6-1一维波动方程的达朗贝尔公式
(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式
u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
一维波动方程的达郎贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无限长弦的自由振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x tu x u t x xu a t u t t φϕ ① 作自变量的代换⎩⎨⎧-=+=atx atx ηξ 利用复合函数的微分法有：ηξ∂∂-∂∂=∂∂uau a t u )2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 将①化为：02=∂∂∂ηξu并将它两端对η进行积分得：)(0ξξf u=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰=)()(21at x f at x f -++ ②其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：)()()(21x x f x f ϕ=+)()()(2''1x x f x af φ=+通过积分可得：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。
2解的物理意义由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。
)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。
同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x-平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学的一个分支，研究的是只依赖于一维自变量的函数和它们的导数。
常微分方程是各个领域中最重要的数学工具之一，广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域。
在解常微分方程时，达朗贝尔公式和Green公式是两个非常重要的公式。
本文将对它们的定义、性质和应用进行详细介绍。
达朗贝尔公式达朗贝尔公式（D'Alembert's formula）是解一维波动方程（Wave Equation）的经典公式。
一维波动方程是描述一维波动传播的方程，形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$是波函数，$c$是波速，$x$和$t$分别表示空间和时间。
由于常微分方程只有一个自变量，因此我们需要对时间或空间变量进行临时的剖分才能解决这类方程。
达朗贝尔公式给出了波函数在任意时刻和任意位置的解析表达式，形式为：$$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y)dy$$其中，$f(x)$是初始波形（Initial Waveform），$g(x)$是初始速度（Initial Velocity），$c$是波速。
这个公式的第一项表示波源在$t=0$时刻释放的波形在$x$处的振幅随时间的变化，第二项表示波源在$t=0$时刻释放的波速在$x$处的振幅随时间的变化。
达朗贝尔公式的一个重要性质是线性叠加性。
如果有多个波源在不同位置、不同时刻释放波形和波速，那么它们的叠加波形可以通过将它们对应的达朗贝尔公式相加而得到。
这样，我们就可以用达朗贝尔公式求解复杂的波动问题。
Green公式Green公式（Green's formula）是解各种常微分方程的一个通用技巧。
第十章波动方程的达朗贝尔解
第十章波动方程的达朗贝尔解(9)一、内容摘要1．行波法达朗贝尔公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。
一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：()()()()()()()20,,0,0,,0.tt xx t u a u x t u x x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞≥⎪=-∞<<∞⎨⎪=-∞<<∞⎩ 可以证明，原问题具有如下形式的通解：()(),u x t f x t α=+将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：220a α-=； 且解为a α=±。
原方程的通解可以表示为:()()()12,u x t f x at f x at =++-．原方程满足初始条件的特解可以表示为:()()()()11,[]+''22x at x at u x t x at x at x dx aϕϕψ+-=++-⎰，这个式子就是达朗贝尔公式()(),x x ϕψ为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。
2．行波法要点行波法始原于研究行进波，其解题要领为：（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。
二、习题1．求解初值问题（1）()()()()()2,,,0,;,0cos ,,0 2.,.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==∈-∞∞⎪⎩．（2）()()()()(),0,,,.tt xx u u x t u x x x u x x x ϕψ=-∞<<∞>⎧⎪⎨-==⎪⎩．（3）()()()()22,,,0,;1,00,,0.1+tt xx t u a u x t u x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==⎪⎩． （4）()()()()()()2,,,0,;,0,,0'.tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==-⎪⎩．2．验证()()(),3u x y x y x y ϕψ=-++是偏微分方程230xx xy yy u u u +-=的解，其中,ϕψ是充分光滑的任意函数。
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
波动方程的达朗贝尔解
简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对 积分
u C1 f
对 积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很 难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定 其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公 式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简 单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般 的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。 但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用 求通解的方法来处理。
波动方程的达朗贝尔公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2
(1) (2)
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
(3)
容易验证, 只要 F G 具有二阶连续偏导, 表达式(3)就是 方程(1)的通解. 再由初始条件
F ( x) + G ( x) = ϕ ( x) −aF ′ ( x ) + aG′ ( x ) = ψ ( x )
启发人们把数学上解的概念加以扩充:用一个充分光滑的初始 函数序列来逼近不够光滑的初始函数,前者所对应的解的序列 的极限就是定义为后者所确定的解,称为问题的广义解.这就是 首先由索波列夫所引入的广义定义的解概念.引入广义解概念 的好处,就在于对定解条件的要求放宽了,从而使方程所能描述 的物理现象更为广泛.
