第四节 系统信号流图及梅逊公式
梅逊公式
2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。
2.4.1 方块图元素（1）方块（Block Diagram ）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。
C(s)图2-14 方块图中的方块信号线方块r(t)c(t)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。
（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。
“+”表示相加，“-”表示相减。
“+”号可省略不写。
2)2+Υ3图2-15比较点示意图注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。
(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置图2-16分支点示意图注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。
2.4.2 几个基本概念及术语R(s)N(s)打开反馈图2-17 反馈控制系统方块图(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。
在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。
)()()()()(21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
)()()(s H s C s B = (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
)()()()()()()(21s H s G s H s G s G s E s B == (4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
)()(1)()()(1)()()()(21s G s H s G s G s H s G s G s R s C +=+= 推导：因为)()]()()([)()()(s G s H s C s R s G s E s C -== 右边移过来整理得)()(1)()()(s G s H s G s R s C += 即开环传递函数前向通路传递函数+=+=1)()(1)()()(s G s H s G s R s C **(5) 误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。
信号流 图与梅逊增益公式
【例 2-17】已知某系统的信号流图如图所示，试求其传递函数。
【解】由图可知，此系统有两条前向通路，即 n 2 ，其增益各为 p1 abcd 和 p2 fd ；
有三个回路，即 L1 be ，L2 abcdg ，L3 fdg ，因此 La L1 L2 L3 。上述三个 回路中只有 L1 与 L3 互不接触，L2 与 L1 及 L3都接触，因此 LbLc L1L3 。由此得系统的
（1）源点：也称输入节点，指只有输出支路的节点，如图中的 x1 。它一般表 示系统的输入量。
（2）汇点：也称输出节点，指只有输入支路的节点，如图中的 x6 。它一般表
示系统的输出量。
（3）混合节点：既有输入支路又有输 出支路的节点称为混合节点，如图中
的 x2 ，x3 ，x4 。它一般表示系统的中间
变量。
数。由于信号流图和结构图之间存在相应的联系，因此梅逊增益公式同样也
适用于结构图。
梅逊增益公式给出了系统信号流图中任意输入节点与输出节点
之间的增益（即传递函数），其公式为
式中
P
1
n k 1
pk k
n ——从输入节点到输出节点的前向通路的总条数；
pk ——从输入节点到输出节点的第 k 条前向通路总增益；
（5）回路：单独回路的简称，即起点和终点在同一节点且信号通过每一个节点不多于
一次的闭合通路。从一个节点开始，只经过一条支路又回到该节点的回路，称为自回
路。回路中所有支路增益的乘积称为回路增益，用 La 表示。在图中共有三条回路，一 条是起始于节点 x2 ，经过节点 x3 最后回到节点 x2 的回路，其回路增益为 L1 bc ；第二 条是起始于节点 x，2 经过节点 x，3 ，x4 x最5 后又回到节点 x的2 回路，其回路增益 为 L2 cegh ；第三个是起始于节点 x4 并回到节点 x4的自回路，其回路增益为 L3 f 。
梅逊公式
回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
回章首
回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
第四节 系统信号流图及梅逊公式
第三章 系统数学模型
信号流程图
R( s )
G (s)
C (s)
R(s)
G( s) C ( s )
R(s) +
2
E(s)
G(s)
C(s)
R( s )
1
E ( s)
G(s)
C ( s)
_
H(s)
H (s) N(s)
N(s)
C(s)
1
R (s) +
3
E(s)
_
G 1(s)
+
+
G 2(s)
G2 A2 R A1 G1 B G4 H G3 C
第三章 系统数学模型
画出如所示系统方块图的信号流程图。
解：①用小圆圈表示各变 量对应的节点
系统方块图
G2 R 1 G1 1 e1 e2 G4 G3
②在比较点之后的引出点 只需在比较点后设置一个节 点便可。也即可以与它前面 的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B，需设 置两个节点，分别表示引出点和 比较点，注意图中的 e1 e2
1
1 R1
1
1 C1s
ui
ue
I1
I
a 1 b u
1 R2
1 C2 s
