线性代数自测卷1-1讲评

1
。 3⎪ 6⎪=6
⎪a 19. n 阶范得蒙行列式 V =⎪a ⎪… a
n
⎪ ⎪ ⎪
1
。
⎪a [解]：根据范得蒙行列式的计算公式 V =⎪a ⎪… a
n
1
1 … 1 a2 … an 2 a22 … an2 ＝ Π (aj – ai) 1 1≤i<j≤n … … … n-1 n-1 n-1 a2 … an 1
1-1-4
填：2a-b-c
。
三，计算题（本大题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分） 21. 计算以下排列的反序数 1, 3, 5 ,.., 2n-1, 2, 4, 6, …, 2n, [解]：设 mk 表示排列中数码 k 前面比 k 大的数码的个数。 则 m2k-1=0, k=1,2,…,n ； m2=n-1, m4=n-2,…, m2n-2=1, m2n=0, 所以反序数 N(1, 3, 5 ,.., 2n-1, 2, 4, 6, …, 2n)=n-1 + n-2 +…+ 1 = n(n-1) 2
选：A 。 0 x 0 ⎪-1 1 1 -1 -1⎪ ,则|A|中 x 的常数项系数是 4.已知|A|=⎪ 1 -1 1 -1⎪ ⎪1 -1 -1 1⎪ A、4 B、-4 C、2 D、-2 【讲评】考点：行列式|A|的展开是 x 的多项式 f(x)，计算它的常数项即 f(0)为。 本题：设 f(x)= |A|，则|A|中 x 的常数项系数是 f(0)。
D=V(3,5,6)=(6-3)(6-5)(5-3)= 6 。 填：6 。
⎪b 14. 行列式⎪c ⎪d
a1
1 1 1
a2 b2 c2 d2
a3 0 0 0
a4 0 0 0
⎪ ⎪ 的值为_____________. ⎪
a2 b2 c2 d2 a3 0 0 0 a4 0 0 的第 3，4 列成比例，所以 D=0 。 0
⎪b [解]：注意：行列式 D=⎪c ⎪d
a1
1 1 1
⎪ ⎪ ⎪
填：0 。 15. 设 6 阶行列式 D=|aij|=m，依下列次序对 D 进行变换后：交换第一行与第五行，再转置， 用 2 乘以所有的元素，再用(-3)乘以第二列加于第四列，最后将第二行的各元素除以 4，得 到行列式 D5。则 D5= 。 [解]：设根据题意所得的行列式分别为：D→D1→ D2→ D3→ D4→ D5
(
)
⎪1 f(0)=⎪1 ⎪1
k-2 5. ⎪ ⎪ 2
-1
0 0 0 ⎪1 -1 -1⎪ ⎪1 -1 -1⎪ 1 -1 -1 -1 1 -1⎪= (-1)⎪0 0 -2 ⎪= 4 = (-1) ⎪ -1 1 -1 ⎪-1 -1 1⎪ ⎪0 -2 0 ⎪ -1 -1 1
⎪ ⎪ ⎪
选：A 。 2 ⎪ k-2⎪≠0 的充分必要条件是 C、k≠0 且 k≠4 D、k≠0 或 k≠4 ( )
1-1-3
1 则 D1= -D，D2= D1T=D1，D3= 26D2，D4= D3，D5= 4D4， 1 所以 D5=426D2= -24D = -16m 。 填：-16m 。
⎪-1 x 1⎪ 16. 行列式⎪1 -1 1⎪ 是关于 x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 ⎪1 1 -1⎪ ⎪-1 x 1⎪ [解]：注意：行列式 D=⎪1 -1 1⎪中，只有一个 x， ⎪1 1 -1⎪
λ-1 2 ⎪ λ-1 2 ⎪ ＝(λ-1)-22=(λ-3)(λ+1)，所以⎪ ⎪ 2 λ-1⎪ ⎪ 2 λ-1⎪=0 时，λ的值为 3 或-1 。 。 = 。
填：3 或-1
⎪1 1 1 ⎪ 5 6⎪ 13. ⎪3 ⎪9 25 36⎪
⎪1 1 1 ⎪ 5 6⎪ 是一个范得蒙行列式 [解]：注意：行列式 D=⎪3 ⎪9 25 36⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
D=(-1)1+n
⎪0 a 0 --- 0 ⎪ a ⎪… … … … ⎪ ⎪0 0 0 … a ⎪
n 2 n-1
a1
0 0…0
=(-1)n+1a1a2…an-1an=(-1)n-1a1a2…an 选：C 。
1-1-2
⎪1 x 3 ⎪ 10. 已知行列式⎪x 2 0 ⎪ 中，(1,2)元素的代数余子式 A12=8，则 x= ⎪5 -1 4⎪
线性代数自测卷 1-1 讲评
一，单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1. 排列 53142 的逆序数 N (53142)= ( ) A、7 B、6 C、5 D、4 【讲评】考点：排列的逆序数的计算。N(j1,j2,…jn)=m1+m2+…+mn ,其中 mk 表示数码 k 前面 比 k 大的数码的个数。 本题：N(53142)=2+3+1+1+0=7, 选：A 。 2.在五阶行列式 | aij | 项 (-1) a11 ak2 a43 at4 a55，则下列正确的是 Ａ、K=2, t=4,符号为负 Ｂ、K=2, t=4,符号为正 Ｃ、K=3, t=2,符号为负 Ｄ、K=3, t=2,符号为正 【讲评】考点：行列式定义中的一般项的符号的确定。 本题：a11 ak2 a43 at4 a55 是五阶行列式 | aij | 的一项，⇒ {k,t}={2,3} 当 K=3,t=2 时，N(13425)+N(12345)=0＋2＋0＋0＋0=2 此项的符号为正。 选：D。