z
( x, y, z ) 在球面上的平均值为 2π π 1 v ( x, y , z , t ) = ω (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0
4π a t
θ (α , β , γ ) M ( x, y , z ) at
1 2π π = ∫0 ∫0 ω (α , β , γ )d Ω 4π a = x + at sin θ cos ϕ β = y + at sin θ sin ϕ γ = z +n θ dθ dϕ d Ω = sin θ dθ dϕ
数理方程期末试题14~15A(另一版本)
u x=0 = 0
t =0
=
sin
πx 10
,
0 < x < 10,t > 0
u x=10 = 0 ∂u = 0 ∂t t=0
解 设该定解问题的解为 u( x,t ) = X ( x )T( t )
则 T ′′( t ) = X ''( x ) = −λ T(t ) X( x )
T ′′( t ) + λT ( t ) = 0
cr n + dr−n
∂u
∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题
∂u = B ∂x x=0
u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
阶贝塞尔函数
Jn (x)
=
∞
( −1)m
m=0
xn+2m 2n+2m m! Γ( n +
m +1)
，
∫R 0
rJ
n
(
µm(n R
)
r
)
J
n
(
µm(n R
)
r)dr
=
R2 2
J
( 2
n−1
µ(mn
)
)=
R2 2
J
( 2
n+1
µ(mn
)
)。
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13、勒让德方程可表示为 ( 1 −
达朗贝尔公式
t =0
= ψ ( x)
=0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x ≥ 0 。
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫ ψ (ξ )dξ 2 2a x −at
x + at
t > x/a
u (0, t ) = 0
时，上式中后两项无意义。必须将 u(x,t) 延拓到这个范围。 ，作奇延拓： ϕ ( x) → Φ ( x)
x − at
x
x + at
当 a=1 ，相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线 求导。当 a 不为一，则求导的线进行相应的 角度变化。 变换： x = (ξ + η )
1 2
和
t=
1 (ξ − η ) 2a
t
显然， ξ = x + at
∂ ∂t ∂ ∂x ∂ = + ∂ξ ∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ ∂t ∂ ∂x ∂ = + ∂η ∂η ∂t ∂η ∂x
= f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
X = x − at T = t
新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标 x = at ，即在 旧坐标中以速度 d 运动，而函数 f2(x-at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴 正方向运动。 f1 (x+at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴反方向运动。
7.4 达朗贝尔公式
定解问题
行波法
（一）波动方程的达朗贝尔公式 达朗贝尔公式 A.坐标变换
2 ∂2 2 ∂ ( 2 −a )u ( x , t ) = 0 ∂t ∂x 2
波动方程的达朗贝尔公式
ϕ
0 x y
2π π ∂ ⎡ t ⎤ u ( M , t ) = u ( x, y , z , t ) = ⎢ ϕ (α , β , γ ) ds ⎥ 2 2 ∫0 ∫0 ∂t ⎣ 4π a t ⎦ 2π π 1 + ψ (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0 4π a t 1 ⎡∂ ϕ (ξ ,η , ζ ) ψ (ξ ,η , ζ ) ⎤ ds + ∫∫ M ds ⎥ = M ⎢ ∂t ∫∫Sat (8) Sat 4π a ⎣ at at ⎦
代入(3)式,得 达朗贝尔公式
u ( x, t ) =