I2
uo
上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。为什么？
机械工程控制基础
习题3－16： 求如图所示信号流图的总增益
a42 a12 a44 a34 x3 x4 a35 a52
P2
第三章 系统数学模型
X 5 (s) ? X 1 ( s)
信流图运算法则：
机械工程控制基础
(a)
梅逊公式中南大学机械工程控制基础
俩俩互不接触回路:L1,L2
1 Li LiLj 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5 P1 G1G 2G 3 1 1 C ( s ) P11 G ( s) R(s) G1G 2G 3 1 G1G 2G 4 G 3G 5 G 2G 3 G1G 2G 4G 3G 5
四.梅逊公式
1 P Pk k
式中 P-- 系统总增益（总传递函数） k -- 前向通路数 Pk --第k条前向通总传递函数 Δ-- 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。 在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是Δ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变化的只是其分子。
1 Li LiLj LiLjLk (1)n (LiLjLk )
P1 G1G 2G 3 1 1
C ( s) P11 G1G 2G 3 G( s) R( s ) 1 G1G 2 H 1 G1G 2G 3 G 2G 3 H 2
例. 图所示系统方块图,用梅森公式求系统的传递函数。
L1 G1G 2 H 1 1 G1G 2 H 1 G 2G 3 H 2 G1G 2G3 G1G 4 G 4 H 2 L 2 G 2G 3 H 2 P1 G1G 2G3 1 1 L3 G1G 2G 3 P 2 G1G 4 2 1 L 4 G1G 4 L5 G 4 H 2
其中： Li ――所有不同回路增益乘积之和；
LL
i j k
i j
――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； ――所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
(L L L )
k :
信号流图与梅森公式
2.5 信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X XX X X是节点；j h d c b a ,,,,, 为支路增益；4,1X X 为输入节点；7X 为输入节点；6532X X X X 为混合节点。
信号流图共有三条前向通道，第一条是765321XXXXXX →→→→→；第二条是76531X XXXX →→→→；第三条是765324X XXXXX→→→→→。
有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。
而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。
图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。
2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
课件：信号流图和梅逊公式的应用
3、信号流图的性质
➢ 信号流图只适用于线性系统 ➢ 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号 只能沿着支路上的箭头指向传递,后一个节点对前一个 节点没有负载效应（即无反作用）. ➢ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相 加后的信号传送到所有的输出支路 ➢ 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 ➢ 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。
知识点
LC
d 2uc dt2
RC
duc dt
uc
ur
1）R-L-C电路的传递函数
Uc s
1
Ur s LCs2 RCs 1
d 2 y(t) dy(t)
m
dt2
f
ky(t) F(t) dt
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
s2
1
fs
1
典型环节及其传递函数(具有基本输入和输出关系的环节)
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L4 G2G3H2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L5 G4H2
确定前向通路
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 G1G2G3
1 1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P2 G1G4
2 1
前向通路数：n 2
C 1
R
Pk k
G1G2G3 G1G4
1 G1G2G3 G1G2H1 G2G3H2 G1G4 G4H2
2.6信号流图与梅森公式
G2 ( s) H ( s) N ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
N ( s)
7）系统的总输出 X o (s) i (s) X i (s) N (s) N (s)
8）系统的总偏差 (s) i ( s) X i ( s) N (s) N (s) 结论
练习 试化简下图所示系统的方框图，并求系 统传递函数。
可看出此题方框图化简较复杂,试用梅森公式化简.
