线段的定比分点与平移
5-4新田中学-线段的定比分点与平移
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
高二数学向量知识点总结
高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的大体定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
【命题规律】重点考查概念和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主如果向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。
28、线段的定比分点与平移
线段的定比分点与平移知识点归纳1、线段的定比分点定义：设P 1,P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使 ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。
当点P在线段21P P 上时，______0λ；当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时，λ 0。
2、定比分点的坐标形式: 若点P 分有向线段21P P 所成的比是λ则，____________________x y =⎧⎪⎨⎪=⎩,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y)3、中点坐标公式: 当λ=1时，分点P 为线段21P P 的中点，即有______________x y =⎧⎪⎨⎪=⎩ 4、ABC ∆的重心坐标公式：____________________x y =⎧⎪⎨⎪=⎩5、平移公式: 设点),(y x P 按向量),(k h a =平移后得到点),(y x P '''，则P O '＝+a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=-一、定比分点坐标公式的应用例1、已知点(0,0),A B C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于 。
例2、已知ABC 的三个顶点为(1,5),(2,4),(6,4)A B C ---,BC 边上有一点M ，使ABM 的面积等于ABC 面积的14，求线段AM 的长度。
例3、已知点)2,5(),4,1(B A --，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P ，点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ。
二、平移的应用例1、把点(3,5)A 按向量(4,5)a =平移，平移后对应点'A 的坐标为 。
第 26 讲 线段的定比分点及平移
第 26 讲 线段的定比分点及平移（1课时）线段的定比分点及平移 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧+='+='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⎪⎩⎪⎨⎧化简曲线方程平移公式定比分点坐标公式的确定外分点内分点线段的定比分点k y y h x x y y x x x x λλλλλ112121 重点：1．定比分点的意义以及λ的确定。
2．分点公式的掌握和应用。
3．平移公式的理解和应用。
难点：1．定比分点公式的掌握。
2．利用平移公式化简。
2．掌握平移公式并能熟练运用。
3. 求函数平移后的表达式。
点P 分有向线段21P P 所成的比：设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上异于P 1、 P 2的任一点，则存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，称λ为点P 分21P P 所成的比。
当点P 在线段21P P 内时，称点P 为21P P 的内分点，此时0>λ,并且 =λ 。
特别地，当P 和1P 重合时，0=λ。
当点P 在线段21P P （或12P P ）的延长线上时，称点P 为21P P 的外分点，此时0<λ,并且=λ 。
特别地，当P 和2P 重合时，λ不存在。
注意的含义：比值λ是数量之比，而不是长度之比。
注意定比分点的特定位置：求λ时，21PP P P =λ 或21PP P P -=λ 中，1P 是起点，2P 是终点，P 是分点。
2．线段的定比分点公式设P P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为)(11y x ，、)(y x ， 、)(22y x ，，则有定比分点公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 。
特别地，当P 是21P P 的中点时，则有中点公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 。
设△ABC 的三个顶点为A )(11y x ，，B )(22y x ，，C )(33y x ，，则△ABC 的重心G(x , y )的坐标为 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x 。
平面向量及正余弦定理
平面向量【知识结构】平面向量向量 解斜三角形向量的概念 向量的运算 正弦定理 余弦定理零向量 向量的加减法 平面向量的坐标表示 单位向量平行向量 三角形法则 实数与向量的积 线段的定比分点 相等向量 平行四边形法则 平面向量的数量积坐标平面上两点间的距离 平移【基础知识要点】一、向量的基本概念 1.向量既有大小．．又有方向．．的量叫做向量。
