《线性代数及其应用》第五章 特征值与特征向量

定理 2：1,L ,r 是n n矩阵 A相异的特征值，v1,L ,vr 是与
1,L ,r 对应的特征向量，那么向量集合v1,L ,vr线性无关。
证： 反证法。假设v1,L ,vr线性相关，则存在最小下标 p，
使得vp1是线性无关向量 v1,L ,vp的线性组合，即存在数
c1,L ,c p 使得
v2
c1 c2
，
c1 c2
v1
v2 1
x0
3 5
1 1 0.6 1 0.4
1 8
1 5
1 3
0.6 0.4
0.125 0.225
从而由 Av1 v1, Av2 0.92v2，容易算出 x1 Ax0 c1Av1 c2 Av2 c1v1 c2 (0.92)v2
x2 Ax1 c1Av1 c2 (0.92) Av2 c1v1 c2 (0.92)2 v2
。
对应=0.92的特征向量是方程( A 0.92I )x 0的非平凡解。
A
I
0.03 0.05
0.03 0.03 0.05， 0.05
0.03 0.05
0 0.03 (2)5/3(1) 0 : 0
0.03 0
0 0
从而特征向量v2
1 1
。
第二步：把 x0表示为v1和v2的线性组合，即
x0 c1v1 c2v2 v1
2 1 8
的一个基。
4 1 6 2 0 0 2 1 6
解：计算 A 2I 2 1 6 0 2 0 2 1 6 2 1 8 0 0 2 2 1 6
方程的通解为：
2 1 6 0 2 1 6 0
2 1 6 0 : 0 0 0 0 。 2 1 6 0 0 0 0 0
x1 1/ 2 3
x2
Fra Baidu bibliotek
x2
则
B I P1AP P 1P P (1A I )P
由定理 3（b），有
det(B I ) det[P1( A I )P] det(P1) det( A I ) det(P) det( A I ) det(P1) det(P) det( A I )
应用到动力系统：
例
5：设
线性变换 x a Ax可使向量往各个方向移动，但对某些特殊向量，A 对它们的作用是很简单的。
例
1：设 A
3 1
2 0
,
u
1 1
,
v
2 1
，则 Av 2v
（A 仅仅是
“拉伸”了 v）。
定义：A为n n 矩阵，x为非零向量，若存在数 使得
Ax x 成立，则称 为 A的特征值， x称为对应于 的
特征向量。
例
2：设
A
1 5
6 2
,
u
6 5
,
v
3 2
，u
和v
是否是
A的特征向量？
解：
Au
1 5
6 2
6 5
24 20
4
6 5
4u
Av
1 5
6 2
3 2
9 11
3 2
因此u是特征值-4 对应的特征向量，而v不是特征向量。
证明 7 是例 2 中矩阵 A的特征值，并求其对应的特征向量。
数 7 是矩阵 A的特征值当且仅当方程 Ax 7x
定理 1： 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。
3 6 8 4 0 0
例 5：设 A 0 0
6
,
B
2
1
0，A的特征值为 3，0，2。
0 0 2 5 3 4
B 的特征值是 4 和 1。
注：
矩阵 A 有零特征值 Ax 0有非平凡解
A 是不可逆的
定理 1 证明： 为简单起见，考虑3 3的情形。
注 1： A相似于 B，记Q P1，则Q1BQ A，即 B也相似于 A。 故我们简单地说 A和B是相似的。
注 2：相似变换：变换 A a P1AP。
注 3：相似性与行等价不是一回事
定理 4：若n n矩阵 A和B是相似的，那么它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值（和重数）。
定理 4 的证明： 由 A和B相似，有 P1AP B，
求得方程的根
1.92 0.08 1或0.92。
2
对应=1的特征向量是方程( A I )x 0的非平凡解。
0.05 0.03 0.05 0.03 0 (2)(1) 0.05 0.03 0
A I 0.05 0.03 ， 0.05 0.03 0 : 0
0 0
从而特征向量v1
3 5
第五章 特征值与特征向量
