届高三文科数学立体几何空间角专题复习

届高三文科数学立体几何空间角专题复习

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2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习

考点1：两异面直线所成的角

例1.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱111ABC A B C -中，若

90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的

角等于（ C ）

(A) 30° (B) 45° (C) 60°

(D) 90° 变式训练：

1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( C ) （A ）

1010 (B) 15 (C ) 31010 (D) 35

2.如图，直三棱柱111ABC A B C -，90BCA ︒∠=，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点，

1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）

A ．

1030 B ．21

C ．15

30 D ．

10

15

3.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱

111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为

（ ）

A ．

55

B ．

53

C ．

5

5 D ．35

第3题图 第4题图 第5题图

4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线

1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）

Ａ．15

Ｂ．

25

Ｃ．35

Ｄ．

45

5.（ 2012年高考（四川文理））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M

、N 分别是CD 、

1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是

6.（2011年全国二文15）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．2

3

7.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线

1AB BM 和所成的角的大小是 。8（2011年上海文）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求

（1）异面直线BD 与1AB

2）四面体11AB D C 的体积. 考点2：直线与平面所成的角

例3.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面

D ）

（A ）

3 （B （C ）2

3

（D 例4.（2011年天津文17）如图1－7，在四棱锥P －ABCD 中，底面

ABCD 为平行四边形，

∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．

(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面PAC ； (3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．

图1－7图1－8

【解答】 (1)证明：连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB 平面ACM ，MO 平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .

(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .

(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥

D

B

D 1

B

PO ，且MN ＝1

2

PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠

MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154

＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.

变式训练

9.（20008福建卷理）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面

BB 1D 1D 所成角的正弦值为(D)

6

26

15 10 第9题图 第10题图 第11题图

10.（2010四川文理15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，

AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .

34

11. 已知长方体1111ABCD A B C D -中11,2,3DA DC DD ===，求直线1BB 与平面11A BC 所成的角。

12.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；

（Ⅱ）当2PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

13.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，3PD=CD=2.

（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；

（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。 【解析】（I ）//AD BC ⇒PAD ∠是PA 与BC 所成角