物理学中叫做矢量。
如力、速度、加速度、位移就是向量。
⑴向量可以用一条有向线段（带有方向．．的线段）来表示，用有向线段的长度．．表示向量的大小．．，用箭头所指的方向表示向量的方向。
以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB 。
线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作||AB 。
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
⑵向量也可以用一个小写字母,,,a b c …（注意：手写体必须在小写字母上画上方向箭头，如：,,,a b c …）来表示；⑶向量还可以用两个大写字母上加箭头表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点），如,AB MN 等。
2.向量的长度（或“模”）向量AB （或a ）的大小，也就是向量AB （或a ）的长度（或称“模”），记作||AB ，a 的模为||a 。
注意：向量是既有大小．．又有方向．．的量，不同于数量（只有大小而没有方向）；数量可以直接比较大小，而向量不能直接比较大小，但可以比较向量的模的大小（因为向量的模是正数或0，可以进行大小比较）。
3.零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。
显然|0|0=，但零向量的方向是不确定的。
4.单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
||AB AB ±表示与AB 同（反）方向的单位向量；||aa ±表示与a 同（反）方向的单位向量。
5.平行向量（或共线向量）ba b +aba b + aABA 方向相同或相反的非零向量．．．．，叫做平行向量。
平行向量也叫做共线向量。
5.4 线段的定比分点与平移
1 ∵ | AP | | AB | ， 3
又A（-1，6），B（3，0），
1 3 1 2 x 1 3 1 1 2 λ = 时， 2 1 6 0 y 2 4 1 1 2
设P（x，y），则由定比分点坐标公式得
1 1 3 7 4 x 1 3 1 1 4 λ = 时, 1 4 6 0 y 4 8 1 1 4
思维启迪
（1）利用向量的夹角公式求解；
（2）先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ )+B的形成，再 利用角x的范围求最大值； （3）先化简f(x)=Asin(ωx+φ )，再设m的坐标，按平 移公式理顺关系求解. π 解 （1）∵x= , 4 ∴a= 6 ， 2 ）,b=(0, 2 ), （ 2 2 2 2 1 则a·b= （ 6 ， 2 ） （ 0， ） , · 2 2 2 2 a· b cos〈a，b〉= |a|· |b|
1 , 2 2 2· 2 1 2
［1分］
［3分］
π ∴向量a、b的夹角为 . 3
［4分］
（2）c·d=(sin x,cos x)·(sin x,sin x) =sin2x+sin xcos x
1 cos 2 x sin 2 x 1 1 (sin 2x-cos 2x) 2 2 2 2 π 1 2 = sin(2x) 4 2 2 π π π 3π ∵x∈［0, ］,∴ 2 x . 2 4 4 4 π π 3π 当2x- ,即x= 时， 4 2 8 2 1 c·d取最大值 . 2
λ =1 P为中点 内分点
λ >1 在中点与P2 之间
（2）线段定比分点坐标公式 设点P分有向线段 P P 所成的比为λ ，即 P P PP ， 1 2 1 2 x1 x2 并且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，则x= 1 ,y= y1 y2 1 (λ ≠-1)，特别地，当P(x,y)是 P P 的中点时， 1 2 x1 x2 y1 y2 有x= ,y= .2 2
高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移随堂检测
1 【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移随堂检测 理（含解析）人教版1．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有B C →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12C ．－3D ．－13解析：选C.由三角形内角平分线定理有AB AC ＝BE EC＝2， ∴E 为BC 的三等分点．又B C →＝λCE →，∴λ<0，得λ＝－3，故选C.2．把函数y ＝e x 的图象按向量a ＝(2,3)平移，得到y ＝f (x )的图象，则f (x )等于( ) A ．e x －3＋2 B ．e x ＋3－2C ．e x －2＋3D ．e x ＋2－3解析：选C.函数y ＝e x 的图象按向量a ＝(2,3)平移，即把y ＝e x 的图象向右平移两个单位，再向上平移3个单位得到f (x )的图象．∴f (x )＝e x －2＋3.故选C.3．若函数y ＝f (x )的图象按向量a 平移后，得到函数y ＝f (x ＋1)－2的图象，则向量a 等于( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1，－2)D ．(－1,2)解析：选C.