
10、已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为=_________二．选择题：11、若关于x 的一元二次方程0122=+-x kx 有实数根，则k 的取值范围是。
韦达定理初三练习题
韦达定理初三练习题韦达定理是解决三角形问题的重要定理之一，在初中数学学习中起着关键的作用。
在本篇文章中，我们将通过一些实际的练习题来巩固和应用韦达定理的知识。
请您认真阅读题目，并按照题目要求进行解答。
练习一：已知三角形的两个边长和夹角，求第三边的长度。
1. 已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，夹角为60度。
请计算第三边的长度。
解答：根据韦达定理，我们可以使用以下公式求解：c² = a² + b² - 2abcosC。
其中，c代表第三边，a和b分别代表已知的两个边长，C代表已知的夹角。
根据题目信息，已知的两条边分别为5cm和8cm，夹角为60度。
我们可以将这些数据代入韦达定理的公式中进行计算。
c² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos60°= 25 + 64 - 80 × 0.5= 89 - 40= 49因此，第三边的长度为√49，即7cm。
练习二：已知三角形的两个边长和一条高的长度，求另一条高的长度。
2. 已知一个三角形的两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。
请计算另一条高的长度。
解答：我们可以利用韦达定理的性质来求解这个问题。
首先，我们需要找到一个关系式来表示两条高的长度。
根据韦达定理，我们可以得到以下关系式：（a² - b²）/ （a² + b²）= （h₁² - h₂²）/ （h₁² + h₂²）。
其中，a和b代表已知的两边长，h₁和h₂分别代表已知的两条高的长度。
根据题目中的信息，已知两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。
假设另一条高的长度为h₂。
根据关系式，我们可以将这些数据代入，得到以下等式：（6² - 10²）/ （6² + 10²）= （8² - h₂²）/ （8² + h₂²）我们可以通过化简这个等式，解得h₂的值。
(含答案)韦达定理(根与系数的关系)
根与系数的关系（韦达定理）练习题一、填空：1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0（B ）正数（C ）－8（D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C )－2 (D)－5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B)－6 (C )21(D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式t s st 14++的值。
和韦达定理有关的练习题
和韦达定理有关的练习题一、选择题1. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两根为x1和x2，则下列哪个选项正确地表示了韦达定理？（）A. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aB. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aC. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aD. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程2x^2 5x + 3 = 0的两根分别为x1和x2，则x1 x2的值为（）。
A. 3B. 3C. 1.5D. 1.5二、填空题1. 若一元二次方程x^2 4x + 3 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = _______，x1 x2 = _______。
2. 已知一元二次方程3x^2 + 7x 2 = 0的两根分别为x1和x2，且x1 < x2，则x1 = _______，x2 = _______。
三、解答题1. 已知一元二次方程4x^2 12x + 9 = 0的两根为x1和x2，求x1和x2的值。
2. 已知一元二次方程5x^2 7x + 2 = 0的两根之和为4，求该方程的两根之积。
3. 已知一元二次方程2x^2 (4k + 1)x + 2k = 0的两根之积为k，求k的值。
4. 设一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为x1和x2，若x1 + x2 = 5，x1 x2 = 6，求该方程的解。
5. 已知一元二次方程x^2 (2a + 1)x + a^2 = 0的两根均为正数，求a的取值范围。
6. 已知一元二次方程x^2 (k + 3)x + 2k = 0的两根分别为x1和x2，且x1 < x2，求x1和x2的值。
7. 设一元二次方程x^2 (a + b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求证：x1和x2是正数的充分必要条件是a和b均为正数。
8. 已知一元二次方程x^2 (2k + 1)x + k^2 = 0的两根之差为1，求k的值。
利用韦达定理解一元二次方程练习题
利用韦达定理解一元二次方程练习题一、了解韦达定理在代数学中，韦达定理（Vieta's formulas）是指解二次方程的一种方法。
它是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的。
韦达定理表明，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，方程的两个根x1和x2和系数之间有如下关系：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a二、练习题以练习题的形式，我们来利用韦达定理解一些一元二次方程。
练习题1：解方程x^2+5x+6=0。
解：根据韦达定理，我们可以得到：x1 + x2 = -5/1 = -5x1 * x2 = 6/1 = 6由x1 + x2 = -5，可得出以下两种情况：1. x1 = -3, x2 = -22. x1 = -2, x2 = -3所以方程x^2+5x+6=0的解为x=-3或x=-2。
练习题2：解方程2x^2-3x-5=0。
解：根据韦达定理，我们可以得到：x1 + x2 = 3/2x1 * x2 = -5/2由x1 + x2 = 3/2，可得出以下两种情况：1. x1 = 2, x2 = 1/22. x1 = 1/2, x2 = 2所以方程2x^2-3x-5=0的解为x=2或x=1/2。
练习题3：解方程x^2-7x+10=0。
解：根据韦达定理，我们可以得到：x1 + x2 = 7/1 = 7x1 * x2 = 10/1 = 10由x1 + x2 = 7，可得出以下两种情况：1. x1 = 5, x2 = 22. x1 = 2, x2 = 5所以方程x^2-7x+10=0的解为x=5或x=2。
练习题4：解方程x^2-6x+9=0。
解：根据韦达定理，我们可以得到：x1 + x2 = 6/1 = 6x1 * x2 = 9/1 = 9由x1 + x2 = 6，可得出以下情况：1. x1 = 3, x2 = 3所以方程x^2-6x+9=0的解为x=3。
韦达定理全面练习题及答案
韦达定理全面练习题及答案
下面是几道关于韦达定理的练题及答案，供大家练和参考。
问题一
已知两边长为18cm和24cm的直角三角形的斜边是多少？
