21.Taylor级数展开的唯一性
泰勒级数展开
解：先计算展开系数
f (z) (1 z)m
f (0) 1m
f '(z) m(1 z)m1
f '(0) m1m
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3
……
f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m
(1 z)m 1m m 1m z m(m 1) 1m z2
1!
2!
m(m 1)(m 2) 1m z3 L 3!
易求其收敛半径为1，故
(1 z)m 1m{1 m z m(m 1) z2 m(m 1)(m 2) z3 L }, ( z 1)
1!
2!
3!
式中 1m (ei2n )m ei2nm
(| z | 1)
1 z n0
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
以此代入(3.3.2)，并把它写成
i f
(z)
n0
1
2
i
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z
z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，Fra bibliotek式即为其中
f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an
1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
泰勒极数
2
i
f
(
(
) z0
)n1
(
z
z0
)n
f ( )
2 z0
n
z z0
z0
M
2
r
z z0 r
n
M qn,
2 r
其中,
q
z z0 r
1.
可知在C上是一致收敛
前面积分号下的级数可在C上逐项积分.
再根据 Cauchy导数公式
f (z)
1
2 i
c
定理f2.(6 n0 ( z0
2!
n!
并且收>>敛ta半yl径or(fR,z) %展. 开的默认值是6项
ans =
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.
间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
负实轴>>向sy左m的s z射; 线的区域内解析.
>> f=log(1+z);
y
因为
>> taylor(f)
R1
lna(n1s=z) 1 ,
1 z
1 o 1
x
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
1 1 z z2 (1)n zn
z 1 ,
1 z
所以
ln(1 z)
z 1 ,
1 z
逐项求导，得
1
(1 z)2
1 2z
3z2
(1)n(n 1)zn
z 1 .
解析函数的零点及唯一性
2
m 级零点的判别方法
定理1 如果 f ( z )在 z0 解析, 那末 z0为 f ( z ) 的 m 级 零点的充要条件是： f ( n ) ( z0 ) 0, ( n 0,1,2, m 1) ; f ( m ) ( z0 ) 0.
(z) 证明：对于在点z0解析函数 f 来说，它在该点的 邻域内的Taylor 级数展开式的系数是唯一的， 并且有 f ( n ) ( z0 ) n 0,1,2, cn n! ，从而根据函数零点的定义：前m项为零，有 f ( m) ( z0 ) 0. f ( n) ( z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1);
f的 (z)
级极点的充要条件为 m
z0
级零点。 m
推论2 若点 z0 为函数
f k的 ( z ) 级零点 mk
，则 ( k 1,2)
m1 m 2 时，
z0为函数 f1 ( z ) f 2 的 ( z)
z0为函数
f1 ( z ) 的 f2 (z)
级零点；当 m1 m 2
m级极点。 2 m1
1、函数的零点
定义 若函数 f ( z ) 在点 z解析，并且 0 ，则称 z 0 为函数 f ( z ) 的零点
定义 若函数 f ( z ) 在点 z0 的某个邻域 O ( z0 , d )内解 析，f ( z0 ) 0；且除了点 z0 外，在O ( z0 , d ) 内， f ( z ) 处处不为零，则称 z0 为 f ( z ) 孤立零点 . 例 z 0 , z 1是函数 f ( z ) z( z 1)3 的零点 .
3
另外，我们有 定理2 z0 为 f ( z ) 的 m级零点的充要条件为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
高等数学下教学new-第六节-taylor级数与函数的幂级数展开课件.ppt
二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
先求出 f (z) 的各阶导数 f (n)(z)和 f (n)(a)，n 1, 2,
代入
f (z)=
f (n)(a)(z a)n ，再确定收敛半径即可。
n0 n!
例5 设(1 z)a ealn(1z)（, 称为(1 z)a的主值支），求它的 Marclaurin展开式。
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故f (z)的Marclaurin展式为
f (z) (1 z)a 1 a(a 1) (a n 1) zn, ( z 1)
n1
n!
特别地，当a 1和a 2时，有
1
(z)n ,( z 1)
1 z n0
1
(1)n1 nzn1, ( z 1)
(1 z)2 n1
f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
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现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
f (z) = 1 f ( ) d
2 i Kr z
由 z a 1，有
a
1
1
z ( a) (z a)
1 a
1
1 z
a
a
1 a
n0
z
a a
2
n!