可知函数y ＝f (x ＋1)－2的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移了1个单位，向下平移了2个单位，故选C.4．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2F D →，则椭圆C 的离心率为________． 解析：设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2FD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x D －c ，－b ＝2y D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x D ＝3c 2，y D ＝－b 2.∴3c 22a 2＋－b22b 2＝1，即e 2＝13. ∴e ＝33. 答案：33。
线段的定比分点与平移
2
2
2
所以 F 的函数解析式为 y 2x 2 8x 6 。 例 4 是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后过原点，且平移后的抛物线 的顶点和它与 x 轴的两个交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若存 在，求出函数的解析式。 解：假设存在这样的平移 a (h, k ) ， 由平移公式
x2
A(-1,-4)
o
P1
P2
x
1 2 5 9 4 2 2 3 ， y2 0 ，即 P2 (3,0) 1 2 3 1 2
由 P A 1 AP ，得： 1 1 2 由 PB 2 BP ，得： 5 1 2
1 13 1 ，∴ 1 ； 2 1 1
x 1 1 的图象按向量 a (2, 1) 平移，可得 y 的图 x2 x
由平移公式知，由 f ( x) 象，反之，由 y 象，即，将 y
1 x 1 的图象按向量 b a (2,1) 平移，可得到 f ( x) 的图 x2 x
1 的图象先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，便得到 x
××××中学教学设计方案
年 课 题
线段的定比分点与平移
月 章节
日
星期
第
节
第五章 第三节
教 学 目 的
知 识 目 标 能 力 目 标 德 育 目 标
1．掌握线段的定比分点和中点公式，并能熟练运用； 2．掌握平移公式，并能运用它们求平移向量或平移前后解析式。
培养学生基本运算能力、数形结合能力。
激发学生的学习兴趣。
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线段的定比分点公式及图象的平移
(
点P内分 1P2时，λ 0;点P外分 1P2时，λ 0 P P
)
二.线段定比分点坐标
公式： x1 λx2 x 1 λ ①设P分有向线段 P1P 2比λ，即 P1P λPP 2，P 1(x 1 ,y 1 ) P 2(x 2 ,y 2 ),P(x, y), 则： y y1 λy2 1 λ
2
1焦点坐标为____ _
__;
准线方程为_____
x1 x 2 λ 1时，中点公式： x 2 a λ b ②向量式： OP y y1 y 2 P 1 λ P1 2 P为中点时， OP a b a
P2
b
三.平移公式
/
2
/
O
●
设A(x, y), B(x ,y )
a
B
OB OA a / x x h / y y k
/ /
设 a (h,k)
/
x x h / y y k / / x 1 y 2 x h 1 yk 2
即：y 2
x h 1
k 1且h 1 0 k 1且h 1
法2：图象变换
y), 平移后对应点(x
,y )
y 2 1 y 2
_________
反思：平移公式解决三
类问题：
已知原解析式
a (h, k)
？
a (h, k) ? 新解析式 a ？ 新解析式 已知原解析式
例2：(定比分点公式
应用) P1(3, y),
①如果P 1，P 2，P 3 三点在同一直线上，且 | P1P 3 |
P 2(x, 1), P 3(0, 3), 3,求P 2 坐标 | P 3 P 2 | ( 1, 1)及(1, 1) ②点A( 1,6)和B(3,0 )在直线AB上，求一 使 | AP | 1 3 | AB | ( 点P，
03线段的定比分点及平移
>0
点不能与B点重合 点重合， QP点不能与 点重合，所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移， 6.将函数 y = − x 进行平移，使得到的图象与原函数的 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导 三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式： , ) 三角形重心公式： ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 图形平移： 是坐标平面内的一个图形， 图形平移 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 所有的点按照同一方向移动同样长度 即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。 ， ，我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式：点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式： 平移公式
一、线段的定比分点 1.定义 设 P 、P2 是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .
第五章 第四节 线段的定分比点与平移
同步检测训练一、选择题1．已知点P 分有向线段P 1P 2→的比为λ，则下列结论中正确的是( ) A ．λ可以是任意实数 B ．λ是不等于零的实数C ．当λ<－1时，点P 必在P 1P 2→的延长线上D ．当－1<λ<0时，点P 在P 1P 2→的延长线上 答案：C解析：因为点P 是线段P 1P 2→上异于P 1、P 2的点，λ∈R 且λ≠0，－1，故A 、B 错；当λ<－1时，点P 在线段P 1P 2→的延长线上；当－1<λ<0时，点P 在线段P 2P 1→的延长线上；当λ>0时，点P 在线段P 1P 2→上．2．若A 、B 、C 三点共线，点C 分有向线段AB →所成的比是－3，则B 分有向线段AC →所成的比是( )A ．2 B.12C ．－12D ．－2答案：A解析：依题意可得，AC →＝－3CB →，AB →＝2BC →，即B 分有向线段AC →所成的比为2.3．(2008·重庆·文)若点P 分有向线段AB →所成的比为－13，则点B 分有向线段P A →所成的比是( )A ．－32B ．－12C.12D ．3 答案：A解析：由已知，得AP →PB →＝－13，则点B 分有向线段P A →所成的比是λ＝PB →BA →＝－32.4．将y ＝2cos(x 3＋π6)的图象按向量a ＝(－π4，－2)平移，则平移后所得图象的解析式为( )A ．y ＝2cos(x 3＋π4)－2B ．y ＝2cos(x 3－π4)＋2C ．y ＝2cos(x 3－π12)－2D ．y ＝2cos(x 3＋π12)＋2答案：A解法一：图象按向量a ＝(－π4，－2)平移，即向左平移π4，向下平移两个单位，∴平移后的表达式为y ＝2cos[13(x ＋π4)＋π6]－2＝2cos(x 3＋π4)－2.解法二：设平移后的坐标为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π4，y ′＝y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋π4y ＝y ′＋2，∴y ′＋2＝2cos[13(x ′＋π4)＋π6]，∴y ′＋2＝2cos(x ′3＋π4)．即y ＝2cos(x 3＋π4)－2.5．将圆x 2＋y 2＝1按向量a ＝(2，－1)平移后，恰好与直线x －y ＋b ＝0相切，则实数b 的值为( )A ．3±2B ．－3±2C ．1±2D ．－2±2 答案：B解析：将圆x 2＋y 2＝1按向量a ＝(2，－1)平移后，圆心变为(2，－1)，半径不变，根据直线与圆相切的定义得|2－(－1)＋b |12＋(－1)2＝1，解得b ＝－3±2.6．(2009·福州质检)已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上 答案：B解析：CB →＝λP A →＋PB →，CB →－PB →＝λP A →，CP →＝λP A →，则P 在AC 边所在的直线上，故选B.7．(2009·广东重点中学)如右图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ＝( )A.a ·b |a |2B.a ·b |a ||b |C.a ·b |b |2D.|a ||b |a ·b 答案：A解析：BC →＝λa －b ，a (λa －b )＝0，则λ＝a ·b |a |2，故选A.8．(2009·河南商丘二模)如右图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MD →·NC →的值是( )A ．2B ．5C ．26D ．29 答案：C解析：OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝6，∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°，MD →·NC →＝(OD →－13OA →)(OC→－13OB →)＝26，故选C. 二、填空题9．(2009·武汉4月)在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5，O 为△ABC 的内心，且AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.答案：56解析：内切圆的半径为R ＝3＋4－52＝1，AO →＝13AB →＋14AC →，又AO →＝λAB →＋μBC →＝(λ－μ)AB→＋μAC →，λ－μ＝13，μ＝14，则λ＋μ＝56，故填56.10．在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…P n (n,2n )，….如果n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．(用n 表示)答案：23(4n －1)解析：P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k )，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n －1＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)．11．(上海四校)如右图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，则△BDF的面积S 的最大值是________．答案：132解析：因为△ABC 的面积为1，AEAC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2，因为D 是AB 的中点．所以△BDE 的面积为λ22，因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积为12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，当且仅当λ1＝λ2时，取得最大值．三、解答题12．