《切线长定理》与内切圆
切线长定理及三角形内切圆
例2 PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= 5 ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= 6 .
A
O
P
B
二、三角形的内切圆及作法
思考
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使 截下来的圆与三角形的三条边都相切？
思路引导：半径为 r 的☉I 与△ABC 的三 边都相切，圆心 I 到三角形三边的距离相 等，都等于 r.
B
C
F O
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
B
D
C
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
归纳总结
你学会了吗？
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
小试牛刀
1.下列说法错误的是( C ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
24.2.2.3 切线长定理及 三角形内切圆
九年级上
学习目标
1.探索并证明切线长定理. 重点
2.了解三角形内切圆、内心的概念，对比区分内切圆与外接圆的区别
与联系. 难点 3.会运用切线长定理进行计算与证明. 难点
4.能用尺规作图：作三角形的外接圆.
Байду номын сангаас 新课引入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能 过点P画出⊙O的切线吗？
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
切线长定理和内切圆
“切线长定理”教学设计【学习目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．情景导入生成问题旧知回顾：1.过⊙O内一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？2.过⊙O上一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？3.过⊙O外一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．范例：已知：如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B，Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,∠P=70º.求(1)△PEF的周长。
(2)∠EOF 的度数解：略探究提升：切线长定理的基本图形研究写出所有的垂直关系，相等关系交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 切线长定理当堂检测 达成目标【当堂检测】1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°． (第1题图) (第2题图) (第3题图)2．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是4．提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。
1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。
于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。
3第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。
切线长和圆与圆的位置关系
切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。
（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。
解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。
切线长定理和三角形的内切圆
切线长定理和三角形的内切圆切线长定理和三角形的内切圆，这俩玩意儿看上去有点高深莫测，但其实嘛，真没那么复杂，大家来轻松聊聊。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，跟朋友们一起聚会，话题从生活琐事聊到数学，大家哈哈大笑，结果你一不小心提到了这两样东西。
你朋友们肯定会瞪大眼睛，疑惑地问：“这是什么鬼？”别急，让我来给你解解惑。
切线长定理就像是数学界的小秘密。
啥意思呢？就是在一个圆外，如果你画一条切线，这条线跟圆的交点只有一个，那就有点意思了。
这条切线的长度与从圆心到切线的距离有关。
大家可能会想，听起来好像没啥用。
切线长定理就像生活中的一条真理，适用性非常广。
举个例子，如果你想用一根绳子围住一个圆，绳子长短跟你离这个圆的远近有直接关系。
这种简单的道理其实在很多地方都能找到，比如你在超市排队，越靠近收银台，越容易看到商品，哈哈，明白了吗？说到内切圆，它就像是三角形里的小秘密武器。
内切圆的意思就是一个圆，它刚好能碰到三角形的三条边。
听上去是不是很神奇？这就好比你想象一下，一个小朋友在玩捉迷藏，躲在一个房间的正，四周都有墙壁，但它总能找到一个最舒服的位置，这就是内切圆的感觉。
三角形的每一条边都可以算得上是“朋友”，而这个内切圆就像是它们的聚会地点。
更妙的是，内切圆的半径跟三角形的面积和周长有着密不可分的关系。
这就像是你在聚会中，跟朋友们聊得开心的同时，气氛越好，大家就越会聚在一起，形成一种共鸣。
再说切线长定理和内切圆的关系。
这俩玩意儿就像是一对黄金搭档。
在三角形里，如果我们在三角形的每一边画切线，切线的长度与内切圆的半径又有妙不可言的联系。
简而言之，切线的长度告诉你这个圆有多大，而内切圆又是三角形的灵魂。
大家可以想象，内切圆就像是三角形的情感核心，而切线则是把这情感包围起来的纽带。
它们互相依存，缺一不可。
我们可以通过简单的图形来理解这一切。
想象一下，一个大三角形，中间有一个小圆，圆正好包裹住三角形的每一条边。
你站在三角形的某个顶点，伸出手，发现能碰到内切圆的点。
24.切线长定理及三角形的内切圆课件
作法：
M
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
O
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
D
CC ☉O 就是所求的圆.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
知识要点
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与
点 A 重合的点为 B．
➢ OB 是☉O 的一条半径吗？
A
➢ PB 是☉O 的切线吗？
O
P
➢ PA、PB 有何关系？ B
➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
A
要点归纳
切线长定理：
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
典例精析
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
D
求证：AB + CD = AD + BC.
G C
解：连接 IB，IC.