答案：
根据韦达定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两边的平方和。
因此，斜边长为：
√(18^2 + 24^2) = √(324 + 576) = √900 = 30cm
问题二
已知一个平行四边形的两边长分别为10cm和15cm，以及对角线之间的夹角为60度，求另外两边长。
答案：
根据韦达定理，平行四边形的两对角线长度的平方和等于平行四边形的两边长度的平方和的两倍。
因此，另外两边长分别为：
√(10^2 + 15^2 - 2 * 10 * 15 * cos(60°)) = √(100 + 225 - 300 * 0.5) = √(100 + 225 - 150) = √175 = 5√7 cm
问题三
已知一个三角形的边长分别为7cm、8cm和9cm，求其面积。
答案：
根据海伦公式，已知三角形的三条边长可以计算出其面积。
公式如下：
面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
其中，s = (a + b + c) / 2 是三角形的半周长，而a、b和c分别是三角形的三条边长。
带入已知边长，可以计算出面积：
面积= √(12 * (12 - 7) * (12 - 8) * (12 - 9)) = √(12 * 5 * 4 * 3) = √720 = 12√5 cm²。
韦达定理精华练习题
一、韦达定理如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ， 那么a c x x a b x x =⋅-=+2121, 二、练习1、若方程2x +(2a －2)x －3=0的两根是1和－3，则实数a = __________2、设21,x x 是方程22x －6x ＋3＝0的两根，则2221x x +的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33、不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。
4、设21,x x 是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
(1) ()()1121++x x(2) ()221x x - (3) 2112x x x x + 5、求一个一元二次方程，使它的两根分别是25,310-。
6、以方程2x ＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） 2y +5y －6 = 0 （B ）2y +5y ＋6 = 0 （C ）2y －5y ＋6 = 0 （D ）2y －5y －6 = 07、已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。
8、已知关于x 的方程102x －(m+3)x + m －7= 0①若有一个根为0，则m=_________ ，这时，方程的另一个根是_________ ； ②若两根之和为53-，则m=_________ ，这时方程的两个根分别为_____，_____。
8、已知方程032=+-m x x 的两根差的平方是17，求m 的值。
9、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
10、如果α和β是方程2x2+3x －1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于βα1+和αβ1+。
巩固练习：1、已知方程2x －3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=_____ , αβ= _____ 。
韦达定理例题初三练习题
韦达定理例题初三练习题韦达定理是高中数学中的重要理论之一，通过韦达定理，我们可以解决一些复杂的几何和代数问题。
今天我们来看几个关于韦达定理的初三练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一定理。
1. 三角形ABC的边长分别为a，b和c，其内角A的对边为a，角B的对边为b，请用韦达定理计算角C的对边c。
解析：根据韦达定理，我们知道a/c = b/a，可以通过交叉相乘得到a^2 = bc，从而可以得到c的表达式为c = sqrt(a^2b)。
因此，角C的对边为sqrt(a^2b)。
2. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(0, 0)，B(4, 0)，C(4, 4)和D(0, 4)。
现在我们要求正方形ABCD的对角线的长度。
解析：对于正方形ABCD，其对角线AC和BD互相垂直且相等。
首先计算AC的长度，根据两点坐标之间的距离公式，我们可以得到AC = sqrt((4-0)^2 + (4-0)^2) = 4*sqrt(2)。
同理，BD的长度也为4*sqrt(2)。
因此，正方形ABCD的对角线的长度为4*sqrt(2)。
3. 在三角形ABC中，AB = AC，角BAC = 80°，BC = 5，请计算三角形ABC中角ABC的度数。
解析：根据韦达定理，我们知道AB/AC = sin(ABC)/sin(ACB)，且AB/AC = 1。
由于AB = AC，所以sin(ABC) = sin(ACB)，即角ABC和角ACB的正弦值相等，从而角ABC的度数与角ACB的度数相等。
又因为角BAC = 80°，所以角ACB = (180° - 80°)/2 = 50°。
因此，角ABC的度数也为50°。
4. 在平行四边形ABCD中，AB = 6，BC = 8，角BAD = 120°，请计算平行四边形ABCD的对角线AC的长度。
解析：平行四边形ABCD中，两对立边相等且对角线互相平分。
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)韦达定理是物理学中的一个重要定理，用于求解力学问题。
它是基于能量守恒和功的定义推导出来的。
韦达定理的表达式为：\[W = \Delta KE \]其中，W表示外力做的功，\(\Delta KE\)表示物体动能的变化。
韦达定理可以应用于各种力学问题，帮助我们分析和计算物体的运动情况和动能的变化。
下面是一些韦达定理的练题及答案，供参考：1. 一个质量为2kg的物体在力为10N的作用下沿着力的方向移动了5m，求外力所做的功。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的质量和加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 10N \cdot 5m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
2. 一个质量为1kg的物体从静止开始，受到一个恒力为5N的作用力，沿着力的方向移动了10m，求外力所做的功和物体的末速度。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的初始速度为零，加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 5N \cdot 10m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
根据动能定理，可以得到：\[W = \Delta KE = \frac{1}{2} mv^2 - 0\]由此可以求解出物体的末速度：\[50 = \frac{1}{2} \cdot 1kg \cdot v^2\]\[v^2 = 100\]\[v = 10m/s\]所以物体的末速度为10米每秒。
韦达定理练习题(含答案)
