换元积分法(第二类换元法)
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
换元积分法3
= 2∫ sin x d(sin x) = sin2 x + C.
解法3 ∫ sin2x dx = 2∫ sin x cos x dx
= −2∫ cos x d(cos x) = −cos2 x + C.
1 1 因为 sin x = −cos x +1 = − cos 2x + ，可知 2 2
1 dx = du， 2
所以有
1 1 ∫ cos 2x dx = ∫ cos u ⋅ 2 du = 2 ∫ cos u du
d 由于 sin u = cos u，即对新的积分变量 而言， u是 u sin du 被积函数cos u的原函数，因此有 1 1 ∫ cosudu = 2sin u + C. 2
定理5.2 设
∫ f (u)du =F(u) + C，
如果 = ϕ(x)具有连续导数，则 u 有
∫ f [ϕ(x)]ϕ' (x)dx = F[ϕ (x)] + C
证
(1)
依题意有 ∫ f (u)du =F(u) + C， d 即有 F(u) = f (u), 又由复合函数微分法可得 dx
d du 令x = ϕ(x) d F[ϕ(x)] F(u) ⋅ du du dx
(2)若 , n为偶数时，用半角公式 m 降幂后再逐项积分 .
例14 求∫ sin4 x cosxdx. 解 ∫ sin4x cos xdx = ∫ sin4 x d(sin x)
1 5 = sin x + C. 5
例15 求 ∫ sin3 x cos4 x dx. 解 ∵sin3 x cos4 x = sin xsin2 x cos4 x
不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
第二类换元积分法公式大全
第二类换元积分法公式大全第二类换元积分法是求解不定积分中常用的一种方法，也被称为反三角函数法。
该方法适用于被积函数含有形如$f'(x)/f(x)$的因式，换元后将该因式化为常数，从而简化积分运算。
以下是第二类换元积分法中常用的公式：1. $\int f'(x)f(ax+b)dx=\dfrac{1}{2a}f^2(ax+b)+C$2. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$3. $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}\dfrac{x}{a}+C$4. $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$5. $\int \dfrac{1}{ax^2+bx+c}dx=\dfrac{1}{\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\left(\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C$6. $\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\tan^{-1}\dfrac{x}{a}+C$以上公式中，$f(x)$是反函数$f^{-1}(x)$的导数。
对于一般情况，我们可以通过合理的换元使得原函数变为上述公式中的一种形式，从而便于求解不定积分。
例如： $\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx$。
这里$f(x)=\ln(x)$的导数为$f'(x)=\dfrac{1}{x}$，而被积函数中含有$(2x+1)$的因式，因此我们可以尝试使用第一类换元积分法：$u=2x+1$，则$du=2dx$，积分变为：$$\begin{aligned}\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx&=\int \dfrac{1}{u}\ln u\cdot\dfrac{du}{2}\\&=\dfrac{1}{2}\int \ln u\cdot\dfrac{du}{u}\\&=\dfrac{1}{2}\ln^2(2x+1)+C\end{aligned}$$由此可知，使用第二类换元积分法可以更加灵活地求解各种类型的不定积分，为我们的微积分研究提供了便利。
第二类换元法
令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
第二类换元积分法
基 本 积 分 表 2
(14)
tan xdx ln cos x C ;
(15)
(16)
sec xdx ln sec x tan x C ;
a
dx arctan
cot xdx ln sin x C ;
(17)
(18)
cot csc xdx ln csc x x x C ; 1 1
x a sint
a2 于是 原式
2
a 1 [t sin2t ] C 2 2
a x x a x [arcsin ( )] C . 2 a a a
2 2 2
a
x
t
a2 x2
例4 求
1 dx ( a 0). 2 2 x a
2
, 解 令 x a tan t dx a sec tdt t 2 2 1 1 2 x 2 a 2 dx a sec t a sec tdt sec tdt ln sect tan t C
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
6t 5 t3 ( t 3 1) 1 于是 原式 3 2 dt 6 dt 6 dt t t t 1 t 1
例3 求
解 令
a 2 x 2 dx (a 0).
