参数估计和置信区间75页PPT
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概率论与数理统计完整课件第七章参数估计PPT课件
n
L(1,2,,k ) L(x1, x2,, xk ;1,2,,k ) f (xi ;1,2,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ln L(1, 2 ,, k ) 0 1
ln L(1, 2 ,, k ) 0 k
该 方 程 组 的 解 ˆi ˆi (x1, x2,, xn),i 1,2,,k ,即 为 i 的 极
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数 F(x;) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2,, X n ) ，构造一个统计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn) 来估 计θ，我们称ˆ(X1, X2,, Xn )为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值 (x1, x2 ,, xn ) 代入估计 量 ˆ(X1, X2,, Xn ) ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ˆ(x1, x2,, xn ) ，这个数值称为θ的点估计值.
如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计 p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的 可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当 X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计 p=3/4.
第10页/共71页
定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 (X1, X2,, Xn ) 的联合分布律
~~ 2n1nLeabharlann ini1n1x(i xix
x
)
2
由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然 估计.
第21页/共71页
• 例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为
p(x;)
第八章 参数估计PPT课件
16
点估计
最大似然估计法
如 果 似 然 函 数 L (x 1 ,x 2 ,...,x n ; )在 ˆ 处 取 得 最 大 值 ,则 称 ˆ 为 总 体 参 数 的 最 大 似 然 估 计 .
由于函数y lnx在定义域内单增,则如果当
ˆ时似然函数L(x1, x2,..., xn;)取得最大值,则 当 ˆ时lnL(x1, x2,..., xn;)也取得最大值;反之 亦然.因此我们只需考虑lnL(x1, x2,..., xn;)的最
(1) X n1 X1 n2 X 2 是的无偏估计 ;
n1 n2
(2)S
2
(n1
1)S12
(n2
1)SLeabharlann 2 2是2的无偏估计
.
n1 n2 2
9
估计量优劣标准
有效估计
设 和 都是的无偏估计，若样本容量为n， 的
方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。
如果在的一切无偏估计量里中， 的方差达到最小， 则称为的有效估计量。
(1) 设为连续型随机变量 , 其概率密度函数为
( x; ), 其中 为未知参数 ,由于样本的独立性 , 样
本( X 1, X 2 ,..., X n )的联合概率密度函数为
n
L( x1, x2 ,..., xn ; ) ( xi ; ) i 1
对于样本 ( X 1, X 2 ,..., X n )的一组观测值 ( x1, x2 ,..., xn )
是 向 量 ,则 求 偏 导 数 );
第 四 ,令 导 数 等 于 零 ,解 出 即 可 .
18
点估计
最大似然估计法的例题
1. 0—1分布中p的最大似然估计；
2. Poisson分布的参数 的最大似然估计； 3. 指数分布的参数 的最大似然估计;
点估计
最大似然估计法
如 果 似 然 函 数 L (x 1 ,x 2 ,...,x n ; )在 ˆ 处 取 得 最 大 值 ,则 称 ˆ 为 总 体 参 数 的 最 大 似 然 估 计 .
由于函数y lnx在定义域内单增,则如果当
ˆ时似然函数L(x1, x2,..., xn;)取得最大值,则 当 ˆ时lnL(x1, x2,..., xn;)也取得最大值;反之 亦然.因此我们只需考虑lnL(x1, x2,..., xn;)的最
(1) X n1 X1 n2 X 2 是的无偏估计 ;
n1 n2
(2)S
2
(n1
1)S12
(n2
1)SLeabharlann 2 2是2的无偏估计
.
n1 n2 2
9
估计量优劣标准
有效估计
设 和 都是的无偏估计，若样本容量为n， 的
方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。
如果在的一切无偏估计量里中， 的方差达到最小， 则称为的有效估计量。
(1) 设为连续型随机变量 , 其概率密度函数为
( x; ), 其中 为未知参数 ,由于样本的独立性 , 样
本( X 1, X 2 ,..., X n )的联合概率密度函数为
n
L( x1, x2 ,..., xn ; ) ( xi ; ) i 1
对于样本 ( X 1, X 2 ,..., X n )的一组观测值 ( x1, x2 ,..., xn )
是 向 量 ,则 求 偏 导 数 );
第 四 ,令 导 数 等 于 零 ,解 出 即 可 .
