专题二 培优点10 平面向量“奔驰定理”

△PCA，△PAB
的面积分别为12，x，y，则
x＋y
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3 的最大值是___3_____.
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解析 根据奔驰定理得，12P→A＋xP→B＋yP→C＝0， 即A→P＝2xP→B＋2yP→C， 平方得A→P2＝4x2P→B2＋4y2P→C2＋8xy| P→B|·|P→C|·cos∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，
例
(1)已知点 A，B，C，P 在同一平面内，
P→Q＝13P→A，Q→R＝13Q→B，
→
RP
＝13R→C，则 S△ABC∶S△PBC 等于
A.14∶3
√B.19∶4
C.24∶5
D.29∶6
解析 由Q→R＝13Q→B，得P→R－P→Q＝13(P→B－P→Q)， 整理得P→R＝13P→B＋23P→Q＝13P→B＋29P→A， 由R→P＝13R→C，得R→P＝13(P→C－P→R)，
(3)若 O 为△ABC 的内心，则 a·O→A＋b·O→B＋c·O→C＝0.
备注：若
O
为△ABC
的内心，则
sin
A·O→A＋sin
B·O→B＋sin
→
C·OC
＝0 也对.
(4)若 O 为△ABC 的垂心，则 tan A·O→A＋tan B·O→B＋tan C·O→C＝0.
跟踪演练
1.点 P 在△ABC 内部，满足P→A＋2P→B＋3P→C＝0，则 S△ABC∶S△APC 为
√A.29，49
B.49，29
C.19，29
D.29，19
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解析 根据奔驰定理，得 3O→A＋2O→B＋4O→C＝0，
即 3O→A＋2(O→A＋A→B)＋4(O→A＋A→C)＝0， 整理得A→O＝29A→B＋49A→C，故选 A.
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3.设点 P 在△ABC 内且为△ABC 的外心，∠BAC＝30°，如图.若△PBC，
(3)过△ABC 重心 O 的直线 PQ 交 AC 于点 P，交 BC 于点 Q，P→C＝34A→C，
Q→C＝nB→C，则
n
3 的值为____5____.
解析 因为 O 是重心，所以O→A＋O→B＋O→C＝0，即O→A＝－O→B－O→C，
P→C＝34A→C⇒O→C－O→P＝34(O→C－O→A)⇒ O→P＝34O→A＋14O→C＝－34O→B－12O→C， Q→C＝nB→C⇒O→C－O→Q＝n(O→C－O→B)⇒O→Q＝nO→B＋(1－n) O→C， 因为 P，O，Q 三点共线，所以O→P∥O→Q，
所以| P→A|＝|P→B|＝|P→C|，
且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以 x2＋y2＋xy＝14， (x＋y)2＝14＋xy≤14＋x＋2 y2，
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解得 0<x＋y≤ 33， 当且仅当 x＝y＝ 63时取等号. 所以(x＋y)max＝ 33.
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本课结束
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√A.310
1 B.31
1 C.32
1 D.33
解析 根据奔驰定理得， S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5， ∴S△PAB＝S△QAB＝12S△ABC， ∴PQ∥AB， 又∵S△PBC＝16S△ABC，S△QBC＝15S△ABC，
→ ∴||PA→QB||＝15－16＝310.
A.2∶1
B.3∶2
√C.3∶1
D.5∶3
解析 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3. ∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
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2.点 O 为△ABC 内一点，若 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设A→O＝λA→B＋
μA→C，则实数 λ 和 μ 的值分别为
所以－34(1－n)＝－12n，解得 n＝35.
能力 提升
“奔驰定理”与三角形“四心”：
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
(1)若 O 为△ABC 的重心，则O→A＋O→B＋O→C＝0. (2)若 O 为△ABC 的外心，则 sin 2A·O→A＋sin 2B·O→B＋sin 2C·O→C＝0.
专题二 三角函数与解三角形
定理：如图，已知 P 为△ABC 内一点，则有 S△PBC·P→A＋S△PAC·P→B＋ S△PAB·P→C＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰 定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三 角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
整理得P→R＝－12P→C，∴－12P→C＝13P→B＋29P→A，
整理得 4P→A＋6P→B＋9P→C＝0，
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
(2)已知点 P，Q 在△ABC 内，P→A＋2P→B＋3P→C＝2Q→A＋3Q→B＋5Q→C＝0，则
→ |P→Q |等于
|A B |