, dx a cos tdt t 2 2 2 2 1 cos 2t dt cos tdt a 2
a x
dx
1 x 2 1( ) a
x d( ) a
x arcsin C a
x dx arcsin C 2 2 a a x
第二类换元积分法分部积分法
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形ຫໍສະໝຸດ ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
第二类换元积分法
一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
第一类换元积分法有局限性。例如 a2 x2dx
用第一类换元法很难求得，而用相反的方法， 令 x=asint，就能顺利求出结果(见后面的例子)。
一般地,在计算 f (x)dx 时,可适当选择 x (t)
（单调、可导且 (t) 0 ），如果 f [ (t)] (t)dt
t (0, )
2
）
注：上述总结（三角代换）不可绝对化。
如 x x2 a2 dx 1
2
x2
a2d(x2
a2)
1
(x2
3
a2)2
C
3
这种算法更方便。
例6 求
(x2
dx a2
)2
(a
0)
x2 a2
x
t a
有些积分用两类换
元法都能求得结果。
例7 求 x x 1dx
例8 求
dx
4x2 4x 1
确选择u及v很重要。关键： （1） v要容易求得；
（2） vdu 要比 udv 易求。
例2 求 x2exdx
例3 求 xarctgxdx
例5 求
ex cosxdx
例4 求 ln xdx
总结：使用分部积分公式 udv uv vdu
时 （1）若被积函数为幂函数与指数（或正、
余弦）函数的乘积，则选幂函数为u较合适。
如 ln xdx 等。为此，我们引入一种新的积分
法 ——分部积分法。 设函数u(x)与v(x) 具有连续的导数，则由
d(uv)=udv+vdu有udv=d(uv)-vdu，故
udv uv vdu（分部积分公式）
例1 求 x cosxdx
高等数学第二换元法
dt
1 2 1
tt-- 141 sicno2st2tdC2t 1
arcsin
x
x
sin2 x 1 cos2x 2
cosxdx sin x C
1 x2 C
24
2
2
小结
第二换元积分（消去被积函数中的根号）
1、简单的根式代换（一般根号下为一次式）
2、三角函数代换（被积函数含有 a2 x2 , x2 a2）
例
x3 x
注 若被积函数含有n x, m x,则可令t s x s为m、n的最小公倍数。
解： 令 t 6 x, t 0, 则 x t6， d x 6 t5 d t
原式
t 6
6t 5 3 t
t
2 3
dt dt
t 1
t3 1-1
6
dt t 1
（1）当被积函数中含有根式 a2 x2 时，可令x a sin t或x a cost
解：令 x sint,- t 则 t arcsinx, dx costdt
22
原式
sin2 t cos cos t
t
dt
sin
2
tdt
1 2
1-
cos2t
1、简单的根式代换
例
1 dx x 1
解：令 t x x t2 dx d(t2) 2tdt
原式 2
tdt t 1
2
t 11dt t 1
2
1dt
t
1 1
dt
第二节 第二类换元积分法
例10. 求
解: 原式
d e x x arcsin e C 2 x 1 e
(P205 公式 (22) )
例11. 求
1 解: 令 x ,得 t 原式
倒代换
t a 2t 2 1
dt
1 d (a 2t 2 1) 1 2 2 2 a t 1 C 2 2 2 2a a a t 1
去根号
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
d x a sec t d t 2 a sec t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t
2
x tan t a
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a2
ln sec t tan t C1
ln
思考与练习
1.(1)设函数ƒ(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分
解
由题意知 则
(2) 若己知
, 求：
解
由题意知
2. 计算不定积分
解: 令
(3) 解： 利用凑微分法 , 得 原式 = 令
(1 x ) 1 x 解: 令 x sin t , 1 x 2 1 sin 2 t , d x cos td t cos t 原式 dt 2 (1 sin t ) cos t 2 分子分母同除以 cos t
1 解 令 x t
1 说明: 当分母的次数较高时, 可采用倒代换 x . t
用它往往能把分母上的较高次幂去掉
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1) ( 2)
f ( x , n ax b ) dx ,
令ax b t
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
第四章 第3节 第二类换元积分法
a xb c xd
) dx
,
令
t
n
a xb c xd
节 讲
(3) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a sin t 或 x a cos t
(4) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a tan t
(5) f (x , x2 a2 ) dx , 令 x a sect
f ( x)dx F( x) C [( x)] C,
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x)
第二类积分换元公式
4
例1 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
20
(6) f (a x ) dx , 令 t ax
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
说明:
被积函数含有
或 x2 a2 时, 除采用
三角代换外, 还可利用公式
ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 .