• 两条前向通路 • 两条回路 • 主特征式
P G1G3G5 , P2 G2G4G5 1
L1 G3 H , L2 G4 H
1 ( L1 L2 ) 1 G3 H G4 H
【例1】根据微分方程绘制信号流图
i1 (t ) 1 R1 [ui (t ) u A (t )]
1 u A (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1
1 i2 (t ) [u A (t ) uo (t )] R2
uo (t) 1 C2
i (t )dt
2
一般闭环控制系统的结构如下图所示
1）闭环系统的开环传递函数 将闭环控制系统主反馈 通道的输出断开，即 H(s)的输出通道断开 时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数 ,记为GK(s)。
闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信 号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数，即：
X o ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) ( s)
B( s) H ( s) X o (s)
4）输入信号作用下的闭环传递函数
令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传 递函数为：
梅逊公式的应用
1 1
1 G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 G 1G 2 G 3 G 4 G 7 G3
3个回路 具有的公共传递函数：
G (s)
G 1G 2 G 3 G 4 1 G 3 G 4 G 6 G 2 G 3 G 5 G 1G 2 G 3 G 4 G 7
例2：利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数
G4(s)
+
R(s)
+ +
G1(s)
-
+
G2(s)
-
G3(s) H2(s)
+
Y(s) ②
-
① H1(s) H3(s)
③
系统的信号流图为： R(s)
1 1 G1 1 G2
G4 G3 1 1
Y(s)
①
-H1 -H3 ③
-H2
②
2.6
P1=G1G2G3； P2=G1G4
2.6
解： 前向通道（1条）： 反馈回路（5个）：每个均为
P1
系统信号流图及梅逊公式
1
R C s 1
RCs
3
3
3
1 1
则
a
La
5 RCs
两个互不接触回路（6个）：①②、①③、③④、①⑤、②③、④⑤
每对传递函数之积为：
1 R C s
2 2 2
则
Lb Lc
6 R C s
3
2 2 2
bc
def
a
Lb Lc
d
每两个互不接触回路中所有传递函数乘积之和（含符号）
每三个互不接触回路中所有传递函数乘积之和（含符号）
第2章 第4讲 信号流图及其梅逊公式
4
输入节点 输出节点 混合节点
混 合 节 点
X a X
输入节点 d 源点） （源点）
X
5
1
2
b
X
3
输入节点 源点） （源点）
c
输出节点 汇点） （汇点）
4
支路
连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方 连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数） 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。 路上沿箭头单向传递。 路上沿箭头单向传递。
-1 Ui 1
1/R1
I1
1/sC1
UA
1
1/R2
I2 1/sC 2
1 Uo
-1
-1
23
(Mason)公式 6 梅逊 (Mason)公式
G —系统总传递函数或增益
1 n G ( s) = ∑ Pk k k =1
条前向通路的传递函数（通路增益） Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益） —特征式
自动控制原理
第4讲 信号流图及梅 逊公式
杨金显
yangjinxian@
河南理工大学电气工程与自动化学院
1
本节内容
信号流图及其术语 信号代数运算法则 根据微分方程绘制信号流图 根据结构图绘制信号流图 梅逊公式 根据梅逊闭环传递函数
2
1 信号流图概念 信号流图起源于梅逊（ MASON） 信号流图起源于梅逊（S.J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程， 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成 的一种信号传递网络。 的一种信号传递网络。
步骤： 、画出前向通路(可能有多个 可能有多个)； 步骤：1、画出前向通路 可能有多个 ； 2、确定节点(多画一个没有关系 ； 、确定节点 多画一个没有关系 多画一个没有关系)； 3、连接各支路、回路 、连接各支路、
自动控制原理--信号流图及梅逊公式应用例题
La d eg bcg
有两个互不接触回路
Lb Lc deg
则 1 d eg bcg deg
f
1. X1 X 4 , p1 aef , p2 abcf
1 1 d, 2 1
X4 X1
1 ( p1 1
p2 2 )
aef (1 d ) abcf 1 d eg bcg deg
4. 闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]
e (s)
E(s) R(s)
en (s)
E(s) N(s)
1
G 1
1
, N(s) 0
1 (s)G 2 (s)H(s)
E(s)
G 2 (s)H(s) , R(s) 0
G1 (s)G 2 (s)H(s)
e
(s)R(s)
Tr1
x1 xr
1 (d
a(1 e) e cf ) de
Ty1
x1 y
1 (d
bf e cf
)
de
例2.15 已知系统信号流图，求传递函数。
• 解：三个回路：L1 G2H2
-H1
