《大学物理》第五章 牛顿定律的应用

切向加速度改变速度的大小，
特别注意
v 为速率
法向加速度改变速度的方向。
圆周运动中加速度的大小
a at2 an2
圆周运动中加速度的方向
dv dt
2
v4 R2
r
a
arctan at
an
an
at
匀速圆周运动 =>
ar
r anen
v2 R
r en
讨论：
1. at 0 , an 0 匀速直线运动 2 . at c , an 0 匀变速直线运动
3 . at 0 , an c 匀速率圆周运动 4 . at 0 , an 0 变速曲线运动
与匀速圆周运动相关的几个概念
• 周期T • 频率f
5-3 匀速圆周运动的 动力学
• 根据牛顿第二运动定律 • 匀速圆周运动 • 圆周运动的物体沿径向必然有
➢ 离心力（centrifuge force)
μK称为动摩擦系数，其值取决 于接触面的性质。
一般情况下，两个硬表面之间的摩擦力大 小与接触面的面积大小基本无关。我们认 为，只要物体表面的光滑度一样，无论是 在宽阔的表面还是在狭窄的棱上滑动产生 的摩擦力相同。
➢ 这个关系式不属于基本定律,而是摩擦力Ffr大小与 正压力FN大小之间的一种实验关系 --- 经验公式
竖直方向 水平方向
当摩擦系数
所以，路面结冰，行车打滑
将汽车受到正压力进行分解: 竖直方向分量与重力平衡
水平方向分量充当向心力
5-6 和速度相关的力：粘滞力和
终极速度*
• 流体中的粘滞力
流体中低速运动的物体，其粘滞力
流体中高速运动的物体，其粘滞力
(-k)
必做题：4，11，15
1、A.B两物体质量相等，桌面与物 块间摩擦系数为0.20。系统无初速释 放，
❖摩擦的分类
按物体运动状态区分——动摩擦和静摩擦 按物体的运动形式分——滚动摩擦和滑动摩擦
按润滑程度分——干摩擦、流体摩擦、边界摩擦、混合摩擦等
➢ 动摩擦
方向：与物体运动方向相反 大小：依赖于两个相对滑动表面的性质
对于给定的摩擦面，实验表明摩擦力近似正比于两个表面 间的正压力。
Ff r K FN
✓ 该物体仍然是在作加速运动
v v v r
a
lim
r v
d
r
v1
2
t0 t dt
瞬时速度的方向：沿切线方向
由瞬时加速度的定义
质点从A点运动到B点
速度的增量
r
r a
lim
v
t0 t
(a)中ΔABC与(b)中三角形为相似三角形
切向加速度和法向加速度
1.自然坐标系
设质点绕圆心在作变速圆周运动，在其
d
dt
en
d
ds
ds r dt en
vr R en
a
dv dt
et
v2 R
en
v dv
d
R
Bv
A
det et d et
圆周运动中的切向加速 度at和法向加速度an
a
dv dt
et
v2 R
en
at
dv dt
an
v2 R
r dv r v2 r
r
r
a dt et R en atet anen
维持圆周需要一个向心力
F m v2 r
离心力不是外加的力，而是物体做曲线运动产生的。
➢ 当旋转雨伞时，雨伞上的水滴如何运动？ ➢ 此时雨伞上有一只青蛙，它看到雨滴如何运动？
❖ 离心机（Centrifugation)
高速旋转的离心机， 可用于物质的分离。
F m v2 r
超高速的离心机，转速可达几万rpm，对应于
an
v2 R
r v
r dr
dt
速率 v
x2 y2 100
0m / s2
at
dv dt
vx2
v
2 y
50sin 5t 2 50 cos 5t 2 50m / s
f kv
竖直方向 F mg kv
F
=ma
m
dv dt
mg kv m dv dt
g k v dv g dt
g
dv k
lv2 2gl2 gl2 v 2gl gl
例题5-1
注意： 1.第一段线性规律 2.突变点 3.末段值不变
概念例题5-2：在水平方向上用力推压一个盒子，让它紧紧地贴在墙 上而不掉下来。一个水平方向上的力如何能阻止一个物体竖直方向 上的运动呢？
如果墙面光滑，这将不能实现。
你施加的水平方向上的作用力将引 起一个由墙施加给盒子的正压力。 最大静摩擦力正比于正压力。
典型摩擦系数
表面 木块在木块上 冰块在冰块上 金属在金属上（润滑后） 钢铁在钢铁上（未润滑） 橡胶在干燥的混凝土上 橡胶在潮湿的混凝土上 橡胶在其他固体表面上 润滑后的球状轴承之间 滑膜关节之间（人体四肢）