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1 x 1
说明：（7）在 - 1 x 1 恒成立，但当a 取不同值时，
端点 - 1、1处的收敛情况是不同的。
1
(1＋x )2
(1)n (n 1)xn , (1
n0
x
1)
1
(1 x) 2
1
(1)n (2n 1)!! xn, (1 x 1)
n1
(2n)!!
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
泰勒Taylor级数展开
k 0
讨论：
1. 收敛范围：
对给定z0点，找f(z)最靠近z0的奇点z1 ，一般
即|z1-z0|为收敛半径。 2. 解析函数的又一充要条件： f(z)在区域B内解析，当且仅当f(z)在B内任一点 的某邻域内可展开成幂级数。 3. 展开系数的唯一性。
二、将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出 f(n)(z0)代入即可，这种方法称为直接展开法。
其中n=0时为主值 例4：arctgz，在z0=0点展开
1 k 2k f ( z ) ( 1 ) z | z | 1 2 1 z k 0 1 k 2k arctgz dz ( 1 ) z dz 2 1 z k 0
(1) k
k 0
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
而
(ln z )
1 z
1 1 (1 z ) k z 1 (1 z ) k 0
(1) k ( z 1) k
k 0
(| z 1 | 1)
1 ln z dz (1) k ( z 1) k dz z k 0
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆
证明：由柯西公式
1 f ( ) f ( z) d C 2i R1 z 1 将 z 展开为幂级数
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 ( z z0 ) /( z0 )
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z0 | R)
k 0
f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k k!
taylor 级数展开式
taylor 级数展开式摘要：1.泰勒级数简介2.泰勒级数展开式3.泰勒级数应用正文：泰勒级数（Taylor series）是以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，是一种在给定点附近近似计算函数值的方法。
泰勒级数展开式是将函数展开为一个无穷级数，该级数的每一项都与该点的各阶导数有关。
泰勒级数在许多数学和工程领域具有广泛的应用，例如在数值分析、近似计算、泛函分析等方面都有重要的作用。
泰勒级数展开式通常表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x - a) + (f""(a)/2!)(x - a)^2 + ...+ (f^n(a)/n!)(x - a)^n + ...其中，f(x) 是要展开的函数，a 是展开点，f"(a)、f""(a)、...、f^n(a) 分别表示函数f 在点a 处的一阶导数、二阶导数、...、n 阶导数，x 是离a 点很近的一个变量。
为了更好地理解泰勒级数展开式，我们可以从一个简单的例子入手。
假设我们有一个函数f(x) = e^x，我们要在x = 0 处展开泰勒级数。
首先计算各阶导数：f"(x) = e^xf""(x) = e^xf^3(x) = e^x...然后将各阶导数除以相应的阶乘，并乘以(x - a)^n，得到泰勒级数展开式：f(x) ≈ 1 + x - (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 - (1/4!)x^4 + ...可以看到，泰勒级数展开式是一个无穷级数，通过计算有限项可以得到一个在展开点附近很好的近似值。
需要注意的是，泰勒级数的收敛性取决于函数和展开点，有些函数的泰勒级数在某个区间内收敛，有些函数的泰勒级数在全域内收敛，还有一些函数的泰勒级数在某些点不收敛。
泰勒级数在许多领域都有广泛的应用，如在数值分析中，泰勒级数展开式可以用来近似计算积分、求和等；在近似计算中，泰勒级数可以用来逼近函数，例如在插值和拟合问题中；在泛函分析中，泰勒级数可以用来研究函数空间等。
泰勒公式及其应用
1、绪论泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。
由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明。
使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识。
只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。
2、布鲁克·泰勒简介布鲁克·泰勒（1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1731年11月30日逝世于伦敦）是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。
他的母校为剑桥大学圣约翰学院。
进入大学之前，他一直在家里读书，他的全家尤其是他的父亲都喜欢音乐和艺术，并且经常在家里招待艺术家。
这对泰勒一生的工作造成了极大的影响，这从他的俩个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法就可以看出来。
1701年布鲁克·泰勒进入剑桥大学圣约翰学院，1709年他获得法学学士、1714年获得法学博士学位。
他也学习数学。
1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。
因此导致约翰·白努利与他争谁首先得到解法的问题。
他1715年发表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。
除其它许多用途外他用这个方法来确定一个振动弦的运动。
他是第一个成功地使用物理效应来阐明这个运动的人。
在同一著作中他还提出了著名的泰勒公式。
直到1772年约瑟夫·路易斯·拉格朗日才认识到这个公式的重要性并称之为“导数计算的基础”（le principal fondement du calcul différentiel）。
第十章 无穷级数 6 泰勒级数
2. 函数能展开成幂级数的充要条件
定理 2: 设函数 f (x)在含有点 x0的某个区间 (a,b) 内有任意阶 的导函数,则
f ( x)在(a,b)内能 展开成泰勒级数
lim
n
Rn
(
x
)
0,
x (a,b)
其中Rn( x)为 f ( x)的泰勒公式的余项. (lagrange)
3. 函数展开成幂级数
R2n ( x)
sin[ (2n 1) ]
2 (2n 1)!
