《线性代数及其应用》第五章 特征值与特征向量

式符号一次。数乘一行 ，行列式值等于此数乘原来的行 列式值。
5 2 6 1
例 3：求 A 0
3
8
0
的特征方程。
0 0 5 4
0 0 0 1
解：
5 2 6 1
det( A I ) det
0
3
8
0
0 0 5 4 0 Nhomakorabea0
0 1
(5 )(3 )(5 )(1 )
特征方程
(5 )2 (3 )(1 ) 0，
求得方程的根
1.92 0.08 1或0.92。
2
对应=1的特征向量是方程( A I )x 0的非平凡解。
0.05 0.03 0.05 0.03 0 (2)(1) 0.05 0.03 0
A I 0.05 0.03 ， 0.05 0.03 0 : 0
0 0
从而特征向量v1
3 5
定理 1： 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。
3 6 8 4 0 0
例 5：设 A 0 0
6
,
B
2
1
0，A的特征值为 3，0，2。
0 0 2 5 3 4
B 的特征值是 4 和 1。
注：
矩阵 A 有零特征值 Ax 0有非平凡解
A 是不可逆的
定理 1 证明： 为简单起见，考虑3 3的情形。
。
对应=0.92的特征向量是方程( A 0.92I )x 0的非平凡解。
A
I
0.03 0.05
0.03 0.03 0.05， 0.05
0.03 0.05
0 0.03 (2)5/3(1) 0 : 0
0.03 0
0 0
从而特征向量v2
1 1
。
第二步：把 x0表示为v1和v2的线性组合，即
x0 c1v1 c2v2 v1
注 1： A相似于 B，记Q P1，则Q1BQ A，即 B也相似于 A。 故我们简单地说 A和B是相似的。
注 2：相似变换：变换 A a P1AP。
注 3：相似性与行等价不是一回事
定理 4：若n n矩阵 A和B是相似的，那么它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值（和重数）。
定理 4 的证明： 由 A和B相似，有 P1AP B，
从而有
xk c1v1 c2 (0.92)k v2 , k 0,1, 2,L
0.125
3 5
0.225(0.92)k
1 1
(k
0,1, 2,L
)
当k 时， xk
0.375 0.625
0.125v1
。
注：结果与 4.9 节定理 18 比较。
作业：1、3、9、13、15、19、23、27
习题：
特征向量。
例
2：设
A
1 5
6 2
,
u
6 5
,
v
3 2
，u
和v
是否是
A的特征向量？
解：
Au
1 5
6 2
6 5
24 20
4
6 5
4u
Av
1 5
6 2
3 2
9 11
3 2
因此u是特征值-4 对应的特征向量，而v不是特征向量。
证明 7 是例 2 中矩阵 A的特征值，并求其对应的特征向量。
数 7 是矩阵 A的特征值当且仅当方程 Ax 7x
19．设 A是n n矩阵，并假设 A有n个实特征值1,L ,n，特征
值按其重数重复，因此
det(A I ) (1 )(2 )L (n )。
特别的有
det( A) 12 L n。
24. 证明，若 A和B相似，则det A det B。
5.3 对角化
目标：计算 Ak 。
例
1：若
D
5 0
例 4：某6 6矩阵的特征多项式是6 45 12 4 ，求特征值 及重数。
解：把多项式分解因式
6 45 124 4 (2 4 12) 4 ( 6)( 2)
特征值是 0（重数 4），6（重数 1），-2（重数 1）。或说特征值是 0,0,0,0,6,-2。
相似性：（特征多项式用途及特征值近似计算） 定义：A和B是n n矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P1AP B或 A PBP1，则说 A相似于 B。
线性变换 x a Ax可使向量往各个方向移动，但对某些特殊向量，A 对它们的作用是很简单的。
例
1：设 A
3 1
2 0
,
u
1 1
,
v
2 1
，则 Av 2v
（A 仅仅是
“拉伸”了 v）。
定义：A为n n 矩阵，x为非零向量，若存在数 使得
Ax x 成立，则称 为 A的特征值， x称为对应于 的
03 ，则
D2
5 0
0 5 3 0
0 3
52
0
0
32
D3
DD2
5 0
0 52
3
0
0 53
32
0
0 33
，
一般有，
对k
1, Dk
5k
0
0 3k
。
注：对角矩阵 A， Ak 的计算较简单
例
2：设
A
7 4
2 1
，给定
A
PDP 1 ，其中
P
1 1
1 2
,
D
5 0
0 3
，计算
A
k
。
解：根据矩阵乘法：
的解的构造。
特征向量与差分方程
xk1 Axk , (k 0,1,L )
取 A的一个特征向量 x0和它对应的特征值 ，则 xk k x0 (k 1, 2,L )
是方程的解。 上式的线性组合也是方程的解，见习题 33。
作业： 1、3、5、7、13、15、17、19、25、29.