L2 G1G2H2
L3 G 2G 3H1
• 回路相互均接触，则：
R
G1
G2
G3
H2 -H2
G4
例2.13 绘制结构图对应的信号流图(1) 。
Ui(s) (-)
(-)
1 I1(s)
1 U(s)
R1
IC(s) C1s
(-)
1
1
R2 I2(s) C2 s
Uo(s)
Ui(s)
-1
1/R1
1/C1s
IC(s)
第四课 梅逊公式及一阶系统分析
稳态响应
T
,t 0
瞬态响应
存在稳 态误差
5、一阶系统的单位加速度响应
1 2 2 2 c(t ) t Tt T T e 2
ess lim[r (t ) c(t )]
t
t T
,t 0
一阶系统无法跟踪加速度信号
线性定常系统的一个重要特性：
R(s)
2 n s( s 2n )
系统无阻尼 固有频率
阻尼比
C(s)
-
二阶系统特征方程：
2 D( s) s 2 2 n s n 0
s1, 2 n n 1
2
根据 值的取值范围不同，特征根的分 布情况有如下七种：
s1, 2 n n 2 1
t ts
tr
h(t) h(∞) 0.9h(∞) 稳态值
td
0.5h(∞)
ts
0.1h(∞) 0
tr
t
（1）延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终 值的50%所需的时间； （2）上升时间tr：指响应从终值的10%上升到 终值的90%所需的时间（对于有振荡的系统 来说，上升时间可定义为从零第一次上升 到终值所需的时间）； （3）峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一 个峰值所需的时间；
4. 一阶系统时域分析及响应；
5. △二阶系统的数学模型；
6. △欠阻尼系统的单位阶跃响应，时域性能指标 tr、tp、ts、的计算
练习
2-14 （a）（f）
3-3
3-4
下次课的主要内容
1 、二阶系统斜坡响应与脉冲响应; 2、动态性能的改善。
R(s)
1 Ts
梅森定律-信号流图
由系统结构图绘制信号流图
1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 ➢ 注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s)
C(s)
G(s)
D(s)
R(s) E(s) (-) G1(s)
V(s)G2(s) C(s)
H(s)
(a) 结构图
a45 x5
X 5 (s) X1(s)
(b)
x1
a52
x2
x3
x4
P1 a12a23a34a45 x5
1 1
(c)
x1
x2
x3
x5 P1 a12a23a35
2 1 a44
(a) x1
a12 x2
a42
a44
a23 a32 x3
a34 x4
a35
a45 x5
a52 (d) x2
(e) x2 (f) x2 (g) x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44
x4 x3
x4 x5
L2 a23a34a42
L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
信号流图与梅逊公式
信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式控制系统的信号流图与结构图⼀样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。
对于结构⽐较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐⽽费时。
与结构图相⽐，信号流图符号简单，更便于绘制和应⽤，⽽且可以利⽤梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。
但是，信号流图只适⽤于线性系统，⽽结构图不仅适⽤于线性系统，还可⽤于⾮线性系统。
⼀、信号流图的组成信号流图起源于梅逊利⽤图⽰法来描述⼀个或⼀组线性代数⽅程式，它是由节点和⽀路组成的⼀种信号传递⽹络。
图中节点表⽰系统中的变量或信号，以⼩圆圈表⽰；⽀路是连接两个节点的有向线段，⽀路上的箭头表⽰信号传递的⽅向，⽀路的增益（相当于动态结构图⽅框中的传递函数）标在⽀路上。
⽀路相当于乘法器，信号流经⽀路后，被乘以⽀路增益⽽变为另⼀信号。
⽀路增益为1时不标出。
节点变量表⽰所有流向该节点的信号之和。
5在信号流图中，常使⽤以下名词术语：1、源节点（或输⼊节点）只有输出⽀路的节点称为源节点，如图中的x。
1它⼀般表⽰系统的输⼊量。
2、阱节点（或输出节点）只有输⼊⽀路的节点称为阱节点，如图中的x。
5它⼀般表⽰系统的输出量。
3、混合节点既有输⼊⽀路⼜有输出⽀路的节点称为混合节点，如图中的2x 、3x 、4x 。
它⼀般表⽰系统的中间变量。
4、前向通路信号从输⼊节点到输出节点传递时，每⼀个节点只通过⼀次的通路，叫前向通路。
前向通路上各⽀路增益之乘积，称为前向通路总增益，⼀般⽤k p 表⽰。
在图中从源节点到阱节点共有两条前向通路，⼀条是54321x x x x x →→→→，其前向通路总增益为abc p =1；另⼀条是5431x x x x →→→，其前向通路总增益为ec p =2。
5、回路起点和终点在同⼀节点，⽽且信号通过每⼀个节点不多于⼀次的闭合通路称为单独回路，简称回路。
如果从⼀个节点开始，只经过⼀个⽀路⼜回到该节点的，称为⾃回路。
回路中所有⽀路增益之乘积叫回路增益，⽤a L 表⽰。
2.4 系统信号流图及梅逊公式
Fc(s)
cs
例 ：绘制如图所示系统的方块图
R1 i1(t) ui(t) C1
A
R2
i2(t)
uA(t)
u0(t)
C2
U i s - U A s = R1 I 1 s
拉氏变换后方程组
U A s - U 0 s = R2 I 2 s 1 I2 s = U0 s c2 s
Ө(t)
D
f(t)
P74 2-25 已知：f(t)为输入力，θ(t) 为轴的输出转角，弹簧刚度k,轴的 转动惯量J，阻尼系数D,轴的半径r， 求系统的传递函数。
解：该系统可以看作是一个质量、弹簧、 阻尼系统。