x 2n1
x 2n1 (2n 1)!
x (,),
lim
n
R2n
(
x)
0,
故,
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,).
方法二:间接展开法
利用已有的展开式，通过适当的变换 (变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分)，求出 未知的展开式的方法. 由于泰勒级数的唯一性，新得到的级数一定是 所求函数的泰勒级数 .
若存在,系数是多少 ? 级数表示式唯一吗 ?
1. Taylor级数的概念
幂级数展开的唯一性
定理 1:
设级数 an( x x0 )n在区间( x0 R, x0 R)内收敛于f ( x),
n0
即
f ( x) an( x x0 )n
n0
那么,该幂级数的系数 an与函数 f ( x)有如下关系:
收敛,
故
arctan x (1)n x2n1 n0 2n 1
x 1,1.
例5
将
f (x)
x2
1 4x 3
展开成 (x 1)的幂级数.
泰勒级数展开讲解
f (z) bn (z z0 )n n0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
bn
f
n (z0 n!
)
an
,
(n 0,1, 2,
)
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。
数学物理方法
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
内展开成幂级数.
数学物理方法
2、加减法
例 3.3.4 将函数 f (z) cos z 在 z0 0 处
展开成幂级数。
cos z 1 (eiz eiz ) 1 (
(iz)n
(iz)n )
2
2 n0 n! n0 n!
z2 z4 1
(1)m z2m
(3.3.3)
1
an 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2, )
(3.3.4)
数学物理方法
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f (0) 1m
f '(z) m(1 z)m1
f '(0) m1m
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3
taylor 级数展开式
taylor 级数展开式【原创实用版】目录1.泰勒级数展开式的概念2.泰勒级数展开式的应用3.泰勒级数展开式的举例正文1.泰勒级数展开式的概念泰勒级数展开式是一种数学工具，用于描述一个可微函数在某一点附近的近似值。
这个展开式是以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，他在 18 世纪初发现了这个重要的数学公式。
泰勒级数展开式的基本形式如下：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f(x) 是一个可微函数，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数在点 a 的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示 n 的阶乘，Rn(x) 是泰勒级数的余项。
2.泰勒级数展开式的应用泰勒级数展开式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒级数展开式，我们可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）求函数的极值和拐点：通过分析泰勒级数展开式的各项系数，可以判断函数在某一点附近的极值、拐点等情况。
（3）证明数学定理：泰勒级数展开式在证明一些数学定理时也起到关键作用，例如泰勒公式可以用来证明洛必达法则等。
3.泰勒级数展开式的举例以函数 f(x) = e^x 为例，我们可以展开其在 x=0 附近的泰勒级数：f(x) = e^x = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + x^4 / 4! +...通过泰勒级数展开式，我们可以将指数函数 e^x 在 x=0 附近近似为多项式 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + x^4 / 4! 等。
21.Taylor级数展开的唯一性概述
).
注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接
将函数展开成Taylor级数
将函数展开为Taylor级数的方法: 1. 直接方法; 1. 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数
1 ( n) cn f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
n
1 , z 1 1 2
n 1 z 1 ( z 1) 1/4+1/4*z-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3 n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0
n ( 1)n z 1
1 z
n 0
z 1 , 1 2 z 3 z 2 (1 z )
( 1)n ( n 1) z n
z 1 .