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 x + at + ∫x−at ψ ( s )ds 2a
(7)
达朗贝尔公式的物理意义
通解
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
表示弦上的任意扰动总是以行波的形式向相反的 两个方向传播出去,故达朗贝尔解法又称为行波解法. a为波的传播速度.从分析a的量纲也可以知道a代表速度,因为
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)
1 x F ( x ) − G ( x ) = c − ∫ ψ ( s )ds a x0
连立解(4),(6)得
1 1 x c F ( x) = ϕ ( x) − ∫x0 ψ ( s )ds + 2 2 2a 1 1 x c G ( x) = ϕ ( x) + ∫x0 ψ ( s )ds − 2 2 2a
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
下篇-4 波动方程的达朗贝尔解
1、通解
2 ( 2 a )u( x , t ) 0 2 t x
2 2
？
2 u ( , ) 0
x at 方法： 作变换 x at
即：u x , t u ,
2
x at x at
u u u u u 复合函数求导法则： x x x
12
例2、半无界问题 utt a 2 uxx 0, 0 x 端点固定 u( x ,0) x , ut x ,0 x , 0 x u 0, t 0 utt a 2 uxx 0, 0 x 端点自由振动 u( x ,0) x , ut x ,0 x , 0 x ux 0, t 0
波形向左、右以速度a移动10
0 5 10
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
1 0.8
1 0.8
t=0.2
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
t=0.5
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
d +C a
0
1 1 x C f1 x x d 0 2 2a 2 联立可得： f x 1 x 1 x d C 2 2 2a 0 2
代入通解，得满足初始条件的特解：
f1 ( x at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波。
结论：达朗贝尔公式表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a的行 6 波的叠加，故称为行波法。
行波法与积分变换法——数学物理方程
1 3 u f1 3 x f1 f2 x f 2 1 3 f1 0 f2 0 C
其解中得f1 , ff21是3两x个二94x次2连34续C可微函数.
于是原方程 f的1 通x 解 为14 x 2
4
4
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
例 求方程 u x x 2 s in xu x y c o s2x u y y c o sx u y 0
的一般解. 解 特征方程为
d y 2 2 s in x d x d y c o s 2x d x 2 0
dy sinx1 dx
rat 1( )d , r at 0
at)
u
(r,t)
(r
at
)
0
(r
at
)
(at
r
)
0
(at
r
)
2r
1 2ar
atr
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t)
f1 x f2 x x ……………①
u t| t 0 a f ' 1 ( x a 0 ) a f 2 ' ( x a 0 )
a '1 x f a '2 x fx ……………②
由第二式得
f1xf2xa10xdC.............③
进一步有
2tu 2 a22ru rr2u 20 2(tr2u)a22(rr2u)0
波动方程的达朗贝尔公式
波动方程的达朗贝尔公式达朗贝尔公式是描述波动方程解的一种常见方法，它是由法国天文学家和数学家达朗贝尔于1787年提出的。
在描述一维波动问题时，达朗贝尔公式可以非常有效地解决问题。
首先，我们来看一维波动方程的基本形式：∂²u/∂t²=v²∂²u/∂x²其中u(x,t)表示波的位移，v表示波速，x表示空间坐标，t表示时间。
利用达朗贝尔公式，我们可以将一维波动方程的解表示为：u(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)其中f(x)和g(x)是任意两个可微函数。
达朗贝尔公式的推导可以通过变量分离法得到。
