现代谱估计习题解答

N i 1
yi s2
2 2
0
信 号
sˆML
1 N
N i 1
yi
Y
(1)
ˆ
2 ML

1 N
N i 1
yi Y
2
(2)
处
即信号s的最大似然估计等于接收信号的样本均值Y ，而
理
噪声方差的最大似然估计由式(2)给出。
11
• 电气工程工程硕士课程
数
7.简述Prony算法的缺点。
• 电气工程工程硕士课程
数
1.一随机信号x(t
)
的观测值为
x(1),
x(2),...
。若x
(k
)和
s
2 k
分别
是利用k个观测数据 x(1),...,x(k )得到的样本均值和样本方
字 差： 信
xk

1 k
k i 1
x(i)
号 处 理
sk2

1 k
k
[x(i) xk ]2
i 1
假定有了一个新的观测值x(k+1)，我们希望用x(k+1),xk
信 号

1 2
2
exp
N i 1
( yi
s)2
/(2 2 )
处
由此，得似然函数
理
L ln f ( y1,..., yN | s, 2 ) ln

1 2
2

N i 1
( yi s)2 2 2


N 2
ln(2
2)
N i 1
(x k xk1)2

k
2 1 (xk

xk 1 )[x(k
1)

xk
]
号 处 理
将 xk 1 表达式代入上式，消去 xk 1 得到
s2 k 1

k
k 1
sk2

(k
k 1) 2
[x(k
1)

xk
]2
整理后，即得样本方差的更新公式为
s2 k 1

sk2

k
1 1
k
号

2 2

(1
a2,2
来自百度文库
2
)
2 1

(1
0.119292 ) 25.909

25.5403
处
a3,3

[rxx (3)

a2,1rxx (2)

a2,2r0
xx
(1)]
/

2 2
理
[14 0.81403 26 0.11929 4]/ 25.5403 0.093702
和
s
2 k
求 xk 1 和sˆk21的估计值。这样的估计公式称为更新公式，试求
样本均值 xk 1 和样本方差sk21的更新公式。
1
• 电气工程工程硕士课程
解： 由题给的样本均值定义式可知
数
xk 1

1 k 1
k 1 i 1
x(i)
字
信

k
1 1

k i1
x(i)
x(k
数

2 1

(1
a1,1
2
)rxx (0)

(1
0.727272 ) 55

25.909
字
a2,2 [rxx(2) a1,1rxx(1)]/12 [26 0.7272740]/ 25.909 0.11929
信
a2,1 a1,1 a2,212 0.72727 0.119290.72727 0.81403
理
糊不定性有所改善。但补零并没有改善窗函数的 宽度，因此在Fourier变换之前给数据补零是不
能改善谱估计的分辨率的。
4
• 电气工程工程硕士课程
3.设N=5的数据记录为 x0 1 ，x1 2 ，x2 3，x3 4 ，x4 5
数 字
AR模型的阶数P=3，试用相关函数法确定AR参量及 x4的预 测值 xˆ4
号
(2)运算的非线性性质 (3)对信噪比值非常敏感
处
(4)解决了旁瓣泄露问题
理
最大熵谱估计的突出特点在于其频率分辨率高，对
于确定频率成分的相对强度，可将最大熵谱分析与
Fourier方法配合使用。首先用最大熵谱估计来识
别重要的频率成分，然后仅在那些频率上实现DFT，
以便估计它的强度和相位。
9
• 电气工程工程硕士课程
1)
号 处

k k 1
xk
1 1 k
x(k
1)
理
类似的，由样本方差的估计公式，得
s 2 k 1

1 k 1
k 1
[ x(i)
i 1

xk 1]2

k
1 1
k i 1
([ x(i)

xk
] [xk

xk 1]) 2

k
1 [x(k 1
1)

xk 1]2
a3,2 a2,2 a3,3a2,1 0.11929 0.093702 0.81403 0.04301
a3,1 a2,1 a3,3a2,2 0.81403 0.093702 0.11929 0.80285