§0 介绍性实例 动力系统与斑点猫头鹰
雌性猫头鹰第 k 年的种群量记为 xk ( jk , sk , ak )。 jk , sk , ak 分别表 示雌性猫头鹰在幼年期、半成年期和成年期的数量。根据实际数
据，R.Lamberson 及其同事设计了下述模型：
jk1 0 0 0.33 jk
2 3k 2 5k
2 3k
5k
注：如果方阵相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵 P和对角矩阵 D， 有 A PDP1，则称 A可对角化。对于可对角化矩阵，有 Ak PDk P1。
定理 5：（对角化原理） n n矩阵 A可对角化的充分必要条件是 A有n个线性无关的特 征向量。
事实上，
A PDP1， D为对角矩阵
M
1v1
2v2
L
nvn
0
0L
n
“必要性”。假设 A可对角化，且 A PDP1，则 AP PD。由
上式，有
Avk kvk , k 1,L , n。
展开多项式，得 4 143 68 2 130 75 0。
注 1： 若 A是n n矩阵，则det( A I )是 n 次多项式，称为 A的特 征多项式。
注 2：特征值 的（代数）重数： 作为特征方程根的重数。
如例 3 中特征值 5 有重数 2。
注 3： n n矩阵的特征方程是 n 次多项式，算上重根，方程 恰好有 n 个根，可以有复特征值。
从而 A 的特征值是 3 和-7
特征方程：
数值方程det( A I ) 0称为 A的特征方程。
数 是n n矩阵 A的特征值 数 是特征方程det( A I ) 0的根
回顾： 定理 3：（行列式的性质） A和B是n n矩阵 a. A可逆的充要条件是det A 0。 b. det AB (det A)(det B)。 c. det AT det A。 d. 若 A是三角形矩阵，那么det A是 A主对角线元素的乘积。 e. 对 A做行替换不改变行列式值。做一次行交换改变行列
有非平凡解.
上述方程等价于
( A 7I )x 0。
计算
A
7I
1 5
6 2
7 0
0 7
6 5
6 5
方程有非平凡解，故 7 是特征值。
6 5
6 5
0 0
:
1 0
1 0
0 0
故通解为
x2
1 1
，其为 7对应的特征向量
由上例可知,
数 是矩阵 A的特征值 方程( A I )x 0有非平凡解
注：不能用行化简来求特征值，矩阵的阶梯形通常不显示出其特
19．设 A是n n矩阵，并假设 A有n个实特征值1,L ,n，特征
值按其重数重复，因此
det(A I ) (1 )(2 )L (n )。
特别的有
det( A) 12 L n。
24. 证明，若 A和B相似，则det A det B。
5.3 对角化
目标：计算 Ak 。
例
1：若
D
5 0
1
x3
0
,
x2 , x3任意数，
x3 0 1
1 3
从而 2 是特征值，对应特征空间是¡
3
的
2
维子空间，其一个基为：
2 0
,
0 1
。
注：已知特征值，手工计算特征向量方法如例 4。但数值 计算中的舍入误差有时会使简化阶梯形矩阵出现错误的主 元素。
可准确求出特征值的几种特例：
03 ，则
D2
5 0
0 5 3 0
0 3
52
0
0
32
D3
DD2
5 0
0 52
3
0
0 53
32
0
0 33
，
一般有，
对k
1, Dk
5k
0
0 3k
。
注：对角矩阵 A， Ak 的计算较简单
例
2：设
A
7 4
2 1
，给定
A
PDP 1 ，其中
P
1 1
1 2
,
D
5 0
0 3
，计算
A
k
。
解：根据矩阵乘法：
A2 (PDP1)(PDP1)
PD({ P1P)DP1
I
PDDP1 PD2P1
A3 (PDP1) A2 PD { P1P D2P1 PD3P1
I
一般对k 1， Ak PDk P1
由 P1
2 1
11 ，可得
Ak
PDk P1
1 1
1 5k
2
0
0 2 1
3k
1
1
2 5k 3k 5k 3k
式符号一次。数乘一行 ，行列式值等于此数乘原来的行 列式值。
5 2 6 1
例 3：求 A 0
3
8
0
的特征方程。
0 0 5 4
