第二章多项式插值 (2)

p1 ( x ) p0 ( x ) q( x ),
由 p1 ( x )的定义知 q P1 , 且满足q( x0 ) 0, 故可令
q( x ) c1 ( x x0 ).
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利用 p1 ( x1 ) f ( x1 ), 可求得
f ( x1 ) f ( x0 ) c1 . x1 x0
p0,2 ( x ) q( x ).
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上述结果可以推广到一般情形.
即若已知 p0,n1 ( x ) 和 p1,n ( x ), 则
xn x x x0 p0,n ( x ) p0,n1 ( x ) p1,n ( x ). x n x0 x n x0
于是
( x x0 ) ( x x1 ) L1 ( x125 ) y y1 0 L1 (125) 11.17391. ( x0 x1 ) ( x1 x0 )
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解 （2）选取
x0 100, x1 121, x2 144,
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利用线性插值公式容易求得
和
( x x0 ) ( x x1 ) p0,1 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 ) ( x1 x0 )
( x x2 ) ( x x1 ) p1,2 ( x ) y1 y2 . ( x1 x2 ) ( x2 x1 )
§2
Lagrange插值
一、问题的提法 二、适定性和Lagrange插值公式
三、Neville插值公式
四、Newton插值公式
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一、问题的提法
已知：f ( x ), x I [a, b] 或其 n 1 个样本值
f ( x i ) yi ,
i 0,1,, n,
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注意： 125 11.1803398 则线性插值公式所得近似值有3位有效数字 抛物插值公式所得近似值有4位有效数字 Lagrange插值公式的优缺点： 优点：形式简洁 便于理论分析和许多数值计算公式的推导 缺点：没有承袭性 即当增加新的节点时 所有Lagrange因子必须重新计算
解得
c 1 ( xi x1 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
即
( x x0 )( x x1 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) li ( x ) ( xi x0 )( xi x1 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn ) i k, 0, l i ( xk ) ni ,k i , k 0,1,, n. (2.1) 1 , i k , L ( x) y l ( x )
c? ( x x0 )( x xn1 ) n
的形式，希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。
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首先考察 f ( x ) 的几种低次Newton插值公式的建立过程 显然关于节点 x0 的零次插值多项式
p0 ( x ) f ( x0 ).
下面分别考察一次和二次插值多项式情形. (1) 关于节点 x0 , x1 的一次插值多项式 p1 ( x ), 根据承袭性的要求，可将其待定为
定理 2.1 插值问题的解是存在且唯一的.
证明：（构造性证明）
（1）存在性 首先构造特殊插值多项式 l i ( x ) Pn ,
l i ( x k ) i ,k 0, 1, i k, i k,
i , k 0,1,, n.
(2.1)
i ,k : 克罗内克尔(Kronecker)符号.
n
可以验证

j பைடு நூலகம்0
j j
满足插值条件.
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(2)
唯一性 设n次多项式 Ln ( x )和Qn ( x ) 均为插值问题的解,
即 令 则
Ln ( xi ) f ( xi ) Qn ( xi ) G( x ) : Ln ( x ) Qn ( x ) Pn ,
Neville插值公式的优点是：
O( n).
缺点是： 形式不直观，且计算表依赖于具体的点x.
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四、 Newton插值公式
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时 全部基函数li(x)都需重新算过。 将Ln(x)改写成 ? c ? ( x x ) c?( x x )( x x ) c 0 1 0 2 0 1
x x0 x2 x q( x ) p1,2 ( x ) p0,1 ( x ), x 2 x0 x 2 x0
容易验证 q P2 , 且满足
q( xi ) f ( xi ), i 0,1,2,
故 q( x ) 就是 f ( x ) 关于节点
x0 , x1 , x2
的二次插值多项式， 即
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三、 Neville插值公式
理论依据： 任意两个低次插值多项式经过“线性插值” 可以得到高一次的插值多项式. 首先来导出上述事实 记 pi , j ( x ), i<j为非负整数，它表示函数 f ( x ) 关于节点
xi , xi 1 ,, x j
的Lagrange插值问题的j-i次多项式解函数.
