10、习题课(刚体)解析

36mv0 cos 16M 27m l
o
3 l 4
（2）选细棒、泥团和地为系统。
在摆动过程中，机械能守恒。
1 2 l 3 I Mg mg l 2 2 4 l 3 0 Mg cos mg l cos 2 4
v0
解出：

2 2 2 54 m v cos 1 0 cos 1 2 M 3m 16M 27m gl
Ry
Rx
解：轴反力设为 Rx Ry d J 由转动定律： yF J y dt t yF t t 为作用时间 F 得到： J 由质心运动定理： l d l 2 切向： F Rx m 法向： R y mg m 2 dt 2 2 2 2 3y 9 F y (t ) Rx (1 ) F R y m g 于是得到： 2l 2l 3 m
rB
解：A、B滑轮视为两个刚体
o
rA
由转动定律：
M J
fB
fA
滑轮边缘的切向加速度
at r
rB
o
rA
r f 2f M r at r r 1 2 m J mr 2
由题意： at
A
fB
fA
at B
2 f A 2 fB mA mB
f A mA 1 解出： f B mB 2
2 0
v0
2 2
v R H 2g 2g
（2） 系统（碎片和圆盘余下部分）
对O轴角动量守恒.（为什么？）
I I mv0 R
I I mv0 R
1 1 2 2 2 MR MR m R mv0 R 2 2
有： M f dt J d
解出：
2m v1 v 2 t Mg
6. 一质量为M、长为 l 的均匀细棒，悬在通 过其上O且与棒垂直的水平光滑固定轴上而 自由下垂，如图所示。现有一质量为m 的小 泥团以与水平方向夹角为 ，速度为 v0 击在 棒长的 3 4 处，并粘在其上。 求（1） 细棒被击中后的角速度；
1 1 2 2 A J J0 2 2
A Md
1
2
5. 功能原理 6. 机械能守恒定律
1 2 Ek J 2
E p mghc
1. 注意以下几个问题： (1) 粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）
它们的角速度和角加速度均相同，
但不同半径处的速度和加速度不同。
如图，在r处:
来自百度文库
or R
解： m与M碰撞过程，
系统（m,M）对O轴角动量守恒
m v1 L m v2 L J
1 2 J ML 3
v2
v1
o
碰后细棒转动直至停止，受摩擦 阻力矩作用
m与M碰撞之后：
M f xdf
L
dx
L
x
o

t
0
由转动定律
d M J dt
0 0
1 x(dx) g MgL 2
o
3 l 4
（2）细棒摆到最高点时，细棒
与铅直 方向间的夹角 。 解：（1） 选细棒、泥团为系统。 泥团击中后系统的转动惯量为：
v0

o
3 l 4
1 3 2 I Ml m l 3 4
2
v0

在泥团与细棒碰撞过程中对轴O的 角动量守恒！
3 mv0 l sin( 900 ) I 4
r
at r
在R处：
R
at R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体
M 2 o2 R 2
B
C
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 同一根绳上各点的切向加速度相同；线速度也相同；
a t A a t B a t C a t D
A B C D
7. 质量为M,半径为R并以角速度 旋转的 飞轮，在某一瞬时，突然有一片质量为m的 碎片从轮的边缘飞出。假定碎片脱离了飞轮 时的速度正好向上。
求（1） 碎片上升的高度 H=?
（2） 余下部分的 ? 角动量及动能又各为多少？

R
v0
o

R
v0
o
解（1） 碎片作匀加速运动.
v0 R
J铁 J木
由角动量定理得：
L J M t t
由题意：
M相同， 也相同 , 所以：
J木 J铁 t 铁 t 木
J木 t木 t铁 t铁 J铁
因此，铁圆板先停
4、质量为m，长为 l 的均匀棒，如图， 若用水平力打击在离轴下 y 处，作用时 间为t 求：轴反力
习题课
（刚体定轴转动部分）
1. 刚体定轴转动定律：
M J
J r dm
2
J mi ri
2
平行轴定理： J J c md
2
2. 刚体定轴转动的角动量定理：
dL z Mz dt
( Lz J z)
3. 角动量守恒定律： 若M z 0, 则Lz1 恒量
4. 刚体转动动能定理：
3. 现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆 板各一个。令其各自绕通过圆板中心且与圆 板垂直的光滑轴转动。设其角速度也相同。 某时刻起两者受到同样大小的阻力矩，问： 哪种质料的圆板先停止转动？ 解： 铁质和木质圆板的转动惯量分别为：
J铁 1 2 mR铁 2 1 2 J 木 mR木 2
R铁 R木
• 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
TA TB TD
但 TB TC
M 2 o2 R 2
B
C
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 两个圆盘的角速度和角加速度不相等。
1 2
1 2
2. 如图，转轮A、B可分别独立地绕o轴转动。A、B轮 的质量分别为 mA=10kg 和 mB=20kg,半径分别为rA和rB。 现分别用fA和fB分别拉系在轮上的细绳且使绳与轮间无 滑动。为使A、B两轮边缘处切向加速度相同，相应的 拉力fA和fB之比为多少？
5. 质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩擦 系数为 的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面的 固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的小 滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞，设碰撞 时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为 v1 和 v。 2 求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？