_一维水沙数学模型基于特征的耦合分析

2 表 2 中 θ 1 = us / ρ 'b + （ ρ b － ρ m ） u / （ ρ 'b ρ m s ） ； θ 2 = s （ ρ s － ρ w ） gh （ 1 － s / ρ 'b ） / （ 2 ρ m ρ s ） + su ρ b / （ ρ m ρ 'b ） 。
DM_2 、 DM_3 及 CM_ 表 2 中 λ1， λ3 ， λ 4 分别表示水流方程 、 泥沙连续方程及河床变形方程的特征值 。 DM_1 、 2， 1 的特征值可表出， 而 CM_2 的特征值满足的是四次多项式， 其解难以直接得到 。 DM_3 和 CM_ 从表 2 中可以看出，DM_1 中水流方程特征值的计算结果与常见的圣维南方程组相同 ，DM_2 ， 2 中水流方程特征值虽然不同于 DM_1 ， 但均未见水流运动受到河床冲淤的影响 。 耦合模型 CM_1 虽然采用了完 整的控制方程， 但特征值计算结果表明水流运动并未受到泥沙输运和河床变形的影响 。 对 于 泥 沙 连 续 方 程 特 征 DM_1 ， DM_2 、 DM_3 及 CM_1 中其没有受到水流运动及河床冲淤的影响， 值 λ 3 而言， 而 CM_2 中其没有受到河床 冲淤的影响 。 从表 2 中还可以看出， 各模型中河床变形方程的特征值 λ 4 均为零， 表示 河 床 冲 淤 在 纵 向 上 不 受 水 流运动与泥沙输运影响 。 值得指出的是， 以上特征值计算过程中方程组的形式是保持不变的 。 但在一些耦合模型求解过程中， 很多研
（ 1. College of Water Conservancy and Hydropower Engineering ，Hohai Unive）
2. State Key Laboratory of Hydroscience and Hydraulic Engineering ，Tsinghua University ，Beijing
第4期
丁
［5］
赟等： 一维水沙数学模型基于特征的耦合分析
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究者往往采用了一定的处理
。 例如， 将方程（ 1b ） 的左端第三项 、 方 程 （ 2c ） 的 左 端 第 四 项 及 第 五 项 移 入 右 端 的
从双 源项中 。 这些处理方法使得模型的所构成的双曲系统实际上又退化到了非耦合模型 时 的 情 形 。 综 前 所 述， 上述模型均没有做到真正意义的耦合 。 曲系统特征理论角度看，
z b hus + =0 t x
（ c） ： ρ' b
z b hus * + =0 t x
（ 4）
表 1 中，h 为水深； u 为流速； z b 为河床高程； i 0 为床面坡降； i f 为摩阻能坡； g 为重力加速度； ρ s ， ρw ， ρ m 分别 为泥沙， 清水及浑水密度，ρ b ， ρ ' b 为床沙饱和密度和床沙干密度； s ，s * 分别为含沙量及挟沙力； α 为恢复饱和系 数； ω 为泥沙沉速 。
［6］
。 因 此， 对于多沙河流数学模型而
其耦合与否的一个重要标志是， 水流运动， 泥沙输运及河床变形之间的相互作用能否综 合 反 映 到 双 曲 系 统 的 言，
1
现有数学模型特征分析
现有一维水沙数学模型常用的基本方程有水流连续 、 运动方程， 泥沙连续方程及河床变形方程， 如表 1 所示 。
每类方程均列出了简化后的形式及完整的形式 。 这些基 本 方 程 可 以 组 合 成 不 同 形 式 的 非 耦 合 和 耦 合 模 型 （ 表 2 CM 表示） 。 DM_1 ， DM_2 ， DM_3 中水流连续方程忽略了河 床 可 动 性 影 响， 中分别以 DM 、 运动方程中忽略了泥沙 CM_2 采 用 了 完 整 的 控 制 方 程 。 DM _3 和 CM _2 中 均 采 用 经 过 恒 定 流 假 设 后 的 输运及河床变形的影响 。 CM_1 、 河床变形方程 。
0
引言
天然冲积河流及明渠水流是典型的浅水流动 。 而多沙河流中水流运动和河床变形之间往往存在较强的耦合
作用， 具体表现为冲淤变化导致的河床变形引起了浅水波传播特性的改变 ， 而后者改变又 影 响 河 床 冲 淤 过 程， 两 者是相互影响的 。 特别是当上游来水来沙量变化很大， 河床存在剧烈变形时， 这种耦合 作 用 尤 其 突 出， 这使得多 沙河流中常出现异于一般少沙河流的一些特殊现象 河流水沙运动与河床变形的关键所在