A
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
I
在△IBC 中，
B
C
BIC 180° (IBC ICB)
180° 1 (ABC ACB) 180° 1 (43° 61°)
2
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)2022秋九年级上册初三数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理和内切圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示切线长定理和内切圆的基本原理。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）2022秋九年级上册初三数学人教版（安徽）
一、教学内容
本节课选自2022秋九年级上册初三数学人教版（安徽）第24章“圆”中的24.2.2节，内容包括：
1.切线长定理：通过直观演示和逻辑推理，使学生理解并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理和三角形内切圆的基本概念。切线长定理指的是从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。三角形内切圆是指可以与三角形的三边都相切的圆，其圆心是三角形三内角平分线的交点。这两个概念在几何学中有着重要的地位和广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个三角形内切圆的实例，展示内切圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决最短路径等问题。
例：在讲解切长定理时，可通过图示或动画演示，让学生直观感受定理的含义，再结合具体例题进行分析。
-实际问题的解决：将切线长定理和三角形内切圆应用于解决实际问题，培养学生的实际应用能力。
例：设计一些与生活相关的实际问题，如道路设计、园林规划等，让学生运用所学知识解决问题。
2.教学难点
-逻辑推理过程：对于切线长定理和三角形内切圆性质的证明，学生可能难以理解其中的逻辑推理过程。
专题8切线长定理及三角形的内切圆-重难点题型
专题2.3 切线长定理及三角形的内切圆-重难点题型【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角（2）三角形内切圆【题型1 切线长定理（周长问题）】【例1】（2021•永定区模拟）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交P A于F，交PB于点G，若P A＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【变式1-1】（2020秋•龙凤区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD 的周长为．【变式1-2】（2020秋•崇川区月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．【变式1-3】（2020秋•锡山区校级月考）如图，P是⊙O外的一点，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB̂上的任意一点，过点C的切线分别交P A、PB于点D、E．若P A＝4，求△PED的周长．【例2】（2020秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（）A．1B．√3C．2D．2√3【变式2-1】（2020秋•新丰县期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为．【变式2-2】（2020秋•东台市期末）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5B．2C．5或2D．2或√7−1【变式2-3】（2020秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的内切圆半径为．【题型3 三角形的内切圆（求面积）】【例3】（2019秋•遵化市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6B．7C．7√3D．12【变式3-1】（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．πB．2πC．4πD．0.5π【变式3-2】（2021•荆门一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A．4√3B．2√3C．2D．4【变式3-3】（2020秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E 为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【例4】（2021•莱芜区三模）如图，锐角△ABC内接于⊙O，I为△ABC内心，已知∠OAB＝50°，则∠AIB的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．135°【变式4-1】（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是．【变式4-2】（2020秋•龙岩期末）如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°【变式4-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．。
九年级数学上册《切线长定理三角形的内切圆内心》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解切线长定理的定义，能够运用定理解决实际问题。
2.熟悉三角形内切圆的概念，掌握内切圆半径的计算方法。
3.掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心。
4.能够运用切线长定理和内切圆知识解决与三角形相关的问题。
1.学生对几何图形的观察能力和空间想象能力，引导他们通过观察、操作、思考等途径，逐步理解并掌握内切圆的性质。
2.学生在解决实际问题时，可能对切线长定理的应用感到困惑。教师需要通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
3.针对不同学生的学习水平和认知风格，教师应采取分层教学和个性化指导，使每位学生都能在课堂上获得成功的体验，增强学习信心。
4.小组合作，探讨以下问题：如何利用切线长定理解决三角形面积问题？请给出至少两种不同的解题方法，并说明各自的优势。
5.思考题：在一个等边三角形内，如何作出一个最大的内切圆？请给出具体的作图步骤，并解释为什么这是最大的内切圆。
6.撰写一篇关于切线长定理和三角形内切圆在生活中的应用的小短文，字数不限，要求内容真实、具体，体现数学在实际生活中的价值。
-设想二：利用几何画板动态演示内切圆半径的变化，帮助学生理解内切圆半径与三角形边长的关系。
2.创设问题情境，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解切线长定理。
-设想一：设计一系列层层递进的问题，引导学生从特殊三角形出发，探索切线长定理的形成过程。
-设想二：组织小组讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，共同推导切线长定理的证明过程。
-设想一：根据学生的认知水平和学习风格，提供不同层次的指导，使学生在各自的基础上得到提高。
切线长定理和内切圆
A
O
经过圆外一点的圆的 切线上，这点和切点 之间的线段的长叫做 这点到圆的切线长
· B
P
切线与切线长一样吗？
它们有什么区别与联系呢？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 E
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
⊙O的名称
⊙O叫做 △ABC的 外接圆
例题讲解
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别
相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm， CA=13cm，求AF，BD，CE的长．
练一练
1.如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么三角形的边长为＿＿＿＿＿＿ 2. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3， AC=4，则它的内切圆半径是＿ 3.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°， 点O是内心，求∠BOC的度数。 4.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l， 求△ABC的面积。
假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形 的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？
三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：与三角形 各边都相切的圆 叫做三角形的内
切线长定理及三角形内切圆
A
E F
O
B
D
C
例2. 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O分别相切于L、M、N、P。
（1）图中有几对相等的线段？
（2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
解：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切， D N
L，M，N，P是切点，
P
C
∴AL=AP，LB=MB，
M
O
DN=DP，NC=MC
A
∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
练 习：
1、已知⊙O的半径为3cm，点P和 圆心O的距离为6cm，经过点P有 ⊙O的两条切线，则切线长为 P ______cm。这两条切线的夹角为 _____度6。0
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角。
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
。
P
O
A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
思考：
如何在一块三角形的铁皮上截下一块圆形
的用料,并且使得圆的面积尽可能大?