韦达定理练习题一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是．10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．参考答案与试题解析一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为﹣1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2＝＝﹣1．故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是2019．【分析】由a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之和和两根之积，代入代数式即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．∴ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）＝﹣3﹣2022×（﹣1）＝2019，故答案为：2019．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是﹣3．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，而x1+x2＝﹣3，所以m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为1．【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，再将其代入m+n﹣mn 中即可求出结论．【解答】解：∵m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，∴m+n﹣mn＝﹣2021﹣（﹣2022）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为11．【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出α2﹣α＝9，α+β＝1，再将其代入α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3中即可求出结论．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣9＝0，α+β＝1，∴α2﹣α＝9，所以α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3＝9﹣1+3故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出α2﹣α＝9，α+β＝1是解题的关键．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝﹣2024．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2021，再用a表示a3得到a3＝2022a ﹣2021，所以原式变形为2024（a+b），接着根据根与现实的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根，∴a2+a﹣2021＝0，即a2＝﹣a+2021，∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．故答案为：﹣2024．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是﹣1．【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，把求出的两根之和与两根之积代入计算，即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，∴＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为﹣4．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，故答案是：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再由进行求解即可．【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2，∴，，∴．故答案是：．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是﹣5．【分析】根据根与系数的关系结合＝﹣1，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值．【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣（m+3），ab＝﹣2，∵＝﹣1，即＝＝﹣1，解得：m＝﹣5．∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（m+3）2﹣4×（﹣2）＝（m+3）2+8＞0，∴m＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合＝﹣1，找出关于m的方程是解题的关键．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝﹣7．【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得：m+n＝﹣2，mn＝﹣5，所以mn+m+n＝﹣5+（﹣2）＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是27．【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，采用整体代入求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n﹣＝＝＝3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，利用整体思想代入求值是解题的关键．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为4．【分析】利用一元二次方程解的定义得到x12＝2x1+2，x22＝2x2+2；然后由根与系数的关系求得x1+x2＝2；最后代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．∴x12﹣x22+4x2＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2＝2（x1+x2）＝2×2＝4．故答案是：4．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为5．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝k，x1x2＝4，再把已知的条件进行整理，整体代入运算即可求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝4，∵x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣7＝0，∴k2﹣2×4﹣2k﹣7＝0，整理得：k2﹣2k﹣15＝0，解得：k＝5或k＝﹣3，当k＝﹣3时，Δ＝32﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0，则原方程无实数解，故k＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ4（k﹣1）2+4＞0，由此可证出方程有两个不相等的实数根；（2）把x＝﹣1代入方程，求得k＝1，即可得出2x2+2x＝0，然后解方程即可求出方程的另一个根．