将 ( x0 , p0,1 ( x )) 和 ( x2 , p1,2 ( x )) 看成两个“点”， 过这两“点”作线性插值，可得
x x0 x2 x q( x ) p1,2 ( x ) p0,1 ( x ), x 2 x0 x 2 x0
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n ( x ) ( x x j ).
j 0
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n
例
当n=1时，线性插值公式
( x x0 ) ( x x1 ) y1 L1 ( x ) y0 ( x1 x0 ) ( x0 x1 )
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设 x0 , x1 , x n 彼此互异, 记所有次数不超过n 的代数多项式
a0 a1 x an x n
的全体为 Pn .
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插值问题： 求 pn Pn , 满足
pn ( xi ) yi ,
i 0,1,, n.
x ,y
0 0
x ,y
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拉格朗日插值法Matlab程序
malagr.m
用途：拉格朗日插值法求解 格式：yy=malagr(x,y,xx)， x是节点向量， y是节点对应的函数值向量， xx是插值点(可以是多个)， yy返回插值结果
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由(2.1)知 xk ( k i ) 是 n次代数多项式 li ( x ) 的 n个零点，
所以
l i ( x ) c( x x1 )( x x i 1 )( x x i 1 )( x x n )
又由 l i ( xi ) 1
利用抛物插值公式，可得
y0 10, y1 11, y2 12,
( x 100) ( x 144) ( x 121) ( x 144) 11 L2 ( x ) 10 (121 100) (121 144) (100 121) (100 144)
( x 100) ( x 121) 12 , ( x x100) )( x (144 x2 )121) ( x x0 )( x x2 ) (144 1 L2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) 于是 ( x x0 )( x x1 ) y2 125 L2 (125) 11.18107. ( x2 x0 )( x2 x1 )
i 0,1,2,, n
G( xi ) Ln ( xi ) Qn ( xi ) 0, i 0,1,n.
由高等代数基本知识知， 若一个n次代数多项式至少 存在n+1个根，则它一定恒为零.
故G( x ) 0, 即Ln ( x ) Qn ( x ).
唯一性得证.
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当n=2时，抛物插值公式
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) y1 L2 ( x ) y0 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
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利用 p2 ( x2 ) f ( x2 ), 以及
p1 ( x2 ) f ( x0 ) c1 ( x2 x0 ),
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Ln ( x ) yi li ( x )
i 0
n
称为f(x)的n次多项式插值的 Lagrange 公式 也称为Lagrange 插值多项式.
n ( x) li ( x ) ' ( x xi ) n ( xi )
称为n次多项式插值问题的基函数(Lagrange 因子) 其中
上式称为Neville插值公式，它以递推的形式出现. 下面给出Neville插值方法计算表
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x0 x1 x2 x3 xn
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( xn )
p0,1 p1,2 p0,2 p2,3 p1,3 p0,3 pn1,n pn 2,n pn 3,n … p0,n
i i
x ,y
n n
称 f ( x ) 为被插函数，pn ( x ) 为n次多项式插值函数，
并称 x0 , x1 ,, xn 为插值节点， 而上述问题被称为
关于节点 x0 , x1 ,, xn 的Lagrange插值问题
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二、适定性和Lagrange插值公式
function yy=malagr(x,y,xx) m=length(x);n=length(y); if m~=n, error('向量x与y的长度必须一致');end s=0; for i=1:n t=ones(1,length(xx)); for j=1:n if j~=i t=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j)) end end s=s+t*y(i); end yy=s; end 上一页 下一页
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例1 已知 100 10, 121 11, 144 12, 试分别用 线性插值和抛物插值公式求 125 的近似值. 解 （1）选取
x0 121, x1 144,
利用线性插值公式，可得
y0 11, y1 12,
x 144 x 121 L1 ( x ) 11 12 , 121 144 144 121
(2.9)
(2) 关于节点 x0 , x1 , x2 的二次插值多项式 p2 ( x ), 可将其待定为
p2 ( x ) p1 ( x ) q( x ),
其中 q P2 , 且满足q( x0 ) q( x1 ) 0, 故可令
q( x ) c2 ( x x0 )( x x1 ).