已知△ABC 的三个顶点A (1,2)、B (4,1)、C (3,4)． (1)求AB 边上的中线CM 的长； (2)求∠A 的平分线AD 的长；(3)在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把△ABC 的面积分成4∶5的两部分(三角形面积∶四边形面积)，求点P 的坐标．解：(1)M 为AB 的中点，∴x M ＝1＋42＝52，y M ＝2＋12＝32，∴所求的中线CM 的长为|CM |＝(52－3)2＋(32－4)2＝262.(2)D 分∠A 的平分线与BC 的交点，∴D 分BC →所成的比为λ＝|BD ||DC |，根据三角形内角平分线的性质，有|BD ||DC |＝|AB ||AC |＝52， ∴x D ＝4＋5×321＋52＝25－1，y D ＝16－65，∴|AD |＝(25－1－1)2＋(16－65－2)2＝425－11 5. (3)S △APD S △ABC ＝(|AP ||AB |)2＝49，∴|AP ||AB |＝23.∴P 分AB →所成的比λ＝AP →PB→＝2.∴x P ＝1＋2×41＋2＝3，y p ＝2＋2×11＋2＝43，故P 点坐标为(3，43)．13．(1)点(3,4)按向量a 平移后得点(－2,1)，求函数y ＝2x 的图象按向量a 平移后所得图象的函数解析式：(2)函数y ＝log 2(2x －1)＋4的图象是经过怎样的平移，可以得到函数y ＝log 22x 的图象． 解：(1)设a ＝(h ，k )，则h ＝－2－3＝－5， k ＝1－4＝－3，故a ＝(－5，－3)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －5y ′＝y －3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋5，y ＝y ′＋3. ∴y ′＋3＝2x ′＋5，则y ′＝2x ′＋5－3.∴平移后函数的解析式为y ＝2x ＋5－3.(2)∵y ＝log 2(2x －1)＋4，∴y －4＝log 22(x －12)．∴把y ＝log 2(2x －1)＋4的图象向左平移12个单位，再向下平移4个单位便可得到y ＝log 22x 的图象．故a ＝(－12，－4)．14．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ；(2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．解：(1)依题意得，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x＝1＋2sin(2x ＋π6)．由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32.∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin2x 的图象按c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1.∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.15．已知抛物线C ：y ＝x 2＋2x ＋3， (1)求抛物线顶点A 的坐标；(2)把顶点按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)；(3)将已知抛物线C 按b ＝(2,3)平移，得到抛物线C ′，求C ′的函数解析式； (4)求将已知抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式． 解：(1)y ＝(x ＋1)2＋2，∴抛物线顶点A 的坐标为(－1,2)．(2)由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－1＋3＝2，y ′＝2＋2＝4.∴对应点A ′的坐标为(2,4)．(3)设P (x ，y )是已知抛物线C 上任意一点，它在C ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，由平移公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋2，y ′＝y ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－2，y ＝y ′－3. 代入y ＝x 2＋2x ＋3中，得y ′－3＝(x ′－2)2＋2(x ′－2)＋3. 即y ′＝x ′2－2x ′＋6.∴C ′的函数解析式为y ＝x 2－2x ＋6.(4)将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移，使点A (－1,2)与点O (0,0)重合． 设AO →的坐标为(m ，n )．则由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0－(－1)＝1，n ＝0－2＝－2.设P (x ，y )是抛物线y ＝x 2＋2x ＋3上任意一点，平移后对应点为P ′(x ′，y ′)，由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋1，y ′＝y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′＋2.代入y ＝x 2＋2x ＋3中，得y ′＋2＝(x ′－1)2＋2(x ′－1)＋3. 即y ′＝x ′2.∴所求的函数解析式为y ＝x 2.。
高中数学 5.3线段的定比分点与平移配套课件 理 新人教
，
y
y1 y2 y3
____3_____
即重心G的坐标为_(_x_1 __x3_2__x_3_,_y_1__y_32___y_3 )_.
【即时应用】 (1)已知A(-2，-2)，B(1，1)，C(0，3)，则线段AB的中点坐标 为_____，△ABC的重心的坐标为_____. (2)已知P1(-1,0),P2(0,2),点P分有向线段 P1P2所成的比λ =-3， 则点P的坐标为_____. (3)已知直线y=2x上三点A(-1，-2)、B(1，2)、C(2，4)，则点 C分有向线段 AB所成的比λ =_____.