1
f
(x) f (x) f 2(x)
dx
f (x) f (x)
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
23
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法和第二类换元积分法都是求解不定积分的方法，但它们在应用和具体操作上有所不同。
第一类换元积分法也叫凑微分法，它适用于两个式子相乘的形式，是复合函数求导的逆运算。
其核心思想是通过寻找新的变量，将复杂的积分转化为容易计算的积分，从而得到原函数的表达式。
这种方法主要依赖于对复合函数的求导和微分的理解。
第二类换元积分法则是通过变量代换，将积分化为积分。
这种方法主要用于处理包含根式的积分，或者需要消去根式的积分。
它的核心思想是选择适当的变换公式，将原函数中的积分变量替换为新的函数，同时将dx也替换为新的函数的导数乘以dx。
这种方法需要一定的技巧和经验，因为选择正确的变换公式和反函数代回去都需要一定的数学素养。
总的来说，第一类换元积分法和第二类换元积分法都是通过不同的方式将不定积分问题转化为容易解决的问题，从而得到原函数的表达式。
这两种方法都有其特定的应用场景和优势，需要根据具体问题选择合适的方法。
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§4.2 换元积分法（第二类）Ⅰ 授课题目（章节）：§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法）Ⅱ 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dtdx=证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解 令t x sin 2=，(,)22t ππ∈-，则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰ 222sin cos 2arcsin422x xt t t C x C =-+=--+类型2：被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.例3 求⎰+22ax dx)0(>a解 令t a x tan =，)2,2(ππ-∈t ，则22sec x a a t +=，2sec dx a tdt = 22sec dx tdt x a∴=+⎰⎰ln sec tan t t C =++22221lnln x a xC x x a C a a+=++=+++.例4 求⎰+224xxdx解 令t x tan 2=，)2,2(ππ-∈t 242sec x t +=，tdt dx 2sec 2=22222sec 4tan 2sec 4t dt t t xx ∴=⋅+⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t tt dt dt t ==⎰⎰2221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t x+===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求⎰+22)9(x dx（分母是二次质因式的平方）解 令t x tan 3=，则t x 22sec 99=+， tdt dx 2sec 3=222243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos 2)cos 2cos 2254545454254t t t dt tdt td t =+=+=+⨯⎰⎰⎰ 11sin 2sin cos 542545454t t t t t C =+=++⨯2113arctan 543549x x C x =+⋅++练习： 求221(25)dx x x -+⎰（第二换元积分法分）解 22222])1(2[)52(-+=+-x x x ，令t x tan 21=-)2,2(ππ-∈t 则 222442sec 11(1cos 2)sin cos (25)2sec 161616dx t t dt t dt t t C x x t ==+=++-+⎰⎰⎰21111arctan 162825x x C x x --=+⋅+-+ 类型 3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。
例6 求⎰-22ax dx)0(>a解 被积函数的定义域为),(),(+∞--∞a a ， 当(,)x a ∈+∞时，令t a x sec =，)2,0(π∈t ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =有22sec tan sec tan dx a t tdt tdt a tx a==-⎰⎰⎰22ln(sec tan )ln(x x a t t C C a -=++=++221ln(x x a C =-+.当(,)x a ∈-∞-时，令x u =-，则),(+∞∈a u 有2222112222ln()ln(u u a C x x a C x au a=-=--+=--+-+--22112222221lnln()()x x a C C x x ax x a x x a ---=+=+-+--+----22222112ln ln()(ln )x x a C x x a C a a---=+=---+- 222ln()x x a C =---+),(),(+∞--∞∈∴a a x 时，C a x x a x dx +-+=-⎰2222ln例7 求⎰-122x xdx解 ),1(+∞∈x 时，令t x sec =,)2,0(π∈t 则t x tan 12=-,tdt t dx tan sec =，有C xx C t tdt dt t t t t x xdx+-=+===-⎰⎰⎰1sin cos tan sec tan sec 12222，)1,(-∞∈x 时，令x u -=，则),1(+∞∈u 有C xx C u u u u du x xdx+-=+--=--=-⎰⎰1111222222∴无论1-<x 或1>x 均有C xx x xdx +-=-⎰11222注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x 的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.例8 求⎰-22ax xdx)0(>a解法一（用第一换元法）a x >时C x a axa x a d a xa xdx a x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰arccos 1)(1)(11222222，a x -<时，令x u -=则a u >C xa a C u a a a u u du a x xdx +-=+=----⎰⎰arccos 1arccos 1)(2222＝ 两式合并C xaa a x xdx +=-⎰arccos 122 解法二 （第二换元法）（1）当a x >时，sec x a t =,)2,0(π∈ttan a t =,sec tan dx a t tdt =sec tan sec tan a t t dt a ta t =⎰111arccos t adt C C a a a x==+=+⎰.（2）当a x -<时，令x u -===11arccos arccos a aC C a u a x=+=+- 由(1)(2)两种情况可得C xaa a x xdx +=-⎰arccos 122 Ⅴ 归纳总结1、第二类换元积分法的思想若()f x dx ⎰中的被积函数()f x 为无理函数，可以选择适当的变量代换)(t x ψ=，将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰.1()()[()]()()[()]x t f x dx f t t dt t C x C ψψψψ-='=Φ+=Φ+⎰⎰2、第二类换元积分法适用的被积函数类型 类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-；tdx a dx cos =可将原积分化作三角有理函数的积分.类型2：被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型 3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。