例3
将 f (z)
1 z
2
1
2
展开为z的幂级数.
然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数, 通常比直接展开更为简 洁, 使用范围也更为广泛 .
根据例2，MATLAB语句. 解 运行下面的
>> syms 1 z;
n n ( 1) ( n 1) 2 (1 ) >> f=1/(1+z^2)^2; n 0
1 ,
2 >> taylor(f,z) z , 则 令
第三章 幂级数展开
n d
3.6 孤立奇点的分类
对于解析函数f(z)的孤立奇点z=z0,在挖去奇
点的环域上作Laurent展式:
f z bk z z0 k
k
由展开式的情况,将奇点分为三种类型:
1) 可去奇点
展开式中无负幂次项,性质 lim f z b0
2) m阶极点
z z0
展开式中有有限项负幂次项,其最高的负幂
解: 1) f z 1 1 1
2 z 1 z 3
1
z 1
1 z1
1 z
1n
n0
1 z n1 ,
1 z3
11 31 z
3
1n
n0
zn 3n 1
f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
zn 3n 1
2) f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
3n z n1
bk z z0 k , bk
k 0
1
2i C
(
f
z0 ) k 1
d .
在
C r
上
：
z0
z z0 ,
1 z
z0
1
z
z0
1 z z0
1
1 z0
z z0
k 0
z0
z z0
k
k 1
,
1
f d
2i Cr z
1
[
k 0 2 i CR
f
z0 n d ]z z0 n1
z0 ) k 1
k 0
f
n (z0 k!
)
(
z
z0
泰勒级数的定义和应用
泰勒级数的定义和应用1. 泰勒级数的概念泰勒级数（Taylor series）是一种在数学分析中常用的工具，它是一个函数在某一点的邻域内的无穷级数展开式。
其目的在于用一组多项式来逼近一个连续函数，使得在给定误差范围内，该多项式与原函数的值尽可能接近。
2. 泰勒级数的表达式设函数f(x)在点a处可导，且导数在该点连续，那么函数f(x)在点a处的泰勒级数可以表示为：[ f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (x-a)^2 + (x-a)^3 + + (x-a)^n + R_n(x) ]其中，( f^{(n)}(a) )表示f(x)在点a处的第n阶导数，n为正整数；( R_n(x) )表示余项，表示泰勒级数中余项部分的误差。
当n趋于无穷大时，如果余项趋于0，则泰勒级数收敛于函数f(x)。
3. 泰勒级数的性质（1）收敛性：泰勒级数的收敛性与余项密切相关。
如果余项满足一定的条件，例如幂级数展开的余项为( R_n(x) (x-a)^{n+1} )，其中M为常数，则泰勒级数收敛。
（2）唯一性：在某一区间内，一个函数的泰勒级数是唯一的，除非该函数在该区间内具有多个极值点。
（3）对称性：如果函数f(x)是偶函数，则其泰勒级数在原点对称；如果函数f(x)是奇函数，则其泰勒级数关于原点对称。
4. 泰勒级数的应用泰勒级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，以下列举几个典型例子：（1）求解微分方程：泰勒级数可以用来求解许多微分方程，特别是那些形式复杂的非线性微分方程。
通过将方程两边展开成泰勒级数，可以简化方程求解过程。
（2）数值计算：在计算机计算中，为了提高计算精度，常常需要将函数在某一点附近展开成泰勒级数，然后利用级数的前几项进行数值计算。
（3）泰勒级数在物理学中的应用：在物理学中，许多自然现象可以用泰勒级数来描述，例如正弦函数、余弦函数等。
通过将物理量展开成泰勒级数，可以研究其在不同条件下的变化规律。
第四章 泰勒级数
圆周上的性质（是否有定义？解析？）并
不清楚，只知道在大圆内解析。
第二步：将 f 形式展开
f ( z ) cn ( z z0 )
n 0
n
☺ 为利用 Cauchy 积分公式(需要一个圆 周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|= r，
再令 rR，逼近区域K的边界
第二步：将 f 形式展开
K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛
第一步：证明幂级数 an ( z z0 ) n 在区域
K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛 ☺ 这里用小圆逼近的原因是对于 f 在大
某个邻域展开成 Taylor 级数。
推论：函数 f 在 z0 解析函数 f 在 z0的
某个邻域展开成 Taylor 级数。
☺ 函数 f 在 z0 附近展开成 Taylor 级数的 范围是以 z0为圆心的尽量大的（解析）开 圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点
推论：函数 f 在的Taylor展开式 1 f ( z ) g ( z ) ln(1 z ) 2 （2） （1） (1 z ) 解：用 –z 代替例2中的 z 即得|z|<1时，
f ( z ) (1)
n 1
n 1
nz
n 1
(1) n 1 g ( z) z n 0 n 1