【方法点睛】
1.确定λ 的值的常用方法 (1)定义法：由向量 P1P与 PP2的方向是否相同确定λ 的符号(相 同为正，相反为负)；由向量 P1P与 PP2 的长度确定λ 的绝对 值，即 | | | P1P | .
第三节 线段的定比分点与平移
三年3考 高考指数:★★ 1.掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练地运用所学 知识解决相关问题. 2.掌握平移公式，并能熟练地应用平移公式解决问题.
1.新课标教材中无本节内容，故大纲卷对线段的定比分点与平 移的考查有所淡化. 2.对线段的定比分点与平移的考查，各种题型都可能出现，主 要考查线段的定比分点坐标公式和向量平移公式.
1 0 13
1 2
, P( 1
, 3).
06 3
2
1 1 3
(3)由定比分点坐标公式，得 2 1 ，解得λ=-3.
1
答案：(1) ( 1， 1) ( 1，2) (2) (1，3)
22
33
2
(3)-3
3.平移公式
设P(x,y)是图形F上任一点，它按向量a=(h,k)平移后的图形
线段的定比分点与平移
拓展·整合·升华
2 x 1.函数 y 按向量a平移此函数图象,使其化简为反比 1 x
例函数的解析式,则向量a为( (A)、(-1,1) (B)、(1,-1) 2.（2004年福建）例3
D
) (C)、(-1,-1)
(D)、(1,1)
例 1.已知三点 A(1，2)、 B(4，1)、C(3，4)，在线段 AB上 取一点 P ，过 P 作直线与 BC 平行交 AC 于 Q ，△ APQ 与梯 形PQCB的面积之比是4∶5，求点P的坐标.
能力·思维·方法
例2.（1）求函数y=3sin2x的图象按向量a= ( ,1) 平移后的 4 图象的解析式；
h m 2, k 3 x' x 2 x x'2 2 0 (2) 2 4由平移公式得 那么 ∴ y y'3 y' y 3 n 0 3 3 即顶点O′的坐标为（-2，3）。
将它代入y=x2+4x+7，得到y′+3=(x′-2)2+4(x′-2)+7 整理得 y′=x′2 即：y=x2
能力·思维·方法
思考：如果将抛物线y=x2+4x+7看作是从其顶点 在坐标原点的位置平移过去的，怎样求得平移 向量a和原抛物线的函数解析式？
答案：a=(-2,3) y=x2
误解分析
1.利用定比分点解题时，一定要先把定比 λ先明确，λ的意 义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错.
2. 利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之 间关系. 一般地，函数y＝f(x)的图象按a＝(h，k)平移后所得图 象的解析式为y-k＝f(x-h)，即y＝f(x-h)+k.
【精品含答案】高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2007·辽宁高考）若函数)x (f y =的图象按向量a 平移后，得到函数2)1x (f y -+=的图象，则向量=a （ ）（A ）)2,1(-- （B ）)2,1(-（C ）)2,1(- （D ）)2,1(2. 设点P 在有向线段AB 的延长线上，且|BP |4|AP |=，则点A 分BP 所成的比为（ ）（A ）45- （B ）32-（C ）43- （D ）34- 3. 将函数x 1y =的图象按向量a 平移后，得到1x 12y ++=的图象，则（ ） （A ）)2,1(a = （B ）)2,1(a -= （C ）)2,1(a -= （D ）)2,1(a --= 4.（易错警示题）已知)1,2(P 1-，)5,0(P 2且点P 在21P P 延长线上，使P 2P 21=，则点P 的坐标是（ ） （A ）)11,2(- （B ）)3,34( （C ）)3,32( （D ）)7,2(- 5.（2008·长春模拟）若把一个函数的图象按)2,3(a -π-= 平移后，得到函数x cos y =的图象，则原图象的函数解析式是（ ）（A ）2)3x cos(y -π+= （B ）2)3x cos(y -π-= （C ）2)3x cos(y +π+= （D ）2)3x cos(y +π-= 6. 已知点)2,6(M 1和)7,1(M 2，直线7mx y -=与线段21M M 的交点M 分有向线段21M M 的比为2:3，则m 的值为（ ）（A ）23- （B ）32- （C ）41 （D ）4第Ⅱ卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
数学高考复习名师精品教案：第42课时：第五章 平面向量-线段的定比分点及平移
