三角函数与解三角形中的范围问题含答案

1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的

a

b 取值围

2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222()()4f x a x a b x c =---，

（1）若(1)0f =，且B －C=3

π，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值围.

（1）确定角C 的大小；

（2）若c =ABC ∆面积的最大值.

4.已知△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，且2(a 2+b 2－c 2)=3ab ．

(1)求cos C ；

(2)若c =2，求△ABC 面积的最大值．

a c a

b b a

c -+=222

（Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -+⋅，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =，(3,cos 2)n A =，试求n m ⋅的最大值.

6．ABC ∆的三个角A B C ，，依次成等差数列．

（1）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；

（2）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2

12222C A A sin cos -的取值围．

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=•AC AB ，BAC θ∠=，4a =.

（1）求b c ⋅的最大值及θ的取值围；

8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =. （1）求角C 的大小；

（2）若ABC △，求最小边的边长．

9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2

74sin cos222B C A +-=． （1）求角A 的度数；

（2）求

b c a

+的取值围．

10．在△ABC 中，sinB+sinC=sin(A-C).

（1）求A 的大小；

（2）若BC=3，求△ABC 的周长L 的最大值.

11．设ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+

2

1cos . （1）求角A 的大小；

（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值围.

12．已知向量)3,(sin ),cos ,1(x n x m ωω==，（0ω>），函数n m x f ⋅=)(且f(x) 图像上一个最高点的坐标为)2,12(

π，与之相邻的一个最低点的坐标为)2,127(-π. （1）求f(x)的解析式。

（2）在△ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足222a c b ac +-=，求角B 的大小以及f(A)取值围。

13．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab c b a +=+222

（1）若A

B b a cos cos =，且2=c ,求AB

C ∆的面积； （2）已知向量)cos ,(sin A A m =，)sin ,(cos B B n -=，求｜n m 2-｜的取值围．

14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

c a b b a c a -=++， （1）求角B 的大小；

（2）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长.

15．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.它的外接圆半径为6. ∠B ，∠C 和△ABC 的面积S 满足条件：22)(c b a S --=且.3

4sin sin =

+C B （1）求A sin

（2）求△ABC 面积S 的最大值.

16．已知C B B A ABC sin 3)cos 3sin (sin =+中，

△ （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若BC=3，求△ABC 周长的取值围.

17．在锐角ABC ∆中 ，三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.12cos sin 2sin 2sin 2=++B B B B

（1）求B ∠的值；

（2）若b=3，求a+c 的最大值.

18．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是,,a b c ，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+．

（1）求角A 的大小；

（2）求2

4sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小．

19．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a,b,c 且ac c b a 21222=

-+. （1）求B C A 2cos 2

sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．

20．已知在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,cos cos cos B c B b C =+

(1)求角B 的大小;

(2)设向量()()cos ,cos 2,12,5m A A n ==-,求当m n ⋅取最大值时,tan C 的值.

参考答案

1．（1）C=6

π（2）0＜C ≤3

π

【解析】（1）∵f （1）=0，∴a 2-(a 2-b 2)-4c 2

=0，

∴b 2=4c 2

，∴b=2c ，∴sinB=2sinC ， 又B-C=3

π.∴sin(C+3

π)=2sinC ，

∴sinC ·cos 3

π+cosC ·sin 3

π=2sinC ，

∴23sinC-2

3cosC=0，∴sin(C-6

π)=0，

又∵-6

π＜C-6

π＜65π，∴C=6

π.

（2）若f （2）=0，则4a 2-2(a 2-b 2)-4c 2

=0， ∴a 2

+b 2

=2c 2

，∴cosC=ab

c b a

2222

-+=

ab

c 22，

又2c 2

=a 2

+b 2

≥2ab ，∴ab ≤c 2

，∴cosC ≥2

1，

又∵C ∈（0，π），∴0＜C ≤3

π.

2．（1）C=

6π

（2）0

π

【解析】解；（1）由f （1）=0，得a 2

－a 2

+b 2

－4c 2

=0， ∴b= 2c …………（1分）.

又由正弦定理，得b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC …………（2分）

∵B －C=3π，∴B=3π+C ，将其代入上式，得sin （3π

+C ）=2sinC ……………（3分） ∴sin （3π）cosC + cos 3

π

sinC =2sinC ，整理得，C C cos sin 3=…………（4分）

∴tanC=

3

3

……………（5分） ∵角C 是三角形的角，∴C=

6

π

…………………（6分） （2）∵f （2）=0，∴4a 2

－2a 2

+2b 2

－4c 2

=0，即a 2

+b 2

－2c 2

=0……………（7分）

由余弦定理，得cosC=ab

c b a 22

22-+……………………（8分）

=

ab

b a b a 222

22

2

+-

+