对于质量,这里用转动惯量J来代替。 对J、k、D分别列方程，有
J t f t r TK TD
1 I1 s - I 2 s = UA s c1 s
各环节的方块图如下所示。
Ui s -U A s = R1 I1 s
Ui(s)
+
1/R1
I1(s)
1 I1 s I 2 s UA s c1s
I1(s)
TK K t TD D t
J t f t r K t D t J t D t K t f t r
拉氏变换后，得 2 Js s Ds s K s F s r
X0(s)
H(S)
-H(s)
从图中可以我们可以定义： 通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 节点：用来表示变量或信号的点，像输 回路：起点与终点重合且与任何节点 前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通 入节点、输出节点、比较点以及引出点， 支路：定向线段，箭头表明信号的流向， 相交不多于一次的通路。 过任何节点不多于一次的通路。 标明有传递函数。 用符号“。”表示。
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
信号流图及梅逊公式
R(s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(2)扰动信号下的闭环 传函：R(s)=0
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
E(s)
N (s) = C (s) =
G2 (s)
N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
1
C(s)
所以当输入信号和扰动信号同时作用时， 系统输出为：
C (s) =(s) R(s) + N (s) N (s) = G1 (s)G2 (s) R(s) + G2 (s) N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(3)闭环系统的误差传递函数(以E(s)为输
出的传递函数)：
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
1
C(s)
+ [G1G2 + G1G3 + G2G3 + G1G2G3 ] [ G1G2G3 ]
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
P = C (s)= p1 1 + p2 2 + p3 3 + p4 4 R(s)
=
G1G3 K (1 + G1 ) + G2G3 K (1 + G2 )
1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3
L(1) —— 所有单独回路增益之和； L(2) —— 两个互不接触回路增益乘积之和； L( m ) —— m个不接触回路增益乘积之和。
例3：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
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第三章 系统数学模型
信号流程图
R( s )
G (s)
C (s)
R(s)
G( s) C ( s )
R(s) +
2
E(s)
G(s)
C(s)
R( s )
1
E ( s)
G(s)
C ( s)
_
H(s)
H (s) N(s)
N(s)
C(s)
1
R (s) +
3
E(s)
_
G 1(s)
+
+
G 2(s)
1 R 1C1sR 2 C 2 s
1 (L1 L2 L3 ) L1L2 1 1 1 1 1 R1C1s R 2C2s R 2C1s R1C1R 2C2s 2
P1 1 R1R 2C1C2s 2 1 1
前向通路只有一条，即 所以
PΔ C(s) 1 G 1 1 R(s) Δ R1R 2C1C2s 2 R1C1s R1C2s+R 2C2 s 1
(a)
a23 x2 a32
a45
x5
x1
(b)
(c)
P 1 a12a23a34a45 x5
x5
P P 1 a12a23a35 2
1 1
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
2 1 a44
机械工程控制基础
(d)
x2 L1 a23a32 x3 互不接触
第三章 系统数学模型
a42 a12 a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
i 1 （因为三个回路都与前向通道接触。）
机械工程控制基础
1
1 R1
第三章 系统数学模型
1
1
1 C1s
ui
ue
I1
1
I
a 1 b u
1 R2
1 C2 s
I2
1
uo
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两 点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话， 总传输将不一样。 不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
x5
bx2 cx3
fx5 x5
信号流图的表示形式
f
x1
a
x2
b
x3
c
x4
d
e
机械工程控制基础 一、几个定义
第三章 系统数学模型
输入节点（或源节点）：只有输出支路的节点,如x1、x5。 输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。 混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点,如：x2、x3。 传 输：两个节点之间的增益叫传输。如：x1→x2之间的增 益为a，则传输也为a。 前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个节点只通 过一次的通路称为前向通路。如：x1→x2→x3→x4 。