数学高考复习名师精品教案第42课时：第五章 平面向量——线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移一．复习目标：1．掌握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称问题；2．掌握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定；2．定比分点坐标公式是 ；线段的中点坐标公式是 ；3．平移公式是 ．三．课前预习：1．若点P 分AB 的比为34，则点A 分BP 的比是 ． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =- 平移后，图象的解析式是（ ） ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，则a = ．4．ABC ∆中三边中点分别是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，则ABC ∆的重心是 ．四．例题分析：例1．已知两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP = ，求点A 和点B 的坐标．例2．已知(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．已知函数 22(2)1y x =---的图象经过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．已知,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．已知点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，则点(2,1)按向量a 平移后的坐标是（ ）()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC = ，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED = ，则E 点的坐标为（ ） ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为（ ）()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π= 平移后图象的解析式为sin(24y x π=++，则原来函数图象的解析式为 ．5．已知函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a = ，化简后的函数式为 ．6．已知(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，若1OA OB OP λλ+=+ ，则P 点的轨迹方程为 ．7．已知三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，（1）求三边的长；（2）求AB 边上的中线CM 的长；（3）求重心G的坐标；（4）求A∠的平分线AD的长；（5）在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC∆的面积分成4:5的两部分，求点P的坐标．8．如图已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C--，D点内分AB的比是1:3，E在BC上，且Array BDE∆的面积是ABC∆面积的一半，求E9．将函数2=-的图象进行怎样的平移，才能使平移后得到的图象与函数y x22y x x=--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。
高三理科数学高考复习课件：线段的定比分点和平移
备选例题 1 已知点 P(x,1)，P1(－1，－5)，P2(2,4)． (1)求点 P 分P→1P2的比 λ1 及 x 的值； (2)求点 P1 分P→2P的比 λ2 的值； (3)若P→1Q∥P→2Q且|P→1Q|＝3|P→2Q|，求 Q 点的坐标．
解：(1)由已知 1＝－15＋＋λ41λ1， 解得 λ1＝2，x＝－11＋＋λ21λ1＝1. (2)由P→1P＝2P→P2，得P→1P＝2(P→P1＋P→1P2)， 整理得P→2P1＝－23P→1P. ∴λ2＝－32.
则有
1．点 P 分有向线段P→1P2所成的比是所分有向线 段的数量比，而不是长度比，也不是向量的比， 其分子是起点到分点的有向线段的数量，分母 是分点到终点的有向线段的数量，分子、分母不能颠倒．因 此，点 P 分有向线段P→1P2的比不等于 P 分P→2P1的比．
2．在P1、P、P2三点中，任何一个点都可以看作起点、 分点、终点，解题时可以灵活选取分点，以方便计算．
(3)由P→1Q∥P→2Q且|P→1Q|＝3|P→2Q|知 P→1Q＝3P→2Q或P→1Q＝－3P→2Q，
当P→1Q＝－3P→2Q，即 λ＝3 时， xQ＝－11＋＋λ2λ＝45，yQ＝－15＋＋λ4λ＝74， ∴Q 点坐标为(54，74)． 当P→1Q＝3P→2Q，即 λ＝－3 时， xQ＝－11＋＋λ2λ＝27，yQ＝－15＋＋λ4λ＝127. ∴Q 点坐标为(27，127)．
解法二：∵M 为 AB 中点，故A→M＝M→B， ∴O→B＝O→M＋M→B＝O→M＋A→M. 又A→M＝(5，－1)， ∴O→B＝(3,0)＋(5，－1)＝(8，－1)， O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋M→N＝(－2,1)＋(－4，－2) ＝(－6，－1)． O→C＝O→B＋B→C＝O→B＋M→N＝(8，－1)＋(－4，－2) ＝(4，－3)． ∴B(8，－1)，D(－6，－1)，C(4，－3)．
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结XXXPart 1: Concepts of Vectors and ns of n。