Abstract ： Eigenvalues of the 1-D mathematic model for alluvial rivers are derived ，and mass and momentum equations of active bed layer are obtained using the assumption of continuum theory． A characteristic coupling model for sediment-laden flows is developed with a characteristic analysis on the fourth-order hyperbolic system used by the model． By the singular perturbation theory ，four families of asymptotic solutions are obtained for the four eigenvalues ，i． e． the speeds of the four dynamic waves that mutually interact． Two of the eigenvalues play a significant role on bed deformation ，while the remaining two have weak effect． There exists a transition region of alluvial river in which bedform disturbance propagates in both the upstream and downstream directions． Key words ： river dynamics ； alluvial rivers ； coupling ； singular-perturbation ； hyperbolic ； eigenvalues
表2 Table 2 模型 DM_1［3］ DM_2［2］ DM_3［3］ CM_1［5］ CM_2［3］ 采用基本控制方程 （ 1a ） （ 2a ） （ 3a ） （ 4a ） （ 1a ） （ 2b ） （ 3a ） （ 4a ） （ 1a ） （ 2b ） （ 3a ） （ 4b ） （ 1b ） （ 2c ） （ 3b ） （ 4a ） （ 1b ） （ 2c ） （ 3b ） （ 4b ）
［2］ ［1］
。
对于水沙数学模型而言， 能否反映水流运动与河床变形间的相互作用机理及耦合特 性 成 为 其 有 效 模 拟 多 沙 。 现有水沙数学模型多数采用了两类处理： （ 1 ） 基本控制方程的简化， 例
［3］
如在水流连续方程中省略了河床可动性影响， 运动方程中忽略泥沙输运及河床变形项等
； （ 2 ） 求解方法上的不
表1 Table 1 水流连续方程： （ a） ： 基本控制方程 Governing equations （ b） ： h （ hu ） z b + + =0 t x t （ 1）
h （ hu ） + =0 t x
水流运动方程：
1 hu + （ hu 2 + gh 2 ） = gh （ i0 － i f ） 2 x t zb 1 （ hu ） + （ hu 2 + gh 2 ） + gh = － ghi f （ b） ： 2 x t x z b （ ρ s － ρ w ） gh 2 s ρ b － ρ m z b 1 （ hu ） （ c） ： + （ hu 2 + gh 2 ） + gh + － u = － ghi f 2 x 2 x t x ρm ρs ρm t （ a） ：
（ 2）
泥沙连续方程：
（ a） ：
hs hus + = － αω （ s － s * ） t x
（ b） ：
zb hs hus + + ρ' b =0 t x t
（ 3）
河床变形方程：
（ a） ：
z b αω = （ s － s* ） t ρ' b
（ b） ： ρ' b
210098 ； 100084 ）
2. 清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室， 北京
摘
要： 推导了冲积河流一维水沙数学模型的特征值 。 基于 连 续 介 质 假 设， 推导得到了河床冲淤层质量和动量守恒方
程， 建立了特征耦合的水沙数学模型 。 基于奇异摄动理论， 通过渐进展开方法求得了模型所构成的双曲系统的特征值。 其四个特征值耦合了水流运动 、 泥沙输运及河床变形的相互作用 。 根据双曲系统特征理论， 分析了水流运 动 与 河 床 变 形 四个特征值中只 有 两 个 会 对 河 床 变 形 产 生 较 大 影 响 ， 且不同流态下河床变形受不同特征值作 的相互作用 。 结果表明， 用， 扰动向上游或下游传播 。 在过渡区域， 河床变形同时受两个特征值作用而变形较快， 并同时向上下游传播 。 关键词： 河流动力学； 冲积河流； 耦合； 奇异摄动； 双曲； 特征值 中图分类号： TV143 文献标识码： A
第 30 卷 第 4 期 2011 年 8 月
水 力 发 电 学 报 JOURNAL OF HYDROELECTRIC ENGINEERING