大学物理第六章习题选解

第六章 真空中的静电场

习题选解

6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？

解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)

为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为

题6-1图

2

2

2

2

1004330cos 42r q r q f πεπε=︒⨯=

中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为

2

233200434r Qq

r Qq f πεπε==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

由12f f =，得

Q =。

6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234

Th 的中心为159.010r m -=⨯。试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？

解：（1）由反应

238

234492

902U Th+He →

，可知

α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==⨯

Th 离子带90个单位正电荷，即

1929014410Q e C -==⨯

它们距离为159.010r m -=⨯

由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：

19199

122152

0 3.21014410(9.010)5124(9.010)

Q Q F N r πε---⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯ （2）α粒子的质量为：

2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=⨯⨯+⨯=⨯

由牛顿第二定律得：

28227512

7.66106.6810

F a m s m α--=

==⨯⋅⨯ 6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。

解：由图可知，第3个电荷与其它各

电荷等距，均为2

2

r m =

。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为

题6-3 图

题6-3 图

N r q q F 22

133

10108.141

-⨯==

πε 力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45o 角。

6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-⨯=，B 点放置点电荷

C q 92108.4-⨯-=，已知0.04,0.03BC m AC m ==，试求直角顶点C 处的场强E 。

解：A 点电荷在C 点产生的场强为

1E ，方向向下

142

11

01108.141

-⋅⨯==

m V r q E πε B 点电荷在C 点产生的场强为2E ，方向向右

142

22

02107.241

-⋅⨯==

m V r q E πε

题6-4图

根据场强叠加原理，C 点场强

142

2211024.3-⋅⨯=+=m V E E E

设E 与CB 夹角为θ，2

1

tan E E =

θ 122

arctan

arctan 33.73

E E θ===o 6-5 如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为r （e r r >>）的P 点处的电场强度为4

043r Q

E πε=

，式中

22e qr Q =，称为这种电荷分布的电四极矩。

题6-5图

解：由于各电荷在P 点产生的电场方向都在x 轴上，根据场强叠加原理

222

00024()44()P e e q q q

E r r r r r πεπεπε--=

+++-

222

2222

062[]4()e e e r r r q

r r r πε-+=- 由于e r r >>，式中2e r 可略去

4

02

62204664r qr r r r q

E e e P πεπε-=

-= 又电四极矩 22e qr Q =

故 4

043r Q

E P πε=

题6-5图

6-6 如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀 带电，单位长度上的电荷量为λ，试求距棒的一端垂直距离为d 的P 点处的电场强度。

解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线 元dx 在P 点产生的场强为dE

题6-6图

)(4)

(44220222020d x dx

d x dx r dq dE +=+==

πελπελπε 场强dE 可分解成沿x 轴、y 轴的分量

2

2

sin d x x dE

dE dE x +-=-=θ

22

cos d

x d dE

dE dE y +==θ

题6-6图

⎰⎰

∞

+-==0

2

3222

0)(24d x dx dE E x x πελ

12

22

2()

8d x d λπε∞

-=

+⎰

001()44d d

λλπεπε=

-=- 31

2222220002

444()()

y y d dx d x

E dE d

x d d x d λλλ

πεπεπε∞

∞

====

++⎰⎰

P 点场强 d

E E E y x

02242πελ

=+= 方向与Y 轴夹角为ϕ arctan 45x

y

E E ϕ==o

6-7 一根带电细棒长为l 2，沿x 轴放置，其一端在原点，电荷线密度Ax =λ（A 为正的常数）。求x 轴上，l b x 2+=处的电场强度。

解：在坐标为x 处取线元dx ，带电量为Axdx dq =，该线元在P 点的场强为dE ，方向沿x 轴正方向

2

0)2(4x l b dq

dE -+=πε

整个带电细棒在P 点产生的电场为