首先，我们将u(x,t)表示为两个变量的函数u(x,t)=F(x)G(t)，然后将其代入波动方程：F''(x)G(t)=v²F(x)G''(t)两边除以v²FG，得到：F''(x)/F(x)=G''(t)/G(t)等式左边只依赖于x，右边只依赖于t，所以两边都等于一个常数k²：F''(x)/F(x)=G''(t)/G(t)=k²然后我们分别解这两个常微分方程。
对于F''(x)/F(x)=k²，我们可以得到解：F(x) = A e^(kx) + B e^(-kx)对于G''(t)/G(t)=k²，我们可以得到解：G(t) = C e^(ikt) + D e^(-ikt)其中A、B、C和D为任意常数，i为虚数单位。
因此u(x,t) = F(x)G(t) = [A e^(kx) + B e^(-kx)][C e^(ikt) + De^(-ikt)]我们可以通过组合常数A、B、C和D得到f(x)和g(x)。
根据指数函数的性质，我们可以将解写成达朗贝尔公式的形式：u(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)其中f(x+vt) = (A e^(kx) + B e^(-kx)) (C e^(ikt) + D e^(-ikt))g(x-vt) = (A e^(kx) + B e^(-kx)) (C e^(ikt) + D e^(-ikt))达朗贝尔公式的形式表明，波动方程的解可以表示为由两个运动方向相反的平面波的叠加形式。
数理方程第三章(1)
为正、为零或者为负而确定的。 或者为负而确定的。 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、 型或椭圆型的， 型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双 曲型、抛物型或椭圆型。 曲型、抛物型或椭圆型。
双曲型方程 注2：行波法适用于双曲型方程。 ：行波法适用于双曲型方程。
x = x1 + at
B
x1
x = x2 − at x2 x
B = {( x, t ) | x1 + at ≤ x ≤ x2 − at , t ≥ 0}
决定区域。 称三角区域 B 为区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域
进一步的分析其物理意义表明, 进一步的分析其物理意义表明, 在 xot 平面上
x1 − at ≤ x ≤ x2 + at
称区域
(t > 0).
A = {( x, t ) | x1 − at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0}
t
为区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域。 影响区域
x = x1 − at
x = x2 + at
A
x1
x2
x
(3) 决定区域
t
考虑区间 [ x1 , x2 ],
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2, ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.4)
同理可得
∂u2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 = a ( 2 −2 + 2) 2 ∂t ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.5)
将 (3.1.4), (3.1.5) 代入到 (3.1.1), 可以得到
∂ 2u = 0. ∂ ξ∂ η
达朗贝尔公式教学课件
研究如何利用近似方法简化达朗贝尔公式的求解过程，例如有限差分法、有限元法等，并探讨这些方法的适用范 围和局限性。
达朗贝尔公式的未来发展
达朗贝尔公式的最新研究进展
介绍当前关于达朗贝尔公式的最新研究动态和成果，包括一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方 向。
达朗贝尔公式的未来展望
工程学
在工程学中，达朗贝尔公 式被用于分析各种机械振 动问题，如桥梁振动、汽 车悬挂系统等。
航天学
在航天学中，达朗贝尔公 式被用于研究卫星轨道、 航天器姿态控制等问题。
02
达朗贝尔公式的推导过程
推导前的准备
回顾相关基础知识
在推导达朗贝尔公式之前，需要 回顾和掌握相关的数学基础知识 ，如微积分、线性代数和常微分
推导公式
根据变换后的数学模型，逐步 推导出达朗贝尔公式。
验证公式
通过实例验证公式的正确性和 适用范围，确保其在实际问题
中能够得到有效应用。
推导结果总结
总结公式形式
对推导得到的达朗贝尔 公式进行形式上的总结 ，明确其表达方式和符