18
点估计
最大似然估计法的例题
1. 0—1分布中p的最大似然估计；
2. Poisson分布的参数 的最大似然估计； 3. 指数分布的参数 的最大似然估计;
第七章 参数估计PPT资料77页
最先出现的事件是发生概率最大的事件。或者说， 小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。
10
以总体X为连续型随机变量为例说明参数的 最大似然估计。 定 义 (似 然 函 数 ) 设 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f X (, ) ( 为 未 知 参 数 ), 若 的 取 值 使 样 本 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的 联 合 密 度 函 数 在 样 本 观 测 值 ( x1, x2 ,L , xn ) 处 取 得 最 大 ， 记 样 本 的 联 合 密 度 函 数 为 L ( x1 , x 2 ,L , x n , )， 由 样 本 的 特 性 (独 立 同 分 布 — 简 单 随 机 样 本 )， 有
本章引言
统计推断的基本问题可以分为两大类：
一类是估计问题；另一类是假设检验问题。
在实际问题中，往往已知总体X的分布函数的形式，
但其一个或几个参数未知，因此只有在确定这些参数后，
才能通过其分布来计算概率。如何确定这些参数的数值呢？
这就是统计推断中的“参数估计”问题。
借助总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问
2
12
a
EX
3V a r X
b E X 3V a r X
用
X
代
替
EX
，
用
S
2 n
代
替
Var
X
，
再
用
aˆ 代
替
a，
bˆ代
替
b，
aˆ M bˆM
X X
3 S n ,
3
S
。
n
1
其
中
Sn
(
S
2 n
)
10
以总体X为连续型随机变量为例说明参数的 最大似然估计。 定 义 (似 然 函 数 ) 设 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f X (, ) ( 为 未 知 参 数 ), 若 的 取 值 使 样 本 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的 联 合 密 度 函 数 在 样 本 观 测 值 ( x1, x2 ,L , xn ) 处 取 得 最 大 ， 记 样 本 的 联 合 密 度 函 数 为 L ( x1 , x 2 ,L , x n , )， 由 样 本 的 特 性 (独 立 同 分 布 — 简 单 随 机 样 本 )， 有
本章引言
统计推断的基本问题可以分为两大类：
一类是估计问题；另一类是假设检验问题。
在实际问题中，往往已知总体X的分布函数的形式，
但其一个或几个参数未知，因此只有在确定这些参数后，
才能通过其分布来计算概率。如何确定这些参数的数值呢？
这就是统计推断中的“参数估计”问题。
借助总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问
2
12
a
EX
3V a r X
b E X 3V a r X
用
X
代
替
EX
，
用
S
2 n
代
替
Var
X
，
再
用
aˆ 代
替
a，
bˆ代
替
b，
aˆ M bˆM
X X
3 S n ,
3
S
。
n
1
其
中
Sn
(
S
2 n
)
第7章 参数估计—概率课件PPT
X的密度为：
f
x
x 1
0
0 x 1 其他
lnL
n 2
ln
令
dlnL
d
n 2
1
2
1
1
n
ln xi
ni 1
ln xi
i 1
0
即：
n
n
ln xi
i 1
的极大似然估计量为：ˆ
n
n2
2
lnX
i
10
i1
例4：设总体X的概率密度为：f x 1 ex
x
,
0
其它
其中 0, , 是未知常量, X1, , X n 为X的样本，
故 X1 min X1, X 2 ,
, Xn,
又lnL nln
1
n
Xi
i 1
ˆ
令 dlnL d
n
1
2
n i 1
X i X 1
0
ˆ X X1
12
例5：设总体X 服从0, 上的均匀分布， 0未知，
试由样本 x1, x2, , xn求出的极大似然估计和矩估计。
解：1 极大似然估计
5
例2：设总体X的密度为：
f
x
x 1
0
0 x 1 0为未知参数，
其他
X1,
X
，
2
,
X n 为取自X的样本，求的矩估计。
解：E X xf x dx 1 x dx
0
1
令E X X
X 1
2
ˆ X
1 X
6
二．极大似然估计法
极大似然估计的原理介绍
X1, X 2, , X n 是取自X的一个样本，试求, 2的矩估计。
应用统计学第6章参数估计(置信区间)ppt课件
从中解得
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
参数的点估计与区间估计 ppt课件
第七章 参数估计
进行统计推断的一般步骤为: 总体 随机抽样 样本
统计量
作出推断
统计推断的
基本问题
参数的点估计 参数估计问题
参数的区间估计
参数假设检验 假设检验问题
非参数假设检验
参数估计问题: 就是要利用样本, 对总体 分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数 作出估计.