大
中 分 校 初 三 数 学 备 课
三 角 形 的 内 切 圆
切 线 长 定 理 及
组
复习1：直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交
直线和圆相切 直线和圆相离
切线长定理和三角形的内切圆(复习)
∴AB = AC 2 - BC 2 = 2 2 - 12 = 3 , ∴△P AB 的周长为 3 3 .
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6.如图 24-2-37, 已知 AB 为☉O 的直径, P A, P C 是☉O 的切 线, A, C 为切点, ∠B AC =30°. ( 1) 求∠P 的大小; ( 2) 若 AB =2, 求 P A 的长( 结果保留根号) .
图 24-2-28
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2.[2012·扬州]如图 24-2-29, P A, P B 是☉O 的切线, 切点分 别为 A, B, 点 C 在☉O 上, 如果∠AC B =70°, 那么∠P 的度 数是
40
度.
图 24-2-29
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【解析】 连接 O A, O B, 如图所示. ∵P A, P B 是☉O 的切线, ∴O A ⊥P A, O B ⊥B P , ∴∠O AP =∠O B P =90°. 又∵∠AC B =70°, ∴∠AO B =2∠AC B =140°, ∴∠P =360°-( 90°+90°+140°) =40°.
图24-2-26
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解: (1)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A =P B , E A =E Q , F Q =F B .∴△P E F 的周长 =P E +P F +E Q +F Q =P E +E A +P F +F B =P A +P B =24 cm. (2)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A ⊥O A, P B ⊥O B , E F ⊥O Q , ∠AE O =∠Q E O , ∠Q F O =∠B F O . ∴∠AO E =∠Q O E , ∠Q O F =∠B O F , ∠AO B =180°-∠
241.4圆周角第3课时切线长定理和三角形的内切圆人教版数学九年级上册
环节2 探究新知1.如图，纸上有一个⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？2.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能发现这个图形中相等的线段吗？有相等的角吗？PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.3.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？1.小组合作 1.OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.过圆外一点能够作圆的两条切线.切线长与切线的区别：①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，是可以度量．2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系预设：部分学生不能够正确的讨论出来。
补救：学生解释，老师补充。
4.如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24,圆O是△ABC的内切圆，切点分别是D,E,F。
①求AB的长；②求圆O的半径；提供了理论依据。
3.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.环节3 当堂练习1.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环1.学生独立完成。
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
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九年级上册
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圆
第3课时 切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢 谢 观 看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
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4.已知：△ABC中,∠A=70º,点O是内心，求 ∠BOC的度数。
A
O
B
C
5、已知△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于
点D、E、F,BC=9cm,AC=13cm,AB=14cm,求AF、
BD和CE的长。
A
F
E
B
D
C
6.如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，三角 形三边与⊙O均相切，切点分别是D、E、F，求⊙O 的半径。
A
P O
B
如何用尺规通过圆外一点画出圆的切线？
A
OO ·
P
B
1.认识切线长：
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
2.研究切线长的性质：A
切线长定理：
过圆外一点
引圆的两条
O
P
切线，它们 的切线长相
B
等。
你还会得到哪些结论？再连接AB呢？
切线长定理与内切圆
圆的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
圆的判定定理：
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
是基本思路）
新课导入：
过一点A作⊙O的切线，
1.当点A在圆内时，能画⊙O的切线吗？ 2.当点A在圆上时，能画⊙O的切线吗？ 3.当点A在圆外时，能画⊙O的切线吗？
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样的切线能画出几条？
A
F
D
O
CE
B
7.已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O
相切于P、Q、M、N，图中存在哪些相等关系？并与圆
内接四边形的性质做对比。
D
MC
N
Q O
A
P
B
1.九下《同步》5.7 巩固，提升。 2.《同步》P14-----37的课前预习填充完 成，典型例题自己做一遍。
3.背诵学过的概念，定理，作图。
AD
OF
P
E B
1.如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F, 相等的线段有哪些？
A
D
F
.O
B
E
C
2.如何画出这个圆？这个圆是三角形中最大的圆吗？
（自阅课本P41，明确内切圆，内心的概念，并与外接圆， 外心的概念做比较）
3.已知：△ABC中,∠ABC=46º,∠ACB=72º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
1.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B， Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F 点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
F
2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线 PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交 PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。