号含义。
分析公式特点
分析公式的特点和使用 条件，了解其适用范围
和局限性。
达朗贝尔公式的推广
研究如何将达朗贝尔公式推广到更广泛的领域，例如高阶偏 微分方程、非线性问题等，并探讨其在这些领域中的重要性 和作用。
达朗贝尔公式的深化
达朗贝尔公式的数学基础
深入探讨达朗贝尔公式的数学原理和基础，包括偏微分方程的基本理论、解的稳定性与收敛性等，以帮助学习者 更好地理解公式的本质和来源。
达朗贝尔公式教学 课件
目录
• 达朗贝尔公式简介 • 达朗贝尔公式的推导过程 • 达朗贝尔公式的证明 • 达朗贝尔公式的应用实例 • 达朗贝尔公式的扩展与深化
一维波动方程的达朗贝尔公式
1 2
[(x
at)
(x
at)]
1 2a
xat
( )d
xat
三、达朗贝尔公式的物理意义
(1)设
u1
1 2
[ ( x
at)
(x
at)]
设人在t = 0时在x=c处看到：
(x at) (c 0) (c)
若人以速度a行走，则t时他在x=c+at处将看到
f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)
2、特解
由初始条件得：af1f1(
x) f '(x)
2 (x) (x) af2 '(x) (
x)
对第二式作定积分得：
f1(x)
f2 ( x)
1 a
x
( )d
x0
f1(x0 )
例3
utt u
a2uxx 0,
|t0 (x),
x
ut |t0 (x)
2u0
x x1 x2 x1
,
其中 ( x)
2u0
x x2 x2 x1
,
0
x1
x
x1
2
x2
x1
x2 2
x
x2
x x1, or, x x2
§2.1达朗贝尔公式(行波法)
定解问题的求解思路
原则：由已知猜未知 方法：类比法 步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。
泛定方程的求解 达朗贝尔公式的推导 达朗贝尔公式的应用 达朗贝尔公式的意义 小结
第三章 一维波动方程的达朗贝尔公式-1
第三章：行波法与积分变换法
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
深圳大学电子科学与技术学院
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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结果：
1 1 x at (1747) u ( x, t ) ( x at) ( x at) ( X ) d X 2 2a x at
2 2u u 2 a 2 t x 2
( x )， u t 0
u ( x), ( x) t t 0
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波动方程的特解
无界弦的自由振动: 任意初始位移,任意初始速度。 无界弦自由振动的初值问题为：
2 2u 2 u a t 2 x 2
( x ) u t ( x)
t 0
（1）
u t 0 ( x),
( x )
（2）
将(1)化成以 , 为变量:
u u u u u x x x 2u u u u u 2 x x x u u u u 2u 2u 2u 2 2 2
（3）
(1)的通解为： u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
由(2)得到：
u
t 0
f1 ( x) f 2 ( x) ( x )
《数理方程》波动方程的达朗贝尔公式
反过来,我们考虑这样的问题:如果在初始时刻t=0,扰动仅在 一有限区间 x1, x2 上存在,那末,经过时间t后,它所影响到的范 围是什么? 在 x, t 平面上,过
x1,0 和 x2 ,0 两点,分别作直线,
(i) (ii)
x x1 at
x x2 at
(半径为at的球面元素) (半径为1的球面元素)
x 0 y
2 t u M , t u x, y , z , t , , ds 2 2 0 0 t 4 a t 2 1 , , ds 2 2 0 0 4 a t 1 ( , , ) ( , , ) ds M ds M (8) S S at 4 a t at at at
utt a uxx .
2
(iii)
如果要求u1还满足初始速度,则只须把被积函
数 x 换为 x .
问题的解了.
如果还要求u2满足初始位移,则
只须将 x 换为 x .两者都换了之后,u1+u2就成了定解
现在仿照公式(7)’构造三维波动方程初值问题的达氏解. 为此,先作一些对应的讨论:(列在下一页)
依赖区间
决定区域和影响区域
下面我们提出这样一个问题:上述初值问题的解在一 点 x0 , t0 的值与初值函数在x轴上哪些点的值有关呢?