1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号要用一 个传输为1的支路把C、D的信号分开。 题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 ：
L1 1 R 1 C1s
L2 1 R 2 C2s
L3 1 R 2 C1s
L1L 2
机械工程控制基础 例3-25：
R( s) + B( s)
第三章 系统数学模型
E (s) _
G1 ( s )
+
_
G2 ( s )
C (s)
解：画出信号流图
1
R( s)
G1 ( s )
1
1
G2 ( s )
1
C (s)
1
1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 ：
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3－26： 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上 图所示。然后画出信号流图如下图所示。
k m
R( S )
g
V1
b
d l f
V3
e h
C (S ) V2
f R 1
Ⅰ
m
h V3 k Ⅱ Ⅲ d Ⅴ e g l
Ⅳ
b V1
C
V2 1
机械工程控制基础
习题3－14：
L1 G1 (s)
L2 G2 (s)
1 (L1 L 2 ) 1 G1 ( s ) G2 ( s )
前向通路只有一条，即
所以
P1 G1 (s)G2 (s) 1 1
PΔ G1 ( s)G2 ( s) C(s) G 1 1 R(s) Δ 1 G1 ( s) G2 ( s)
e
-H
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
习题3－15：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式 计算总传递函数。
ui ( s ) ue ( s )
-
1 R1
I1 ( s ) I (s)
1 C1s
u (s)
-
1 R2
I 2 ( s)
1 C2 s
uo ( s )
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
第四节 系统信号流图及梅逊公式
主讲人 ：王
辉
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
信号流图是线性代数方程组结构的一种图形表达。 设一组线性方程式如下：
x1 x1 x2 ax1 dx2 ex3 x3 x4 x5
信流图运算法则：
机械工程控制基础
(a)
x1
第三章 系统数学模型
a
x2
a
(b )
x1
x2
x1
ab
x2
b
(c )
x1
a
x2
b x3
x1
ab
x2
ab 1 bc
x1
(d )
a
x2
b
x3
பைடு நூலகம்
x1
ab x3 bc
x1
x3
c
x1
( e)
x2
a
b
x1 x3
c
x4
x2
ac
x4
bc
机械工程控制基础 三、 控制 系统 的信 号流 程图
1 1 1 1 1 R1C1s R2C2 s R2C1s R1R2C1C2 s 2
1 1 1 有两个互不接触回路； Lb Lc R1C1s R2C2 s R1R2C1C2 s 2
1 1 1 总传输为：P Pk k k 1 R1R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
Δ=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
该系统的前向通道有三个：
P1= G1G2G3G4G5 P2= G1G6G4G5 P3= G1G2G7 Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为
C(s) 1 G (p1Δ1 p2Δ2 p3Δ3 ) R(s) Δ G1G 2G3G 4G5 G1G 6G 4G5 G1G 2G 7 (1 G 4H1 ) 1 G 4 H1 G 2G 7 H 2 G 6G 4G 5H 2 G 2G 3G 4G 5H 2 G 4H1G 2G 7 H 2
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
C ( s) E ( s) 习题3－17：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 , R( s) R( s)
G4
R
E
-
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
C
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
R
G4 E G1 G2 H1
L12 a23a32a44
(a) x1
a23 x2 a32 x3
(e) (f)
x2
x4 L2 a23a34a42
L3 a44 x4 x5 互不接触 L25 a23a35a52a44
x2
(g)
L4 a23a34a45a52 x3 x
2
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
L L L k
机械工程控制基础 例3-23 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）
G7
第三章 系统数学模型
G6
R(s)
G1
+ -
G2
G3
+
+
G4
-
G5
+
+ C ( s)
H1
H2
解：画出该系统的信号流程图
G6
R ( s ) G1
G2 G3
G7
G4 G5
1 C (s)
H1
H2
机械工程控制基础
G2 A2 R A1 G1 B G4 H G3 C
第三章 系统数学模型
画出如所示系统方块图的信号流程图。
解：①用小圆圈表示各变 量对应的节点
系统方块图
G2 R 1 G1 1 e1 e2 G4 G3