n。
XXXI。
Concepts of Vectors1.Vector: A vector is a XXX.2.Methods of Representing Vectors:1) Geometric n: A directed line segment from a point with a certain n and length (note the starting and ending points).2) XXX: AB XXX.3.Concept of Magnitude: The magnitude of vector AB is its length。
denoted by |AB|。
Magnitudes can be compared.4.Two Special Vectors:1) Zero vector: A vector with a length of 0.denoted by 0.It can have any n.2) Unit vector: A vector with a length of 1 unit is called a unit vector.XXX1.Parallel Vectors: Non-zero vectors with the same or opposite ns are called parallel vectors。
Denoted as a∥b∥c。
Defined as parallel to any vector.2.Equal Vectors: Vectors with the same length and XXX as =。
Any two equal non-zero vectors can be represented by a directed line segment。
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1º 向量 1P与PP2之间位置上有何关系？ 共线向量 向量P 与 之间位置上有何关系？ 2º 既然是共线向量，它们之间的等量关系是什么？ 既然是共线向量，它们之间的等量关系是什么？ P1P= λ PP2
(一).点P分有向线段 P 1 P 2所成的比 一 点 分有向线段
设
P1, P 2 是直线
L上的两个不同点，点P是 L 上
2
二、平移 （1）图形平移的定义 ） 是坐标平面内的一个图形， 设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移 是坐标平面内的一个图形 动同样长度，得到图形F 我们把这一过程叫做图形的平移。 动同样长度，得到图形 ’，我们把这一过程叫做图形的平移。 （2）平移公式 ） 设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的对应点 ’,y = P’(xpp '’)，且 的坐标为(h,k)， x + h ， 的坐标为 x ，则有 ，
x
(二).有向线段P1 P2 的定比分点坐标公式 二 有向线段
x1 + λx 2 x = 1+ λ y = y1 + λ y 2 1+ λ
(三).有向线段P P2 的中点坐标公式 三 有向线段 1
1
x + x2 x = 1 2 y = y1 + y 2 2
'
' y = y+ k
这个公式叫做点的平移公式， 这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的 新坐标与原坐标间的关系。 新坐标与原坐标间的关系。
双基固化
能力提升
规律总结
不同于点 P 1, P 2 的任意一点,则存在一个实数λ,使 λ
P1 P = λ PP 2 ,λ叫做点P分有向线段
P 1 P 2 所成的比。
λ＞0 ＞ λ＜-1 ＜
· P · P
1
1
·P ·P ·P
2
·P ·P ·P
2
l l l
内分点 外分点
·P
-1<λ<0
1
2
练习一:
1 1 .若 点 p 分 有 向 线 段 A B 所 成 的 比 为 3 （1） 求 点 B 分 有 向 线 段 A P 所 成 的 比 （ 2） 求 点 A 分 有 向 线 段 B P 所 成 的 比
课前热身
一.复习引入 1 . 什么叫共线向量？ 什么叫共线向量？ 2 . 共线向量的充要条件是什么？ 共线向量的充要条件是什么？
P1
· · ·
P
P2
3 . 如图，设P1,P2是直线 上的两点，点P是l 如图， 是直线l上的两点 上的两点， 是
上不同于P1,P2 的任意一点，则： 的任意一点， 上不同于
PP2 = ( x 2 − x , y2 − y )
P·
∵
P P = λ PP2 1
x1 + λx2 1+ λ y1 + λy2 1+ λ
(x ∴ − x1 , y − y1 ) = λ ( x 2 − x , y2 − y )
x = x − x1 = λ ( x 2 − x ) ⇒ ∴ y − y1 = λ ( y2 − y ) y =
A P B
4 (1)λ = − =− 3 BP
(2)λ = − BA AP = −4
AB
探究
P 设 P1 ( x1 , y1 )， 2 ( x2 , y2 ) ，P分 P1 P2 所成的比为 λ ，如何 分
点的坐标呢？ 求P(x,y)点的坐标呢？ 点的坐标呢
∵ P = ( x − x1 , y − y1 ) P1