如: 估计产品的废品率; 估计湖中鱼的数量; 估计降雨量等等.
,
2
解得 2E( X ) ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:
2
1
n
X
i
2X
.
n i1
二、 极大似然估计法 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数
估计方法 . 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 .
例如: 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔 从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 是谁打中的呢？
同样是无偏估计量, 有的取值较集中, 有的 取值较分散. 自然是: 取值越集中的越好. 由此 引入了有效性这个标准 .
估计量与样本容量有关, 我们希望: 随着样 本容量的无限增大, 估计量与被估计量任意接近 的可能性越来越大. 由此引入了一致性这个标准.
无偏性: 若 E( ) , 则称 是 的无偏估计.
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
使
概率
n
f
(
xi
;
)d
xi
达到最大的参数
作为
的估计；
i 1
n
n
即求 使 f ( xi;
进行统计推断的一般步骤为: 总体 随机抽样 样本
统计量
作出推断
统计推断的
基本问题
参数的点估计 参数估计问题
参数的区间估计
参数假设检验 假设检验问题
非参数假设检验
参数估计问题: 就是要利用样本, 对总体 分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数 作出估计.
如: 估计产品的废品率; 估计湖中鱼的数量; 估计降雨量等等.
,
2
解得 2E( X ) ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:
2
1
n
X
i
2X
.
n i1
二、 极大似然估计法 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数
估计方法 . 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 .
例如: 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔 从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 是谁打中的呢？
同样是无偏估计量, 有的取值较集中, 有的 取值较分散. 自然是: 取值越集中的越好. 由此 引入了有效性这个标准 .
估计量与样本容量有关, 我们希望: 随着样 本容量的无限增大, 估计量与被估计量任意接近 的可能性越来越大. 由此引入了一致性这个标准.
无偏性: 若 E( ) , 则称 是 的无偏估计.
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
使
概率
n
f
(
xi
;
)d
xi
达到最大的参数
作为
的估计；
i 1
n
n
即求 使 f ( xi;
参数估计 教学PPT课件
• 2.极大似然估计法
•（1）写出总体X的分布律或密度函数f(x,θ)
•（2）写出Biblioteka 然函数L( x1,n
, xn, ) f (xi , )
i 1
•（3）对似然函数取对数 ln L(x1,, xn , )
•（4）对 ln L(x1,, xn , ) 求导得似然方程
•（5）解似然方程，得极大似然估计量
(n
1))
又 X ?, S ? n 16, 0.1, t1 2 (n 1) ?
区间估计例题
• 例2：从自动机床加工的同类产品中随 机抽取16件，测得长度值为：12.50， 12.12，12.01，12.28，12.09，12.16， 12.03，12.01，12.06，12.13，12.07， 12.11，12.08，12.01，12.03，12.06，
0.90的置信区间：
（1）如果已知σ＝0.01 （2）如果σ未知
区间估计例题
解：（1）σ＝0.01已知，a的置信度为1-α的置
信区间为
0.01 ( X n u1 2 )
又 X ?, n 16, 0.1, u1 2 1.645
（2）σ未知，a的置信度为1-α的置信区间为
(X
S n
1
t1
2
ˆ ˆ(X1,, X n )
极大似然估计法例题
例1：设总体X~(0-1)分布,求p的极大似然估计.