为此,在 x, t 平面上,过点 x0 , t0 作两条直线
x at x0 at0 x1 (i) x at x0 at0 x2 (ii)
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)
一维波动方程的达郎贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式∂²ψ/∂t²=v²∂²ψ/∂x²其中，ψ表示波函数，t表示时间，x表示位置，v表示波速。
这个方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间和位置的变化。
解决这个方程是一个经典的物理问题，在过去的几个世纪中，许多科学家对此进行了研究。
达郎贝尔公式是一维波动方程的特解，可以表示为：ψ(x, t) = f(x + vt) + g(x - vt)其中，f和g是任意可微函数，表示波函数的初始形态和初始速度分布。
达郎贝尔公式的形式很简单，实际上是波方程的一般解的特例。
它可以表示波函数在任意时刻和位置的值。
在达郎贝尔公式中，ψ(x,t)的值等于两个波的叠加，一个波向右传播，一个波向左传播，它们的速度都是v。
达郎贝尔公式的物理意义非常重要。
它说明了波函数是由两个波的叠加形成的。
一个波向右传播，一个波向左传播。
两个波的传播速度相同，但方向相反。
这种叠加能够形成各种形状的波，可以是周期性的波、不规则形状的波或波包等。
达郎贝尔公式还可以进一步推广到波包的情况。
波包可以近似地看作是一组不同波长的波的叠加，可以用来描述复杂波动现象。
波包的传播速度可以通过对波包进行傅里叶变换得到。
除了达郎贝尔公式，还有其他方法可以求解一维波动方程。
例如，可以使用傅里叶变换将波动方程转化为频域方程，然后通过求解频域方程得到波函数。
此外，也可以使用有限差分法和有限元法等数值方法来求解波动方程。
总之，一维波动方程的达郎贝尔公式是一种简单而重要的解法，可以用来计算波的传播情况。
它描述了波函数在任意时刻和位置的值，可以用来分析各种波动现象的特性和行为。
通过研究和理解达郎贝尔公式，可以深入理解一维波动方程及其在物理学中的应用。
一维波动方程
其中 x 和 y 都是其变元的任意连续可微函数. 变回到原来的 变量1 和 2 , 便得到方程(2.10)的通解为
x u ( x y ) 1 ( xy ) xy 2 ( ) y
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数1 和 2.首先,容 易得到下面两个等式： 1 ( x) x2 ( x) ( x) (2.15)
sup ( x) ( x) sup ( x) ( x) xR xR 时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 u ( x t ) 与u( x t ) 满足
xR0t T
sup u( x t ) u( x t )
§2 一维波动方程 6
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
证:只要取 即可. 1 T 综上所述，Cauchy问题(2.1), (2.2)的解是适定的.
另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式
且令 a u v , 则可以得到如下一阶线性偏微分方程组 t x vt avx 0 (2.9)
§2 一维波动方程
11
《偏微分方程教程》第四章双曲型方程
于是Cauchy问题的解可写成
xy xy ( ) xy xy ( ) u( x y) ( xy) xy d 2 xy 3 2 d 2
利用分部积分法, 它又可化为
xy 1 y x u( x y) ( xy) 2 2 y 4
到目前为止, 表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1), (2.2)的形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(2.1), (2.2) 的解, 我们需要对初值 加上一定的条件. C 2 () C1 () , 则由D’Alembert公式 定理4.3 若 (2.8)表示的函数 u( x t ) 是Cauchy问题(2.1), (2.2)解. 证明留作习题，请读者自己完成. 下面我们讨论Cauchy问题(2.1), (2.2)解的稳定性. 定理4.4 假设对任意给定 0 的, 总可找到这样的 0 , 当初始数据 ( x) ( x)与 ( x) ( x)满足不等式
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x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
dS 是 是球面 S r 上点的坐标， 积元素。
在球坐标系中，d 显然有
__
M
S rM
d 是单位球面上的面 上的面积元素。
sin d d
dS r 2 d
下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。
2 2u u 2 a t 2 x 2 u t 0 ( x),
u ( x) t t 0
（9.1.8） （9.1.9）
（9.1.7）
将式（9.1.6）中的函数代入式（9.1.7）中，得：
——无限长弦自由振动的D’Alembert（达朗贝尔）公式。6
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
D’Alembert解的物理意义：
（9.1.11）
先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解的物理意义。 此时式（9.1.11）给出
(9.1.3)
(9.1.4)
3
2 2u 2 u a 2 t x 2
(9.1.1)
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 (9.1.3) 2 x x x 2 2 2 2u u u u 2 (9.1.4) a 2 2 2 2 t
其中
f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数。
4
u ( x, t ) f ( ) d f 2 ( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) （9.1.6）
式（9.1.6）就是方程（9.1.1）的通解。 在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 f1 与 f 2 的具体形式。 为此，必须考虑定解条件。
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 2 u 1 u 1 2u 1 2u 2 2 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin a t
ut ( x, t ) |t 0 e 1.