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4×2×（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x＝﹣1是该方程的一个根，∴2﹣2k+k﹣1＝0，解得k＝1，∴方程为2x2+2x＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝0，∴方程的另一个根为x＝0．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；（2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC与AB＝BC两种情况求出k的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，∴无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：x＝＝，即x1＝k+2，x2＝k+1，∵AB、AC是方程的两个实数根，∴AB≠AC，∵BC＝5，∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，∴k＝3或4，故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了根与系数的关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，判断Δ与0的关系．（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，再利用x1＝3x2形成关于m 的方程，然后求解即可．【解答】（1）证明：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣4m，c＝4m2﹣4．∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣4）＝16＞0．∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：若此方程的两个根分别为x1，x2，由题意得，x1+x2＝4m，x1x2＝4m2﹣4．∵x1＝3x2，∴3x2+x2＝4m，即x2＝m，∴x1＝3m，∴3m•m＝4m2﹣4，即m2＝4，解得m＝±2．当m＝﹣2时，x1＝﹣6，x2＝﹣2．此时x1＜x2，不符合题意．∴m＝﹣2舍去故m的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，及根与系数的关系，根据根与系数的关系及两个根的关系得到方程中有关参数的方程是解题的关键．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．【分析】（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．【解答】解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2，﹣；（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，∴p+2q＝7，2pq＝2，∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．。
韦达定理全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
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韦达定理练习
1、已知关于x的一元二次方程x+x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
5、已知x
1、x2是方程x+6x+3=0的两个实数根，则
6、如果关于x的一元二次方程x﹣6x+c=0没有实根，那么c 的取值范围是 _________ 、
7、已知关于x的一元二次方程x+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是
8、方程x﹣2x﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则=
_________ 、
9、已知α，β是一元二次方程x﹣4x﹣3=0的两实数根，则代数式= _________ 、
10、已知x=2是方程x+mx﹣2=0的一个解，则方程的另一个解为
11、用指定的方法解方程
22﹣25=0 x+4x﹣5=0
[1**********]的值等于
﹣10+25=04）2x﹣7x+3=0
12、+3+2=0
13、已知关于x的一元二次方程x+2x+m=0、
当m=3时，判断方程的根的情况；
当m=﹣3时，求方程的根、
14、当实数k为何值时，关于x的方程x﹣4x+3﹣k=0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根、
15、阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=﹣，x1x2=、这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x+6x﹣3=0的两根，求222222x1+x2的值、解法可以这样：∵x1+x2=6，x1x2=﹣3则x1+x2=﹣2x1x2﹣2×=
42、
请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x﹣4x+2=0的两根，求：
的值；
222222222的值、
16、已知x1，x2是方程3x+2x﹣1=0的两根，求x1+x2的值、
17、已知关于x的一元二次方程x+kx﹣1=0，
求证：方程有两个不相等的实数根；
设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，求k的值、
18、已知x
1、x2是一元二次方程2x﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，且x
1、x2满足不等式x1•x2+2＞0，求实数m的取值范围、
19、已知x1，x2是方程x﹣2x﹣2=0的两实数根，不解方程求下列各式的值：
20、已知一元二次方程x﹣2x+m=0、
若方程有两个实数根，求m的范围；
若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值、
2222222；、
21、阅读材料：
如果x
1、x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两根，那么，名的韦达定理、现在我们利用韦达定理解决问题：
2已知m与n是方程2x﹣6x+3=0的两根
填空：m+n= _________ ，m•n= _________ ；
计算
22、已知关于x的一元二次方程x﹣2x﹣a=0、
如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足
23、已知关于x的一元二次方程kx﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x
2、
求k的取值范围；
是否存在实数k，使 +=1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由、222，、这就是著的值、，求a的值、。