解：总体X的分布律 P(X x) px (1 p)1x, x 0,1
似然函数 取对数
n
L( p) pxi (1 p)1xi pnx (1 p)nnx i 1
ln L( p) nx ln p (n nx) ln(1 p)
设产品长度X～N(a,σ2). 求σ2的置信区间（α＝0.05）
7.3置信区间 课件(共15张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
X
u1 2
n
,
X
u1 2
n
第7章 参数估计
15
4
称 θ为θ 的双侧1置信区间的下限; 称θ 为θ的双侧1置信区间的上限,
简称双侧置信下限或者上限. 抽样以后就得到置信区间的观测值:
θ x1, , xn , θ x1, , xn
置信区间
置信水平1 的几何解释
6
第7章 参数估计
5
置信区间
置信水平1 的几何解释
6
第7章 参数估计
6
置信区间
置信区间
第7章 参数估计
14
设 X1, X2 , Xn 是取自正态总体 N , 2 的一个样 本, 给定置信水平为1 ,
已知方差 2，求期望 的 双侧置信区间:
X1
Xn X
Xi
X2
θ
θ
X a X b
置信区间
则 a,b 满足
PX a X b 1
P
a
n
X
b
1
取 a u1 /,2 b u1 /,2
1 置信区间.
其中 θ θ X1, , Xn , θ θ X1, , Xn 都是统计量.
置信区间
第7章 参数估计
13
满足 P a G ˆ, b =1 的 a, b 可以有很多组解，常选择 a, b ，使得左右
两个尾部的概率各为 ，即
2
P G ˆ, b =P G ˆ, a . 2 这样得到的置信区间称为等尾置信区间.
置信水平95%的几何解释
6
第7章 参数估计
7
置信区间
置信水平50%的几何解释
6
第7章 参数估计
8
置信区间
统计学参数估计PPT课件
实际应用中需要注意的问题
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
统计学第8章参数估计精品PPT课件
70 75 80
0
252 100
125 S2
x n1
从计均方(n中算89CDx00值 差1按样x)289本重00122577２002005＝66005的复＝00 7E均抽8915001(7258200值样S5500577000n2方189)00式及588200005588方抽00 差取890028259m 00S5500S２99000n２2人1。，125
8 7
平均数的
6
抽样分布
5
4
3 2
E(x) E(me)
1 0
x me
45 -1
50
55
60
65
70
75
• 一致性：随着样本容量的增大，估计量
的值越来越接近被估计的总体参数
P(ˆ ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
ˆ
结论：
x 为 的无偏、有效、一致估计量；
s n 1为 的无偏、有效、一致估计量；
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是
95%
样本统计量
置信区间
(点估计)
置信下限 L
置信上限 U
一般地，设总体参数，为 L、U为由样本确定的 两个统计量，对于的 给定（0 1），有 P（L U）1 则称（L，U）为参数 的置信度1为的置信区间 L，U分别称为置信区间信 的下 置限与置信上, 限 1为置信度 ,或称置信水平。
x
第一，我们为什么以这一个而不是那一
m 个统计量来估计某个e 总体参数？ m 第二，如果有两o 个以上的统计量可以用
估来计估计量某的个评总价体标参准数：，其估计结果是否一致？
是否一个统计量要优于另一个？
第3讲-置信区间估计ppt课件
3 0.765 1.638 2.353
.05
t值
0 2.920
t
s已知的区间估计例
一个随机样本 n = 25 有 X = 50 和 s = 8. m 的95% 的置信区间估计.
S X ta/2,n1 n
8 50 2 .0639 25
S X ta/2,n1 n
50 2 .0639 8 25
第3讲-置信区间估计
本讲内容
s 已知的均值的区间估计 s 未知的均值的区间估计 比例的区间估计 有限总体的情形 样本大小估计
一个引例
董事长：刘经理，下月我们的销售额估计会有多少？ 刘经理：2400万元左右。 董事长(很疑惑的表情）：左右？左右多少啊？ 刘经理：大概2000万元到2800万元之间。 董事长：你有多大的把握？ 刘经理：90%。 董事长满意的笑了。
区间估计的整体思路
总体
均值, m, 未知 样本
随机样本
均值 X = 50 我有 95% 的置 信度认为 m 在 40和60之间.
总体参数估计
估计总体 参数... 均值 比例 方差 总体均值差 样本 统计
m p s2
m1 - m 2
_
X
p
_ _ x - x
1
s
2 2
区间估计
提供参数值的变化范围 以一个样本的观察为基础 给出对总体参数的接近程度的信息 用概率形式来表示的 不是 100% 确定
2 2
2
2
置信区间估计
置信区间
均值
比例
s 已知
s 未知
比例的置信区间估计
假设 两类结果 总体服从二项分布 可以使用正态近似 置信区间估计
.05
t值
0 2.920
t
s已知的区间估计例
一个随机样本 n = 25 有 X = 50 和 s = 8. m 的95% 的置信区间估计.