1 2
2
0
f ( z0 re ) d n in re
泰勒级数与洛朗级数分解
f ( ) n ( z z ) 0 n 1 ( z ) n 0 0
(*)式
证明： 设k : z0 r ,{ z0 r} D,
z为k内任一点,由Cauchy积分公式 :
1 f ( z) 2 i
f ( ) k z d
z z0 q 1, z0
1 又f ( z ) 2 i
联合(I),(II)
f ( ) k z d
Hale Waihona Puke (II)z0z
k
D
f ( ) f ( ) n 需证 ( z z ) (*) 0 n 1 z n0 ( z0 ) z z0 q 1, z0
1 1 1 1 , z z0 ( z z 0 ) z 0 1 z z0 z0
故sin z,cos z在全平面上解析，它们的半径R
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
泰勒(Taylor)级数
洛朗 (Laurent)级数
张红英
§4.3 泰勒(Taylor)级数
1. 问题的引入 2. 泰勒级数展开定理 3. 简单初等函数的泰勒展开式 4. 小结
1. 问题的引入
幂级数性质回顾： 一个幂级数的和函数在它的 收敛圆内部是一个解析函数。 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？
设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析, K : z0 r
.z 如图:
z0 .
K 内任意点
r
.K
圆周 z0 r
D
2. 泰勒(Taylor)级数展开定理
定理（泰勒级数展开定理）
设f ( z )在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界 上各点的最短距离，则当 z z0 R时,
第三章第三节解析函数的Taylor展开
取极限z趋于z0，则由于级数在CR内的任一闭区域中一致收敛，故 有a0 = b0。 逐项微商，再取极限z趋于z0，又得a1 = b1，如此继续，即可证得
ak bk , k 0,1, 2,......
k 0
z z0
k
k 0
f k z0 k!
z z0 k
ak
1
2 i
f CR1 z0 k1d
f k z0
k!
(3.3.4)
(二) 解析函数Taylor展开的唯一性
给定一个在圆CR内解析的函数，则它的Taylor展开
是唯一的，即展开系数ak是完全确定的。
证：假定有两个Taylor级数在圆CR内都收敛到同一个解析函数f(z)
z不等于0时，各个单 值分支互相独立，各 自是一个单值函数， 可比照单值函数的展 开方法加以展开。
自己推导结果
ln z n2i z 1 z 12 z 13 ...... z 1 1.
2
3
........................................................... 3.3.10
§3.3 解析函数的Taylor展开
(一) 解析函数Taylor展开的定理 (二) 解析函数Taylor展开的唯一性 (三) 解析函数Taylor展开的应用举例
第二节：幂级数之和在收敛圆内部为解析函数。 问题：如何把一个解析函数展开为幂级数？ (一) 定理
设函数f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的
任意z点，f(z)可展开为幂级数， f z ak z z0 k ,
f
洛朗Laurent级数展开
由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数 的敛散性来定义原级数的敛散性。 规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛 时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级 数与负幂项级数的和。 讨论： (1)若R1<R2，则双边幂级数处处发散， (2)若R1>R2，则双边幂级数就在R2<|z-z0|<R1环 状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外 发散，在环上敛散性不定。
样往往更便利(即间接展开法) 。 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一 般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数 在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。
sin z 例1：在z0=0的邻域上把 z 展开。 sin z f ( z) 有孤立奇点z=0，并在0<|z|<∞内有 z sin z 1 (1) n z 2 n 1 z2 z4 f ( z) 1 ... z z n0 (2n 1)! 3! 5!
k
k a ( z z ) k 0 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛
朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
负幂部分 ak ( z z0 ) k
k 1
(0 R1 )
1 令 z z0
则 a1 a2 2 a3 3 ...