2 3

(1
a3,3
2
)
2 2

(1
0.0937022 ) 25.5403
2
• 电气工程工程硕士课程
s 2 k 1

1 k 1
k 1
[x(i)
i 1
xk 1]2
数 字

k
1 1
k i 1
([ x(i)

xk
] [xk

xk 1]) 2

k
1 [x(k 1
1)

xk 1]2
信

k
k
1
sk2

k
1 [x(k 1
1)

xk
]2

N 3
2
rxx(2) xk2 xk xk2 xk 26
k 0
k 0
N 4
1
rxx (3) xk3xk xk3xk 14
k 0
k 0
5
• 电气工程工程硕士课程
然后利用莱文森-德宾法求其AR参量{
a3,1,
a3,2
,
a3,3
,
2 3
}
a1,1 rxx(1) / rxx(0) 40 / 50 0.72727
理
(0.80285 4 0.043013 0.093702 2)
2.895
7
• 电气工程工程硕士课程
4.简单介绍目前AR谱估计存在哪些问题？
数 答：目前AR谱估计还存在一些问题，主要有以下三点：
字
(1)谱线分裂，即在谱估计中应该存在一个谱线的地
信
方出现了两个紧挨着的谱峰； (2)谱峰频率偏移，即估计的谱峰位置偏离了真实谱
6.一接收信号由 y(n) s v(n),n 1,2,...,N 描述，其中v(n)为
一高斯随机噪声，它具有零均值和未知方差 2 ，并且相
数
互统计独立，求信号s和噪声方差的最大似然估计。
字 解： 首先，有 f ( y1,..., yN | s, 2 ) f ( y1 | s, 2 ) f ( yN | s, 2 )
( yi 2
s)2
2


N 2
ln(2
)

N 2
ln

2

N i 1
( yi 2
s)2
2
10
• 电气工程工程硕士课程
信号s和噪声方差 2的最大似然估计分别由
数 字
L N yi s2 0
s i1
给出，解之，得到
L
2

N 2
1 2
字 答： Prony算法的主要缺点是：
信
(1)必须正确估计模型的阶数p，而实际中如何正确
号
选择p是比较困难的；
处
(2)对噪声比较灵敏，不宜在低信噪比下使用；
理
(3)需要求解特征多项式的系数和它的根，计算比较 麻烦。
12
解：先由给定的数据记录计算自相关函数，由相关函数定
信 号

义 x3(n) x1(m)x2 (n m) 得 m
N 1
4
处
rxx(0) xk2 xk2 55
k 0
k 0
理
N 2
3
rxx (1) xk1xk xk1xk 40
k 0
k 0
k [x(k 1
1)

xk
]2

sk2

3
• 电气工程工程硕士课程
2.通过序列补零可否改善周期图法功率谱估计分辨率？
数
字 答：传统谱估计的致命弱点是频率分辨率的限制。
信
补零只能使谱线增密，可以对不补零的谱起到插
号
值作用，克服“栅栏”效应，使其离散谱线的包
处
络逐渐接近连续频率的周期图，对离散谱线的模

25.316
6
• 电气工程工程硕士课程
数
根据所求量的AR(3)参量
字
a3,1 0.80285 , a3,2 0.04301 , a3,3 0.093702
信
可求得预测值
号 处
3
xˆ4 a3,i x4i (a3,1x3 a3,2 x2a3,3 x1) i 1
号
峰；
处
(3)有观测噪声时分辨率下降，即附加观测噪声使估
理
计的谱峰加宽，变得平滑，并偏离真实谱峰。
为了解决这些问题，人们也进行了很多理论与实际的
研究，取得了不少的进展。
8
• 电气工程工程硕士课程
5.通过分析，简要阐述最大熵谱分析法的特点。
数 答：与传统谱分析法相比，最大熵谱分析有如下特点：
字
信
(1)分辨率高，不受观察时间倒数的限制