0 0 0 1
解：
5 2 6 1
det( A I ) det
0
3
8
0
0 0 5 4
0
0
0 1
(5 )(3 )(5 )(1 )
特征方程
(5 )2 (3 )(1 ) 0，
A
0.95 0.05
0.03 0.97
，分析由
xk
1
Axk
,
(k
0,1,L
)，
x0
0.6 0.4
所确定的动力系统的长期发展趋势。
解：第一步：求 A的特征值，并找出每个特征空间的基。
A的特征方程是
0
0.95 0.05
0.03 0.97
(0.95
)(0.97
)
0.03
0.05
2 1.92 0.92
存在n个线性无关的列向量v1,L ,vn，使得
Avk kvk , k 1, 2,L , n,
1
此时 P v1 L
vn
,
D
O
。
n
注：v1,L ,vn是¡ n的基，称为特征向量基。
证：易知
AP Av1 v2 L vn Av1 Av2 L Avn
1 0 L
PD
P
0
2
L
M M
0
0
征值。
注：( A I )x 0所有解的集合就是矩阵 A I 的零空间，故而 是Rn 的子空间，称为 A的对应于特征值 的特征空间。特征空间由 零向量和所有对应于 的特征向量组成。
图 5.3 显示特征空间及 x a Ax对每个特征空间的几何意义。
4 1 6 例 4： 设 A 2 1 6 ，A的一个特征值是 2，求对应的特征空间
例
1：求
A
2 3
3 6
的特征值。
解：
是 A 的特征值
( A I )x 0有非平凡解 （逆矩阵定理） A I 不可逆
（2.4 节定理 4） A I 行列式为 0
从而特征值 是下列方程的解
det(
A
I
)
det
2
3
3 6
0
故det(A I ) 2 4 21 ( 3)( 7) 0，
的解的构造。
特征向量与差分方程
xk1 Axk , (k 0,1,L )
取 A的一个特征向量 x0和它对应的特征值 ，则 xk k x0 (k 1, 2,L )
是方程的解。 上式的线性组合也是方程的解，见习题 33。
作业： 1、3、5、7、13、15、17、19、25、29.
5.2 特征方程
c1v1 L c p vp vp1
(1)
两边乘 A，则有
c11v1 L cppvp p1vp1
(2)
2 p11
c1 (1
p1 )v1
L
cp (p p1)vp 0
因为 v1,L ,vp 线性无关，1 p1,L ,p p1 0，因此只有
ci 0,i 1,L , p，由（1）得vp1 0，矛盾。
假设 A是上三角矩阵，则
a11
A
I
0
0
a12
a22
0
a13
a23
a33
数 是矩阵 A的特征值 方程( A I )x 0有非平凡解 A I 对角线元素至少一个为零
a11, a22 , a33之一
故 A的特征值是a11, a22, a33。若 A 为下三角矩阵， 见习题 28。
例 4：某6 6矩阵的特征多项式是6 45 12 4 ，求特征值 及重数。
解：把多项式分解因式
6 45 124 4 (2 4 12) 4 ( 6)( 2)
特征值是 0（重数 4），6（重数 1），-2（重数 1）。或说特征值是 0,0,0,0,6,-2。
相似性：（特征多项式用途及特征值近似计算） 定义：A和B是n n矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P1AP B或 A PBP1，则说 A相似于 B。
从而有
xk c1v1 c2 (0.92)k v2 , k 0,1, 2,L
0.125
3 5
0.225(0.92)k
1 1
(k
0,1, 2,L
)
当k 时， xk
0.375 0.625
0.125v1
。
注：结果与 4.9 节定理 18 比较。
作业：1、3、9、13、15、19、23、27
习题：
sk 1
0.18
0
0
sk
ak1 0 0.71 0.94 ak
或 xk1 Axk
这种方程被称为动力系统（或离散线性动力系统），描述系统
随时间推移发生的变化。
目的：剖析线性变换 x a Ax 的作用，把它分解为容易理
解的元素。研究 xk Ak x0 在k 时的情况
§1 特征向量与特征值