设 | | R
1 → | z z0 | R2，R2 0 R2
即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。
k
1 1 1 k z 1 f ( z) (1) 2 z 1 4 k 0 2
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则 f ( z ) 是 z z0 R内的解析函数, 且在收敛圆
z z n 0 2 3
2
n 1 )n , fz (3 z ) c( ( z z n1) 0 n
n
z
z 1 .
例5
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 z 1
1 z
n 0
逐项求导，得
1 2 n n 1 2 z 3 z ( 1) ( n 1) z 2 (1 z )
z 1 .
例3
将 f (z)
1 z
2
1
2
展开为z的幂级数.
根据例2，MATLAB语句. 解 运行下面的
>> syms 1 z;
n 2n 2 4 >> syms z; ( 1) z z z n z n 2 n z z , 则在 cos z e z1 ( 1) , z 半径分别为 R (2n )! 1 z R1 和 z . 2 4! 2! n (2n)! n 0 n 0 n ! 2! >> ! f=sin(z);g=cos(z);
n 0 n 2 n 1 n
n 0
n 0
1 点邻域内 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 (1 z ) 的Taylor级数.
解 z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例题 中，用z替换-z, 则
1 n 1 z z 2 ( 1)n z z 1 , 1 n z z 1 . 1 z
>> f=log(1+z);
y
R1
>> syms z;
因为 >> taylor(f)
ans = ln(1 z )
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5 并且由 例题 有
1 , 1 z
1
o
1
x
1 n n 1 z z2 ( 1) z 1 1 z zn z 1 .
注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接 方法奠定了基础.
将函数展开成Taylor级数
将函数展开为Taylor级数的方法: 1. 直接方法; 1. 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数
1 ( n) cn f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.
z 1 ,
y
所以
R1
ln(1 z )
1 z z 2 (1)n z n
n 0
1
o
1
x
z 1 .
n
设幂级数 cn ( z z0 ) 收敛半径 根据定理，把上式逐项积分，得
( 1) n1 ln(1 zR ) , 并且在 zz z 0 R 内, 半径为 n 0 n 1
n n n ( a b ) z a z b z 并且收敛半径 R 同理 n n , n . >> n taylor(f)
( 1) z ans = sin z n a z b z a0bn a1bn1 an n 1)! n n n 0 (2 z-1/6*z^3+1/120*z^5 n 0 n 0 n 0 2 n 3 5 1 z z z n n z . z (2) ( 1) >> taylor(g) f ( z ) c z 设级数 (2n 1)! 的收敛半径为 r n 3! 5! n 0
成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.
解 运行下面的MATLAB语句.
1 1 >>zsyms z; 1 f (z) 1 1 1 z 1 z 1 ( z 1) 2 2 >> f=z/(z+1);
z >> 1 taylor(f,z,4,1) % 在z=1处展开4项 1, 即 z 1 2 时, 当 2 ans =
1 1 1 n n ( iz ) ( iz ) , 2 n 0 n ! n 0 n !
n n
e e 和 bn语句 z 的收 解得 运行下面的 MATLAB . 可(1) 设级数 an
n 0 n 0 2n
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数, 通常比直接展开更为简 洁, 使用范围也更为广泛 .
例1
利用
iz iz
本例利用直接方法也很简单
n
1 , z 1 1 2
n 1 z 1 ( z 1) 1/4+1/4*z-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3 n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0
n n ( 1) ( n 1) 2 (1 ) >> f=1/(1+z^2)^2; n 0
1 ,
2 >> taylor(f,z) z , 则 令
ans1= n 2n ( 1) ( n 1) z 1-2*z^2+3*z^4 (1 z 2 )2 n 0
Taylor展开式的惟一性定理 定理 设 f ( z ) 是 D上的解析函数, z0 是
D内的点，且在 z z0 R 内可展成幂级数
n f ( z ) cn ( z z0 ) , n 0
则这个幂级数是 f ( z ) 在 z0 点的Taylor级数，即
f ( n ) ( z0 ) cn ( n 0,1, 2, ). n!
1 2 z 2 3 z 4 ( 1)n ( n 1) z 2 n
z 1 .
例4 求对数函数的主值 ln(1 z ) 在z=0点 的Taylor级数.
z ) 在复平面中割去从点 解 运行下面的 语句. 函数 ln(1MATLAB -1沿
负实轴向左的射线的区域内解析.