KS分布检验和拟合优度χ2检验

❖二、基本原理和方法
❖1、基本原理：
❖这种检验主要是将理论分布下的累计频数分布与观 察到的累计频数分布相比较，找出它们间最大的差 异点，并参照抽样分布，定出这样大的差异是否处 于偶然。
KS分布检验和拟合优度χ2检 验
❖用 Fn(x)表示样本量为n的随机样本观察值的 累计分布函数，且Fn(x) =i/n（i是等于或小于x 的所有观察结果的数目，i=1，2，…，n）。 F(x)表示理论分布的累计概率分布函数。K-S 单样本检验通过样本的累计分布函数Fn(x)和理 论分布函数F(x)的比较来做拟合优度检验。检 验统计量是F(x)与Fn(x)间的最大偏差Dn：
❖Ｋ－Ｓ检验法是一种精确分布的方法，不受观察次 数多少的限制。这个方法可应用于分组或不分组的 情形。检验量Dn也可用于检验随机样本是否抽自某 特定的总体的问题。
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖一、适用范围 ❖K-S双样本检验主要用来检验两个独立样本是否来自
同一总体（或两样本的总体分布是否相同）。其单 尾检验主要用来检验某一样本的总体值是否随机地 大于（或小于）另一样本的总体值。
4.75-5.25 -0.28～1.14 0.483 0.873 890 0.890 0.017
5.25-5.75 1.14～2.56 0.122 0.995 993 0.993 0.002
5.75-6.25 2.56-+∞ 0.005 1.000 1000 1.000 0.000
合 计 —— 1.000 —— - —— ——
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖根据表8-2中第(5)列数据，取最大绝对差数
Ｄ1ooo =0.025作为检验统计量。若取a=0.05， n=1000，从临界值表中查(检验表K-S)
得：
D(1000,0.05)
1.。36 0.043
1000
❖因为Ｄ1ooo＜0.043，故认为样本数据所提供的信息 无法拒绝H0，即接受H0，认为可做正态分布的拟合。
D mS a 1 (x x ) S [2 (x )]
❖K-S双样本的双尾检验统计量为：
D ma S 1 ( x x ) S 2(x )
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖1、双尾检验假设：H0：S1(x)=S2(x)
❖
H1：S1(x)≠S2(x)
❖ 单尾检验假设：
❖H0：S1(x)=S2(x)或H0：S1(x)=S2(x) ❖H1：S1(x)>S2(x) H1：S1(x)<S2(x) ❖ 2、把两组样本分别排成累计频数分布（对两
绝对差，令最大的绝对差为Dn；
D n mF a (x ) x F n (x )
❖3.用样本容量n和显著水平a在附表11中查出 临界值Dna；
❖4.通过Dn与Dna的比较做出判断，若Dn＜Dna， 则认为拟合是满意的。
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❖例8.1：正态拟合。
❖某织布厂工人执行的生产定额（织机每小时生产织 物的米物）情况如表8-1，试检验这些样本数据能 否作正态拟合？
❖二、理论依据和方法 ❖1、理论依据： ❖与K-S单样本检验相似，K-S双样本检验是通过两个
样本的累计频数分布是否相当接近来判断Ho是否为 真。如果两个样本间的累计概率分布的离差很大，
这就意味着两样本来自不同的总体，就应拒绝Ho。
KS分布检验和拟合优度χ2 检验
❖如果令S1（x）表示第一个样本观察值 的累计概率分布函数，S2（x）表示另 一个样本观察值的累计概率分布函数， 那么K-S双样本的单尾检验统计量为：
D n mF a (x ) x F n (x )
❖若对每一个x值来说，Fn(x)与F(x)都十分接近，则表 明实际样本的分布函数与理论分布函数的拟合程度很 高。
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❖1.建立假设组：
❖H0：Fn(x)=F(x) ❖H1：Fn(x)≠F(x) ❖2.计算样本累计频率与理论分布累计概率的
❖表8-1 工人执行生产定额情况分组表
按定额执行情况分组
3.75～4.25 4.25～4.75 4.75～5.25 5.25～5.75 5.75～6.25
工人数 20 372 498 103 7
1000
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❖解：首先，由于做正态拟合的均值、标准差 未知，因此，先计算样本均值和标准差，再
x 做=4正.85态；拟s合=0。.3通52过,分对别样作本为资Û料和的的计估算计得值：，
建立假设：
❖H0：样本数据服从均值为4.85，标准差为 0.352的正态分布
❖H1：样本数据不服从均值为4.85，标准差为 0.352的正态分布
❖计算资料列如表8-2：
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖表8-2 正态拟合计算表
标准
X的组限
化
标准正 态概率
累 计 概 累计 率 ( 理 工人 论概率) 数
实际累 计频率
(2)-(4) 的绝 对 值
甲
乙
（1） （2） （3） （4） （5）
不足4.25 -∞～-1.70 0.045 0.045 20 0.020 0.025
4.25-4.75 -1.70～-0.28 0.345 0.390 392 0.392 0.002
KS分布检验和拟合优度χ2检验
KS分布检验和拟合优度wk.baidu.com2检验
1 Kolmogorov-Smirnov 单样本检验及一些正态性检验
2 Kolmogorov-Smirnov 两样本分布检验
3
Pearson χ2 拟合优度检验
5
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❖一、适用范围
❖Kolmogorov-Smirnov检验常译为柯尔莫哥洛夫-斯 米尔诺夫检验，简写为K-S检验，亦称D检验法，也 是一种拟合优度检验法。K-S单样本检验主要用来检 验一组样本数据的实际分布是否与某一指定的理论 分布相符合。
个分布用相同的间隔或分类，并利用尽可能多 的间隔。
❖3、计算检验统计量D值，如是单尾检验，应 按H1的方向计算D值。
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❖4、显著性检验：
❖⑴小样本情况下，及n1= n2=n，n≤30，用附 表12。对于单尾检验和双尾检验，该表列出 了不同显著性水平下的临界值。
❖⑵大样本情况下，n1不一定等于n2，但都小 于40的双尾检验，可用附表12续表中的公式 算出D的临界值。