5.2 特征方程
征值。
注：( A I )x 0所有解的集合就是矩阵 A I 的零空间，故而 是Rn 的子空间，称为 A的对应于特征值 的特征空间。特征空间由 零向量和所有对应于 的特征向量组成。
图 5.3 显示特征空间及 x a Ax对每个特征空间的几何意义。
4 1 6 例 4： 设 A 2 1 6 ，A的一个特征值是 2，求对应的特征空间
从而 A 的特征值是 3 和-7
特征方程：
数值方程det( A I ) 0称为 A的特征方程。
数 是n n矩阵 A的特征值 数 是特征方程det( A I ) 0的根
回顾： 定理 3：（行列式的性质） A和B是n n矩阵 a. A可逆的充要条件是det A 0。 b. det AB (det A)(det B)。 c. det AT det A。 d. 若 A是三角形矩阵，那么det A是 A主对角线元素的乘积。 e. 对 A做行替换不改变行列式值。做一次行交换改变行列
sk 1
0.18
0
0
sk
ak1 0 0.71 0.94 ak
或 xk1 Axk
这种方程被称为动力系统（或离散线性动力系统），描述系统
随时间推移发生的变化。
目的：剖析线性变换 x a Ax 的作用，把它分解为容易理
解的元素。研究 xk Ak x0 在k 时的情况
§1 特征向量与特征值
c1v1 L c p vp vp1
(1)
两边乘 A，则有
c11v1 L cppvp p1vp1
(2)
2 p11
c1 (1
p1 )v1
L
cp (p p1)vp 0
因为 v1,L ,vp 线性无关，1 p1,L ,p p1 0，因此只有
ci 0,i 1,L , p，由（1）得vp1 0，矛盾。
展开多项式，得 4 143 68 2 130 75 0。
注 1： 若 A是n n矩阵，则det( A I )是 n 次多项式，称为 A的特 征多项式。
注 2：特征值 的（代数）重数： 作为特征方程根的重数。
如例 3 中特征值 5 有重数 2。
注 3： n n矩阵的特征方程是 n 次多项式，算上重根，方程 恰好有 n 个根，可以有复特征值。
1
x3
0
,
x2 , x3任意数，
x3 0 1
1 3
从而 2 是特征值，对应特征空间是¡
3
的
2
维子空间，其一个基为：
2 0
,
0 1
。
注：已知特征值，手工计算特征向量方法如例 4。但数值 计算中的舍入误差有时会使简化阶梯形矩阵出现错误的主 元素。
可准确求出特征值的几种特例：
v2
c1 c2
，
c1 c2
v1
v2 1
x0
3 5
1 1 0.6 1 0.4
1 8
1 5
1 3
0.6 0.4
0.125 0.225
从而由 Av1 v1, Av2 0.92v2，容易算出 x1 Ax0 c1Av1 c2 Av2 c1v1 c2 (0.92)v2
x2 Ax1 c1Av1 c2 (0.92) Av2 c1v1 c2 (0.92)2 v2
A2 (PDP1)(PDP1)
PD({ P1P)DP1
I
PDDP1 PD2P1
A3 (PDP1) A2 PD { P1P D2P1 PD3P1
I
一般对k 1， Ak PDk P1
由 P1
2 1
11 ，可得
Ak
PDk P1
1 1
1 5k
2
0
0 2 1
3k
1
1
2 5k 3k 5k 3k
例
1：求
A
2 3