解： 本题中
( x) cos x,
( x) e1 ,
直接应用D’Alembert 公式，有：
1 1 x at 1 u ( x, t ) cos( x at ) cos( x at ) e d 2 2a x at cos(at ) cos x t . e
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x x x
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 2 t
___
___
16
__
(r at ) 0 (r at ) (at r ) 0 (at r ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d r at 2r 2ar
令
___
___
r 0 利用L’Hospital（洛必塔）法则得到：
2 2
__
__
这是一个关于
r u (r , t ) 的一维波动方程，它的通解为：
r u (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
__
__
其中
f1 , f 2 是两个二次连续可微的任意函数。
由初始条件定得：
1 ___ 1 a ___ f1 (r ) r 0 (r ) 1 ( )d C 2 a 0
对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而 是考虑u在以M(x,y,z)为球心、以r为半径的球面上的平均 值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关了。
这个平均值可以写成：
__
1 u (r , t ) 4 r 2
1 u( , , , t )dS 4 SM
将 u ( r , t ) 拓广到r<0的范围内，并且使 u (r , t ) u (r , t ) 。
即 u ( r , t ) 是偶函数。
__ __
__ __
___
___
0 ( r ) 与 1 ( r ) 也是偶函数。 同理，
因此，可将上式写成：
__
___
___
(r at ) 0 (r at ) (at r ) 0 (at r ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d 2r 2ar r at
1 ___ 1 a ___ f 2 (r ) r 0 (r ) 1 ( )d C 2 a 0
15
于是
__
(r at ) 0 (r at ) (r at ) 0 (r at ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d r at 2r 2ar
2 (ru ) 1 2 (ru ) 2 2 r a t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1 (r at ) f 2 (r at )
或
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
§ 6.2.2 三维波动方程的Possion公式
f1 ( x) f2 ( x) ( x)
a f1 ( x) a f 2 ( x) ( x)
5
f1 ( x) f2 ( x) ( x)
（9.1.8） （9.1.9）
a f1 ( x) a f 2 ( x) ( x)
式（9.1.9）两端对
1 x f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
就一维波动方程建立通解公式
2 2u 2 u a 2 t x 2
一维波动方程： 作如下的变换：
(6.1.1)
x at (6.1.2) x at u u u u u 利用复合函数微分法则有： x x x
9
*§9.2 三维波动方程的Poisson公式
三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2 ) x, y, z , t 0, 2 t x y z u u t 0 ( x, y, z ), 1 ( x, y, z ). t t 0
第九章 行波法与积分变换 法
李莉 lili66@
1
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示） 行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无 界区域，但对有界区域也能应用
当u不依赖于
,
时，这个方程可简化为：
1 2 u 1 2u r 2 2 2 r r r a t
或写成
2u u r 2u r 2 2 2 2 r r a t
11
2u u r 2u r 2 2 2 2 r r a t 2u u 1 2 (ru ) r 2 2 2 r r a t 2
把确定出来的 f1 ( x), f 2 ( x) 代回到式（9.1.6）中，即得到方程（9.1.1）在 条件（9.1.7）下的解：
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
（9.1.11）
1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
先看第二项，设当t=0时，观察者在x=c处看到的波形为：
( x at ) (c a 0) (c)
若观察者以速度a沿x轴的正向运动，则t时刻在x=c+at处，他所看 到的波形为：
由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的 叠加（相减）给出弦的位移。
综上所述，D’Alembert解表示正行波和反行波的叠加。
8
例1 求解下列初值问题
2 u a uxx 0 tt u ( x, t ) |t 0 cos x,
x , t 0
___ ___ ___
( x at ) (c at at ) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
7
所以 ( x at ) 代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行 波。而第一项 ( x at ) 则代表以速度a沿x轴的负向传播的波， 称为反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。
（9.1.1)化为：
2u 0
（9.1.5）
将式（9.1.5）对
再将此式对 积分，得：
u f ( ) 积分，得：
u ( x, t ) f ( ) d f 2 ( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) （9.1.6）