1
2 3 0 0 0 1 1 1
4 x -1 =0, 的解 x。 1
⎪ ⎪ ⎪
⎪2 [解]：第二行展开得到 f(x)= 1A21+xA24=(-1)2+1⎪0 ⎪1
所以 f(x)=0 的解为 x= -3/2
⎧ 5x1+ 2x2 = -1 24. 用克莱姆规则求⎨ 4x + x = 1 的解。 ⎩ 1 2
1 所以该多项式的一次项系数是 x 的代数余子式 A12= -⎪ ⎪1 1⎪ -1⎪=2
填：2 。 17. 设 A=(aij)3×3，|A|=2, Aij 表示|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,3)，则 (a11A11+a12A12+a13A13)2 +(a11A21+a12A22+a13A23)2 +(a11A31+a12A32+a13A33)2 = [解]：注意：(a11A11+a12A12+a13A13)2 +(a11A21+a12A22+a13A23)2 +(a11A31+a12A32+a13A33)2 的第 1 个括号为 A 的第一行乘第一行的代数余子式＝|A|， 的第 2 个括号为 A 的第一行乘第二行的代数余子式＝0， 的第 3 个括号为 A 的第一行乘第三行的代数余子式＝0， 所以(a11A11+a12A12+a13A13)2 +(a11A21+a12A22+a13A23)2 +(a11A31+a12A32+a13A33)2 =22=4 。 填：4 。
A、k≠0 B、 k ≠ 4 【讲评】考点：二阶行列式的计算的性质。
1-1-1
k-2 本题：D=⎪ ⎪ 2
2 ⎪ 2 k-2⎪= (k-2) – 4 = (k-4)k ，
所以 d≠0 ⇔ k≠0 且 k≠4 。 选：C 。 6. 设 A 为 3 阶方阵，且行列式 |A| =1/2，则 |-2A| = ( ) Ａ．-4 Ｂ．4 Ｃ．-1 Ｄ．1 【讲评】考点：行列式计算的性质。行列式可依行(列)提出公因子；将行列式某行(列)乘以 一个数加到另一行(列)上去，行列式的值不变。 本题：|-2A|=(-2)3|A| = -8/2 = -4 选：A 。 a11 7. 设行列式⎪ ⎪a21 a12⎪ ⎪a13 a11⎪ a22⎪ =m，⎪a23 a21⎪ =n a11 则行列式⎪ ⎪a
⎪ ⎪ ⎪
。
填：1≤Π (a – ai) 。 i<j≤n j +x3=a ⎧3x1 + x +x 2x 20. 设⎨ 1 2 3=b 用克莱姆规则得到唯一解 xj=Dj/D，试写出 D2= ⎩4x1 - 2x2+x3=c 。
⎪3 a 1 ⎪ [解]：D2=⎪2 b 1⎪= 2a-b-c ⎪4 c 1 ⎪
⎪1 22. 计算行列式 D=⎪0 ⎪0
[解]：将第一行展开得到
1
1 0 0 2 2 0 2 3 3 0 3 4
⎪ ⎪ ⎪
⎪2 2 0⎪ ⎪1 2 0⎪ D=1A11+1A12=(-1)1+1⎪2 3 3⎪+(-1)1+2⎪0 3 3⎪ = -10 –3 = -13 ⎪0 3 4⎪ ⎪0 3 4⎪
⎪1 23. 求 f(x)= ⎪1 ⎪1
N(1k4t5)&
⎪3 403 4⎪ 3.三阶行列式 ⎪3 201 2⎪ = ⎪1 398 4⎪
(
)
A、-34 B、70 C、-70 D、34 【讲评】考点：行列式计算的性质。行列式可依行(列)提出公因子；将行列式某行(列)乘以 一个数加到另一行(列)上去，行列式的值不变。
⎪3 403 4⎪ ⎪3 3 4 ⎪ 本题：D=⎪3 201 2⎪=⎪3 1 2 ⎪=12+6-24-4-36+12= -34 ⎪1 398 4⎪ ⎪1 -2 4⎪
A、-2 B、2 C、-11/4 【讲评】考点：行列式的余子式与代数余子式的概念。 D、11/4
(
)
⎪1 x 3 ⎪ 本题：行列式⎪x 2 0 ⎪ 中，(1,2)元素的代数余子式 A12= -4x， ⎪5 -1 4⎪
已知 A12=8 ⇒ x= -2 选：A 。 二，填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）不写解答过程，将正确的答案写 在每小题的空格内。错填或不填均无分） 11. 在六阶行列式 | aij | 中，项 a55 a31 a62 a43 a14 a26 的符号为 [解]：注意行标排列的反序数为 N(536412)=4+4+1+2+0+0=11 ， 列标排列的反序数为 N(512346)=1+1+1+1+0+0=4 ， 所以项 a55 a31 a62 a43 a14 a26 的符号为(-1)11+4= -1 填：负 。 λ-1 2 ⎪ 12. 当行列式 ⎪ ⎪ 2 λ-1⎪=0，问λ的值为 [解]：因为⎪ 。 。