静摩擦系数 0.4 0.1 0.15 0.7 1.0 0.7 1-4
＜0.01 0.01
动摩擦系数 0.2 0.03 0.07 0.6 0.8 0.5 1
Ff r K FN FN mg F
分别作受力分析,列出牛顿运动方程
在x方向上
✓ 解题的思路和步骤 --- 逻辑 ✓ 避免作受力分析、列牛顿运动定律时容易出现的错误
5-2 匀速圆周运动——运动学
❖ 匀速圆周运动：物体速度大小恒定
的圆周运动
✓ 速度的大小保持恒定 ✓ 速度的方向却是时时改变
小为：
Fb xg
o r Fb
x l
mgx
此时棒受到的合外力为：
F mg xg g(l x)
利用牛顿第二定律建立运动方程：
m d v g(l x)
dt
要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间
m d v v g(l x) d x
dt
dt
lv d v g(l x) d x
积分得到
＜0.01 0.01
➢ 静摩擦
• 当试图用力去推桌子，而桌子又没有被推动，那么必然存 在另一个力使得桌子能够保持静止不动（对于静止不动的 物体，合力应为零）。这个力就是静摩擦力。
• 静摩擦力的方向 —— 与相对运动趋势相反
Ff r SFN Ffr
生活经验：保持一个物体的滑动比让它从开始的位置滑动起来更容易。
非常大（105g)的向心加速度。
超高速的离心机的核心技术：高速转子
做水平and竖直圆周运动的小球
A点 B点
受力分析
5-4 公路弯道：倾斜弯道与不倾斜弯道
• 转弯的实现——向心力 • 向心力的来源——摩擦力 • 摩擦力的大小 不打滑——静摩擦力 打滑——动摩擦力
竖直方向 水平方向
当摩擦系数
所以，路面结冰，行车打滑
开篇问题
❖ 冰壶比赛
开篇问题
• 小球系在一根细绳的一 端，当你握着绳子的另 一端，以恒定的速度旋 转，使小球在水平的圆 周上运动。如果你在P点 放开细绳，小球会沿着 哪条轨迹运动呢？
§5-1 包含摩擦力的牛顿定律应用
❖摩擦力的来源:物体表面的粗糙结构
❖当我们试图滑动一个物体经过另一 物体的表面时，这些微小的凹凸将阻 碍物体的滑动,即产生了摩擦力。
物块A的加速度为_______g。
t
圆周运动
an
v2 R
一般的曲线运动
an
v2
: 曲率半径
v2
an
r et r en
一般的曲线运动
自然坐标系下：
at
v vet
源自文库
g an
抛体运动
at g sin
an g cos
v2
an
r et
g
v2
an
3g
2
t
S 0 vdt
at
dv dt
v
dt
g
左右同时积分 设k=b/m,同前一例题
例题有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬 着，下端紧贴着密度为的液体表面。现悬线剪断，
求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没 有粘性。
解：以棒为研究对象，在下落的过程中，
受力如图：
棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下
建立坐标系。
当棒的最下端距水面距离为时x，浮力大
t+dt时刻：B点 v dv dt时间内经过弧长ds
ds对应圆心角角度d
rr v vet
v dv
d
R
Bv
A
a
dv dt
d dt
v(t
)et
et 为单位矢量， 大小不变，但方向改变
a
dv dt
d dt
v
(t
)et
a
(
dv dt
)et
v
det dt
det et 即与 en同向
det den
det dt
上任意选一点 可建立如下坐标系，其中一根 r
坐标轴沿轨迹在该点P 的切线方向，该方向
et
单位矢量用et 表示；另一坐标轴沿该点轨迹
的法线并指向曲线凹侧，相应单位矢量用en P r en
表示，这就叫自然坐标系。
en
显然，沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断变化着的e。t
2.切向加速度和法向加速度
t时刻：A点 v