S X ta/2,n1 n
8 50 2 .0639 25
S X ta/2,n1 n
50 2 .0639 8 25
第3讲-置信区间估计
本讲内容
s 已知的均值的区间估计 s 未知的均值的区间估计 比例的区间估计 有限总体的情形 样本大小估计
一个引例
董事长：刘经理，下月我们的销售额估计会有多少？ 刘经理：2400万元左右。 董事长(很疑惑的表情）：左右？左右多少啊？ 刘经理：大概2000万元到2800万元之间。 董事长：你有多大的把握？ 刘经理：90%。 董事长满意的笑了。
区间估计的整体思路
总体
均值, m, 未知 样本
随机样本
均值 X = 50 我有 95% 的置 信度认为 m 在 40和60之间.
总体参数估计
估计总体 参数... 均值 比例 方差 总体均值差 样本 统计
m p s2
m1 - m 2
_
X
p
_ _ x - x
1
s
2 2
区间估计
提供参数值的变化范围 以一个样本的观察为基础 给出对总体参数的接近程度的信息 用概率形式来表示的 不是 100% 确定
2 2
2
2
置信区间估计
置信区间
均值
比例
s 已知
s 未知
比例的置信区间估计
假设 两类结果 总体服从二项分布 可以使用正态近似 置信区间估计
应用统计学置信区间估计ppt
⑴问为满足该调查精度要求,至少需要多大得样本？ ⑵如果要求置信度达到99%,调查误差仍为3%,此 时至少需要多大得样本？
24
案例思考题解答(1)
由 d Z /2 p(1 p) / n ，可得
n
Z2 / 2
p(1 d2
p)
本案例中, 当 p 0.5时，p(1 p) 达到最大值，
故需要得样本容量至少为
6
用 Excel 求 2 (n)
可用 Excel 得统计函数 CHIINV 返回 2 (n)
语法规则如下: 格式:CHIINV ( , n )
功能:返回 2 (n) 得值。
7
2、 总体方差 2 得区间估计
设总体 X~N( μ, σ2 ), X1, X2, ···, Xn 为 X 得容量为n得样本,
90、01,90、01,90、02,90、03,89、99
89、98,89、97,90、00,90、01,89、99
(
)
S求2 σ 02 .得01置85信32度为 95% 得置信区间。
10
二、 总体均值μ得区间估计
1、 标准正态分布得右侧 分位点 Z
Z 就是标准正态分布中满足下式得右侧分位点:
P{ Z > Z } =
(n
2 /
1) S 2 (n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
f (x)
/2
1-
/2
012 /2 (n 1)
2/2 (n 1) x
8
【例2】求例1中元件寿命方差 2 得 95% 置信区间。
解:由例1,S2 =196、52,n =10,/2=0、025,
1-/2=0、975,
24
案例思考题解答(1)
由 d Z /2 p(1 p) / n ，可得
n
Z2 / 2
p(1 d2
p)
本案例中, 当 p 0.5时，p(1 p) 达到最大值，
故需要得样本容量至少为
6
用 Excel 求 2 (n)
可用 Excel 得统计函数 CHIINV 返回 2 (n)
语法规则如下: 格式:CHIINV ( , n )
功能:返回 2 (n) 得值。
7
2、 总体方差 2 得区间估计
设总体 X~N( μ, σ2 ), X1, X2, ···, Xn 为 X 得容量为n得样本,
90、01,90、01,90、02,90、03,89、99
89、98,89、97,90、00,90、01,89、99
(
)
S求2 σ 02 .得01置85信32度为 95% 得置信区间。
10
二、 总体均值μ得区间估计
1、 标准正态分布得右侧 分位点 Z
Z 就是标准正态分布中满足下式得右侧分位点:
P{ Z > Z } =
(n
2 /
1) S 2 (n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
f (x)
/2
1-
/2
012 /2 (n 1)
2/2 (n 1) x
8
【例2】求例1中元件寿命方差 2 得 95% 置信区间。
解:由例1,S2 =196、52,n =10,/2=0、025,
1-/2=0、975,
《置信区间详细定义及计算》PPT课件
σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
2
x
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
2
2
则得到σ2随机区间
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
2
x
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
2
2
则得到σ2随机区间